Dạy học mô hình hoá toán học cho học sinh lớp 12 trường trung học phổ thông cổ loa – hà nội trong chủ đề tích phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN TRƯỜNG AN

DẠY HỌC MƠ HÌNH HỐ TỐN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 12
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CỔ LOA – HÀ NỘI TRONG
CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2022


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN TRƯỜNG AN

DẠY HỌC MƠ HÌNH HỐ TỐN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 12
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CỔ LOA – HÀ NỘI TRONG
CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN

Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lưu Bá Thắng

HÀ NỘI – 2022

LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lưu Bá Thắng, người thầy
đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện
luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Giáo dục –
Đại học Quốc gia Hà Nội, phòng đào tạo sau đại học, các thầy cơ giáo Khoa
Sư phạm đã nhiệt tình giảng dạy, truyền đạt những kiến thức quan trọng và bổ
ích.
Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các cấp lãnh đạo, các thầy
cơ giáo trong tổ Tốn – Tin ở trường THPT Cổ Loa đã nhiệt tình hỗ trợ và tạo
điều kiện thuận lợi để em hoàn thành nghiên cứu.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các
anh chị học viên lớp cao học QH – 2019 – S chuyên ngành Lý luận và
phương pháp dạy học bộ mơn Tốn đã ln động viên, khuyến khích em
trong q trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.
Dù đã rất cố gắng trong nghiên cứu và trình bày luận văn, nhưng do
kiến thức và khả năng lí luận cịn nhiều hạn chế nên luận văn cịn nhiều thiếu
sót. Em rất mong nhận được những đóng góp của các thầy giáo, cơ giáo, đồng
nghiệp và những người có quan tâm đến đề tài để luận văn được hoàn thiện
hơn.
Hà Nội, ngày 22 tháng 3 năm 2022
Tác giả

Nguyễn Trường An

i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
STT

Từ, cụm từ

Viết tắt là

1

International Congress on Mathematical Education

ICME

2

International Commission on Mathematical

ICMI

Instruction (Uỷ ban quốc tế về giảng dạy toán học)
3

The International Conference on the Teaching and

ICTMA

Learning of Mathematical Modelling and
Applications (Hội nghị quốc tế về dạy và học mơ
hình hố tốn học và ứng dụng)
4

Nhà xuất bản

NXB

5

Programme for International Student Assessment

PISA

6

Realistic Mathematics Education

RME

(Giáo dục toán học gắn với thực tiễn)
7

trang

tr.

8

Trung học cơ sở

THCS

9

Trung học phổ thông

THPT

ii


DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ
Bảng
Bảng 4.1. Bảng kết quả điểm kiểm tra giữa học kì II năm học 2021 - 2022 của
hai lớp 12A5 và 12A7 ..................................................................................... 74
Bảng 4.2. Điểm kiểm tra sau thực nghiệm của học sinh hai lớp 12A5 và 12A7
......................................................................................................................... 75
Biểu đồ
Biểu đồ 2.1. Quan điểm của học sinh về mức độ cần thiết của Toán học trong
cuộc sống ......................................................................................................... 34
Biểu đồ 2.2. Mức độ quan tâm của học sinh về ứng dụng của Toán học trong
thực tiễn ........................................................................................................... 34
Biểu đồ 2.3. Mức độ tự tìm hiểu về những ứng dụng thực tiễn của Toán học
của học sinh ..................................................................................................... 35
Biểu đồ 2.4. Mức độ hứng thú của học sinh khi tìm hiểu những bài tốn có
yếu tố thực tế ................................................................................................... 35
Biểu đồ 2.5. Mức độ thường xuyên của học sinh trong việc vận dụng Toán
học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn .......................................................... 35
Biểu đồ 2.6. Mức độ hứng thú của học sinh khi học chủ đề tích phân ........... 36
Biểu đồ 2.7. Mức độ ứng dụng chủ đề tích phân của học sinh trong cuộc sống
hàng ngày ........................................................................................................ 37
Biểu đồ 2.8. Mối quan tâm của học sinh khi học tập chủ đề tích phân .......... 37

Biểu đồ 2.9. Ý kiến của giáo viên về mức độ cần thiết của việc tăng cường
liên hệ toán học với thực tiễn trong dạy học ................................................... 38
Biểu đồ 2.10. Ý kiến của giáo viên về mức độ thường xuyên đưa các tình
huống thực tiễn vào trong dạy học mơn Tốn ................................................ 38
Biểu đồ 2.11. Ý kiến của giáo viên về mức độ cần thiết của việc bổ sung các
ví dụ, bài tập mang nội dung thực tế vào chương trình dạy học Tốn ........... 39

iii


DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ VÀ HÌNH
Sơ đồ 1.1. Quy trình mơ hình hố tốn học của Blum và Kirsch (1989) ....... 20
Sơ đồ 1.2. Quy trình mơ hình hố toán học theo Schupp (1989) ................... 20
Sơ đồ 1.3. Quy trình mơ hình hố tốn học theo Swetz và Hartzler (1991) ... 21
Sơ đồ 1.4. Quy trình mơ hình hố toán học của Coulange (1998) ................. 21
Sơ đồ 1.5. Quy trình mơ hình hố tốn học của Blum và Leiß (2007) ........... 22
Sơ đồ 1.6. Quy trình mơ hình hố tốn học mơ phỏng theo Stillman và
Galbraith (2006) .............................................................................................. 23
Sơ đồ 1.7. Quy trình mơ hình hố theo PISA (2006)...................................... 24
Sơ đồ 1.8. Quy trình mơ hình hố tốn học của Kaiser và Stender (2013) .... 24

iv


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... i
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................................................... ii
DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ ............................................................ iii
DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ VÀ HÌNH ............................................................ iv
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1

