Chuyên đề : Các bài toán Cực trị Hình học 8

Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC LỚP 8
I.TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC LÀ GÌ?
Đó là những bài toán có dạng sau:
Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một đại lượng hình học y (độ dài của một
đoạn thẳng, tổng của hai hay nhiều đoạn thẳng, độ lớn của một góc, chu vi của một
hình, diện tích của một hình v.v...) sao cho:
y
1
≤ y ≤ y
2
Trong đó y
1
, y
2
là các giá trị cố định hoặc không thay đổi của y, đồng thời phải chỉ
rõ vị trí hình học của y (hoặc hình có chứa y) để tại đó y đạt giá trị cực tiểu y = y
1
hoặc cực đại y = y
2
.
II. ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC
Căn cứ vào đầu bài, người ta thường giải toán cực trị trong hình học theo ba cách
sau đây:
• Cách 1:
Vẽ một hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điều kiện
của đại lượng đó bằng các điều kiện tương đương (có khi phải chọn một đại lượng
nào đó trong hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với các đại lượng
khác trong hình, những đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn, nhưng cũng có thể
do ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán. Biểu thị ẩn số theo
các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến đổi tương đương biểu thức

vừa tìm được để cuối cùng xác định được giá trị của đại lượng cần tìm từ đó suy ra
vị trí của hình để đạt cực trị).
Người ta thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng: "Tìm một hình nào
đó thỏa mãn các điều kiện cực trị của bài toán"
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong tam giác có cùng đáy và cùng
diện tích, tam giác nào có chu vi nhỏ nhất?
Giải (h.1)
Xét các tam giác có chung đáy là BC = a và có
cùng diện tích là S. Gọi AH là đường cao
tương ứng với đáy BC. Ta có:
a
S2
AHBC.AH
2
1
S
=⇒=
(không đổi)
Vậy đỉnh A di động trên đường thẳng xy // BC và cách BC một khoảng bằng
a
S2
.
Ta cần xác định vị trí của A trên xy để chu vi ∆ABC có giá trị nhỏ nhất.
1
B'
y
C
B
A

o
x
(h.1)
A
H
Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
Chu vi ∆ABC = AB + BC + CA = AB + AC + a, vì a không đổi nên chu vi ∆ABC
nhỏ nhất khi và chỉ khi AB + AC nhỏ nhất.
Gọi B' là điểm đối xứng của B qua x, y; B'C cắt xy tại A
o
. Xét ∆AB'C ta có:
AB' + AC ≥ B'C (1)
Thay AB' = AB; A
o
B' = A
o
B vào (1)
AB + AC ≥ A
o
B + A
o
C (2)
(2) có dấu "=" khi và chỉ khi B', A, C thẳng hàng. Khi đó A ≡ A
o
. Vì A
o
B = A
o
B' =
A

o
C nên ∆A
o
BC cân tại A
o
.
Vậy trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏ
nhất.
Ví dụ 2: Cho ∆ABC có các góc B và C nhọn, BC = a, đường cao AH = h. Xét các
hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác có M ∈ AB; N ∈ AC; P, Q ∈ BC. Xác
định vị trí của hình chữ nhật MNPQ để nó có diện tích lớn nhất.
Giải:
Vị trí của hình chữ nhật MNPQ sẽ được hoàn toàn xác định nếu ta xác định được vị
trí của MN.
Đặt MQ = x; MN = y ⇒ AK = h - x
∆AMN ∆ABC
⇒
AH
AK
BC
MN
=

h
)xh(a
y
h
xh
a
y

−
=⇒
−
=
Gọi S là diện tích hình chữ nhật MNPQ thì:
S = xy =
h
a
x (h - x) (*) (h2)
S =
h
a
(hx - x
2
) =
h
a
(hx - x
2
+
)
4
h
4
h
22
−
=
h
a







+−−
)
4
h
2
h
.x2x(
4
h
2
2
2
=
h
a






−−
2
2

)
2
h
x(
4
h
=
4
ah
)
2
h
x(
h
a
4
ah
2
≤−−

dấu "=" xảy ra khi x -
2
h
x0
2
h
=⇔=
khi đó K là trung điểm của AH hay MN là
đường trung bình của ∆ABC.
Vậy max S =

