Chuyên đề bất đẳng thức trong tam giác docx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (970.48 KB, 92 trang )
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 0
www.vuihoc24h.vn - Kênh hc tp Online
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 1
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 2
LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình toán THPT, Bất Đẳng Thức là một phân môn khó
nhưng lại thường bắt gặp trong những kì thi quan trọng như tuyển sinh đại
học, thi học sinh giỏi các cấp, các kì thi Olympic trong và ngoài nước… Nhất
là đối với phần Bất Đẳng Thức Trong Tam giác, nó là một dạng toán logic,
người làm các bài toán này cần có những hiểu biết sâu về hình học, lượng
giác và cả đại số.Chính vì thế, tác giả đã tập hợp, phân loại, biên soạn nên
cuốn “Chuyên đề Bất Đẳng Thức Trong Tam Giác”. Cuốn sách trên tay các
bạn là tâm huyết của chúng tôi cùng với sự giúpđở của các thầy cô, nó là
một hệ thống kiến thức từ cơ bản đến chuyên sâu, tập hợp nhiều bài toán
khác nhau thuộc nhiều chuyên đề. Quyển sách gồm 3 phần:
I.BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
II.BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC
III.BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Trong đó, mở đầu bẳng phần kiến thức cơ bản và nâng cao, sau đó là
phần bài tập tham khảo, sau cùng là phần bài tập đề nghị có kèm hướng dẫn
giải.
Do là lần đầu tiên biên soạn chuyên đề, dù đã cố gắng hết sứi cố gắng
cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong các bạn thông cảm.Mọi
góp ý xin gởi về địa chỉ Cuối lời, tác giả
chúc tất cả các bạn một mùa thi 2013 thành công và thắng lợi.Thân ái!
Thành Phố Cần Thơ, ngày 25 tháng 09 năm 2012
Ngô Hoàng Toàn
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 3
MỤC LỤC
Chương Trang
I.BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 4
II.BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 30
III.BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 51
-
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 4
CHƯƠNG 1:
CÔNG THỨC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG
1. Định lí hàm số Cosin.
a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc cosA
b
2
= a
2
+ c
2
– 2ac cosB
c
2
= a
2
+ b
2
– 2ab cosC
2. Định lí hàm số Sin
R
C
c
B
b
A
a
2
sin
sin
sin
(với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
3. Định lí trung tuyến.
2
2
2
222
BC
AMACAB
4. Công thức về diện tích
cba
cba
rcprbprapS
cpbpappS
cba
pprS
R
abc
S
CabBacAbcS
chbhahS
)()()(
))()((
)
2
(
2
sin
2
1
sin
2
1
sin
2
1
2
1
2
1
2
1
kính đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C ).
( với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC; r
a
, r
b
, r
c
lần lượt là bán
5. Công thức bán kính đường tròn nội tiếp
www.vuihoc24h.vn - Kênh hc tp Online
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 5
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin4
))()((
2
tan)(
2
tan)(
2
tan)(
C
BA
c
B
AC
b
A
CB
a
r
CBA
R
p
cpbpap
p
S
r
C
cp
B
bp
A
apr
6. Công thức về bán kính đường tròn bàng tiếp
2
cos
2
cos
2
cos
2
tan.