1. Lí do chọn đề tài ..................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .............................................................................. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.............................................................................. 2
4. Câu hỏi nghiên cứu ................................................................................. 3
5. Giả thuyết nghiên cứu ............................................................................. 3
6. Đối tượng và khách thể nghiên cứu ........................................................ 3
7. Phạm vi nghiên cứu ................................................................................ 3
8. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................ 4
9. Cấu trúc của luận văn.............................................................................. 4
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ DẠY HỌC MƠ HÌNH HỐ
TỐN HỌC TRONG CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN ................................................. 5
1.1. Tổng quan nghiên cứu về dạy học mơ hình hố tốn học ................... 5
1.1.1. Tổng quan nghiên cứu ở nước ngoài ................................................ 5
1.1.2. Tổng quan nghiên cứu ở trong nước................................................. 7
1.2. Lí luận về mơ hình hố Tốn học ...................................................... 11
1.2.1. Tốn học và thực tiễn...................................................................... 11
1.2.2. Mơ hình hố tốn học ..................................................................... 14
1.3. Nội suy đa thức .................................................................................. 25
1.3.1. Khái quát về vấn đề nội suy đa thức ............................................... 25
1.3.2. Nội suy bằng đa thức Lagrange ...................................................... 26
Kết luận chương 1 ........................................................................................... 28

v


CHƯƠNG 2: CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ DẠY HỌC MƠ HÌNH
HỐ TỐN HỌC TRONG CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN...................................... 29
2.1. Chương trình dạy học chủ đề Tích phân ở trường THPT ................. 29
2.1.1. Mục tiêu .......................................................................................... 29
2.1.2. Nội dung.......................................................................................... 30

2.2. Khái quát về quá trình tổ chức khảo sát thực trạng ........................... 32
2.2.1. Mục đích ......................................................................................... 32
2.2.2. Mơ tả công cụ.................................................................................. 32
2.3.3. Cách tiến hành ................................................................................ 32
2.2.4. Đối tượng khảo sát .......................................................................... 33
2.3. Thực trạng dạy học chủ đề Tích phân tại trường THPT Cổ Loa....... 33
2.3.1. Giới thiệu về địa bàn nghiên cứu – trường THPT Cổ Loa ............. 33
2.3.2. Về khảo sát học sinh ....................................................................... 34
2.3.3. Về khảo sát giáo viên ...................................................................... 38
Kết luận chương 2 ........................................................................................... 40
CHƯƠNG 3: QUY TRÌNH TỔ CHỨC VÀ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG DẠY
HỌC MƠ HÌNH HỐ TỐN HỌC TRONG CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN ......... 41
3.1. Quy trình tổ chức hoạt động mơ hình hố tốn học trong dạy học chủ
đề tích phân ............................................................................................... 41
3.1.1. Quan sát, tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, phân tích, làm rõ và đơn giản
hố vấn đề, xác định các biến số, tham số trong phạm vi tình huống thực
tế. ............................................................................................................... 41
3.1.2. Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố (biến số, tham số) đã
đưa ra......................................................................................................... 42
3.1.3. Xây dựng bài toán bằng cách sử dụng ngơn ngữ tốn học mơ tả tình
huống (có tính toán đến mức độ phức tạp của bài toán)........................... 42
3.1.4. Áp dụng các phương pháp và công cụ, phương tiện Toán học phù
hợp để giải bài toán. .................................................................................. 43
3.1.5. Hiểu được lời giải của bài tốn, ý nghĩa của mơ hình tốn học trong
thực tế. ....................................................................................................... 44

vi


3.1.6. Kiểm nghiệm ưu điểm và hạn chế, kiểm tra tính hợp lý và tối ưu

của mơ hình đã thiết kế. ............................................................................ 45
3.1.7. Thơng báo kết quả, giải thích, dự đốn thực tiễn và điều chỉnh, cải
tiến mơ hình hoặc xây dựng mơ hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù
hợp với thực tiễn. ...................................................................................... 45
3.2. Thiết kế hoạt động dạy học mơ hình hố tốn học trong chủ đề tích
phân ........................................................................................................... 46
3.2.1. Hoạt động tính gần đúng diện tích hình phẳng............................... 46
3.2.2. Hoạt động tính gần đúng thể tích vật thể ........................................ 54
Kết luận chương 3 ........................................................................................... 62
CHƯƠNG 4: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................... 63
4.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm .................................................. 63
4.1.1. Mục đích thực nghiệm .................................................................... 63
4.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm ................................................................... 63
4.2. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm ................................................... 63
4.2.1. Kế hoạch thực nghiệm .................................................................... 63
4.2.2. Nội dung thực nghiệm .................................................................... 64
4.2.3. Đối tượng thực nghiệm ................................................................... 74
4.2.4. Tiến hành thực nghiệm ................................................................... 74
4.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ........................................................... 75
4.3.1. Đánh giá định lượng ....................................................................... 75
4.3.2. Đánh giá định tính........................................................................... 76
Kết luận chương 4 ........................................................................................... 78
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 79
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................ 80
PHỤ LỤC

