chuyen de toan hoc va tuoi tre
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (469.07 KB, 17 trang )
TUYỂN TẬP
CÁC CHUYÊN
ĐỀ HAY ÔN
THI ĐẠI HỌC
– Tạp chí THTT
Phiên bản 1.0
GSTT GROUP tổng hợp
Lovebook.vn | 1
Lovebook.vn – Nhà sách duy nhất cung cấp sách do đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | 2
MM CN CHÚ Ý KHI GING GIÁC
Nguyn Tt Thu
(GV THPT Lê Hng Nai)
ng giác (PTLG) luôn xut hi i h
thí sinh. Trong bài vit này chúi vi các bn mt s m cn chú ý khi gii các PTLG. V
gii PTLG ta s dng các công thc biu v PTLG
ng gp.
Chúng ta bing sau:
trình bc nhi vi sin và cosin
Vi dng này ta ct s bii sau:
1:
Gi
2:
Gi
i B 2009)
2. Bii v cha mt hàm s ng giác
Vi mt s ng thc sau:
i A 2006)
Lovebook.vn | 3
6:
Gi
i B 2004)
C hai h nghiu thu kin nên là hai h nghim ca PT (5).
7:
Gitrình
3. Bii v
bii v n to ra các tha s chung. Mt s chung: Các
biu thc
* có tha s chung là
* có tha s chung là
*
có tha s chung là
*
có tha s chung là
Li gii :
Ta có
(Do
vô nghim).
i D 2003)
Lovebook.vn – Nhà sách duy nhất cung cấp sách do đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | 4
.
thi d b D 2008)
C ba h nghiu thu kin bài toán.
12:
Gi
Li gii:
***
Cut s các bn t luyn tp.
Ging giác sau
3)
4)
6)
8)
10)
Lovebook.vn | 5
S PHÂN LOI T DIN VÀ NG DNG
Lê Quc Hán
i hc Vinh)
T din là mng gp nht trong hình hc bit là các kì thi tuyn sinh
i hc hay kì thi Olympic Toán. S phân loi các t din theo nhng tiêu chu giúp chúng ta xác
nh nhanh kt qu n t din th hin mng minh hay
chìm khut. Bài vinh phân lp các t din mt cách tri mà ch nêu lên nhng kinh
nghim gin t dic phân loi
tr ln nhau).
I. T DIU
T diu là t din có tt c các cnh bng nhau.
Tính cht.
Trong mt t diu :
a) Sáu mt là nhu bng nhau.
ng cao h t mnh bt kì xung mi din là trc tâm, trng tròn ngoi tip
ng tròn ni tip ca m
M 1.
Gi s ABCD là t diu cnh b
1) Tâm mt cu ngoi tip, tâm mt cu ni tip và trng tâm ca t din trùng nhau.
4) Các cp ci din ca t dit vuông góc vi nhau.
n thng nm ca hai ci din bn vuông góc chung cng thng
cha hai cnh y.
Vic chng minh m ngh các bn t ging bài tp.
Bây gi chúng tôi s nêu mt s thí d t n phc t bc u thy li ích ca vic nm
vng các kin thc nêu trên.
1.
Trong không gian vi h trc t vuông góc Oxyz cho A(a ; 0 ; 0), B(0 ; a ; 0), C(0 ; 0 ; a) vi a>0.
a) Gng vuông góc h t O xung mt phng (ABC). Tìm t m H.
b) Gi xng ca H qua O. Chng minh ABCD là t diu.
Li gii.
a) Vì
u. Ta li có nên OABC là hình
ng tâm tam giác ABC.
2.
Cho t diu ABCD cnh bng a.
a) Gmt phng cha BD và song song vi AC. Chng minh rng AB, AD, CB, CD to vng
góc bng nhau.
b) Gng vuông góc h t A xung mt phm ca AH. Mt phng (
quay quanh I, ct các cnh AB, AC và AD ti M, N, P.
Li gii.
a)V hình hp
ngoi tip t di thu to vi
t góc 45° (mt phh là m
ca hình l
Lovebook.vn – Nhà sách duy nhất cung cấp sách do đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | 6
b) (h.1) Gi V là th tích t din ABCD.
II. T DIN GU
T din gu là t din có các cp ci bng nhau tt (T din gu còn gi là
t din cân).
Tính cht.
Trong mt t diu, có
1) Các mt ca t din là nhng tam giác bng nhau.
2) Các mt ca t din là nhu nhn.
n thng nm ca hai ci din bn vuông góc chung cng thng
cha hai cnh y.
4) Tâm mt cu ngoi tip, tâm mt cu ni tip và trng tâm ca t din trùng nhau.