A
CB
a
A
pr
a
2
cos
2
cos
2
cos
2
tan
2
cos
2
cos
2
cos
2
tan
C
BA
c
C
pr
A
CA
b
B
pr
c
b
7. Công thức tính độ dài đường phân giác trong
)(
2
2
cos2
)(
2
2
cos2
)(
2
2
cos2
cpabp
baba
C
ab
l
bpacp
caca
B
ac
l
apbcp
cbcb
A
bc
l
c
b
a
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 6
BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1:
Cho
ABC
nhọn, M nằm trong ABC
, x, y, z là khoảng cách từ M đến ba
cạnh BC, AC, AB . CMR:
R
cba
zyx
2
222
Hướng dẫn giải
Ta có
2
222
222
222
111
2
2
42
1
2
1
2
1
zyx
yzxzxyzyxz
b
c
y
c
b
z
a
c
x
c
a
y
a
b
x
b
a
zyx
czbyax
cba
abc
czbyaxacbcab
abc
czbyax
cba
R
cba
R
abc
czbyax
R
abc
czbyaxS
Vậy
R
cba
zyx
2
222
Bài 2: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh
ABC
có chu vi là 2p. Chứng minh rằng:
a)
8
abc
cpbpap
b)
cbacpbpap
111
2
111
Hướng dẫn giải
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 7
a)Theo BĐT Cauchy
)3(
2
2
)2(
22
)1(
22
acpbp
cpbp
cbpap
bpap
bcpap
cpap
Lấy (1)(2)(3) ta được
8
abc
cpbpap Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
b) Theo BĐT Cauchy
acpbp
cpbp
a
cpbp
cpbp
cpbpcpbpa
411
4
11
211
2
Chứng minh tương tự
capbp
bcpap
411
411
Vậy
cbacpbpap
111
2
111
Bài 3: Cho
ABC
có S là diện tích và a,b,c là độ dài các cạnh. Chứng minh
rằng
4442
16
1
cbaS
Hướng dẫn giải
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 8
Theo công thức Hê rông
4442
444444444
222222444
22222244422
2
22222
222222
2
22
2
2
16
1
16
1
222
16
1
2224
16
1
4
16
1
22
16
1
16
1
cbaS
cbacbacba
cbcabacba
cbcabacbacb
acbcb
acbbcbcacb
cbaacbS
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
Bài 4: Cho
cba
hhh
,,
là độ dài ba đường cao của tam giác có bán kính đường
tròn nội tiếp là r
Chứng minh rằng
r
h
h
h
h
h
h
a
b
b
c
c
a
1
222
Hướng dẫn giải
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 9
Ta có
r
h
h
h
h
h
h
rS
cba
cbacba
S
cbaa
a
c
c
c
b
b
b
a
S
Sa
c
Sc
b
Sb
a
h
h
h
h
h
h
rcbachbhahS
a
b
b
c
c
a
a
b
b
c
c
a
cba
1
1
2
222
2
1
2
1
222
2
222
222
222
222
Dấu “=” xảy ra khi
ABC
đều
Bài 5: Chứng minh rằng không tồn tại tam giác có độ dài các đường cao là
51, 5 ,1
Hướng dẫn giải
Cách 1
Giả sử tồn tại tam giác có độ dài các đường cao là 15h ,5h ,1
cb
a
h ,
các cạnh tương ứng là cba ,,
Ta có :
ca
h
S
a
h
2S
c ,
h
2S
b ,
2
b
405625 )59(25
5925 5555420
4
15
5
5
1
51
1
5
1
1
1
111
222
22
cbacba
hhhh
S
h
S
h
S
(Vô lí)
Vậy không tồn tại một tam giác mà độ dài ba đường cao là 5,1 5 ,1
Cách 2
Tương tự trên ta có :
)51.(5.1.2 cbaS
Do đó
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 10
cbacba
cbcbaaa
)(22
44)51(52
(Vô lí!)
Vậy không tồn tại một tam giác mà độ dài ba đường cao là 5,1 5 ,1
Bài 6:
Gọi H là đường cao ứng với cạnh huyền và r là bán kính đường tròn nội tiếp
tam giác vuông. Chứng minh rằng 5,2
r
h
Hướng dẫn giải
OAD
vuông cân
OMOAAM
HMAHAMAH
rODOA
)(
22
Do đó )12(2 rrrh
Mà 5,125,22
Do đó
5,25,2
r
h
rh
Cách 2:
2rOA
Vẽ )( OHKAHOK tứ giác
KOMH
Là
hình chữ nhật
5,22)(
rrmàOKAKOAAK
r
OM
KH
Do đó 5,22
r
h
rrKHAKAH
Cách 3:
2 2 2 2
2 2
( ) 0 2
( ) 2 2
( 2 1) 2 1
b c bc b c a
b c a b c a
a b c
a b c a
a
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 11
Chứng minh được
; 2 1 2,5
h a b c
r a
Do đó 5,2
r
h
Bài 7: Cho
ABC
có diện tích bằng 4 (đơn vị diện tích) . Trên các cạnh
BC,CA,AB lấy lần lượt các điểm A’,B’,C’ Chứng minh rằng : trong tất cả các
tam giác AB’C’,A’BC’,A’B’C có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn hay
bằng 1 (đơn vị diện tích).