vii


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Sự phát triển nhảy vọt của khoa học kĩ thuật trong xã hội hiện nay địi
hỏi một nguồn nhân lực có trình độ cao và phù hợp. Để khơng nằm ngồi xu
thế đó, nhiều phương án, biện pháp đã được nước ta tiến hành nhằm đổi mới
giáo dục và đào tạo, đặc biệt là đổi mới về phương pháp dạy học.
Trong thực tế, nhiều giáo viên có cách dạy theo hướng tiếp cận nội
dung, cụ thể là giáo viên đưa ra lí thuyết rồi giải thích, chứng minh, sau đó
chữa một số bài tập mẫu; học sinh ghi chép, cố gắng tiếp thu nội dung giáo
viên truyền đạt và giải các bài tập tương tự.... Với cách dạy và cách học như
vậy thì bản thân giáo viên chưa thấy thoả mãn về bài dạy của mình, học sinh
chưa hiểu được bản chất của vấn đề, ít có cơ hội phát triển tư duy sáng tạo.
Hệ quả là năng lực tư duy và giải quyết vấn đề của học sinh khó đáp ứng
được nhu cầu ngày càng cao của xã hội hiện nay. Do đó, việc dạy và học của
giáo viên và học sinh cần được đổi mới căn bản và toàn diện theo hướng tiếp
cận phát triển năng lực.
Chương trình giáo dục phổ thơng mới (Ban hành kèm theo Thông tư số
32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục
và Đào tạo) đưa ra một trong các mục tiêu chủ yếu của mơn Tốn là “Hình
thành và phát triển năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng
lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mơ hình hố tốn học; năng lực
giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng
cơng cụ, phương tiện học tốn.” Trong đó, năng lực mơ hình hố tốn học là
một loại năng lực đặc thù của toán học giúp học sinh phân tích và đưa vấn đề
thực tiễn về một mơ hình toán học. Trong thực tế, chúng ta bắt gặp nhiều vấn
đề xung quanh cần sử dụng đến tốn học, ví dụ như tính tốn thời gian cạn
nước của một cái ao, tính diện tích mảnh vườn hay tính thể tích của một quả
lê,… Đó là những vấn đề tưởng chừng như quen thuộc nhưng khơng thể tính
tốn được chính xác nếu như khơng có một cơng cụ hay mơ hình toán học đủ
tốt để giải quyết.

1


Chủ đề tích phân trong chương trình lớp 12 hiện hành là một chủ đề
khó đối với học sinh và thường xuyên xuất hiện trong các kì thi. Nhiều học
sinh chỉ quan tâm đến việc tính tốn và giải một số bài toán cụ thể mà quên
mất hoặc bỏ qua bản chất của tích phân. Hơn nữa, hiện nay thế giới đã phát
triển nhiều phần mềm và cơng cụ tốn học giúp người dùng tính tốn tích
phân một cách chính xác, nhanh chóng và đơn giản như PhotoMath, miniCAS [13]. Vì vậy, việc học sinh chỉ quan tâm đến việc tính tốn và giải bài
tập để phục vụ cho thi cử đã vơ tình làm mất đi vẻ đẹp của Tốn học và chủ
đề tích phân.
Trước tình hình đó, tơi lựa chọn đề tài “Dạy học mơ hình hố tốn học
cho học sinh lớp 12 trường trung học phổ thông Cổ Loa – Hà Nội trong chủ
đề tích phân” nhằm tăng hiệu quả dạy và học chủ đề tích phân, làm rõ mối
liên hệ giữa chủ đề này với thực tiễn.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là vận dụng quy trình mơ hình hố
tốn học trong dạy học chủ đề tích phân cho học sinh lớp 12 ở trường THPT
Cổ Loa – Hà Nội, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học mơn Tốn và
giúp rèn luyện khả năng giải quyết các vấn đề thực tế của học sinh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu đặc điểm và quy trình mơ hình hố tốn học trong dạy
học Tốn THPT và chủ đề tích phân.
- Nghiên cứu đặc điểm của chủ đề tích phân trong chương trình Tốn
THPT theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh.
3.2. Nghiên cứu thực trạng
Khảo sát chương trình, thực trạng dạy học mơ hình hố tốn học trong
chủ đề tích phân ở trường THPT Cổ Loa – Hà Nội.

2


3.3. Nghiên cứu biện pháp
- Xây dựng hệ thống các hoạt động mơ hình hố tốn học trong dạy học
chủ đề tích phân.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu và đánh
giá hiệu quả của việc vận dụng mơ hình hố tốn học trong dạy học chủ đề
tích phân ở trường THPT Cổ Loa – Hà Nội.
4. Câu hỏi nghiên cứu
- Quy trình thực hiện mơ hình hố tốn học trong dạy học chủ đề tích
phân được thực hiện theo các bước nào?
- Các hoạt động nào có thể được sử dụng để phát triển năng lực mơ
hình hố tốn học cho học sinh trong dạy học chủ đề tích phân?
5. Giả thuyết nghiên cứu
Nếu dạy học chủ đề tích phân ở trường THPT theo mơ hình hố tốn
học sẽ làm tăng hiệu quả học tập, giúp học sinh lĩnh hội kiến thức một cách
chủ động, hiểu được mối liên hệ giữa chủ đề này với thực tiễn, từ đó khơi gợi
hứng thú và niềm say mê học tập mơn Tốn và chủ đề tích phân, góp phần
hình thành năng lực mơ hình hố tốn học ở học sinh.
6. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
6.1. Đối tượng nghiên cứu
Quy trình thực hiện và các hoạt động dạy học mơ hình hố tốn học
trong chủ đề tích phân cho học sinh lớp 12 ở trường THPT Cổ Loa – Hà Nội.
6.2. Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học chủ đề tích phân ở trường THPT Cổ Loa – Hà Nội.
7. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu chỉ giới hạn phạm vi về quy trình tổ chức và các hoạt động
dạy học mơ hình hố tốn học trong chủ đề tích phân lớp 12 THPT theo
chương trình Chuẩn của Bộ GD&ĐT, nghiên cứu được thực hiện tại trường

THPT Cổ Loa (Hà Nội).

