Phát triển phương pháp phần tử hữu hạn trơn cho phần tử vỏ khối dùng phân tích kết cấu vỏ

TĨM TẮT
Điển hình khi phân tích kết cấu tấm/vỏ bằng phần tử vỏ khối tứ giác 8 nút sẽ
xảy ra hiện tượng khóa cắt và khóa hình thang do sử dụng hàm xấp xỉ chuyển vị
dạng C0. Để khắc phục các hiện tượng khóa này, biến dạng cắt và biến dạng
thẳng theo phương chiều dày được xấp xỉ lại thông qua giá trị biến dạng tại các
điểm buộc được xác định trước. Trong nghiên cứu này, ngồi việc khử khóa cắt
và khóa hình thang, phần tử vỏ khối tứ giác 8 nút, gọi là S8-1CS+, S8-2CS+, S83CS+, S8-4CS+, còn được xấp xỉ biến dạng uốn dựa trên kỹ thuật của Choi và
cộng sự thông qua các điểm buộc và kết hợp kỹ thuật làm trơn cho biến dạng
màng trên phần tử bằng kỹ thuật CS-FEM. Phân tích tĩnh của một số bài tốn
tấm/vỏ điển hình được trình bày. Kết quả số cho thấy, khi sử dụng cùng số lưới
chia, S8-1CS+, S8-2CS+, S8-3CS+, S8-4CS+ cho kết quả chuyển vị tốt hơn so
với kết quả cho bởi các loại phần tử vỏ tứ giác và tam giác khác.

iv


ABSTRACT
Analyses of plate/shell structures by using 8-node quadrilateral solid-shell
elements often occur the phenoma of shear and trapezoidal lockings due to the
C0-type displacement approximation. To overcome these locking phenomena, the
bending strains and normal strain in the thickness direction are separately
interpolated from values of these strains at pre-defined typing points. In this
research, besides removing the bending and trapezoidal lockings, the present 8node quadrilateral solid-shell elements, namely S8_1CS+, S8_2CS+, S8_3CS+,
S8_4CS+, are also approximated the beding strains based on the technique of
Choi et al., and combined with the cell based (CS) smoothed FEM technique for
the membrane. Static analyses of some benchmark plate/shell structures are
presented. Numerical results show that when using the same number of elements,
the S8_1CS+, S8_2CS+, S8_3CS+, S8_4CS+ elements can give better
displacements than those provided by other quadrilateral and triangular shell
elements.

v


MỤC LỤC
Trang tựa

Trang

Quyết định giao đề tài
Biên bản hội đồng
Phiếu nhận xét phản biện PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
Phiếu nhận xét phản biện PGS.TS Nguyễn Văn Hiếu
Lý lịch khoa học ...................................................................................................... i
Lời cam đoan .......................................................................................................... ii
Lời cảm ơn ............................................................................................................iii
Tóm tắt .................................................................................................................. iv
Abstract .................................................................................................................. v
Mục lục .................................................................................................................. vi
Danh sách các ký hiệu .........................................................................................viii
Danh mục bảng ..................................................................................................... xi
Danh mục hình ảnh .............................................................................................xiii
Chương 1 ................................................................................................................ 1
TỔNG QUAN ........................................................................................................ 1
1.1. Tổng quan chung về lĩnh vực nghiên cứu, các kết quả trong nước và ngoài
nước đã công bố ................................................................................................. 1
1.1.1. Giới thiệu.............................................................................................. 1
1.1.2 Tổng quan tình hình nghiên cứu ........................................................... 3
1.1.2.1 Tình hình nghiên cứu trong nước ....................................................... 3
1.1.2.2 Tình hình nghiên cứu ngồi nước ...................................................... 4
1.2 Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 5

1.3 Nhiệm vụ của đề tài và giới hạn đề tài ......................................................... 6
1.4 Phương pháp nghiên cứu .............................................................................. 6
Chương 2 ................................................................................................................ 8
ỨNG XỬ TRONG PHẦN TỬ VỎ KHỐI ............................................................. 8
2.1. Giả thiết ....................................................................................................... 8
2.2 Bậc tự do của phần tử vỏ khối.................................................................... 10
2.3 Ứng suất và biến dạng của phần tử vỏ khối ............................................... 10
2.4 Năng lượng phần tử vỏ khối ...................................................................... 11
Chương 3 .............................................................................................................. 12
vi


CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO PHẦN TỬ VỎ KHỐI TỨ GIÁC 8
NÚT ...................................................................................................................... 12
3.1 Xấp xỉ hình học và chuyển vị ..................................................................... 12
3.2 Quan hệ giữa biến dạng-chuyển vị............................................................. 15
3.3 Công thức phần tử hữu hạn cho phần tử vỏ khối ....................................... 17
3.3.1 Công thức phần tử hữu hạn triển khai cho mối quan hệ giữ biến dạng
và chuyển vị ................................................................................................. 17
3.3.2 Kỹ thuật khử khóa cắt ......................................................................... 21
3.3.3 Kỹ thuật khử khóa hình thang ............................................................. 22
3.3.4 Độ cứng phần tử vỏ khối trong hệ tọa độ cục bộ ................................ 22
3.3.5 Độ cứng phần tử vỏ khối trong hệ tọa độ toàn cục ............................. 26
3.4 Độ cứng phần tử S8_1CS+, S8_2CS+, S8_3CS+, S8_4CS+ .................... 27
3.4.1 Kỹ thuật xấp xỉ biến dạng uốn ............................................................ 27
3.4.2 Kỹ thuật làm trơn biến dạng màng trên phần tử (CS-FEM) ............... 30
3.4.3 Ma trận độ cứng phần tử S8_1CS+, S8_2CS+, S8_3CS+, S8_4CS+ 33
3.5 Nội lực trong phần tử vỏ khối .................................................................... 35
Chương 4 .............................................................................................................. 36
VÍ DỤ SỐ ............................................................................................................. 36