Hướng dẫn giải
Đặt
4
''
''
''
ABC
CBAC
BCAB
CABA
SS
SS
SS
SS
và
)1,0(
)1,0(
)1,0(
'
CA
CB
c
BC
BA
b
AB
AC
a
Lúc đó:
c)-4a(1SA
c)1(
'
.sinA.
2
1
sin'.'.
2
1
a
AC
AB
a
ACAB
AABAC
S
SA
tương tự ta có :
)1(4
)1(4
bcS
abS
c
B
Giả sử 1,,
CBA
SSS
Cách 1
Lúc đó :
(1) 1)1().1().1(64 ccbbaaSSS
CBA
nhưng
(2) 11.1.1)12(1)12(1)12(1
)1(4)1(4)1(4
222
cba
ccbbaaSSS
CBA
Từ 1 và 2 =>vô lý
vậy :
1
1
1
C
B
A
S
S
S
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 12
Cách 2
Vì vai trò a,b,c như nhau , nên ta có thể xem
10
cba
Vì vậy:
)(1
1)12(1)1(4)1(4
2
dpcmS
ccccaS
A
A
Bài 8 : Cho k, l, m là độ dài các trung tuyến và R là bán kính đường tròn
ngoại tiếp
ABC
.
Chứng minh :
2
9
R
mlk
Hướng dẫn giải
Ta có :
(1) )(3)(2)(
2222222
mlkmklmklmlkmlk
mà
(2) )(
4
3
)(2
4
1
)(2
4
1
)(2
4
1
222222
2222
2222
2222
cbamlk
cbam
bacl
acbk
và
(3) 9
4
9
.4)(sin
4
1
))cos(
2
1
(cos
4
9
4
)(sin
4
1
- C)(cos
4
1
)cos(coscos
4
9
4
))cos( coscos2(4
))cos().cos(2cos24(2
)2cos12cos1cos22(2
)sinsin(sin4
22222
2222
22
22
22
2222222
RRCBCBAR
CBBCBAAR
CBAAR
CBCBAR
CBAR
CBARcba
từ (1), (2), (3) RmlkRmlk
2
9
9.
4
3
.3)(
22
dấu “=” xảy ra khi
ABC
đều
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 13
Bài 9 : Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác bất kỳ , S là diện tích . Hãy tìm
số thực q nhỏ nhất thỏa mãn : )(
4442
cbaqS
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
42
4
2
3
2
)(
27
.
16
1
27
3
))()((
cbaS
p
S
cpbpap
pcpbpappS
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
(*)
33
444
4
cbacba
Lúc này
)(
16
1
)(
27
1
4442
4444
cbaS
cbacba
Dấu “=” xảy ra
ABC
đều
Chú ý :
Có hai cách chứng minh bất đẳng thức (*)
1/ Nếu dùng BCS hai lần
33
)(27)(
)(33)(3)(
444
4
4444
4442222
cbacba
cbacba
cbacbacba
Dấu “=” xảy ra
cba
(bất đẳng thức đúng cho R
cba ,, )
2/ Nếu dùng Cauchy :
)(3
)()()(
222)(
222
222222222
2222
cba
cacbbacba
cabcabcbacba
Tương tự : )(3)(
444222
cbacba
Vậy
)(27)(
)(3.9)(9
)(3)(
4444
4442222
2
222
2
2
4
cbacba
cbacba
cbacbacba
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 14
Hay :
33
444
4
cbacba
Bài 10: Cho
ABC
. Gọi
cba
mmm ,, lần lượt là 3 trung tuyến của tam giác, xuất
phát từ A,B,C và cABbCAaBC
,, .
