Các chuyên đề học tập toán 8 phần hình học

T GIC

3600

op
$ ằ







ĂÂÊÔƠƯ
Đăâêôơ
đ
àảÃá
ạằẳẵ
Túm tt lý
thuyt
1. T giỏc
D

B

B

A


C

A
A

C

A
B
D
a

D

b

c

C

B

C

D
d

5888 Định nghĩa: Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB , BC , CD , DA trong đó bất kỳ 2
đoạn
thẳng nào cũng khơng cùng nằm trên 1 đường thẳng Ta
có hình a), b), c) là tứ giác. Hình d) khơng là tứ giác

b) Tứ giác lồi: Là tứ giác luôn nằm trong 1 nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kỳ
cạnh nào của tứ giác
Ta có: Hình a) là tứ giác lồi. Hình b), c) khơng là tứ giác lồi
23Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà khơng chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi
2. Tổng các góc của 1 tứ giác

D
C

a) Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600
GT
KL

A

Tứ giác ABCD
A+B+C+D=360

B

0

*) Chú ý: Để bốn góc cho trước thỏa mãn là bốn góc của một tứ giác khi bốn góc đó có tổng bằng
23

Bất đẳng thức đường gấp khúc: AB + BC + CD > AD

23 Mở rộng: Tổng bốn góc ngồi ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 3600.
5888 Góc ngồi của tứ giác: Góc kề bù với 1 góc trong của tứ giác gọi là góc ngồi của tứ

giác
B. Bài tập và các dạng tốn
Dạng 1: Tính số đo góc trong hình vẽ của tứ giác
Cách giải
23

Sử dụng định lý tổng bốn góc trong một tứ giác

1


5888

Tổng hai góc kề bù bằng 1800

5889

Tổng ba góc của một tam giác bằng 1800

5890

Trong tam giác vng hai góc nhọn phụ nhau

5891

Kết hợp các kến thức về tỷ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tốn tổng hiệu,…

để tính ra số đo góc.
Bài 1: Tính x trong mỗi hình vẽ sau
B

C

A

P
x

800°

120°

S
65°

110°

Q
x

x
95°

D

R

Lời giải

0

0

360 0 ⇒ 110 + 120 0 + 80 0 + x= 360
0

a) Xét tứ giác ABCD , có:

A+B+C + D =

0

0

⇒ 310 + x = 360 ⇒ x = 50

Vậy x = 500 .
0

0
⇒ x + x + 95 0 +55 0 ⇒ 2 x = 210 ⇒ x = 105

0

+N+P+Q=360

b) Xét tứ giác MNPQ , có: M
Vậy x = 1050 .

Bài 2: Tính x trong mỗi hình vẽ sau

F
M

C

65o

xN

x G

60o

x
Q

P

E

H

D
105o

F
E

Lời giải
= 360 ⇒ 270 + x = 360 ⇒ x = 90

0

Hình a) Ta có:
M+ N +P +
Q

Hình b) Ta có:

0

E +F+G+H =360
CDE

90 0
FCD =

0

⇒ 65 + 1800 + x = 360 ⇒ x = 115 0
0

kề bù với 60 0 nên

Hình c) Ta có:

0

0

0

= 120
CDE

0

0

. DEF

= 75

kề bù với góc 105 nên
DEF

0


2


0

⇒ 90 0 + 120 0 +75 + x = 360 0 ⇒ x = 75
0

Mà FCD + CDE + DEF + x = 360
Bài 3: Tính x trong mỗi hình vẽ sau
C

E
90°

114° x

Hình a

71°

61°

76°

F

.

M

D

71°

0

Q

E

N

96°

x

Hình b

F
120°

x

120°

H

P

Hình c

G

Lời giải
= 360 ⇒ 114 + x + 76 0 +
0

0

Hình a) Ta có:

= 360 0 ⇒ x = 99

0

71

C+D+E+F

360 ⇒ 90
0

Hình b) Ta có:
M + N+P+Q=
kề bù với góc x ⇒ x = 42

Mà P
Hình c) Ta có:

0

120

0

0

0

+71 +P+

0

= 360 0
⇒ P =138

61

0

0

60 0

G kề bù với
nên G =
0
0 ⇒
96 0 + 120 0 + 60 + x = 360 0 ⇒ x = 84
Mà E + F + G + x = 360

0

Bài 4: Góc kề bù với một góc của tứ giác gọi là góc ngồi của tứ giác
23Hãy tính các góc ngồi của tứ giác ở hình a)
24Tính tổng các góc ngồi của tứ giác ở Hình b) (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc
?