4.1 Bài tốn tấm xiên công – xôn chịu lực tập trung ....................................... 36
4.2 Bài tốn tấm xiên góc 300 chịu tựa đơn chịu lực phân bố đều................... 39
4.3 Bài toán tấm ngàm 4 cạnh chịu tải phân bố đều ........................................ 41
4.4 Bài toán tấm ngàm 4 cạnh chịu tải tập trung.............................................. 45
4.4.1 Bài toán tấm vuông ngàm 4 cạnh chịu tải tập trung ........................... 45
4.4.2 Bài toán tấm chữ nhật ngàm 4 cạnh chịu tải tập trung ........................ 48
4.5 Mái vòm ngàm phẳng chịu tải trọng bản thân ........................................... 50
4.6 Vỏ trụ ngàm phẳng chịu tải tập trung ........................................................ 52
4.7 Vỏ bán cầu có lỗ mở .................................................................................. 55
Chương 5 .............................................................................................................. 59
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 59
5.1 Kết luận ...................................................................................................... 59
5.2 Kiến nghị .................................................................................................... 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 61
PHỤ LỤC ............................................................................................................. 64

vii


DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU
 , , 

Hệ trục tọa độ tự nhiên

X , Y, Z

Hệ trục tọa độ toàn cục

x, y, z

Hệ trục tọa độ cục bộ

X, X, XTi , XiB

Véc-tơ vị trí, tọa độ điểm trên mặt trung bình, tọa độ điểm ở
mặt trên, tọa độ điểm mặt dưới của phần tử

R , R

Véc-tơ cơ sở trong hệ trục tự nhiên

Rx , R y , Rz

Véc-tơ cơ sở trong hệ trục cục bộ

u, u, uiB , uiT

Véc-tơ chuyển vị, véc-tơ chuyển vị điểm trên mặt trung bình,
chuyển vị nút ở mặt dưới, chuyển vị nút mặt trên của phần tử

ux , u y , uz

Chuyển vị theo các phương x, y, z của điểm trên mặt trung
bình

x ,  y , z

Các thành phần của véc-tơ chuyển vị theo các phương x, y, z

 Vx ,  Vy ,  Vz

Các thành phần của véc-tơ lực thể tích theo các phương

 xS ,  yS ,  zS

Các thành phần của véc-tơ lực bề mặt theo các phương

H

Ma trận chuyển đổi từ trục cục bộ sang toàn cục

 xx ,  yy ,  zz

Biến dạng thẳng theo các phương x, y, z trong hệ trục cục bộ

 xy ,  xz ,  yz

Biến dạng trượt trong mặt phẳng xy, xz, yz trong hệ trục cục
bộ

 ,  , 

Biến dạng thẳng theo các phương  ,  ,  trong hệ trục tự
nhiên

 ,  , 

Biến dạng trượt trong mặt phẳng  ,  ,  trong hệ trục tự
nhiên

ε m , εb ,  zz , ε q

Biến dạng màng, biến dạng uốn, biến dạng pháp theo chiều
dày, biến dạng cắt
viii



ε
q , εz

Biến dạng cắt và biến dạng pháp theo chiều dày trong hệ tự
nhiên

ε qANS , ε zANS

Biến dạng cắt, biến dạng pháp theo chiều dày khử khóa bằng
kỹ thuật ANS, trong hệ tọa độ cục bộ

b
b
 b , 
,  

Biến dạng uốn sau khi áp dụng kỹ thuật xấp xỉ trong hệ tọa độ
tự nhiên

εb

Biến dạng uốn sau khi áp dụng kỹ thuật xấp xỉ trong hệ tọa độ

cục bộ

εCS
m

Biến dạng màng sau khi áp dụng kỹ thuật làm trơn trên phần
tử trong hệ cục bộ

  ,  

Biến dạng cắt sau khi khử khóa cắt bằng các điểm buộc trong
hệ tọa độ tự nhiên

 

Biến dạng pháp theo phương chiều dày sau khi khử khóa hình
thang trong hệ tọa độ tự nhiên

Bmi , Bbi , B zi , Bqi

Ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong trường
hợp màng, uốn, độ dày, cắt của phần tử

Bqi ,0 , B zi ,0

Ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong trường
hợp cắt, độ dày

Bqi , B zi

Ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị sau khi khử
khóa bằng kỹ thuật ANS trong trường hợp cắt, độ dày

Bmi , Bbi

Ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị sau khi làm trơn
và xấp xỉ của biến dạng màng và biến dạng uốn

q ei

Ma trận chứa các bậc tự do của phần tử

J

Ma trận Jacobi

Q, Q 0

Ma trận chuyển đổi 3 chiều, tại mặt trung bình từ hệ trục tự
nhiên sang cục bộ

Qq, 0 , Q z , 0

Ma trận chuyển đổi tại mặt trung bình từ hệ tự nhiên sang cục
bộ của biến dạng cắt, biến dạng pháp theo chiều dày.

ix


Ni , x , Ni , y

Đạo hàm hàm dạng theo phương x, y trong hệ trục cục bộ

C

Ma trận vật liệu vỏ khối

Cmb , Cz , Cq

Ma trận vật liệu màng, ma trận vật liệu theo chiều dày, ma
trận vật liệu cắt

Dm , Db , Dz , Dq

Ma trận độ cứng vật liệu màng, uốn, chiều dày, cắt của phần
tử

 xx ,  yy ,  zz

Ứng suất pháp theo các phương trong hệ cục bộ

 xy ,  xz ,  yz

Ứng suất tiếp theo các phương trong hệ cục bộ

e

Năng lượng của phần tử trong hệ cục bộ

ke , Ke

Độ cứng phần tử trong hệ cục bộ, toàn cục

Hg

Ma trận chuyển đổi độ cứng từ hệ trục cục bộ sang toàn cục

k m , k b , k CS
m , kb

Độ cứng màng, độ cứng uốn, độ cứng màng làm trơn, độ
cứng uốn xấp xỉ trong hệ tọa độ cục bộ

k qANS , k zANS

Độ cứng cắt cắt, độ cứng pháp theo chiều dày sau khi áp dụng
kỹ thuật khử khóa ANS trong hệ tọa độ cục bộ

c ,   x  xc 

Miền làm trơn, hàm làm trơn tại các phần tử

xc

Điểm Gauss trên cạnh làm trơn của phần tử

lbc , b, c, bc

Chiều dài cạnh làm trơn của mỗi phần tử, cạnh làm trơn, phần
tử làm trơn, biên làm trơn trên hệ tọa độ cục bộ

