Bài tập ứng dụng tích phân (Tỉ số thể tích)

§7_TỶ SỐ THỂ TÍCH
 LÝ THUYẾT CẦN NẮM.
A

①. M, N bất
kỳ trên AB,
AC

N

SAMN AN AM

.
SABC AC AB

M

B

C

A

②. Đường
trung bình
MN

SAMN 1

SABC 4

N

M

C

B

③. M, N, P là
trung điểm
của AB, AC,
BC

A

SAMN SCPN SBPM SPMN 1



 .
SABC SABC SABC SABC 4

N

M

B

C

P

A

④. Trọng
tâm G

SGBC SGAC SGAB 1



SABC SABC SABC 3

G
B

C

 DẠNG 1_TỶ SỐ CƠ BẢN CỦA KHỐI CHÓP TAM GIÁC.
S

①. M, N, P lần lượt
thuộc SA, SC, SB

P

N

VS .PMN SP SM SN


.
.
VS . ABC SB SA SC

j
M
B

C

A
S

VS . ABN SN

VS . ABC SC

N

②. N thuộc SC
A

C

B


A_VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1.

Cho hình chóp S. ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm SA, SB và SC . Khi đó tỉ số thể
tích giữa khối chóp S.MNP và khối chóp S. ABC bằng
A.

1
.
4

B.

1
.
8

C.

1
.
6

1
.
2

D.

Lời giải
Chọn B
i hối t i n ần t nh tỉ ố là S.MNP à S. ABC
lần lượt là trung điể

n n

SM 1 SN 1 SP 1
 ;
 ;

SA 2 SB 2 SC 2
VS .MNP SM SN SP 1 1 1 1

.
.
 . .  .
VS . ABC
SA SB SC 2 2 2 8
Ví dụ 2.

Cho khối t di n ABCD có thể tích V

à điểm E trên cạnh AB sao cho AE  3EB . Tính

thể tích khối t di n E.BCD theo V .
A.

3V
.
4

B.

3V

.
2

C.

V
.
3

D.

V
.
4

Lời giải
Chọn D
i hối t

A

i n ần t nh tỉ ố là A.ECD à A.BCD

AE  3EB n n

hi là

hần

hần

hần

AE 3

AB 4

VAECD AE AC AD 3
3



  VAECD  VABCD . Do đó
4
VABCD AB AC AD 4

VE.BCD  VA.BCD  VA.ECD

3
1
 VA.BCD  VABCD  VABCD .
4
4

E
B

D

C

Ví dụ 3.

Cho hình chóp S. ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm c a SA

, SB . Tính tỉ số
A.

VS . ABC
.
VS .MNC

1
.
2

B.

1
.
4

C. 2 .
Lời giải

Chọn D

D. 4 .

i hối t

i n ần t nh tỉ ố là S. ABC à S.MNP

lần lượt là trung điể

n n

SA
SB
 2;
2
SM
SN

VS . ABC
SA SB SC

.
.
 2.2  4 .
VS .MNC SM SN SC
Ví dụ 4.

Cho hình chóp S. ABC có A và B lần lượt là trung điểm c a SA và SB . Biết thể tích khối
chóp S. ABC bằng 24 . Tính thể tích V c a khối chóp S. ABC .

A. V  12 .

B. V  8 .

C. V  6 .

D. V  3 .

Lời giải
Chọn C
S

B'

A'

B

A
C

Ta có

VS . ABC SA SB SC 1 1 1
 . 

.
.
VS . ABC
SA SB SC 2 2 4

Vậy VS . ABC 

1
1
.VS . ABC  .24  6 .
4
4

B_BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 1.

Cho hình chóp S. ABC có ASB  ASC  BSC  60 và SA  2 ; SB  3 ; SC  7 .
Tính thể tích V của khối chóp.
A. V  4 2 .

Câu 2.

B. V 

7 2
.
2

C. V 

7 2
.
3

D. V  7 2 .

Cho hình chóp S. ABC có A và B lần lượt là trung điểm của SA và SB . Biết thể

tích khối chóp S. ABC bằng 24 . Tính thể tích V của khối chóp S. ABC .
A. V  3 .
B. V  12 .
C. V  8 .
D. V  6 .


Câu 3.

Cho khối chóp S. ABC , M là trung điểm của cạnh BC. Thể tích của khối chóp S.MAB
S. ABC
2a 3 .
là
Thể tích khối chóp
bằng.
3
A. 2a .

Câu 4.

Câu 5.

3
B. 4a .

a3
C.
4

.

D.

1 3
a .
2

Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và I là trung điểm CD , M là trung điểm
BI . Tính thể tích V của khối chóp A.MCD .
A. V  4 .
B. V  6 .
C. V  3 .
D. V  5 .
Cho tứ diện ABCD có DA  1; DA   ABC  . ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1 .
Trên cạnh DA, DB, DC lấy 3 điểm M , N , P sao cho

DM 1 DN 1 DP 3
 ;
 ;
 .
DA 2 DB 3 DC 4

Thể tích của tứ diện MNPD bằng
A. V 

Câu 6.

2
.
96

B. V 

3
.
12

C. V 

3
.
96

D. V 

2
.
12

Cho khối chóp S. ABCD có thể tích là a 3 . Gọi M , N , P, Q theo thứ tự là trung điểm
của SA, SB, SC, SD. Thể tích khối chóp S.MNPQ là:
A.

a3
.
16

B.

a3

.
8

C.

a2
.
4

D.

a3
.
6

Câu 7.

Cho khối chóp S. ABC . Gọi A , B lần lượt là trung điểm của SA và SB . Khi đó tỉ
số thể tích của hai khối chóp S. ABC và S. ABC bằng:
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
4
6
2

3

Câu 8.

Cho tứ điện MNPQ . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm các cạnh MN , MP, MQ . Tính
tỉ số thể tích
A.

Câu 9.

1
.
6

VMIJK
.
VMNPQ
B.

1
.
3

C.

1
.
4

D.

1
.
8

Cho tứ diện ABCD . Gọi B và C  lần lượt là trung điểm của AB, AC . Khi đó tỉ số
thể tích của khối tứ diện ABCD và khối ABCD bằng:
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
2
4
6
8

Câu 10. Cho khối tứ diện OABC với OA, OB, OC vng góc từng đơi một và OA  a,
OB  2a, OC  3a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC . Thể tích

của khối tứ diện OCMN tính theo a bằng:


A.

3a 3
.

4

3
B. a .

C.

2a 3
.
3

D.

a3
.
4

Câu 11. Cho khối chóp S. ABC . Trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A , B , C 
1
1
1
sao cho SA  SA ; SB  SB ; SC   SC . Gọi V và V ' lần lượt là thể tích của
3
4
2
V
các khối chóp S. ABC và S. ABC . Khi đó tỉ số
là
V'
1

1
A.
.
B. 24 .
C.
.
D. 12 .
12
24
Câu 12. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC , mặt
phẳng  P  chứa AM và song song với BD , cắt SB và SD lần lượt tại B và D . Tỷ
số

VS . AB ' MD '
là
VS . ABCD

A.

3
.
4

B.

2
.
3

C.

1
.
6

D.

1
.
3

BẢNG ĐÁP ÁN
1.B

2.D

3.B

4.B

5.C

6.B

7.A

8.D

9.B

10.D

11.B

12.D