Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 12 Toán 2013 - Phần 1 - Đề 8 docx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (112.77 KB, 4 trang )

ĐỀ THI CHỌN HOC SINH GIỎI TỈNH 12
(Thêi gian lµm bµi 180 phót)

Bài 1: Cho hệ phương trình:






83
22
axyyx
axyyx

Với điều kiện nào của a thì hệ có nghiệm.

Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Chứng minh:

   

 tanCtanBAtan
3
1
sinsinsin
3
2

CBA

Bài 3: Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm:



mxx 
4
4
cos1cos

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, đường cao bằng h.
(P) là mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC, (P) cắt SB,SC,SD lần lượt
,,,
,, DCB
.

1. h ph¶i tháa m·n ®iÒu kiÖn g× ®Ó
,
C thuéc c¹nh SC khi ®ã tÝnh diÖn tÝch
thiÕt diÖn.

2. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp
,,,
DCSAB
.

Bµi 5:

a, b, c lµ ba sè thùc
0

chøng minh r»ng :

a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a

2
2
2
2
2
2

Sơ lợc đáp án đề thi chọn học sinh giỏi 12
Năm học 2008-2009

Đáp án
Bài 1 (4 điểm)

83
22
axyyx
axyyx

83ayxxy
axyyx
Đặt

pxy
syx

điều kiện
PS 4
2

*

83aps
asp

đa về phơng trình
083
2

aatt
điều kiện để phơng trình có nghiệm
0

84032120834
22
aaaaaa
(1)
S
1
=
2
;
2
2

a
s
a

1/ a 8

s,p 0

S=
4
2
;4
2

a
p
a
thỏa mãn
2/a< 0
3
8
sp khi đó S= 0
2
;0
2

a
p
a
thỏa mãn
3/
0;4
3

8
psa
khi đó S=
2
;
2

a
p
a
thế vào
ps 4*
2
(
2
a
)
2

081348244
2
4
2
22

aaaaaa
a

8
3313
3
8
a
Vậy với những giá trị:
8
3313
3
8
a
hoặc a

8
Bài2 (4 điểm)
:

tanCtanBAtan
3
1

sinsinsin
3
2
CBA AAA tan
3
1
sin
3
2
+
0tansin
3
2
tan
3
1
3
2
CCCBBSinB
Vai trò nh nhau
Đăt f(x) = xxx tan
3
1
sin
3
2
x

2
,0

1
cos
3
1
cos
3
2
2
,

x
xxf =
1
cos
1
cos2
3
1
2

x
x

áp dụng bất đẳng thức côsi cosx+cosx+
3
cos
1
2

x

0
'
xf
f(x) hàm đồng
biến x

2
,0

f(x)

f(0) =o Thay x=A,x=B, x=C
A.B,C nhọn do đó f(A)>0;f(B)>0,f(C)>0 vậy bất đẳng thứ đợc chứng minh
Bài 3 (4 điểm )

mxx
4
4
cos1cos

Đặt t =

cosx điều kiện 1t Xét hàm số f(x)= t
4
+(1-t)
4

Tìm giá trị lớn và nhỏ nhất trên 1t
f(x)=4t
3
- 4(1-t)
3

f(x)=0 khi t=
2
1

f(1) =1; f(-1) = 17 ; f(
2
1
) =
8
1
vậy phơng trình có nghiệm 17
8
1
m

Mặt phẳng đi qua A vuông góc với SCsẽ cắt (SAC) theo
đờng cao AC của tam giác SAC muốn cho điểm C năm
trên SC thi góc SAC nhọn suy

ra

HSC <45
0
. Vậy ta có SH>HC

2
2
ah

2 gọi k là giao điểm của đờng cao SH của hình chóp với ACta có:

P
SCBD
SCP

//BDVậy (P) cắt (SBD) theo BD đi qua K và //BD .Nên (P) cát
hình chóp SABCD theo thiết diện là tứ giác ABCD có 2 đờng chéo vuông góc
là AC và BD (Do BD vuông góc (SAC vì BD//BD)
Vậy diện tích thiết diện ABCD là
S =
2
1
AC BD mà AC.SC = SH.AC = dt (tg SAC) suy ra
S

B

H

K

C

D

A
C
Bài 4 (5 điểm)

AC =
2
2
2
2
a
h
ha

=
22
2
2
ha
ah

Từ tính chất trực tâm tam giác SAC có : HK.HS = HA.HC
HK =
h
ah
SK
h
a
2
2
2
222

theo tính chất 2 tam giác đồng dạng SBD và SBD

2
2222
2
22
''
2
2''
h
aha
DB
h
ah
SB
SK

BD
DB

Vậy S =

22
222
22
2
ahh
aha

2/ Hình chóp SAB CD có chiều cao là SC với SC.SC = SH.SK( vì tứ giác
HCCK nội tiếp đợc) nên:
SC =
)2(2
2
22
22
ah
ah