nx , ny

Véc-tơ pháp tuyến của mỗi cạnh phần tử làm trơn tại trung
điểm mỗi cạnh

Sc

Diện tích mỗi phần tử con làm trơn trong hệ cục bộ

t, a, L

Bề dày tấm/vỏ, chiều dài cạnh tấm/vỏ

R

Bán kính tấm/vỏ

P

Lực tập trung

q

Lực phân bố đều
x


DANH MỤC BẢNG
Bảng 4.1: So sánh kết quả chuyển vị tại điểm đặt lực uy,C của tấm xiên công –

xôn giữa các phần tử. ........................................................................................... 37
Bảng 4.2: Độ lệch chuyển vị % tại điểm đặt lực uy,C của tấm xiên công – xôn
giữa các phần tử. .................................................................................................. 38
Bảng 4.3: So sánh kết quả chuyển vị tại tâm uz,C của tấm xiên 300 giữa các phần
tử........................................................................................................................... 40
Bảng 4.4: Độ lệch chuyển vị % tại tâm uz,C của tấm xiên 300 giữa các phần tử. . 40
Bảng 4.5: So sánh kết quả chuyển vị tại tâm uz của tấm vuông ngàm 4 cạnh chịu
tải phân bố đều giữa các phần tử. ......................................................................... 43
Bảng 4.6: Độ lệch chuyển vị % tại tâm uz của tấm vuông ngàm 4 cạnh chịu tải
phân bố đều giữa các phần tử. .............................................................................. 43
Bảng 4.7: So sánh kết quả chuyển vị tại tâm uz của tấm vuông ngàm 4 cạnh chịu
tải phân bố đều giữa các phần tử khi giảm dần chiều dày tấm............................. 45
Bảng 4.8: So sánh kết quả chuyển vị tại tâm uz của tấm vuông ngàm 4 cạnh chịu
tải tập trung giữa các phần tử. .............................................................................. 46
Bảng 4.9: Độ lệch chuyển vị % tại tâm uz của tấm vuông ngàm 4 cạnh chịu tải
tập trung giữa các phần tử. ................................................................................... 47
Bảng 4.10: So sánh kết quả chuyển vị tại tâm uz của tấm chữ nhật ngàm 4 cạnh
chịu tải tập trung giữa các phần tử. ...................................................................... 48
Bảng 4.11: Độ lệch chuyển vị % tại tâm uz của tấm chữ nhật ngàm 4 cạnh chịu
tải tập trung giữa các phần tử. .............................................................................. 49
Bảng 4.12: So sánh kết quả chuyển vị tại tâm uz,A của mái vòm chịu tải trọng bản
thân giữa các phần tử. ........................................................................................... 51
Bảng 4.13: Độ lệch chuyển vị % tại tâm uz,A của mái vòm chịu tải trọng bản thân
giữa các phần tử. .................................................................................................. 51
Bảng 4.14: So sánh kết quả chuyển vị tại vị trí đặt lực tập trung của vỏ trụ ngàm
phẳng giữa các phần tử......................................................................................... 54
Bảng 4.15: Độ lệch chuyển vị % tại vị trí đặt lực tập trung của vỏ trụ ngàm
phẳng giữa các phần tử......................................................................................... 54

xi

Bảng 4.16: So sánh kết quả chuyển vị tại uX,B của vỏ bán cầu có lỗ mở giữa các
phần tử. ................................................................................................................. 56
Bảng 4.17: Độ lệch chuyển vị % tại uX,B của vỏ bán cầu có lỗ mở giữa các phần
tử........................................................................................................................... 57

xii


DANH MỤC HÌNH ẢNH
Hình 2.1: Góc xoay pháp tuyến trong giả thiết Mindlin. ...................................... 9
Hình 2.2: Ứng suất trong phần tử vỏ khối............................................................. 9
Hình 3.1: Hình dạng hình học phần tử vỏ khối tứ giác. ...................................... 12
Hình 3.2: Các điểm buộc khử khóa cắt. .............................................................. 21
Hình 3.3: Các điểm buộc khử khóa hình thang. .................................................. 22
Hình 3.4: Các điểm buộc xấp xỉ biến dạng uốn. ................................................. 29
Hình 3.5: Mơ phỏng làm trơn biến dạng trên phần tử vỏ khối. .......................... 31
Hình 3.6: Sự chia nhỏ phần tử ra thành 1, 2, 3, 4 phần tử con và giá trị hàm dạng
tại các nút. ............................................................................................................ 33
Hình 3.7 Thành phần nội lực trong phần tử vỏ khối. .......................................... 35
Hình 4.1: Hệ kết cấu tấm xiên công – xôn chịu lực tập trung............................. 37
Hình 4.2: Tấm xiên cơng – xơn lưới chia 8x8x1 bằng phần mềm Matlab. ........ 37
Hình 4.3: Biểu đồ so sánh độ lệch chuyển vị tại điểm đặt lực uy,C của tấm xiên
cơng – xơn giữa các phần tử................................................................................. 38
Hình 4.4 : Hệ kết cấu tấm xiên góc 300 tựa đơn chịu tải phân bố đều. ............... 39
Hình 4.5: Tấm xiên 300 tựa đơn chịu tải phân bố đều với lưới chia 8x8x1 bằng
phần mềm Matlab. ................................................................................................ 39
Hình 4.6: Biểu đồ so sánh độ lệch chuyển vị tại tâm uz,C của tấm xiên 300 giữa
các phần tử. .......................................................................................................... 41