3


8. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp luận: Thu thập thơng tin, tìm hiểu các tài liệu, bài báo,
nghiên cứu liên quan đến đề tài.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát thực trạng dạy và học
chủ đề Tích phân ở trường THPT Cổ Loa. Điều tra nhận thức của giáo viên và
học sinh về sử dụng các tình huống thực tiễn trong dạy học.
- Nghiên cứu thực nghiệm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm tra
tính khả thi và hiệu quả của quy trình và các hoạt động đã đề xuất.
9. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn cịn có bốn
chương:
- Chương 1: Cơ sở lí luận của vấn đề dạy học mơ hình hố tốn học
trong chủ đề tích phân.
- Chương 2: Cơ sở thực tiễn của vấn đề dạy học mơ hình hố tốn học
trong chủ đề tích phân.
- Chương 3: Quy trình tổ chức và một số hoạt động dạy học mơ hình
hố tốn học trong chủ đề tích phân.
- Chương 4: Thực nghiệm sư phạm.

4


CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ DẠY HỌC MƠ HÌNH
HỐ TỐN HỌC TRONG CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN
1.1. Tổng quan nghiên cứu về dạy học mơ hình hố tốn học

1.1.1. Tổng quan nghiên cứu ở nước ngồi
Về mơ hình hố tốn học
Mơ hình hố tốn học là lĩnh vực được các nhà khoa học quan tâm
nghiên cứu từ lâu trong giáo dục toán học, đặc biệt trong vài thập kỷ gần đây.
Trong bài phát biểu tại ICME 3 (Karlsruhe, 1976), Pollak đóng góp
định nghĩa cho thuật ngữ Mơ hình hố (Modelling). Để làm rõ thuật ngữ này,
ơng phân biệt bốn khái niệm của Toán Ứng dụng:
- Toán Ứng dụng cổ điển (Các nhánh của Phân tích tốn học có ứng
dụng vào Vật lý)
- Tốn học có ý nghĩa thực tế (Thống kê, Đại số tuyến tính, Cơng nghệ
thơng tin, Phân tích tốn học)
- Mơ hình hố một lần (chu trình mơ hình hố chỉ trải qua một lần)
- Mơ hình hố (chu trình mơ hình hố lặp lại nhiều lần)
Vào những năm cuối thế kỷ XIX, đầu thế kỷ XX, nhiều nhà khoa học
như Pollak, Blum, Kaiser, Swetz, Hartzler, Stillman, Galbraith,… đã đưa ra
những quy trình mơ hình hố tốn học và khơng ngừng cải tiến quy trình đó.
Về cơ bản, quy trình mơ hình hố gồm các giai đoạn: quan sát tình huống
thực tiễn, phác thảo tình huống và phát hiện các yếu tố quan trọng ảnh hưởng
đến tình huống; thiết lập mơ hình tốn học bằng cách sử dụng ngơn ngữ tốn
học mơ tả mối quan hệ giữa các yếu tố trong tình huống; áp dụng các phương
pháp và cơng cụ tốn học thích hợp để xử lý bài tốn trong mơ hình; thu được
kết quả, đối chiếu, kiểm nghiệm mơ hình với thực tế và đưa ra kết luận.
Neumaier [50] đã chỉ ra những lợi ích của mơ hình hố tốn học và đưa
ra danh sách những lĩnh vực có sự ứng dụng mạnh mẽ của mơ hình hố tốn

5


học như khảo cổ học, kiến trúc, trí tuệ nhân tạo, sinh học, hố học, cơng nghệ
thơng tin, cơ khí, y học, vật lý, khí tượng thuỷ văn,….

Về dạy học mơ hình hố Tốn học
Trong [38], Blum đã đưa ra 10 khía cạnh quan trọng của phương pháp
dạy học mơ hình hố tốn học và ứng dụng bao gồm
1. Cần quản lý lớp học hiệu quả và hướng vào người học.
2. Cần thúc đẩy và kích thích các hoạt động nhận thức của người học.
3. Người học cần phải được kích thích khơng chỉ về nhận thức mà cịn
đa nhận thức.
4. Cần có một lượng lớn các ví dụ phù hợp, đa dạng trong bài học.
5. Giáo viên nên khuyến khích các giải pháp cá nhân trong các hoạt
động mơ hình hố.
6. Những năng lực như mơ hình hố tốn học hình thành và phát triển
trong quá trình học tập lâu dài, bắt đầu từ cấp bậc tiểu học.
7. Không chỉ việc dạy học mà hoạt động đánh giá phải phản ánh được
chính xác mục đích của việc mơ hình hoá và ứng dụng.
8. Cần quan tâm kỹ lưỡng đến việc phát triển song song giữa năng lực
với phẩm chất, thái độ phù hợp.
9. Nhiều nghiên cứu chỉ ra công nghệ kĩ thuật số có thể được sử dụng
như những cơng cụ đắc lực cho các hoạt động mơ hình hoá.
10. Một số nghiên cứu chỉ ra rằng trên thực tế học sinh THCS đã có thể
học và nắm được quy trình mơ hình hố tốn học nếu như việc giảng dạy thực
sự chất lượng.
Nhiều nghiên cứu và bài báo của Blum, Kaiser, Stillman [36] [37] [46]
đã bàn về vai trị của dạy học mơ hình hố tốn học, phân tích những khó
khăn có thể gặp phải trong lớp học, những cơ hội và rủi ro khi sử dụng máy
tính hỗ trợ trong dạy học mơ hình hố tốn học và đặc biệt là cách để giáo
viên và học sinh xử lí những vấn đề thực tiễn bằng mơ hình hoá.