A1+B1+C1+D1=

ngồi):

c) Có nhận xét gì về tổng các góc ngồi của tứ giác?
A
B

1

1

120o C

1
B

1
D
1 75o
A

a)

= 180

o

D
1

(hai góc kề bù) nên

1

1

Hình

a

Lời giải
= 90o ,

B+B1
B1
o
o
= 180 (hai góc kề bù) nên
.
A + A1
A1 = 105
o
360
75o .
Ta có: A + B + C + D =
(định lý)⇒ D =

C

C +C1

Hình b

= 180

o

= 60o ,

(hai góc kề bù) nên
C1


3


x + 74 o = 180o

y + 59 o = 180o

y + 111o = 180o

Ta có: D + D1
b) Ta có

= 180o

B+B1

(hai góc kề bù) nên D1 =
= 180 (hai góc kề bù),
= 180 o
o

C +C1

o

bù),

105 o .

(hai góc kề bù), D + D1

(hai góc kề bù)

A+ A1 =180
o

=720o .

⇒ A+A1 +B+B1 +C +C1 +D+D1 =4.180
o

Mà A+B+C +D=360

= 360 o .

(định lý) ⇒ A1 + B1 + C1 + D1

= 180o (hai góc kề

c) Nhận xét: Tổng các góc ngồi của tứ giác bằng tổng các góc trong của tứ giác và bằng
360o.
Bài 5: Tính x , y trong mỗi hình vẽ sau
G

H
x

K

74

y

o

A
AD / /BC

GH/ / IK

59o

111o

y B
50o

x
I

D

Hình a)

C

Hình b)
Lời giải

Hình a) Ta có: GH / /IK , theo tính chất một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song ta
có:
(hai góc trong cùng phía)
23 x = 180 o − 74 o = 106o .
(hai góc trong cùng phía)
23 y = 180o − 59o = 121o .
Hình b) Ta có: AD/ / BC , theo tính chất một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song ta
có:
(hai góc trong cùng phía)
5888 y = 180o − 111o = 69o .
x = 50o (hai góc đồng vị).

Bài 6:

4


0

= 120 0 . Góc ngồi tại

Cho ◊ABCD có B = 80 ,

D

đỉnh C bằng 130

0

. Tính góc A

Lời giải
o
và kề bù với
C ⇒C =50
Ta có góc ngồi tại đỉnh C có số đo bằng 130
o

Ta có: A + B + C + D = 360 (định lý) ⇒ A + 80

0

+ 50 o + 120o = 360o

o

o

⇒ A=110 .

.


5


Dạng 2: Tính các góc của tứ giác khi biết mối quan hệ giữa các góc
Cách giải
- Thay liên hệ giữa các góc vào hệ thức “Tổng 4 góc trong một tứ giác bằng 3600 ”.
- Nếu tứ giác ABCD biết
A : B : C : D = m : n : p : q ( m, n, p , q là các số nguyên dương)
360
C
D
A+B+C+D
= = =
=
(tính chât dãy tỷ số bằng nhau)
m+n+p+q
p q m+n+p+q
0

⇒

A

=B
m n

Từ đó tính được số đo các góc

, ,

,

ABCD

Bài 1:
= 130

Cho ◊ABCD có A
đỉnh C bằng 120

0

0

. Góc ngồi tại

,B=90

D

0

A

. Tính góc D

130°

120°

B

C

Lời giải
= 120

Ta có C 2

0

0

⇒C1 =60
0

⇔ 130 0 + 90 0 + 60 0

Xét ◊ABCD , có A + B + C1 +D=360

0

+D=360

80

0

23 D =

Bài 2:
Cho ◊EFGH có
0

biết

0

= 80 0 . Tính

E=70 , F

G,H

,

G
H

.