Hình 4.7: Hệ kết cấu tấm vuông ngàm 4 cạnh chịu tải phân bố đều................... 42
Hình 4.8: Tấm vng ngàm 4 cạnh chịu tải phân bố đều với lưới chia 4x4x1
bằng phần mềm Matlab mơ phỏng ¼ hệ kết cấu.. ............................................... 42
Hình 4.9: Biểu đồ so sánh độ lệch chuyển vị tại tâm uz của tấm vuông ngàm 4
cạnh chịu tải phân bố đều giữa các phần tử.......................................................... 44
Hình 4.10: Hệ kết cấu tấm vuông ngàm 4 cạnh chịu tải tập trung. ..................... 45
Hình 4.11: Tấm vng ngàm 4 cạnh chịu tải tập trung với lưới chia 4x4x1 bằng
phần mềm Matlab mô phỏng ¼ hệ kết cấu. ......................................................... 46
Hình 4.12: Biểu đồ so sánh độ lệnh chuyển vị tại tâm uz của tấm vuông ngàm 4
cạnh chịu tải tập trung giữa các phần tử. .............................................................. 47

xiii


Hình 4.13: Tấm chữ nhật ngàm 4 cạnh chịu tải tập trung với lưới chia 4x4x1
bằng phần mềm Matlab mô phỏng ¼ hệ kết cấu. ................................................ 48
Hình 4.14: Biểu đồ so sánh độ lệnh chuyển vị tại tâm uz của tấm chữ nhật ngàm
4 cạnh chịu tải tập trung giữa các phần tử. ........................................................... 49
Hình 4.15: Hệ kết cấu mái vịm chịu tải trọng bản thân. .................................... 50
Hình 4.16: Mái vòm chịu tải trọng bản thân với lưới chia 8x8x1 bằng phần mềm
Matlab mơ phỏng ¼ hệ kết cấu. ........................................................................... 50
Hình 4.17: Biểu đồ so sánh độ lệch chuyển vị tại tâm uz,A của mái vòm chịu tải
trọng bản thân giữa các phần tử............................................................................ 52
Hình 4.18: Hệ kết cấu vỏ trụ ngàm phẳng chịu tải tập trung. ............................. 53
Hình 4.19: Vỏ trụ ngàm phẳng chịu tải tập trung với lưới chia 8x8x1 bằng phần
mềm Matlab mơ phỏng ¼ hệ kết cấu. .................................................................. 53
Hình 4.20: Biểu đồ so sánh độ lệch chuyển vị tại vị trí đặt lực tập trung của vỏ
trụ ngàm phẳng giữa các phần tử. ........................................................................ 55
Hình 4.21: Hệ kết cấu vỏ bán cầu có lỗ mở. ....................................................... 56
Hình 4.22: Vỏ bán cầu có lỗ mở với lưới chia 8x8x1 bằng phần mềm Matlab mơ

phỏng ¼ hệ kết cấu............................................................................................... 56
Hình 4.23: Biểu đồ so sánh độ lệch chuyển vị tại tại uX,B của vỏ bán cầu có lỗ
mở giữa các phần tử. ............................................................................................ 57

xiv


Chương 1

TỔNG QUAN
1.1. Tổng quan chung về lĩnh vực nghiên cứu, các kết quả trong nước và ngoài
nước đã công bớ
1.1.1. Giới thiệu
Ngày nay, các cơng trình khi xây dựng, lắp đặt ln địi hỏi tính an tồn, tiện
lợi và đặc biệt là tính thẩm mỹ cao. Tấm/vỏ là lựa chọn tối ưu đáp ứng được những
yêu cầu trên cho những kết cấu hay uốn lượn và thay đổi hình dáng liên tục. Trong
thực tế, kết cấu tấm/vỏ được sử dụng phổ biến trong ngành xây dựng dân dụng –
công nghiệp, cơ khí chế tạo, máy bay, ơ tơ, tàu biển … Chính vì vậy, việc tính tốn
chính xác cho kết cấu tấm/vỏ phải đảm bảo.
Hiện nay có rất nhiều phương pháp số khác nhau được phát triển để giải
quyết bài toán tấm/vỏ nhưng phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) vẫn là
phương pháp phổ biến và hiệu quả nhất. Trong đó, các cơng thức PTHH xây dựng
cho lý thuyết tấm/vỏ biến dạng cắt bậc nhất rồi dùng các kỹ thuật loại bỏ các hiện
tượng biến dạng vượt trội thường được sử dụng do chỉ cần hàm xấp xỉ chuyển vị
dạng C0 và có thể dùng để phân tích kết cấu tấm/vỏ dày hoặc mỏng. Theo hướng
phát triển này, các cơng thức PTHH tấm/vỏ có thể được chia thành 3 loại: phần tử
vỏ phẳng (flat shell), phần tử vỏ suy biến (degenerated continuum mechanics shell)
và phần tử vỏ khối (solid shell) [1]. Phần tử vỏ phẳng và phần tử vỏ suy biến tính
tốn các ứng xử trên mặt trung bình của phần tử nên ngồi chuyển vị thẳng cần có
góc xoay. Ứng xử trong phần tử vỏ phẳng là sự kết hợp thuần túy giữa ứng xử của

phần màng và phần uốn nên không thể hiện được sự tương tác giữa màng và uốn.
Để khắc phục vấn đề này, ứng xử trong phần tử vỏ suy biến được xây dựng từ lý
thuyết biến dạng 3 chiều được hiệu chỉnh sao cho biến dạng thẳng theo phương
vng góc với mặt trung bình của vỏ bằng 0. Trong phần tử vỏ khối, ứng xử được
xây dựng hoàn toàn từ lý thuyết biến dạng 3 chiều nên bậc tự do của phần tử vỏ

