Slide bài giảng cấu trúc rời rạc

CẤU TRÚC RỜI RẠC

Discrete Mathematics

1


CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÔGIC
① Mệnh đề
② Biểu thức logic (Dạng mệnh đề)

③ Qui tắc suy diễn
④ Vị từ, lượng từ

⑤ Quy nạp toán học
2


1. Mệnh đề
Định nghĩa: Mệnh đề là một khẳng định/phát
biểu có giá trị chân lý xác định; đúng hoặc sai.
Câu hỏi, câu cảm thán, mệnh lệnh… khơng là
mệnh đề.
Ví dụ:
• 1+7=8
• Hơm nay bạn đẹp q! (khơng là mệnh đề)
• Hôm nay là thứ mấy? (không là mệnh đề)
3


Mệnh đề

• Ký hiệu: Người ta dùng các ký hiệu P, Q, R…

(p,q,r,…) để chỉ mệnh đề.
• Chân trị của mệnh đề: Một mệnh đề chỉ có
thể đúng hoặc sai, không thể đồng thời vừa
đúng vừa sai. Khi mệnh đề P đúng ta nói P
có chân trị đúng, ngược lại ta nói P có chân
trị sai.
• Chân trị đúng và chân trị sai sẽ được ký hiệu
lần lượt là 1 (hay Đ,T) và 0 (hay S,F)
4


Mệnh đề
Phân loại: Gồm 2 loại
• Mệnh đề sơ cấp (nguyên thủy): Là mệnh đề
không thể xây dựng từ các mệnh đề khác
thơng qua liên từ hoặc trạng từ “khơng”
• Mệnh đề phức hợp: là mệnh đề được xây
dựng từ các mệnh đề khác nhờ liên kết bằng
các liên từ (và, hay, khi và chỉ khi,…) hoặc
trạng từ “không”

5


Mệnh đề
Ví dụ:
• 2 là số ngun tố.
• 2 khơng là số nguyên tố.

• 2 là số nguyên tố và là số lẻ.
• An đang xem ti vi hay đang học bài.

6


Mệnh đề
Các phép tốn: có 5 phép tốn cơ bản
1. Phép phủ định: Phủ định của mệnh đề P là
một mệnh đề, ký hiệu là P hay P (đọc là
“không” P hay “phủ định của” P) có giá trị
ngược lại với P.
P
P
0
1
Bảng chân trị :
1
0
Ví dụ:
• 2 là số ngun tố.
Phủ định: 2 khơng là số ngun tố
• n > 5 có phủ định: n ≤ 5

7


Mệnh đề
2. Phép hội (nối liền, giao): của hai mệnh đề P, Q

là một mệnh đề, kí hiệu P  Q (đọc là “P và Q) và
có bảng chân trị ở hình bên.
Nhận xét: PQ đúng khi và chỉ khi P và Q đồng
thời đúng.
P
Q PQ
Ví dụ:
0
0
0
0
1
0
• P: “Hơm nay là chủ nhật”
1
0
0
• Q: “Hơm nay trời mưa”
1
1
1
• P  Q: “Hôm nay là chủ nhật và trời mưa”

8


Mệnh đề
3. Phép tuyển (nối rời, hợp): của hai mệnh đề P,

Q là một mệnh đề, kí hiệu P  Q (đọc là “P hay

Q”). Bảng chân trị:
P
Q PQ
0
0
1
1

0
1
0
1

Nhận xét:
P  Q sai khi và chỉ khi P và Q đồng thời sai.
Ví dụ:
• e > 4 hay e > 5 (S)
• 2 là số nguyên tố hay là số lẻ (Đ)

0
1
1
1

9


Mệnh đề
4. Phép kéo theo: Mệnh đề P kéo theo mệnh đề

Q là một mệnh đề, kí hiệu P → Q (đọc là “P kéo
theo Q” hay “Nếu P thì Q” hay “P là điều kiện đủ
của Q” hay “Q là điều kiện cần của P”).
Bảng chân trị:
P
Q
P→Q
0
0
1
NX: P → Q sai khi và chỉ
0
1
1
khi P đúng mà Q sai.
1
0
0
1
1
1
Ví dụ:
e >4 kéo theo 5>6

10


Mệnh đề
5. Phép kéo theo hai chiều (phép tương đương):

Mệnh đề P kéo theo mệnh đề Q và ngược lại
(mệnh đề P tương đương với mệnh đề Q) là một
mệnh đề, ký hiệu P  Q (đọc là “P nếu và chỉ nếu
Q” hay “P khi và chỉ khi Q” hay “P là điều kiện cần
và đủ của Q”).
P
Q PQ
Bảng chân trị:
NX: P  Q đúng khi và chỉ
0
0
1
0
1
0
khi P và Q có cùng chân trị
1
0
0
1
1
1
Ví dụ: 6 chia hết cho 3 khi
và chỉ khi 6 chia hết cho 2
11


2. Biểu thức logic (Dạng mệnh đề)
Định nghĩa: Biểu thức logic được cấu tạo từ:
- Các mệnh đề (các hằng mệnh đề)

- Các biến mệnh đề p, q, r, …, tức là các biến
lấy giá trị là các mệnh đề nào đó
- Các phép tốn logic , , , →,  và dấu
đóng mở ngoặc () để chỉ rõ thứ tự thực hiện của
các phép tốn.
Ví dụ:
E(p,q) = (p  q)
F(p,q,r) = (p  q) → (q  r)