Chứng minh rằng :
a) 32
cba
m
c
m
b
m
a
b)
2
33
c
m
b
m
a
m
cba
Hướng dẫn giải
a) Ta có
222
2
222
22222
222
2
32
cauchy) (BĐB )(23.2
)(2)3()2(
)(24
cba
a
m
a
cbaam
cbaam
acbm
a
a
a
a
Dấu “=” xảy ra
2
3a
m
a
Chứng minh tương tự
32
32
32
222
2
222
2
cba
c
b
m
c
m
b
m
a
cba
c
m
c
cba
b
m
b
Dấu “=” xảy ra
C
đều
b) Theo câu (a):
222
2
222
32
3.2
c
b
a
m
a
m
cbaam
aa
a
Chứng minh tương tự
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 15
2
33
)(32
32
32
222
222
222
2
222
2
cba
mmm
c
m
b
m
a
m
cba
m
c
m
cba
m
b
m
cbacba
cc
bb
(Vì )(
4
3
222
222
cbammm
cba
)
Dấu “=” xảy ra
C
đều
Chú ý :
cbacba
cba
bac
acb
ccba
bbac
aacb
cm
bm
am
c
m
b
m
a
m
c
b
a
cba
222
222
222
222
2222
2222
2222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3)(2
3)(2
3)(2
34
34
34
2
3
C
đều
Do :
)(
4
3
)(3)(4
)(24
)(24
)(24
222
222
222
222
222
2
222
2
222
2
cbammm
cbammm
cbam
bacm
acbm
cba
cba
c
b
a
Bài toán tổng quát bài 10 là :
Chứng minh rằng trong mọi
ABC
, ta luôn có :
a)
n
n
c
n
b
n
a
m
c
m
b
m
a
3
2
3
b)
n
n
c
n
b
n
a
c
m
b
m
a
m
2
3
3
với n
1
nZ
Bài 11: Cho a,b,c là 3 cạnh
C
. Chứng minh rằng :
a/ (1) 3
c
b
a
c
b
c
a
b
a
c
b
a
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 16
b/
Rrcba 2
3111
(với R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp
C
tương ứng )
Hướng dẫn giải
a/ C1:
Đặt:
2
2
2
0
0
0
yx
c
xz
b
zy
a
cbaz
bacy
acbx
Suy ra
VT
3111
2
1
2
1
2
1
222
BÐT
z
x
x
z
y
z
z
y
x
y
y
x
z
yx
y
xz
x
zy
C2:
Theo BĐT BCS
)(3)1()(
3
1
).1(
)(2)(2)(2)(
3
1
).1()222(.)1(
)()()()(
2
2222222
2
2
dpcmVTcbaVT
accbbacbaVTcbacabcabVT
cbac
cba
c
bacb
bac
b
acba
acb
a
cba
b/ Ta có :
(1)
111
3
111
)(3111
2
3111
2
4
2
cabcabcba
abc
cba
cbaRrcba
cba
abc
Rrpr
R
abc
S
Theo BĐT Cauchy :
ĐPCM
cabcabcabcabcabcab
cabcab
accbba
cabcab
bca
cba
111
3
111
2
111
111
2
11
2
111
2
111
2
1
111
2
111111
222222
222
2
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 17
Bài 12 : Cho a,b,c là dộ dài 3 cạch của
C
, S là diện tích .
Nếu 0rq,p,
thì
Sc
qp
r
b
pr
q
a
rq
p
32.
222
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT BCS:
2222222
2222222
222
2
2
)()(2
2
1
)()(22
)(2
)(
cbacbac
qp
r
b
pr
q
a
rq
p
cbacbac
qp
r
b
pr
q
a
rq
p
rqp
qp
c
pr
b
rq
a
qp
qp
c
pr
pr
b
rq
rq
a
cba
Ta sẽ chứng minh :
(1) 32)()(2
2
1
2222
Scbacba
Thật vậy
(*) 34))(())(())((
34b)-(a-ca)-(c-bc)-(b-a(1)
222222
Scbacbacbacbacbacba
S
Đặt
0
0
0
cbaz
cbay
cbax
)(334(*) zyxxyzyxzxyzSyxzxyz
(vì )(
4
1
2222
))()(( zyxxyz
zyxzyx
cpbpapps
)
(hnd) 0)()()(
)(3)(
222
2
xyzxxzyzyzxy
zyxxyzzxyzxy
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 18
Dấu “=” xảy ra
Sc
qp
r
b
pr
q
a
rq
p
Đúng
cbazyx
32.