5) Hình hp ngoi tip t din là hình hp ch nht.
Vic xét m o ca các tính cht trên rt hu ích và nhiu khi vic chng minh (hay bác b
n ca chúng không ph dàng. Chng hn xét m
M 2.
Cho t din ABCD có tâm mt cu ngoi tip và tâm mt cu ni tip trùng nhau. Chng minh ABCD
là t din gu.
Chng minh.
Gi O là tâm mt cu ngoi tip t din ABCD. K
t là tâm
ng tròn ngoi tip ca các tam giác ABC và BCD (h.2), nên
và
. Vì hai tam giác
vuông OHB và OKB bng nhau, nên . Kt hp vi suy ra
Do
, dn
. Vy ta có th t
Cng tng v c
có
và
(g.c.g) suy ra
và có nên ABCD là t din gu (h.3).
3.
Trong không gian vi h t vuông góc Oxyz cho A(1; 2; 2),
,
,
.
a) Chng minh ABCD là t din gu.
nh t trng tâm ca t din ABCD.
c) Lt cu ngoi tip và ni tip t din ABCD.
Li gii.
a) Vì
nên
, có
,
nên
,
nên
din gu.
Lovebook.vn | 7
III. T DIN VUÔNG
T din vuông là t din có mt góc tam din ba mt vuông.
Tính cht.
Gi s OABC là t din vuông,
1) Tam giác ABC có ba góc nhn;
3) Go bi OH vi OA, OB, OC.
4)
5)
nh lí Pythagore trong không gian).
4.
Trong không gian vi h t vuông góc Oxyz cho
a) Vit ph
b) Gm ca mt phi các trc Ox, Oy, Oz. Tính
c) Chng quy ti mnh t m G.
d) Gi
là các góc to bi
Li gii.
t ph nên
n c, BM và CN là trung tuyn ca tam giác ABC nên AP, BM, CN
ng quy ti G, trng tâm tam giác ABC.
5.
Trong không gian vi h t vuông góc Oxyz cho
vi a, b, c là các s
a) Gi R và r th t là bán kính các mt cu ngoi tip và ni tip t din OABC.
Chng minh mt phm c nh.
Vy mt phm M(2; 2; 2) c nh.
kt thúc bài báo. Xin mi các bn ôn tp li bng cách gi
1. Cho t diu ABCD cnh a. Gi I, M, N lm ca AB, AC và CD.
a) Tính khong cách ging thng BM và AN.
Lovebook.vn – Nhà sách duy nhất cung cấp sách do đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | 8
b) Tính khong cách ging thng AN và CI.
2. Cho t din gu ABCD.
a) Chng minh các mt ca t din là nhng tam giác bng nhau.
b) Gng là các góc to bi các mt phng (ABC), (ACD), (ABD) vi mt phng (BCD). Tìm h
thc liên h gia
3. Trong không gian vi h t Descartes vuông góc Ox
c là các s th
a) Chng minh mt phm c nh. Tìm t
nh tâm, tìm bán kính r ca mt cu ni tip t ding thi chng minh rng
Lovebook.vn | 9
MT S DNG GP V S PHC
Nguy
(Hà Ni)
TÓM TT LÍ THUYT
Mt s phc là mt biu thc dng
a s phc z là
Các kt qu ng dùng : vi
Trên mt phng t Oxy, s phc m biu din M(a ng
Trong bài báo này chúng tôi ch cp n mt s long gi vi s phc di s và b qua
các phép bin.
1. TÌM TP HM BIU DIN CA S PHC
Tìm tp hm biu din ca s phc z tha mãn mu kic.
Cách gii.
Gi s ; thay vào gi thit, tc mt h thi vi x và y. T p hp
m biu din cn tìm.
T s bng
; u là s thun o khi và ch khi
Vy tp hm biu din ca z là mng tròn tâm
khuym (0 ; 1) và
S phc là mt s thc khi và là s thun o khi
Li gii.
Gi s , gi thii
Vy tp hm biu din cng thng có PT
2. TÌM S PHC CÓ MUN LN NHT, NH NHT
Tìm s phc z có mun ln nht (hoc nh nht) tha mãn mu kic.
Cách gii.
c 1.
Tìm tp hm biu din ca z thu kin.
c 2.
Tìm s phng vm biu din sao cho khong cách OM có giá tr ln nht (hoc
nh nht).
3.
Bit rng s phc z tha mãn
là mt s thc. Tìm giá tr nh nht ca
Li gii.