1


khối chỉ gồm các chuyển vị thẳng, khơng có góc xoay. Vì vậy, phần tử vỏ khối rất
dễ kết nối với các loại phần tử khác và có thể xét đến sự thay đổi của biến dạng
thẳng theo phương vuông góc với mặt trung bình của vỏ.
Phần tử vỏ khối tứ giác đơn giản nhất là phần tử 8 nút vì xấp xỉ trường
chuyển vị được xây dựng từ các hàm dạng dạng C0. Tuy nhiên, biến dạng cắt ngoài
mặt phẳng thuần túy tính từ xấp xỉ chuyển vị dạng C0 sẽ không thể bằng 0 và dẫn
đến hiện tượng khóa cắt khi phân tích các kết cấu tấm/vỏ mỏng. Để loại bỏ hiện
tượng khóa cắt, các phương pháp xấp xỉ lại trường biến dạng cắt đã được phát triển
thành công bởi nhiều tác giả như xấp xỉ biến dạng tự nhiên (ANS) [2, 3], xấp xỉ
biến dạng nâng cao (EAS) [4] hoặc xấp xỉ phối hợp các thành phần ten-xơ ứng suất
(MITC) [5]. Thêm nữa, khi rời rạc các kết cấu vỏ có độ cong lớn thì các phần tử vỏ
khối có dạng hình thang sẽ sinh thêm ứng suất pháp theo phương chiều dày và dẫn
đến hiện tượng gọi là khóa hình thang. Tương tự kỹ thuật khử khóa cắt, trường biến
dạng thẳng theo phương chiều dày của vỏ cũng được xấp xỉ lại để loại bỏ hiện
tượng khóa hình thang [6]. Phần tử vỏ khối tứ giác 8 nút khử khóa cắt và khóa hình
thang đã được áp dụng thành cơng trong việc phân tích các kết cấu tấm/vỏ đồng
nhất đàn hồi tuyến tính, phi tuyến.
Choi và cộng sự đã xấp xỉ biến dạng màng của phần tử tứ giác trong phân
tích kết cấu vỏ phẳng/suy biến cho kết quả hội tụ tốt hơn khi chưa xấp xỉ. Biến dạng
xấp xỉ này của phần tử vỏ suy biến được xây dựng trên hàm chuyển vị dựa theo
chuyển vị của các nút trên mặt trung bình [7]. Đối với phần tử vỏ khối tứ giác, hàm

chuyển vị được xây dựng dựa trên chuyển vị của các nút của phần tử trong không
gian. Biến dạng màng và biến dạng uốn của phần tử vỏ khối tứ giác này cũng được
tính tốn từ đạo hàm của hàm chuyển vị liên quan đến chuyển vị của các nút trong
không gian [8]. Kỹ thuật xấp xỉ biến dạng của Choi CK áp dụng vào biến dạng
màng được đánh giá chưa cao, do gây ra độ lệch hội tụ kết quả chính xác lớn [9].
Tuy nhiên kỹ thuật xấp xỉ biến dạng này chưa được áp dụng cho phần tử vỏ khối
trong biến dạng uốn để khảo sát tính hiệu quả giải thuật.

2


Hiện nay, để kết quả chính xác hơn khi phân tích kết cấu tấm/vỏ sử dụng các
phương pháp khử khóa cắt MITC, ANS, EAS,… nhiều nghiên cứu trên thế giới đã
kết hợp các công thức PTHH tấm/vỏ với một số phương pháp phần tử hữu hạn trơn
(S-FEM). Có 3 phương pháp phần tử hữu hạn trơn cơn bản là: làm trơn trên cạnh
(ES-FEM), nút (NS-FEM) hoặc phần tử (CS-FEM). Tuy nhiên, theo tìm hiểu của
tác giả, vẫn chưa có nghiên cứu nào đề cập tới việc phối hợp giữa kỹ thuật làm trơn
cho biến dạng màng và kỹ thuật xấp xỉ biến dạng uốn trong phân tích kết cấu
tấm/vỏ sử dụng phần tử vỏ khối.
Vì vậy, đề tài này sẽ phát triển cơng thức PTHH vỏ khối 8 nút, ngồi việc
khử khóa cắt và khóa hình thang, có sử dụng đồng thời kỹ thuật làm trơn trên phần
tử cho biến dạng màng và kỹ thuật xấp xỉ biến dạng uốn. Mỗi phần tử lưới chia
được làm trơn biến dạng màng bằng cách chia nhỏ thành 1, 2, 3 hoặc 4 phần tử con.
Các phần tử này gọi lần lượt là S8-1CS+, S8-2CS+, S8-3CS+, S8-4CS+.
Trong các phần tiếp theo của nghiên cứu này, công thức PTHH vỏ khối tứ
giác 8 nút có kết hợp kỹ thuật làm trơn biến dạng màng và kỹ thuật xấp xỉ biến dạng
uốn sẽ được trình bày. Tính chính xác và hiệu quả của phần tử S8-1CS+, S8-2CS+,
S8-3CS+, S8-4CS+ được kiểm tra và đánh giá ở phần ví dụ số. Cuối cùng, một vài
kết luận được rút ra.
1.1.2 Tổng quan tình hình nghiên cứu

1.1.2.1 Tình hình nghiên cứu trong nước
Vấn đề phân tích tuyến tính cho kết cấu tấm/vỏ sử dụng phần tử vỏ khối là
vấn đề khá mới tại Việt Nam. Hiện vẫn chưa có nhiều bài báo nghiên cứu về phần
tử vỏ khối 8 nút. Tuy nhiên, kỹ thuật làm trơn có rất nhiều nghiên cứu tại Việt Nam
và áp dụng cho tấm/vỏ phẳng hoặc suy biến, tại đó mỗi nút bao gồm chuyển vị và
góc xoay [10].
Như vậy, tại Việt Nam, việc giải các bài toán kết cấu tấm/vỏ sử dụng phần tử
vỏ khối tứ giác, đặc biệt là kết hợp với các kỹ thuật làm trơn được xem là mới mẻ,

3


và cần thiết phải cải thiện phần tử vỏ khối tứ giác này để thấy rõ được ưu điểm so
với việc phân tích kết cấu tấm/vỏ phẳng hoặc suy biến.
1.1.2.2 Tình hình nghiên cứu ngoài nước
Ahamad và cộng sự (1970) đã thiết lập công thức cho vỏ tứ giác suy biến
[11], tuy nhiên các cơng thức này chỉ có hiệu quả ở tấm/vỏ dày, còn đối với tấm/vỏ
mỏng hoặc cong vênh thì hiện tượng khóa cắt và màng xuất hiện làm giảm hiệu suất
tính tốn.
Phương pháp xấp xỉ biến dạng nâng cao (EAS) được Wilson và cộng sự
(1973) đề xuất thêm phần dịch chuyển tại chỗ của mỗi nút để tăng cường hiệu suất
các phần tử tứ giác [12], tuy nhiên kết quả sẽ không hiệu quả khi các phần tử khơng
tương thích nhau. Andelfinger và cộng sự (1993) đã phát triển phần tử không gian
hai chiều và ba chiều theo phương pháp EAS, tuy nhiên với bài toán ba chiều, mỗi
phần tử có 21 tham số cần tính tốn [4], điều này làm hao tổn tài nguyên máy tính
rất nhiều và mang lại hiệu quả thấp. Từ đó Korelc và Wingger (1997) đã phát triển
cho phần tử này mang lại hiệu quả cao hơn và chỉ cịn lại chín tham số [13].
Hauptmann và Schweizerhof (1998) đã phát triển công thức vỏ khối trong
tính tốn tuyến tính và phi tuyến mà các bậc tự do này chỉ bao gồm chuyển vị tại
các nút [14], tuy nhiên vẫn gặp phải trường hợp khóa cắt và khóa màng khi độ dày