6

Tại Hà Lan, quan điểm Giáo dục toán học gắn với thực tiễn (Realistic
Mathematics Education – RME) đã được triển khai thành chương trình do
viện Freudenthal phát triển. Lí thuyết RME cũng đã được nghiên cứu và triển
khai ở nhiều nước trên khắp thế giới. Trong đó, khái niệm mơ hình hố tốn
học là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong lí thuyết RME. Lí
thuyết RME có năm nguyên tắc: nguyên tắc sử dụng ngữ cảnh, nguyên tắc sử
dụng mơ hình, ngun tắc sử dụng sản phẩm tự xây dựng của học sinh,
nguyên tắc tương tác và nguyên tắc lồng ghép trong học tập.
ICTMA được tổ chức hai năm một lần để các nhà nghiên cứu trình bày
những thực trạng và tranh luận về vấn đề dạy và học mơ hình hố tốn học.
Những đóng góp, thành quả của Hội nghị này được ghi lại và xuất bản trong
các ấn phẩm International Perspectives on the Teaching and Learning of
Mathematical Modelling của Springer. Thêm vào đó, nghiên cứu của ICMI có
tên Modelling and Applications in Mathematics Education (được thực hiện
bởi Blum và những tác giả khác, 2007) đã chỉ ra sự phát triển của lĩnh vực
này trên khắp thế giới.
Như vậy, việc nghiên cứu giảng dạy và học tập tốn học thơng qua các
mơ hình tốn học để giải quyết những vấn đề thực tiễn đang ngày càng phát
triển và phổ biến trên khắp thế giới. Tuy nhiên, những nghiên cứu này không
đi sâu và nghiên cứu trực tiếp vào những dạng toán cụ thể ở cấp bậc THPT.
1.1.2. Tổng quan nghiên cứu ở trong nước
Về năng lực mô hình hố tốn học
Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn 2018 nêu rõ: “Mơn Tốn ở
trường phổ thơng góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu,
năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ
năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học
vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với
thực tiễn, giữa Tốn học với các mơn học và hoạt động giáo dục khác, đặc

7

biệt với các môn Khoa học, Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hố học, Sinh học,
Cơng nghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM” [8].
Việc dạy học mơn Tốn ở trường THPT theo hướng phát triển năng lực
cho học sinh phải thông qua tổ chức các hoạt động sao cho học sinh được
“trải nghiệm, đo đạc, tính tốn, mị mẫm, dự đoán, xác minh, bác bỏ hay
khẳng định vấn đề” [17].
Năng lực mơ hình hố tốn học là một trong năm năng lực đặc thù của
mơn Tốn bao gồm năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mơ hình
hố tốn học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán
học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn. Năng lực mơ hình hố
tốn học u cầu ở học sinh cấp THPT thiết lập được những mơ hình tốn học
để mơ tả và giải quyết tình huống đặt ra trong một số bài tốn thực tiễn, đồng
thời lí giải tính đúng đắn của lời giải, biết đơn giản hoá và điều chỉnh những
yêu cầu thực tiễn để đưa đến những bài tốn giải được.
Trong nghiên cứu về khung năng lực mơ hình hóa tốn học của học
sinh trung học phổ thơng, năng lực mơ hình hóa tốn học được phân chia bởi
một số thành tố năng lực, các chỉ báo và cấp độ cơ bản sau: (1) Năng lực nhận
diện tình huống mơ hình tốn học từ bối cảnh thực tiễn, (2) Năng lực sử dụng
ngơn ngữ trong q trình mơ hình hóa tốn học, (3) Năng lực sử dụng cơng
cụ, phương tiện học tốn, (4) Năng lực xây dựng mơ hình tốn học, (5) Năng
lực làm việc với mơ hình tốn học, (6) Năng lực đánh giá, điều chỉnh mơ hình
[22].
Về dạy học mơ hình hố tốn học
Theo [21], những vai trị của phương pháp mơ hình hố tốn học trong
dạy học Tốn ở trường trung học phổ thơng gồm:
1. Tăng cường liên hệ toán học với thực tiễn.
2. Phát triển các dự án học tập.
3. Tăng cường hợp tác nhóm.

8


4. Phát triển năng lực phân tích vấn đề.
5. Phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn.
6. Phát triển tư duy sáng tạo, tư duy thống kê.
7. Phát triển kỹ năng sử dụng công nghệ thông tin.
Tác giả [1] đã trình bày một số lí do cần thiết của mơ hình hóa trong
dạy học tốn, chỉ ra các yếu tố cơ bản của chu trình mơ hình hóa và minh họa
cho các yếu tố đó; giới thiệu tóm tắt lịch sử và các tiếp cận lí thuyết về mơ
hình hóa trong giáo dục tốn để thấy được sự quan tâm của thế giới trong lĩnh
vực này.
Theo [11], quá trình mơ hình hố tốn học được mơ tả qua 4 bước: (1)
Xây dựng mơ hình trung gian của vấn đề; (2) Xây dựng mơ hình tốn học cho
vấn đề đang xét; (3) Sử dụng các cơng cụ tốn học để khảo sát và giải quyết
bài tốn hình thành ở bước 2; (4) Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu
được trong bước 3.
Trong nghiên cứu quy trình vận dụng phương pháp mơ hình hóa trong
dạy học Tốn ở trường phổ thông, từ cơ chế điều chỉnh hoạt động mơ hình
hố [20], Nguyễn Danh Nam đã đề xuất bảy bước tổ chức hoạt động mơ hình
hố trong dạy học mơn Tốn như sau:
- Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản
hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề
thực tế.
- Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra.
- Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngơn ngữ
Tốn học mơ tả tình huống thực tế cũng như tính tốn đến độ phức tạp của nó.
- Bước 4: Sử dụng các cơng cụ tốn học thích hợp để giải bài tốn.
- Bước 5: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mơ hình Tốn

học trong hồn cảnh thực tế.