2
h
x
4
ah
=⇔
Chú ý: Ta có thể giải cách khác bằng cách áp dụng hệ quả của bất đẳng thức
Cauchy. Từ (*) ta nhận thấy: a, h đều là các hằng số dương nên S lớn nhất khi và chỉ
khi x(h - x) lớn nhất. Do x > 0, x < h ⇒ h - x > 0; hai số dương x và h - x có tổng là
h không đổi nên tích x(h - x) sẽ lớn nhất khi và chỉ khi: x = h - x ⇔ x =
2
h
.
• Cách 2:
2
S
M
A
N
P
C
HQ
K
y
B
x
h
H
A
x

E
a - x
B
a - y
F
y
C
G
D
(h.4)
Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
Đưa ra một hình (theo yêu cầu đầu bài) rồi chứng minh mọi hình khác có chứa yếu
tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứng trong hình đã đưa
ra.
Người ta thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị đã
được nói rõ trong đầu bài.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam
giác cân có chu vi nhỏ nhất.
Giải:
Đây là bài toán ta đã đề cập trong ví dụ 1, nhưng ở đây đầu bài đã nói rõ hình ta
phải chứng minh là một tam giác cân, nên ta đưa ra một tam giác cân A
o
BC (h.1),
rồi xét một tam giác không cân ABC có cùng đáy BC, đỉnh A chạy trên đường thẳng
xy // BC, ta chỉ việc chứng minh chu vi ∆ABC ≥ chu vi ∆A
o
BC tức là AB + AC ≥
A
o
B + A

o
C như đã trình bày trong cách giải của ví dụ 1.
• Cách 3:
Thay việc tìm cực đại của một đại lượng này bằng việc tìm cực tiểu của một đại
lượng khác hoặc ngược lại.
Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Xét các hình thang có 4 đỉnh ở trên 4 cạnh
của hình vuông và hai đáy song song với một đường chéo của hình vuông. Tìm hình
thang có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất ấy.
Giải:
Gọi EFGH là hình thang có các đỉnh
nằm trên các cạnh hình vuông và hai
đáy FG; EH song song với đường chéo
BD của hình vuông.
Đặt AE = x ⇒ EB = a - x
CF = y ⇒ FB = a - y
Dễ thấy ∆DHG = ∆BEF(c-g-c)
Các tam giác EAH, FCG vuông cân tại
A và C
Gọi S là hiệu của diện tích hình vuông và
diện tích hình thang EFGH thì:
S = S
AEH
+ S
CFG
+ S
BEF
+ S
DHG
= S
AEH

+ S
CFG
+ 2S
BEF
=
BE.BFFC
2
1
AE
2
1
22
++
=
)ya)(xa(
2
y
2
x
22
−−++
=
2
a2)yx(a2xy2yx
222
++−++
=
[ ]
22
a2)yx(a2)yx(

2
1
++−+
=
[ ]
22
a)ayx(
2
1
+−+
S
EFGH
lớn nhất khi và chỉ khi S lấy giá trị nhỏ nhất.
3
Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
Điều này xảy ra khi x + y - a = 0 ⇔ x + y = a ⇒ x = a - y hay AE = BF; khi đó các
đường chéo EG và HF song song với các cạnh của hình vuông và diện tích lớn nhất
của hình thang phải tìm là
2
a
2
.
* Chú ý quan trọng:
1. Có trường hợp để tìm cực trị của một đại lượng A, ta chia A thành tổng của nhiều
đại lượng khác: A = B + C + ... rồi đi tìm cực trị của B và C... từ đó suy ra cực trị
của A, ta cần chứng minh: Khi B đạt cực trị thì C cũng đồng thời đạt cực trị và
ngược lại.
Ví dụ 5: Qua đỉnh A của tam giác ABC, dựng đường thẳng d sao cho tổng khoảng
cách từ các đỉnh B và C tới d là lớn nhất.
(Thi vô địch toán cấp II, CHLB Nga)