F

G−H =20

E

Lời giải

0

Theo đầu bài ta có:
0

Mà G−H =20
Từ (1)(2) ⇒ G

E=70 ; F

0

= 80 0
⇒G+H =360

(2)

= 115

0

0

;H =95

6

0

− 150 = 210

0

(1)


0

Vậy G = 115 ; H

0

= 95

Bài 3:

Cho hình vẽ, hãy tính

M
70°

;

PQ

Q
2x

80°

x

N

P

Lời giải
Áp dụng định lý tổng bốn góc trong 1 tứ giác, ta có :
0

⇔ 150 + 3 x = 360 ⇔ 3 x = 210 ⇔ x = 70
0

0

0

0

0

⇒P=70

M +N+P+Q=360
0

0

;Q =140

0

Vậy P = 70 ;Q =140
Bài 4:
E

Cho ◊ABCD , biết

A:B:C:D =1:2:3:4
a) Tính các góc của ◊ABCD
5888

72°

Chứng minh rằng AB / /CD

c) Gọi giao điểm của
các góc của ∆CDE

D

AD và BC là E . Tính

144°
36°
A

Lời giải
a) Theo đầu bài ta có:
0

= 72

⇒ A=36 ;
B

A

B

=C

=
1 2 3

0

0

=

D

4

=A + B

+C+D

1+2+3+4

0

;C =108 ;D =144
0

b) ⇒ A + D = 180

⇒ AB//CD

0

0

.

c) EDC = 36 ;ECD = 72

7

=

360 0
10

= 360

108°

C

72°
B


Bài 5:
Cho ◊ABCD , biết

D

A:B:C:D = 4:3:2:1
23 Tính các góc của ◊ABCD
24 Các

A

F

tia phân giác của góc C và D cắt nhau

E

tại E. Các đường phân giác của góc ngồi tại
đỉnh

và

C

cắt nhau tại

. Tính

D

;

F

CED CFD

B

C

Lời giải
a) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
1

0
b) Ta có: CED = 180

−

1
D+

2

0

0

A =144 ;B =108 ;C=72 ;D=36

0
= 126

C

2

0

0

Ta có: DE và DF là hai tia phân giác của hai góc kề bù nên vng góc với nhau
0

⇒EDF =ECF =90

0

⇒DFC =54

Bài 6:
0

0

0

Tính các góc của ◊ABCD , biết B = A+15 ;C = B+30 ; D = 2A+10
Lời giải
o
360 (định lý).
Ta có: A + B +C+D=
o

C=B

Mà B= A+15
⇒5A=

290 o

o

+ 30

,

45 o

o

o

=A +

, D = 2A +10 ⇒ A+ A+15

o
o
= 126 o
,
C
=103
D
⇒B=73
,

o

⇒ A=58

o

o

= 360o

+ A+45 + 2A +10

Bài 7:
Cho ◊ABCD , biết

0

0

B = A+15 ;C = 3A;D−C =

25 . Tính các góc của ◊ABCD

Lời giải
o

Ta có: A + B +C+D=
o

Mà B= A+15
o

⇒ A+ A+15

360 (định lý).
25 o

,
C=3A

;

D−C =
o

25 o
⇒D =C+

= 360 o

+3A+3A+25

o

= 3A+25

+ 40 o = 360 o
⇒8
A

40 o
⇒A=

o

⇒B=55

o

,C =120 , D =145

Bài 8:
0

0

Cho ◊EFGH , biết G = E + 10 ; F =E+30 ; H = 2G . Tính các góc của ◊EFGH

o

.


8


Lời giải
o

(định lý).

Ta có: E + F + G + H = 360
o

o

, F =E+30
60 = 360 o
⇒5E+
⇒E=60

,

o

⇒E+E+30

H =2G=2E+20

Mà G=E+10

o

o

o

o

⇒G

= 70 ,

o

F =90

,

o

o

+E+10 +2E+20

= 360o

o

H=

140 .

Bài 9:
Cho ◊MNPQ , biết

0

P=Q+5 ; = Q +
M

Lời giải
Ta có:

45 0

0

; =2Q−40
N

. Tính các góc của ◊MNPQ

360o (định lý).

M+ +P +Q=
N
o

o
o

45o ,o
45 o
= 360o
P=Q+5 , M = Q +
N =2Q−40 ⇒ Q +
+2Q−40 +Q+5 + Q
o
o
o
o
= 75 ,
= 115
100o .
10 = 360
M
⇒5Q+
⇒Q=70 ⇒ P
,N=

Mà

o

Bài 10:
0

Cho ◊ABCD , có

A=70 ;
B

Lời giải
Ta có: o

= 80 0

0

;C−D

= 20 . Tính các góc

C;D

(định lý).