của tấm/vỏ mỏng.
Sze và cộng sự (2000) đã thiết lập công thức xấp xỉ biến dạng tự nhiên
(ANS) cho phần tử vỏ khối [6], tuy nhiên chỉ giải quyết được vấn đề khóa cắt và
khóa hình thang cho phần tử vỏ khối.
Gần đây, Kim và cộng sự (2005) đã áp dụng phương pháp ANS cho phần tử
vỏ khối tứ giác 8 nút cùng với việc phát triển ma trận Jacobian nhằm tăng hiệu suất
tính tốn [8] . Ko và Lee (2017) lần đầu tiên áp dụng kỹ thuật ANS kết hợp với kỹ
thuật khử khóa cắt và khóa chiều dày cho phần tử vỏ khối tam giác [15] mang lại
hiệu quả tính tốn cho bài tốn phân tính tĩnh.
Choi và cộng sự (1994) đã phát triển phương pháp xấp xỉ phối hợp các thành
phần ten-xơ ứng xuất cho phần tử tứ giác 4 nút, tại đó biến dạng màng liên quan đến

4


bậc tự do là chuyển vị khơng kể đến góc xoay cho trên mặt trung bình của vỏ được
xấp xỉ lại cho ra hiệu quả tính tốn chính xác hơn [7]. Tuy nhiên đối với phần tử vỏ
khối, các bậc tự do đều liên quan đến chuyển vị của các nút ở mặt trên và mặt dưới
của phần tử, cho nên biến dạng màng và biến dạng uốn của phần tử vỏ khối đều
được xây dựng dựa vào các bậc tự do là chuyển vị của các nút trong không gian. Kỹ
thuật của Choi hiện nay vẫn chưa được áp dụng vào phần tử vỏ khối tứ giác 8 nút.
Nguyen-Xuan và cộng sự (2008) đã áp dụng kỹ thuật làm trơn trên phần tử
(CS-FEM) cho biến dạng màng và biến dạng uốn áp dụng cho phân tích tấm trên
mặt trung bình [16], mà trong đó mỗi bậc tự do của phần tử tứ giác của tấm bao
gồm cả chuyển vị và góc xoay. Sau đó Nguyen-Thanh (2008) đã phát triển công
thức phần tử tấm tứ giác 4 nút được làm trơn trên miền phần tử này cho phần tử vỏ
phẳng tứ giác 4 nút dùng cho phân tích tĩnh kết cấu vỏ và đã đáp ứng được vấn đề
khử khóa [17]. Élie-Dit-Cosaque và cộng sự (2015) đã áp dụng kỹ thuật làm trơn
(CS-FEM) cho phần tử vỏ khối trong biến dạng màng và biến dạng uốn, tuy nhiên
cũng mang lại hiệu quả nhất định khi chỉ khảo sát cho việc chia 1 phần tử thành 1, 2

hoặc 4 phần tử con [18].
Qua các nghiên cứu ngoài nước, vẫn chưa thấy nghiên cứu nào kết hợp xấp
xỉ biến dạng uốn theo kỹ thuật của Choi và làm trơn biến dạng màng trên phần tử
dùng kỹ thuật CS-FEM trong phân tích kết cấu tấm/vỏ bằng phần tử vỏ khối 8 nút.
Trong đề tài này sẽ lợi dụng ưu điểm của việc kết hợp này vào trong các trường hợp
cụ thể để thấy rõ hiệu quả trong phân tích kết cấu tấm/vỏ. Bằng việc khảo sát phần
tử vỏ khối tứ giác có kết hợp kỹ thuật xấp xỉ biến dạng uốn thông qua các điểm
buộc và kỹ thuật làm trơn trên phần tử (CS-FEM) cho biến dạng màng chia nhỏ
thành 1, 2,3 và 4 phần tử con, phần tử mới này được gọi lần lượt là S8-1CS+, S82CS+, S8-3CS+ và S8-4CS+. Vì vậy tác giả chọn đề tài này mang tên “Phát triển
phương pháp phần tử hữu hạn trơn cho phần tử vỏ khối dùng phân tích kết cấu vỏ”.
1.2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài này nhằm:

5


Phát triển công thức PTHH vỏ khối 8 nút và viết chương trình thuật tốn giải
bài tốn kết cấu tấm/vỏ sử dụng phần tử vỏ khối có áp dụng các kỹ thuật khử khóa
cắt, khóa hình thang và kỹ thuật xấp xỉ biến dạng uốn kết hợp kỹ thuật làm trơn
biến dạng màng trên phần tử bằng kỹ thuật CS-FEM. Phần tử này có kí hiệu phụ
thuộc vào cách chia phần tử thành 1, 2, 3 hay 4 phần tử con khi làm trơn biến dạng
màng lần lượt là S8-1CS+, S8-2CS+, S8-3CS+ hay S8-4CS+.
So sánh kết quả của nghiên cứu luận văn với một số kết quả cho bởi phần tử
vỏ khối, vỏ phẳng hoặc vỏ suy biến khác để rút ra được kết luận về tính khả dụng
của cơng thức PTHH đề xuất.
1.3 Nhiệm vụ của đề tài và giới hạn đề tài
Nhiệm vụ của đề tài này là từ công thức PTHH phần tử vỏ khối tứ giác 8 nút
đã được công bố, tiến hành đưa kỹ thuật làm trơn trên phần tử (CS-FEM) cho biến
dạng màng và xấp xỉ biến dạng uốn theo công thức của Choi vào cơng thức PTHH
trên. Sau đó, so sánh kết quả đạt được từ việc giải các bài tốn điển hình với các