)1(
222
Dấu “=” xảy ra
rqp
cba
Bài 13 : Gọi
cba
mmm ,, là độ dài tương ứng của các đường trung tuyến kẻ từ
CBA ,, của
C
và
cba
hhh ,, là dộ dài 3 đường cao kẻ từ CBA ,, tương ứng
Chứng minh rằng :
2
222222
27))(( Shhhmmm
cbacba
với S là diện tích
C
Hướng dẫn giải
Ta có :
)(
4
3
)22(
4
1
)22(
4
1
)22(
4
1
222
222
222
2
222
2
222
2
cbammm
cbam
bacm
acbm
cba
c
b
a
Không giảm tính tổng quát , ta xem
cba
cba
hhh
c
S
b
S
a
S
222
Vậy :
222
222
cba
hhh
cba
Theo BĐT Trêbưsép:
22
2
2
2
2
2
2
222
222
222222
2712
4
9
)(3.
4
3
))((
4
3
))((
SShchbha
hhhcbahhhmmm
cba
cbacbacba
Dấu “=” xảy
C
đều
Chú ý : ta có thể áp dụng BĐT Cauchy trực tiếp :
ĐPCM
SSchbhahhhhabc
hhhcbahhhmmm
cbacba
cbacbacba
2
3
6
3
2
3
2
3
2
222
222
222222
27)2(
4
27
) (
4
27
)(3.)(3
4
3
))((
4
3
))((
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 19
Dấu “=” xảy
C
đều
Bài 14 : Cho
ABC
.Chứng minh
a/
4
9
sinsinsin
222
CBA
b/
2
9R
mmm
cba
với
cba
mmm , , là độ dài 3 trung tuyến xuất phát từ CBA ,, của
ABC
và R là
bán kính đường tròn ngoại tiếp
ABC
Hướng dẫn giải
a/ Xét
4
9
sinsinsin
t 0)(0)(sin1-C)-(Bcos
cosA)(t
4
1
).cos(
4
1
)cos().cos(cos
4
9
)2cos2(cos
2
1
cos1
4
9
sinsinsin)(
222
22
2
2
2
222
CBA
tfCB
tCBt
CBCBA
CBA
BAxf
R
b/ Theo BĐT BCS :
2
9
4
81
4
9
.9
)sinsin(sin9)(
4
9
)(3)(
22
2222222
222
2
R
mmmRR
CBARcbammmmmm
cba
cbacba
Dấu “=” xảy ra
ABC
đều
Bài 15 : Cho
C
và 0,,
zyx chứng minh rằng :
xyz
zyx
C
z
B
y
A
x 2
cos
1
cos
1
cos
1
222
Hướng dẫn giải
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp
BC
Ta có :
(1)0)(
2
zOPyONxOM
Ngơ Hồng Tồn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện Page 20
Khai triển (1) ta có :
(2) cos2cos2cos2
0)cos()cos()cos(2)(
0) (2)(
222
22222
2222
BzxAyzCxyzyx
BzxAyzCxyrrzyx
OMOPzxOPONyzONOMxyrzyx
Chia 2 vế (2) cho xyz>0 ta được
xyz
zyx
C
z
B
y
A
x 2
cos
1
cos
1
cos
1
222
Bài 16: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có
2 2
)
3 ( )
)
4
) 3
a b c
a b c
a b c
a b c
a h r r
b a ac c
b h h h
PR
r r r
c
h h h
Hướng dẫn giải
a) Ta có
1
( ) ( )
2
b c a
S p b r p c r ah
do đó
2
.
( )( ) 2 ( )( )
b c
S S a
r r
a
p b p c p b p c
ta thấy
2 2 2
1 ( )
2 ( )( )
b c a
a
r r h a a b c
p b p c
(đúng)
Vậy
b c a
r r h
Daáu baèng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC cân ở A
b) Ta có
Ngơ Hồng Tồn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện Page 21
2 2 2 2 2 2
3 ( ) 3( ) 3( )
.