9


- Bước 6: Kiểm nghiệm mơ hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính
hợp lí và tối ưu của mơ hình đã xây dựng.
- Bước 7: Thơng báo, giải thích, dự đốn, cải tiến mơ hình hoặc xây
dựng mơ hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn.
Trần Trung và các tác giả [29] đã chỉ ra khả năng ứng dụng công nghệ
thông tin vào dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng gồm: Đổi mới phương
pháp dạy học, vận dụng toán học vào thực tiễn, tạo môi trường dạy học mới
giàu thông tin, đổi mới kiểm tra đánh giá kết quả học tập mơn Tốn của học
sinh.
Trong [15], các tác giả đã chỉ ra bốn giai đoạn của quy trình mơ hình
hố tốn học theo Swetz & Hartzler và làm rõ từng bước trong q trình mơ
hình hố các bài tốn tiểu học: (1) Tốn học hố: Hiểu tình huống thực tiễn;
(2) Giải bài tốn; (3) Thơng hiểu; (4) Đối chiếu, kiểm định kết quả. Ngồi ra,
hai tác giả cịn đưa ra một số ví dụ cụ thể minh hoạ việc vận dụng mơ hình
hố tốn học trong dạy học Tốn ở tiểu học.
Theo [27], bốn bước mơ hình hố trong dạy học giải tốn bằng cách lập
phương trình cho học sinh THCS được đề xuất như sau: (1) Quan sát và thu
thập số liệu của các tình huống thực tiễn liên quan trực tiếp đến việc tìm giải
pháp cho vấn đề; (2) Từ các yếu tố của tình huống thực tiễn, xem xét mối
quan hệ để biểu diễn tình huống thành một bài tốn có liên quan đến các
phương trình; (3) Giải bài toán đã được thiết lập bằng cách lập và giải các
phương trình; (4) Đối chiếu kết quả của lời giải với mơ hình thực tiễn và kết
luận.
Trong [26], các tác giả đã xây dựng chiến lược dạy học khái niệm
logarit bằng cách sử dụng lý thuyết dạy học mô hình hố tốn học.

Về dạy học mơ hình hố tốn học trong chủ đề tích phân
Năm 2019, trong [13], Cường và Thắng đã đưa ra một số đề xuất về
xác định mục tiêu một cách cụ thể, lựa chọn, bổ sung, sắp xếp nội dung cũng

10


như một số gợi ý tổ chức hoạt động dạy học trong dạy học nội dung Nguyên
hàm - Tích phân theo định hướng phát triển năng lực.
Năm 2021, trong [14], Cường và Thắng tiếp tục bàn về việc dạy học
chủ đề Nguyên hàm – Tích phân thế nào cho tốt và phát triển được năng lực
của học sinh. Một chuỗi hoạt động dạy học chủ đề Nguyên hàm – Tích phân
được hai tác giả đề xuất như sau:
(1) Tiếp cận khái niệm tích phân bằng hoạt động trải nghiệm đo đạc
diện tích một số hình phẳng;
(2) Dạy kiến thiết khái niệm nguyên hàm bằng cách giao nhiệm vụ cho
học sinh tự xây dựng nên họ nguyên hàm trong khi tìm cơng thức S  x  của
hàm diện tích rồi kiểm nghiệm S   x   f  x  .
(3) Dạy công thức Newton – Leibnitz như giải pháp cho vấn đề tìm
diện tích chính xác;
(4) Dạy ứng dụng của tích phân.
Theo [25], tác giả đã đề xuất một giáo án dạy học tư tưởng tích phân
xác định như là giới hạn của một tổng Riemann thông qua dạy học tình huống
tính diện tích hình thang cong cho học sinh trung học phổ thông Việt Nam.
Tuy nhiên, chưa có cơng trình nghiên cứu nào đi sâu về các hoạt động
dạy học mơ hình hố tốn học trong chủ đề tích phân ở trường THPT. Do đó,
người viết chọn đề tài này nhằm đề xuất một quy trình tổ chức hoạt động mơ
hình hố trong dạy học tích phân và thiết kế một số hoạt động mơ hình hố
tốn học mà giáo viên có thể tổ chức cho học sinh trong chủ đề này.
1.2. Lí luận về mơ hình hố Tốn học

1.2.1. Tốn học và thực tiễn
Tốn học là một khoa học có tính ứng dụng phổ dụng. Việc loại bỏ tính
ứng dụng ra khỏi tốn học giống như việc đi tìm một thực thể sống mà chỉ
cịn bộ xương. Khả năng ứng dụng vào thực tiễn không chỉ là nhu cầu khách