A + B +C+D=360
o o
,
= 20 o
Mà
B=80 , −
⇒C =D+20
A=70
C D
o
o
= 360 o
95 o
⇒ 2D +170

⇒D=
⇒C =115 .

o

⇒ 70 o +80

o

o

+D+20

o

+D=360

Bài 11:
Cho ◊ABCD , biết

B+C =

200

0

;B+D=

180 0

0

;C + D =120

. Tính số đo các góc của tứ giác ◊ABCD

Lời giải
0

Từ giả thiết ta có: 2B + 2C +2D=200
Vì: 0
0

A+B+C +D=360 ⇒ A =110
250 0
= 250 0− 1200 =130 0

B=

−
C

200
C=

(

)

+D

0

0

−130 0 = 700

0

−70 0 = 50 0

−B=200
120

D=

0

+ 180 0 +120 0

0

−C =120

⇒ B+C +D=250


9

Dạng 3: Tính độ dài các cạnh của tứ giác

27cm

Cách giải: Ta sử dụng các kiến thức sau
5888 Sử dụng định lý pytago
5889 Sử dụng cơng thức tính chu vi của tam giác, tứ giác
Bài 1:
Tính độ dài các cạnh a , b , c , d của một tứ giác có chu vi bằng 76cm và a : b : c : d = 2 : 5 : 4 : 8
Lời giải
Theo đầu bài ta có: a : b : c : d = 2 : 5 : 4 : 8 ⇒ a =b =c =d =a + b + c + d =76 = 4
2

5

4 8 2+5+4+8 19

⇒ a = 8; b = 20; c = 16; d = 32 .

Bài 2:
Cho hình vẽ, biết ∆ABC có chu vi bằng 25cm
. Tam giác ADC có chu vi bằng

A

. Tứ

D

giác ABCD có chu vi bằng 32cm . Tính AC

B
C

Lời giải
Chu vi ∆ABC = 25 ⇒ AB + BC + CA = 25(1)
Chu vi ∆ADC = 27 ⇒ AD + DC + CA = 27(2)


Từ (1)(2) ⇒ AB + BC + CA + AD + DC + CA = 52 ⇔ 32 + 2 AC = 52 ⇒ AC = 10( cm)

10


Dạng 4: Dạng tốn chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng
nhau, song song, vng góc, hoặc trung điểm của các đoạn thẳng
Cách giải: Ta cần chú ý tới các kiến thức sau
23

Dựa vào các cặp góc đồng vị, so le trong, trong cùng phía, …

24

Hai góc phụ nhau có tổng số đo bằng 900

25

Đơi khi có thể chia tứ giác thành các tam giác để sủ dụng bất đẳng thức tam giác.
Bài 1:
0

Cho ◊ABCD có
trong của
của

, phân giác

BAD = BCD = 90

A

ABC cắt AD tại E . Phân giác trong
cắt BC tại F .
Chứng minh

α

ADC
BE / /DF

1 E

B

D
β

C

Lời giải
+) Ta có:

ABC + ADC =

180 0 ⇒α+β =90
= 900

+) Xét ∆ABE , có α + E1

0

(1 )

(2)

⇒BE//DF

Từ (1)(2) ⇒ β = E1
Bài 2:
Cho ◊ABCD có

0

ABC + BAD = 180

trong của các góc

. Phân giác

A
B

cắt nhau tại E ,
BCD,CAD

biết

CD=2DE.

Chứng

M

minh rằng

5888
DEC

ADC = 2BCD

Lời giải
Theo đầu bài ta có:
0

ABC + BAD = 180 ⇒C+D=180

0

⇒ C1 + D1

= 90

0

0

⇒DEC =90

11

1


Gọi M là trung điểm của CD⇒EM =MC=MD=
= 60 0
⇒ D1

CD ⇒ ∆DEM đều
2

= 30 0
⇒ C1

⇒D=2C.

Bài 3:
0

Cho ◊ABCD có

;DA=DC.

BAD + BCD =180
Chứng minh rằng BD là phân giác của
ABC

B

C
1
2

A

1
1

E

Lời giải

Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho
⇒ ∆BCD = ∆EAD (cgc) ⇒

Từ (1)(2)

B=E1

DB=DE

(1) ⇒ ∆BED

1

⇒ B1 =B2.

D


(2)

cân tại

AE=BC

D⇒E1 = B2

Bài 4:
Cho ◊ABCD có

BD là phân giác của

AD=CD,AB< AC.