Gi s
Ta có
Tp hm biu din cng thng (d) : Gi s M(x m biu din ca z thì
Tp hm biu din ca z lng tròn tâm
Gi s m biu din ca
z thì
.
c
và
3. MT S DNG TOÁN V CHNG MINH
Lovebook.vn – Nhà sách duy nhất cung cấp sách do đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | 10
Li gii các bài toán v chc da trên các tính cht v p ca s phc, chú
ý rng nu các s phc
m biu ding là A, B thì
5.
Gi s
là các s phc khác không tha mãn
. Gm biu din
ng ca
. Chng minh ru.
Li gii.
Ta có
Li có
Suy ra . Vu.
6.
Cho ba s phc
ng 1.
Chng minh rng
4. GI TRÌNH TRONG TP HP S PHC
Tìm s phc z tha mãn mt h thc (không phi là mc nht hoc bc hai thông
ng).
Cách gii.
Gi s ; bii h thu bài v dng c h PT
; t
c x, y và suy ra z.
8.
Tìm s phc z tha mãn
Li gii.
Gi s
Gii h c
Gic ba
bit rt nghim thc.
Cách gii.
Gi s PT có nghim thc là c
; bii h thc trên v dng c
h PT
; t
có th phân tích thành
Nm thun o thì cách gi.
9.
Gi
, bit rt nghim
thc.
Li gii.
Vi i
u bài có th phân tích thành
c các nghim ca PT là
10.
Gi
, bit rt nghim
thun o.
Li gii.
Gi s PT có nghim thun o là c
u bài có th phân tích thành
. Các nghim c
i.
BÀI TP
Lovebook.vn | 11
b) Tìm s ph nht, ln nht thu kin trên.
3. Gi
, bit rt nghim thun o.
Lovebook.vn – Nhà sách duy nhất cung cấp sách do đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | 12
MT S LOI TOÁN T HNG GP TRONG KÌ THI TUYI HC
Nguy
(Hà Ni)
LOI 1. Chn phn t t các tp hp
1.
T mi, t i. Có bao nhiêu cách chn mt nhóm gi sao cho mi t
trên có ít nhi?
Li gii.
Gi s ta chi ca t mt và
i ca t hai. Vì mi t có ít nhi nên
S cách chn k trong s i ca t mt là
. ng vi mt cách chn trên, ta có s cách chn
trong s i ca t hai là
. Theo quy tc s cách ch
Cho k lt bng quy tc cc s cách chi tha mãn bài toán
là
Bài toán tng quát.
Cho tp hp A có n phn t, tp hp B có m phn t. Tính s cách chn p phn t t hai tp
hp trên
và tha mãn mu ki
Cách gii chung
1)
Tính trc tip.
Gi s ta chn k phn t ca tp hp A và phn t cng hp gi thit cho
nhiu tp h). S cách chn là
i phù hp vi gi thit bài toán
và ly tng ca tt c các s hng
c kt qu cn tìm.
2)
Tính gián tip.
S cách chn k phn t t A, B mt cách bt kì là
Kt qu phi tìm là hiu ca
vi
tng các s hng
ng vi mi giá tr k không tha mãn gi thit bài toán.
2.
i ta s dng ba loi sách gm: 8 cun sách v Toán hc, 6 cun sách v Vt lí và 5 cun sách v
Hóa hc. Mi lou gm các cut khác loi nhau. Có bao nhiêu cách chn 7 cun sách trong s
làm ging sao cho mi loi có ít nht mt cun?
Li gii.
S dng cách tính gián tip. S cách chn 7 trong s 19 cun sách mt cách bt kì là
Các cách ch c 3 loi sách là :
S cách chn 7 trong s 11 cun sách Lí và Hóa là
(không có sách Toán).
S cách chn 7 trong s 13 cun sách Hóa và Toán là
(không có sách Lí).
S cách chn 7 trong s 14 cun sách Toán và Lí là
(không có sách Hóa).
S cách chn 7 trong s 8 cun sách Toán là
(không có sách Lí và Hóa).
Vì mi cách chn không có sách Lí và Hóa thuc c hai phép chn : không có sách Lí và không có sách Hóa, nên
s cách chn phi tìm là
n tip, mi s hng ng vng hp không tht
sau du tr. S hng thi thung hp không tht trong du cng (bn
c t suy lun cho s hng thi thung hp không tha mãn bài to
LOI 2. Sp xp th t các vt t mt h các vt
3.
Có 5 viên bi xanh ging nhau, 4 viên bi trng gi t khác nhau. Có bao
nhiêu cách sp xp s bi trên vào 12 ô theo mt hàng ngang sao cho mi ô có mt viên bi?
Li gii.