11


quan mà còn là cơ sở, nguồn sống và động lực phát triển của tốn học. Lịch
sử hình thành và phát triển của toán học đã xác minh và khẳng định điều đó.
Tốn học được hình thành và phát triển trên cơ sở những hoạt động
thực tiễn của xã hội lồi người. Những kiến thức tốn học ban đầu của loài
người đều bắt nguồn từ nhu cầu thực tiễn đếm và đo các đồ vật. Các số hình
thành và phát triển do nhu cầu thực tiễn của phép đếm các đối tượng
(Calculus nghĩa là đếm bằng đá), cùng với đó các phép tốn cộng, trừ, nhân,
chia có điều kiện hình thành và phát triển. Nhu cầu đo đạc lại đất đai hàng
năm sau mỗi vụ lũ lụt của sông Nile (Ai Cập) đã dẫn đến sự phát sinh của
hình học. Từ nhu cầu khám phá thế giới của con người, ngành hàng hải ra đời
và phát triển đòi hỏi những kiến thức về thiên văn, địa lý, kéo theo sự phát
sinh và phát triển của lượng giác. Sự hình thành quan hệ sản xuất tư bản chủ
nghĩa yêu cầu ngành cơ học phải phát triển, từ đó thúc đẩy phép tính vi phân
và tích phân được hồn chỉnh [24].
Từ nửa đầu thế kỷ XIX, sự ra đời của động cơ hơi nước thúc đẩy kỹ
thuật cơ khí phát triển. Vấn đề nâng cao năng suất của máy đưa vật lý trở
thành khoa học hàng đầu. Những vấn đề về quang, nhiệt, đàn hồi, điện động,
từ trường của trái đất,... đòi hỏi Tốn học cần phát triển, nâng tầm để có thể
giải quyết chúng. Nhờ đó, nhiều kết quả quan trọng về giải tích, phương trình
vi phân, phương trình đạo hàm riêng, hàm biến phức,... được bổ sung vào kho
tàng toán học. Ở thời kỳ Phục hưng, sự phát triển của hội hoạ và kiến trúc dẫn
đến việc nảy sinh môn hình học xạ ảnh. Những vấn đề mới của thiên văn, cơ

học, trắc địa và các khoa học khác trong thời kỳ này cũng là những nguồn
động lực kích thích mới cho sự phát triển toán học [24].
Trong những năm trở lại đây, nhiều bộ mơn tốn học mới ra đời và phát
triển nhanh chóng như thơng tin học, lý thuyết các chương trình tốn học, lý
thuyết máy tự động, lý thuyết độ tin cậy, lý thuyết đại số về các sơ đồ liên lạc

12


về điều khiển,... do sự phát triển của kỹ thuật (từ cơ khí hố lên tự động hố)
và sự ra đời của kỹ thuật tự động hoá [24].
Sự phát minh ra máy tính điện tử đã mở rộng phạm vi ứng dụng của
tốn học. Khoa học máy tính được xem là “khoa học về xử lý thông tin tự
động bằng máy tính điện tử”. Về bản chất, xử lý thơng tin là quá trình biến
đổi dữ liệu từ dạng này sang dạng khác để thu được thông tin và tri thức mới.
Cốt lõi của quá trình “biến đổi dữ liệu” chính là các biến đổi tốn học, và do
vậy cốt lõi của khoa học máy tính cũng chính là tốn học [24].
Gần đây, nhiều ngành giao thoa giữa toán học và các khoa học khác
như ngơn ngữ tốn, kinh tế toán, sinh vật toán ra đời, đánh dấu một xu hướng
mới trong quan hệ giữa toán học và các khoa học khác. Ví dụ như, sinh học
tính tốn (computational biology) hay tin-sinh học (bioinformatics) là ngành
khoa học liên quan đến việc dùng các phương pháp toán học và khoa học máy
tính để nghiên cứu các bài tốn của sinh học, từ đó góp phần phát triển khoa
học về sự sống và sinh-y học. Hiện nay trên thế giới, việc tăng cường các ứng
dụng thực tiễn của toán học đã trở thành xu thế ở nhiều quốc gia, không chỉ là
khẩu hiệu mà có nhiều hành động cụ thể đem lại những hiệu quả to lớn cho
các tập đồn.
Như vậy, nhìn vào q trình phát triển của tốn học, nhu cầu thực tiễn
chính là nguyên nhân quyết định sự phát triển của toán học. Trải qua hơn 20
thế kỷ, toán học đã trở thành một khoa học rất trừu tượng, nhưng ứng dụng

của nó vào thế giới khách quan của con người khơng những suy giảm mà cịn
ngày càng manh mẽ. Tốn học ln gắn liền với thực tiễn, thực tiễn vừa là
nguồn động lực mạnh mẽ vừa là mục tiêu phục vụ cuối cùng của tốn học. Vì
vậy, việc tăng cường tính ứng dụng trong giáo dục tốn học là vấn đề hết sức
quan trọng, và dạy học mơ hình hoá toán học là một trong những xu hướng
trọng tâm của giáo dục toán học hiện đại.

13


1.2.2. Mơ hình hố tốn học
1.2.2.1. Khái niệm mơ hình
Mơ hình được hiểu là một vật, một mẫu, một đại diện, một minh hoạ
mang những đặc trưng của một sự vật, một con người hay một hệ thống. Mơ
hình được xây dựng nhằm mô tả cấu trúc của hệ thống và cách thức vận hành
của một hoặc nhiều đối tượng, sự vật bên trong hệ thống. Chính vì vậy, thơng
qua mơ hình đó, ta có thể khám phá, nghiên cứu những thuộc tính, đặc điểm
của đối tượng mà khơng cần đến vật thật.
Theo Stachowiak [54], một mơ hình cần thoả mãn ba tính chất sau:
- Tính ánh xạ (Mapping feature): Một mơ hình phải dựa trên một đối
tượng gốc.
- Tính giản lược (Reduction feature): Một mơ hình chỉ phản ánh một
hoặc một vài mặt nào đó liên quan của đối tượng gốc.
- Tính thực dụng (Pragmatic feature): Một mơ hình được thiết kế phải
phục vụ được cho mục đích nào đó.
Mơ hình được chia làm hai loại:
- Mơ hình vật chất (Physical model): là bản sao vật lý có cấu trúc, đặc
điểm và cách thức vận hành như của đối tượng gốc, nhưng có kích thước khác
với đối tượng gốc. Ví dụ như mơ hình máy bay, mơ hình ngun tử, mơ hình
quy hoạch thành phố,…