phần tử vỏ khối, các phần tử tam giác và tứ giác khác được giải trên mặt trung bình
và; từ đó rút ra được kết luận cho phần tử được phát triển của luận văn.
Việc phân tích về ứng xử của kết cấu tấm hoặc vỏ rất phức tạp cho nên giới
hạn nghiên cứu của đề tài này là phân tích tuyến tính của kết cấu tấm/vỏ làm việc
trong giai đoạn đàn hồi.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu được thực hiện trong đề tài này là phương pháp
nghiên cứu lý thuyết: các lý thuyết được sử dụng là lý thuyết phần tử vỏ khối tứ
giác 8 nút, lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất cho tấm/vỏ, lý thuyết xấp xỉ biến dạng
thông qua các điểm buộc của Choi, lý thuyết làm trơn trên miền phần tử (CS-FEM).
Sau đó cơng thức phần tử hữu hạn trơn cho biến dạng màng kết hợp kỹ thuật xấp xỉ
biến dạng uốn cho phần tử vỏ khối tứ giác 8 nút sẽ phát triển.
Công thức lý thuyết sau khi thiết lập sẽ được lập trình để mơ phỏng tính tốn
một số các bài tốn điển hình của kết cấu tấm/vỏ.

6


Kết quả mơ phỏng tính tốn số của một số bài tốn kết cấu tấm/vỏ điển hình sẽ
được so sánh với kết quả của các phần tử vỏ khối, vỏ phẳng hoặc vỏ suy biến khác
để đánh giá tính hiệu quả và chính xác của nghiên cứu này.

7


Chương 2

ỨNG XỬ TRONG PHẦN TỬ VỎ KHỐI
Chương này sẽ trình bày khái quát về ứng xử trong phần tử vỏ khối. Bậc tự do
của phần tử vỏ khối chỉ bao gồm chuyển vị thẳng theo các phương trong không

gian. Mối quan hệ giữa ứng xử biến dạng và chuyển vị cũng như năng lượng biến
dạng trong phần tử vỏ khối được trình bày nhằm tạo điều kiện để xác định độ cứng
của phần tử vỏ khối. Cơ sở lý thuyết Chương 2 cho cách nhìn tổng quan về phần tử
vỏ khối.
2.1. Giả thiết
Tấm và vỏ là các dạng kết cấu được sử dụng nhiều trong kỹ thuật và chúng
thường chịu biến dạng uốn. Hai lý thuyết tấm được sử dụng phổ biến trong các bài
toán kết cấu tấm/vỏ là: lý thuyết tấm cổ điển của Kirchhoff và lý thuyết tấm biến
dạng cắt bậc nhất của Mindlin [19].
Giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm cổ điển của Kirchhoff [20] là: bỏ qua ứng
suất pháp vng góc với mặt phẳng tấm (σz = 0). Đoạn thẳng vng góc với mặt
trung bình (mặt phẳng chia đơi chiều cao tấm) vẫn thẳng và vng góc với mặt
trung bình sau khi biến dạng. Hệ quả của giả thiết này là ta đã bỏ qua các thành
phần biến dạng cắt ngang (γxz = γyz = 0). Tuy nhiên, khi tính tấm dày hoặc tấm nhiều
lớp thì việc bỏ qua các biến cắt ngang sẽ không hợp lý.
Để kể đến biến dạng cắt, Reissner xem rằng các góc xoay của các đoạn thẳng
vng góc mặt trung bình trong các mặt phẳng xz và yz, cùng với hàm độ võng
được xem như những biến độc lập trong lý thuyết tính tốn. Nhưng sau đó, Mindlin
[20] đã đơn giản hóa giả thiết này và xem rằng các đoạn thẳng pháp tuyến này
vng góc với mặt trung gian trước khi biến dạng, sau khi biến dạng vẫn thẳng
nhưng khơng vng góc với mặt phẳng biến dạng (γxz ≠ 0, γyz ≠ 0) tức là góc xoay
trung bình của mặt cắt ngang có thể xem như góc xoay của pháp tuyến cộng thêm
góc xoay do biến dạng cắt gây ra như Hình 2.1. Ngồi ra, ứng suất pháp σz vẫn xem
như bỏ qua và bằng 0 như giả thiết Kirchhoff.

8


Hình 2.1: Góc xoay pháp tuyến trong giả thiết Mindlin.
Để mô tả phần tử trong không gian 3 chiều chịu tải bề mặt và tải nhiệt độ, người

ta sử dụng phần tử vỏ khối. Các bậc tự do được xem xét của phần tử vỏ khối chỉ bao
gồm chuyển vị của các nút trong không gian. Với tải tác dụng, điều kiện biên và
trường nhiệt độ trên phần tử, có thể xác định được chuyển vị của các nút trong phần
tử vỏ khối. Từ đó xác định tương ứng biến dạng và ứng suất của phần tử như Hình
2.2.

Hình 2.2: Ứng suất trong phần tử vỏ khối.

9


2.2 Bậc tự do của phần tử vỏ khối
Mỗi nút sẽ có 3 bậc tự do tương ứng với 3 chuyển vị theo phương x, y, z, kí hiệu
là trường véc-tơ u:

u  ux u y uz 

(2.1)

2.3 Ứng suất và biến dạng của phần tử vỏ khối
Đối với phần tử vỏ khối, có 6 thành phần biến dạng. Mỗi phần tử có thể biểu
diễn qua trường biến dạng như sau:

ε   x  y  z  xy  xz  yz 

(2.2)

Mối quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị được biểu diễn thông qua ma trận B:

ε  B.u

(2.3)

Trong đó ma trận B là ma trận đạo hàm bậc nhất của hàm chuyển vị theo các
biến trong khơng gian, ma trận này sẽ được trình bày rõ trong Chương 3.
Trường ứng suất của mỗi phần tử vỏ khối bao gồm 6 thành phần:

σ   x  y  z  xy  xz  yz 

(2.4)

Dựa theo định luật Hook’s, mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong phần
tử vỏ khối trình bày như sau [8]:

σ  C.ε

(2.5)

Trong đó, ε là trường biến dạng do lực bề mặt gây ra. Và,





C




Với  

 2



0

0

0



  2

0

0

0

0

0

E

0

0

0

0

0



0

0

0

0

0



0

0

0

0

0

0

0
0

0
0

 

(2.6)

Ev
E
và E,  lần lượt là mô-đun đàn hồi và hệ số Poisson
, 
2
1 v
2 1  v 

của vật liệu.