Nu tt c u khác nhau thì chúng to thành
hoán v ca 5 bi
xanh và các hoán v ca 4 bi trng cho cùng mt cách sp xi vi 12 viên bi nên s cách sp xp phi tìm là
Bài toán tng quát.
Có tt c n v t ging nhau t hp A; k vt ging nhau t h
(
. Các vt còn lt khác nhau thì s cách sp xp chúng thành mt hàng ngang là
4.
Có bao nhiêu cách sp xp v trí cho 5 hc sinh nam và 3 hc sinh n quanh mt bàn tròn sao cho
không có hai hc sinh n nào ngi cnh nhau? (hai cách sp xp khác nhau v v t i
vi các hc coi là mt).
Li gii.
Gi s p ch cho 5 hc sinh nam. Vì 3 hc sinh n không ngi cnh nhau nên h c chn 3 trong
5 v trí xen k gia các hc sinh nam, s cách chn là
. Vì hai cách xp v i vi cùng mt th t
Lovebook.vn | 13
c coi là mt nên ta có th chc v trí cho mt h, s hoán v ca 4
hc sinh nam còn li vào các v trí là 4!.
Theo quy tc nhân, s kh i tìm là
Khi xng theo mt vòng tròn vi hai cách xp khác nhau bi mt phép quay c quay là mt,
thì ta có th c mt v trí cho mng bp xp v trí cho
ng còn li.
LOI 3. Phân chia các vt t mt h các vt
5.
vt ging nhau chi sao cho mc ít nht m
vt?
Li gii.
Gi s vc xp thành mt hàng ngang, gia chúng có 99 khong trt mt cách bt kì
3 vch vào 3 trong 99 khong trc m vt ra thành 4 ph lt gán cho 4
c ít nht m vt và tng s vt ci bng 100, tha mãn yêu cu bài
toán.
Vy s cách chia là
Bng cách gi chng minh r
(1) có
tính cht:
Vi thì PT (1) có s nghim trong tp hp các s
Vi thì PT (1) có s nghim trong tp hp các s t nhiên là
6.
vi sao cho có m vt
i còn li, m vt?
Li gii.
Có 3 cách ch vt. Vi mi cách chn trên, ta có:
S cách ch v vt là
cách ch vt còn li cho
i th nh vt là
vt còn li th vt.
Theo quy tc nhân, s cách chia phi tìm là
Khi gii bài toán trên, nhiu b s sai là
ng hp th nht, b v v
ng hp th hai, b vt khác nhau(!).
BÀI TP LÀM THÊM
(Trc nghim)
Hãy khoanh tròn vào các câu tr li các bài tp sau:
1. có bao nhiêu nghim trong tp hp các s t nhiên?
A.
B.
C.
D.
2. v mi, sao cho mc ít nht m vt. Hi s
cách chia?
A.
B.
C.
D.
3. Có 5 cun sách Toán ging nhau, 7 cun sách Lí ging nhau và 8 cun sách Hóa gii
ng cho 10 hc sinh, mc 2 cun sách khác loi. Tính s cách nhn ging ca 10 hc sinh
trên.
A. 1310 B. 2520 C. 417 D. 2085
4. Có 5 cun sách giáo khoa ging nhau và 3 cun sách tham khng cho
7 hc sinh, mi c 1 cun sách. Tìm s cách nhn ging ca các hc sinh trên.
A. 336 B. 274 C. 246 D. 546
5. i ra thành 3 nhóm, mng hp sau:
a) Phân bit th t các nhóm là: nhóm 1, nhóm 2, nhóm 3.
b) Không phân bit th t các nhóm.
6. vi sao cho mc ít nht m vt?
A. 360 B. 495 C. 540 D. 600
Lovebook.vn – Nhà sách duy nhất cung cấp sách do đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | 14
GII HN CA HÀM S VÀ MT S DNG TOÁN CÓ LIÊN QUAN
Nguy
(Hà Ni)
Gii h xây dng các khái nim liên to hàm ca hàm s. Bài vit này giúp các bn h thng
li các dng toán v gii hi các dg trình toán ph thong, chun b
cho các kì thi tt nghip THPT, thi tuyi hng.
1. Nhc li lí thuyt
Vi x là s thc, ta có
i hng gp nh thông.
2. Các dng gp
B, d dàng chc các kt qu sau:
y
Lovebook.vn | 15
Xét các gii hn:
6.
hàm s sau liên tc tm
Lovebook.vn – Nhà sách duy nhất cung cấp sách do đội ngũ thủ khoa GSTT GROUP viết | 16
7.
o hàm hàm s sau tm
BÀI TP T LUYN
8) o hàm hàm s sau tm