- Mơ hình trừu tượng (Conceptual model): là mơ hình lý thuyết tổng
qt được hình thành trong trí não đại diện cho một hệ thống, hiện tượng nào
đó. Ví dụ như mơ hình tính tốn để dự báo thời tiết, hệ tiên đề Euclid,…
Việc thiết kế, lựa chọn mơ hình đại diện cho vật thật phụ thuộc vào ý
đồ, mục đích của người thiết kế mơ hình và hồn cảnh áp dụng mơ hình đó.
Tóm lại, trong phạm vi của luận văn này, tác giả dựa trên định nghĩa sau: Mơ
hình là một hình thức minh hoạ thay thế, được thiết kế đại diện cho đối tượng

14


thực tế nhưng vẫn giữ được các đặc trưng của đối tượng đó nhằm phục vụ
cho mục đích nhất định [18].
Mơ hình sẽ có những đặc trưng cơ bản như sau:
- Mơ hình bảo tồn các mối quan hệ cơ bản của đối tượng thực tế ban
đầu, thể hiện được những tính chất và quan hệ của vật thật.
- Mơ hình chỉ phản ánh đến một mức độ hay một (vài) mặt nào đó của
đối tượng ban đầu. Do đó, mơ hình khơng thể thay thế hồn tồn đối tượng
gốc.
- Mơ hình mang tính chất khái qt, lí tưởng do được ra đời nhờ q
trình trừu tượng hố, lí tưởng hố một đối tượng thực tế cụ thể.
- Mơ hình khơng cố định mà có thể được cải tiến, biến đổi, tiến hố để
phù hợp với sự vận động khơng ngừng của thực tiễn và góp phần dự đốn
thực tiễn.
1.2.2.2. Mơ hình tốn học
Theo Từ điển bách khoa tồn thư, mơ hình tốn học là mơ hình trừu
tượng sử dụng ngơn ngữ tốn để mơ tả về một hệ thống. Bắt đầu từ một tình
huống hay một vấn đề trong thực tiễn, người ta sẽ đơn giản hoá, cấu trúc lại
và lảm rõ hơn vấn đề trong đó. Điều này dẫn tới việc xây dựng một mơ hình
của vấn đề thực tiễn. Mơ hình này khơng chỉ đơn thuần là một hình ảnh phản

chiếu một hay một vài khía cạnh có sẵn của vật thật, mà cịn phụ thuộc vào ý
đồ và mục đích của người thiết kế mơ hình. Sau đó, mơ hình sẽ được tốn học
hố và trở thành mơ hình tốn học. Chung quy lại, mơ hình toán học là đại
diện trừu tượng minh hoạ cho đối tượng thực tế, đơn giản hơn vật thật nhưng
giữ được một số đặc trưng và có sự ứng dụng của tốn học trong đó. Tuy
nhiên, đối tượng thực tế thường phức tạp đến mức khơng thể chuyển hố hồn
tồn thành mơ hình tốn học. Do đó, một mơ hình tốn học được thiết kế chỉ
phản ánh được một phần nào đó của đối tượng thực tế mà thơi.

15


Trong nhiều trường hợp, nhiều mơ hình tốn học sẽ được xây dựng cho
cùng một đối tượng. Việc giải quyết vấn đề thực tiễn được thực hiện thông
qua việc lựa chọn phương pháp phù hợp và làm việc với mô hình tốn học đã
xây dựng. Kết quả thu được sẽ được đem đối chiếu và áp dụng vào thực tiễn,
điều này cũng tác động ngược lại khiến các nhà khoa học khơng ngừng học
hỏi và cải tiến mơ hình tốn học đã thiết kế. Chỉ cần một biến số khác thường
xảy ra trong thực tế, mơ hình tốn học sẽ được nghiên cứu điều chỉnh và cải
tiến, thậm chí thiết kế lại cho phù hợp với tình huống thực tế.
Theo Greefrath và Vorhưlter [44], dựa trên mục đích của việc thiết kế,
mơ hình tốn học có thể chia làm hai loại: mơ hình mơ tả (Descriptive
Models) và mơ hình quy phạm (Normative Models). Mơ hình mơ tả được
dùng để miêu tả và cuối cùng là giải quyết vấn đề thực tiễn, cịn mơ hình quy
phạm được thiết kế để nhắm đến việc tạo ra các quy tắc toán học nhằm giúp
đưa ra quyết định trong những tình huống cụ thể.
Mơ hình thuần mơ tả
(Only descriptive)

Mơ hình mơ tả

(Descriptive Models)
Mơ hình Tốn học
(Mathematical Models)

Mơ hình lý giải
(Explanatory)
Mơ hình xác định
(Deterministic)
Mơ hình xác suất
(Probabilistic)

Mơ hình quy phạm
(Normative Models)
1.2.2.3. Mơ hình hố tốn học
Haines và Crouch [45] khái qt mơ hình hố tốn học là một chu trình
tuần hồn mà trong đó những vấn đề thực tiễn được “dịch” sang ngôn ngữ

16