12


Biểu thức logic
Độ ưu tiên của các toán tử logic:
- Ưu tiên mức 1: ()
- Ưu tiên mức 2: 
- Ưu tiên mức 3: , 
- Ưu tiên mức 4: →, 
Bảng chân trị của một biểu thức logic: là bảng liệt
kê chân trị của biểu thức logic theo các trường hợp
về chân trị của tất cả các biến mệnh đề trong biểu
thức logic hay theo các bộ giá trị của bộ biến mệnh
đề.
13


Biểu thức logic
Bảng chân trị của một biểu thức logic.
Ví dụ:
Với một biến mệnh đề, ta có hai trường hợp là 0

hoặc 1.
Với hai biến mệnh đề p,q ta có bốn trường hợp
chân trị của bộ biến (p,q) là các bộ giá trị (0,0),
(0,1), (1,0) và (1,1).
NX: Trong trường hợp tổng qt, nếu có n biến
mệnh đề thì ta có 2n trường hợp chân trị cho bộ n
biến.
14


Biểu thức logic
Ví dụ: Cho E(p,q,r) =(p  q) → r .
Ta có bảng chân trị sau:
p

q

r

pq

(p  q) → r

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1
15


Bài tập 1: Cho các mệnh đề tham biến P: x<0 và
Q: y>0. Hoàn thành bảng chân trị dưới đây:
x

y

-1

-1

-1

1

1

-1

1

1

0

0

P(x<0)

Q(y>0)

P ∨Q

P∧Q

P →Q

P → Q

16


Bài tập 2: Viết biểu thức logic mệnh đề cho các mô tả
dưới đây:
1. Điều kiện để tháng (m) là dữ liệu hợp lệ
2. Điều kiện để tháng m có 30 ngày

3. Điều kiện để tháng 2 có 29 ngày
4. Điều kiện để A, B, C là các góc của một tam giác
5. Điều kiện để A, B, C là các góc của một tam giác vng
6. Điều kiện để A, B, C là các góc của một tam giác cân
7. Điều kiện để A, B, C là các góc của một tam giác đều.
8. Điều kiện để học sinh A xét điểm theo tổ hợp A0 đậu vào
khoa CNTT IUH năm 2019
9. Điều kiện để bạn được nhận học bổng 100% trong học
kỳ 1 năm học 2020-2021.
10. Điều kiện tiếng Anh để bạn được đăng ký học phần
năm 3.
17


Bài tập 3: Hàm eq(X,Y) trả về 1 khi giá trị của X và Y là như
nhau, trả về 0 trong các trường hợp còn lại. Biểu thức nào dưới
đây là điều kiện cần và đủ để nhận về 1 khi hàm eq(eq(A,B),
eq(B,C)) được gọi?
a) (A=B và B=C) hoặc (A#B và B#C)
b) (A=B và B=C) hoặc (A#B hoặc B#C)
c) (A=B và B=C) hoặc (A=C)
d) (A=B hoặc B=C) hoặc (A=C)

18


Biểu thức logic
Tương đương logic: Hai biểu thức logic E và F
theo các biến mệnh đề nào đó được gọi là tương
đương logic nếu chúng có cùng bảng chân trị.

Ký hiệu: E  F (E tương đương với F).
Ví dụ: (p  q)  p  q
Biểu thức logic E được gọi là hằng đúng nếu chân
trị của E luôn bằng 1(đúng) trong mọi trường hợp
về chân trị của các biến mệnh đề có trong E. Nói
cách khác, E là hằng đúng khi ta có E  1.
19


Biểu thức logic
Tương tự, E là một hằng sai khi ta có E  0.
Ví dụ: E(p,q) = p  p là hằng sai.
F(p,q) =(p→q)  (p  q) là hằng đúng.
Định lý: Hai biểu thức logic E và F tương đương
với nhau khi và chỉ khi E  F là hằng đúng.
Ví dụ: (p→q)  (p  q)
Hệ quả logic: F được gọi là hệ quả logic của E
nếu E → F là hằng đúng.
Ký hiệu: E  F
Ví dụ: (p  q)  p
20


Các luật logic
1. Phủ định của phủ định: p  p
2. Qui tắc De Morgan:  (p  q)   p   q

 (p  q)   p   q
3. Luật giao hoán:
pqqp

pqqp
4. Luật kết hợp: (p  q)  r  p  (q  r)
(p  q)  r  p  (q  r)

21


Các luật logic
5. Luật phân phối: p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
6. Luật lũy đẳng:
ppp
ppp
7. Luật trung hòa:
p0p
p1p
8. Luật về phần tử bù: p  p  0
p  p  1
22


Các luật logic
p00
p11
10. Luật hấp thu:
p  (p  q)  p
p  (p  q)  p
11. Luật về phép kéo theo: p → q  p  q
q→p

Ví dụ: Cho p, q, r là các biến mệnh đề. Chứng
minh rằng: (p → r)  (q → r)  (p → q) → r
9. Luật thống trị:

23


Các luật logic
VD: Dùng bảng chân trị chứng minh
qui tắc De Morgan
Qui tắc De Morgan:  (p  q)   p   q
 (p  q)   p   q

24


Các luật logic
Ví dụ: Cho p, q, r là các biến mệnh đề. Chứng
minh rằng: (p → r)  (q → r)  (p → q) → r .
Giải:
(







p → r)  (q → r)
( p  r )  ( q  r)

(pq)r
( p  q )  r
( p → q )  r
(p → q ) → r
25