Chứng

ABC

E

,

C

B
1 2

minh rằng

0

BAD + BCD =180
1

D

A

Lời giải
Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA = BE
(1)
A

1

= E1

∆BED = ∆BAD ( cgc) ⇒ AD = ED ⇒ ED = CD ⇒ ∆EDC cân tại D ⇒ E2

CD =

= C1

AD

= 1800 .

Từ (1)(2) A1 + C1 = E1 + E2

12

(2) .


Bài 5:
Cho

E

◊ABCD , biết A :B:C : D = 5:8:13:10

1

a) Tính các góc của ◊ABCD
B

b) AB ∩ CD = E ; AD ∩ BC = F . Phân giác của
cắt nhau tại O , phân giác của

2
1

C

O

N

AED và AFB
cắt CD và AB tại M và N . Chứng
AFB

minh rằng O là trung điểm của MN
A

Lời giải
a) Ta tính được

A=

50

0

0

= 130 0

0

;B=80 ; C
;D =100

0
0
0
= 180
= 50
= 180
= 75
− −B
; EMN
b) E = 180 − A−D;F
− F1 − B1
A
0
0
= 180 − 75 − 30 = 75
ENM
⇒ ∆EMN cân tại E ⇒ OM = ON ⇒ đpcm
0

0

0

13

0

D

F

Dạng 5 : Một số bài tốn chứng minh, tính số đo góc lien quan đến phân giác
của một góc trong tứ giác
Ta chú ý :
0 Tia phân giác của một góc sẽ chia góc thành hai góc bằng nhau.
1 Tia phân giác trong và phân giác ngoài của một góc sẽ vng góc với nhau.
Bài 1:
0

Cho tứ giác lồi ◊ABCD , có

A

B+D=180
CB = CD . Chứng minh AC là tia phân giác

D

của

BAD

B

C

I

Lời giải

0 Trên tia đối tia BA lấy điểm I sao cho BI = AD

Ta có:

(cùng phụ với

ADC = IBC
;

)

ABC

;

AD=BI CD=BC⇒∆ADC=∆IBC⇒DAC=BIC AC=IC
∆ACI cân tại C ⇒ BAC = BIC = DAC . Vậy AC là phân giác trong góc BAD .

Bài 2:
Cho tứ giác ◊ABCD , các tia phân giác của góc

0

B

N

0 và B cắt nhau tại M . Các tia phân giác
góc C và D cắt nhau tại N . Chứng minh
D

rằng: AMB + CND = 1800

M
C

Lời giải
Xét

có

180o ∆CND
DCN =

CND + CDN +

(định lý).

Xét

có

180o ∆AMB AMB + ABM +
BAM =

(định lý).

14

Do đó: CND + CDN + DCN + AMB + ABM + BAM =

360 o

B

Mà ABM = 2
BAM =

(vìa BM là tia phân giác của B )

A

2

C

D

(vìa AM là tia phân giác của A ), DCN = 2 (vì CN là tia phân giác của C ), CDN = 2

(vì DN là tia phân giác của
D C

⇒CND+ AMB+ 2

B

+ 2+

+

2

D ).
A

2

o
o
= 360 ⇒CND+ AMB= 360 −

= 360 o (định lý)

Mà trong tứ giác ABCD có
A+ B + C + D

+D

A+B+C

2
o

⇒ CND + AMB =180

(đpcm).

Bài 3:

F

Cho tứ giác lồi ABCD , hai cạnh AD và BC
cắt nhau tại E , hai cạnh DC và AB cắt nhau
A

tại F . Kẻ tia phân giác của hai góc CDE và
BFC cắt nhau tại

D

I . Tính góc EIF theo các
I

góc trong ABCD
B

E
K

C

Lời giải
FI cắt BC tại K ⇒ K ∈ đoạn

= B+BFK + IEK (CKF
BFC = 180
AEB = 180

0

0

−

(B+C)

là góc ngồi của ∆IKE )

BC ⇒ EIF = EKI + IEK ( EIF
là góc ngồi của ∆FBK )
0

⇒BFK =90

−

(A+B)⇒ IEK =

−

90 0 −

B+C

2
A+B

2

0
B+C
B +A
0
A+C
B+D
Vậy EIF = B+90 − 2 + 90 − 2 = 180 − 2 = 2
Bài 4:
0

Cho tứ giác ABCD , có

E

AC là tia phân giác

A

của A, BC = CD , AB < CD
15

D


B

C