Giải:
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp I (h.6): d cắt cạnh BC tại E
Gọi BB' và CC' là các khoảng cách từ các đỉnh
B và C tới d. Hai tam giác ABE và ACE có
chung đáy AE và các đường cao tương ứng với
đáy đó là BB' và CC'. Ta có:
S
ABC
= S
ABE
+ S
ACE

=
AE
S2
'CC'BB'CC.AE
2
1
'BB.AE
2
1
ABC
=+⇒+
Ta thấy BB' + CC' nhận giá trị lớn nhất khi AE nhận giá trị nhỏ nhất, khi đó AE là
đường cao kẻ từ đỉnh A của ∆ABC, tức là d ⊥ BC. Nếu gọi AH là độ dài đường cao
kẻ từ đỉnh A thì min (AE) = AH, do đó:
BC
AH

)BC.AH
2
1
(2
'CC'BB
==+
(1)
Trường hợp II (h.7): Đường thẳng d không cắt BC
Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ MM' ⊥ d. Tứ
giác BB'C'C là hình thang nhận MM' làm đường
trung bình nên: BB' + CC' = 2MM'
mà MM' ≤ AM (đường vuông góc và đường
xiên kẻ từ M tới d) do đó BB' + CC' lớn nhất khi
M' ≡ A lúc đó BB' + CC' = 2AM và d ⊥ AM tại
A (2)
Như vậy, ứng với 2 trường hợp ta được 2 kết quả (1) và (2), do đó ta hãy so sánh
BC với 2AM.
1. Nếu
∧
A
< 90
0
(h.8)
4
B E
C'
d
C
B'
A

(h.6)
A
B'
B
M
C
d
C'
M'
//
(h.7)
//
Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
Kéo dài AM một đoạn MN = MA. Tứ giác ABNC là hình bình hành vì có hai đường
chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra AB=CN;
∧∧
−=
A180ACN
0
mà
00
90ACN90A
>⇒<
∧∧
hay
∧∧
>
CABACN
Xét hai tam giác BAC và NCA chúng có:
AB = CN, AC chung,

∧∧
>
CABACN
nên cạnh đối
diện với góc CAB nhỏ hơn cạnh đối diện với góc
ACN : BC < AN hay BC < 2AM.
2. Nếu
0
90A
=
∧
: Tứ giác ABNC là hình bình hành có một góc vuông nên là hình
chữ nhật nên hai đường chéo BC và AN bằng nhau hay BC = 2AM.
3. Nếu
0
90A
>
∧
: Chứng minh tương tự ta được: BC > 2AM
Từ kết quả trên ta suy ra:
- Nếu tam giác ABC cho trước có
0
90A
<
∧
thì đường thẳng d đi qua A phải dựng là
đường thẳng vuông góc với trung tuyến AM của ∆ABC.
- Nếu
0
90A

=
∧
bài toán có hai lời giải: Dựng đường thẳng d qua A và vuông góc
với AM hoặc d' qua A và vuông góc với BC.
- Nếu
0
90A
>
∧
: Đường thẳng d qua A và vuông góc với BC.
III. CÁCH VẬN DỤNG CÁC KIẾN THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ
1. BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có:
AB + AC ≥ BC
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn BC
Ví dụ 1: Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có
bờ là xy.
a. Tìm điểm M thuộc xy sao cho MA + MB là nhỏ nhất
b. Tìm điểm N thuộc xy sao cho
NBNA
−
là lớn nhất.
Giải:
a. (Hình 1). Gọi A' là điểm đối xứng của A qua
xy thì Á hoàn toàn xác định.
Xét tổng MA + MB = MA' + MB
Nối A' với B và áp dụng bất đẳng thức tam
giác cho 3 điểm A', M, B ta có:
MA' + MB ≥ A'B
dấu "=" xảy ra khi M ∈ A'B khi đó M ≡ M

o

Vậy min (MA + MB) = A'B
⇔ M ≡ M
o

5
y
B
N
A
x
N
o
(h.2)
(h.8)
A
B
C
N
B
A
M
M
o
A'
x y
(h.1)