10


2.4 Năng lượng phần tử vỏ khới
Mục đích của phương pháp phần tử hữu hạn trong phần đàn hồi là tìm ra được
trường chuyển vị, người ta xuất phát từ năng lượng phần tử [21]:


V

 

 

 

n
1 e T
T
T
ε σdV    u  pV dV    u  p S dS   ui Pi
2
i 1
V
S

(2.7)

Trong đó pV   pVx pVy pVz  là thành phần lực thể tích, p S   pxS pyS pzS  là lực bề
mặt, n là số điểm chia lưới, Pi  Px Py Pz  là lực tập trung tại các điểm chia lưới.
Từ năng lượng phần tử vỏ khối, khi áp đặt các điều kiện biên cho bài toán, ta
xác định được chuyển vị của các nút trên phần tử vỏ khối. Chương 3 sẽ trình bày rõ
cách thức đi từ hàm chuyển vị trong phần tử vỏ khối đến cách tính độ cứng phần tử
vỏ khối.

11

Chương 3

CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO PHẦN TỬ
VỎ KHỐI TỨ GIÁC 8 NÚT
Chương này trình bày rõ cơng thức phần tử hữu hạn cho phần tử vỏ khối theo Kim chỉ áp dụng kỹ thuật khử khóa cắt và khóa hình thang[8]. Sau đó, cơng thức tính
tốn độ cứng phần tử có thay đổi tại độ cứng màng và độ cứng uốn. Điểm mới
trong luận văn này là có sự kết hợp đồng thời kỹ thuật xấp xỉ cho biến dạng uốn
thông qua các điểm buộc và kỹ thuật làm trơn biến dạng màng trên phần tử. Công
thức được xây dựng theo lý thuyết trình bày dưới đây.
3.1 Xấp xỉ hình học và chuyển vị
2P4



4T z

2P3

4T

X4
1T
2P1

4B

X3

y
4B

2T

x

2P2
Z

X2

X1
1B

O

2B

Y

X

Hình 3.1: Hình dạng hình học phần tử vỏ khối tứ giác.
Đối với phần tử vỏ khối, sử dụng 3 hệ trục tọa độ [13]: hệ trục tọa độ toàn cục
(OXYZ), hệ trục tọa độ cục bộ (oxyz), hệ trục tọa độ tự nhiên  .
Xét phần tử vỏ khối tứ giác như Hình 3.1. Trong hệ trục tọa độ tồn cục OXYZ,
tọa độ của 1 điểm nằm trong phần tử có thể được biểu diễn bởi véc-tơ X được xác
định như sau:
X  X  P

(3.1)

Trong đó, X là véc-tơ vị trí của mặt trung bình phần tử, P là véc-tơ có giá trị
bằng một nửa véc-tơ nối từ tọa độ nút mặt dưới với tọa độ nút mặt trên của phần tử
và -1    1 là tọa độ thuộc hệ tọa độ tự nhiên .

12


Véc-tơ X và P được xấp xỉ thông qua các giá trị tại nút phần tử bởi công thức:
4

X  Ni Xi

(3.2)

i 1
4

P  Ni Pi

(3.3)

i 1

Với Ni(,) là các hàm dạng dạng C0 được định nghĩa trong hệ tọa độ tự nhiên
như sau:

N1  0, 25 1   1    ; N 2  0, 25 1   1   
N3  0, 25 1   1    ; N 4  0, 25 1   1   
Và





(3.4)





(3.5)

Xi 

1 T
Xi  XiB
2

Pi 

1 T
Xi  XiB
2

Trong đó, XiT và XiB (i = 1, 2, 3, 4) lần lượt là tọa độ nút ở mặt trên và mặt dưới
của phần tử (xem Hình 3.1).
Thế cơng thức (3.2), (3.3) vào (3.1), véc-tơ X có thể được viết lại như sau:
4

X  N i  Xi   Pi 

(3.6)

i 1

Để thuận lợi cho việc thiết lập các quan hệ biến dạng – chuyển vị và ứng suất –
biến dạng, hệ trục tọa độ cục bộ oxyz trong từng phần tử được xây dựng với các
véc-tơ cơ sở theo phương x, y, và z lần lượt là Rx, Ry và Rz được định nghĩa như
sau:

Rz 

R  R
R  R

, Rx 

R
R

, R y  Rz  Rx

(3.7)

Với
4
N
X
R 

  i Xi
  0 i 1 

(3.8a)

13


4
N
X
R 
  i Xi
  0 i 1 

(3.8b)

Trường chuyển vị trong hệ trục tọa độ cục bộ oxyz được xấp xỉ như sau:
4

u  u   ρ  Ni  ui   ρi 

(3.9a)

i 1

Hay có thể viết lại dưới cách khác:
4
 1  B 1  T 
u  Ni 

ui 
ui 
2
 2

i 1

(3.9b)

Trong đó, u = [ux, uy, uz]T là véc-tơ chứa các thành phần chuyển vị thẳng theo
T

phương x, y, z, u  ux u y uz  là véc-tơ chuyển vị trên mặt trung bình,  = [x y

z]T là một nửa véc-tơ nối chuyển vị nút dưới và nút trên của phần tử và:





(3.10)





(3.11)

T
1

ui  uxi u yi uzi   uTi  uiB
2
T
1
ρi    xi  yi  zi   uTi  uiB
2

Với uTi và uiB lần lượt là véc-tơ chuyển vị trong hệ trục tọa độ cục bộ của các
nút ở mặt trên và mặt dưới của phần tử.
Quan hệ giữa tọa độ nút X và chuyển vị nút U trong hệ tọa độ toàn cục OXYZ
với tọa độ nút x và chuyển vị nút u trong hệ tọa độ cục bộ oxyz được cho bởi công
thức sau:
x  HT X hoặc X  Hx

(3.12a)

u  HT U hoặc U  Hu

(3.12b)

Với ma trận chuyển trục H = [Rx Ry Rz]

(3.13)

14