4 4
1 1 1
2
a b c
b a ac c abc a ac c a ac c
S
pR R acp acp
h h h S
a b c
Ta cần chứng minh
0)()()()(
022
)(3
)(3111
22
222222
22
22
bcabcbcabababc
accbcaabbcba
cba
caca
b
cabcab
acp
caca
cba
2 2
( )( ) ( )( ) 0
c ab b a bc a c b
(đúng do
a b c
)
Vậy
a b c
h h h
2 2
3( )
4
a ac c
pr
(đpcm)
c) Trước tiên ta phải chứng minh
( )( )( )
b c a c a b a b c abc
(1)
Đặt
( ) ,( ) ,( )
; ;
2 2 2
b c a x c a b y a b c z
y z z x x y
a b c
1
(1) ( )( )( )(1)
8
, , 0
2 , 2 , 2
( )( )( )
xyz x y y z z x
do x y z
x y xy y z y z z x zx
b c a c a b a b c abc
Ta có:
3
))()((
3
2
2
2
2
2
2
3
cbabacacb
abc
cba
c
bac
b
acb
a
c
S
cba
S
b
S
bca
S
a
S
acb
S
h
r
h
r
h
r
c
c
b
b
a
a
Suy ra
a b c
a b c
r r r
h h h
3
(đpcm)
Bài 17: Cho điểm M nằm trong tam giác ABC . chứng minh rằng
Ngơ Hồng Tồn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện Page 22
4 . . .
ABC
S AM BC BM CA CM AB
Hướng dẫn giải
Giả sử BM cắt AC ở O
Hạ AH, CK vuông góc với BH tại Hvà K ta có
ACBMCOBMAOBMSS
COBMCKBMS
AOBMAHBMS
BCMABM
BCM
ABM
22
2
2
Tương tự
2 2 .
2 2 .
BCM ACM
ACM ABM
S S CM AB
S S AM BC
4( ) . . .
4 . . .
ABM ACM BCM
ABC
S S S AM BC BM AC CM AB
S AM BC BM AC CM AB
Bài 18: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O).
Các đường phân giác AA
1
, BB
1
, CC
1
của tam giác ABC cắt đường tròn (O) lần
lượt tại các điểm A
2
, B
2
, C
2
. Tìm GTNN của
21
2
21
2
21
2
CC
CC
BB
BB
AA
AA
T
Hướng dẫn giải
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 23
Xét 3
21
1
21
1
21
1
21
2
21
2
21
2
CC
CC
BB
BB
AA
AA
CC
CC
BB
BB
AA
AA
T
Ta có:
ABCACAABA
SSS
11
c
b
A
bc
AAAACAB
A
AAAC
A
AAAB
2
cos2
sin
2
sin
2
sin
111
Ta lại có:
c
b
ab
CA
c
b
ac
BA
ACAB
BC
AC
CA
AB
BA
11
11
;
Mà:
1
)()cos1(2
2
cos4
2
cos)(2
2
2
2
22
22
2
21
1
2
2111211
a
cb
a
acb
a
Abc
a
A
bc
AA
AA
A
cb
a
AACABAAAAA
Chứng minh tương tự ta được:
12
)()()(
1
)(
;1
)(
2
2
2
2
2
2
21
2
21
2
21
2
2
2
21
1
2
2
21
1
c
ba
b
ca
a
cb
CC
CC
BB
BB
AA
AA
c
ba
CC
CC
b
ca
BB
BB
Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 24
Vậy T
min
=12 khi tam giác ABC đều
Bài 19: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Đường tròn nội tiếp tam
giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A
1
, B
1
, C
1
.
Đặt B
1
C
1
= a
1
, C
1
A
1
= b
1
, A
1
B
1
= c
1
Chứng minh rằng:
36
111
)(
2
1
2
1
2
1
222
cba
cba
Hướng dẫn giải
Gọi:
bc
a
bc
bc
caccab
bc
acb
acb
Aacb
A
acb
A
ACa
apACthì
cba
p
41
44
])(].[)([
2
1)(
2
1
)cos1.()(
2
1
2
sin).(
2
sin.2
2
2
1
2222
222
2
2
11
1
Tương tự:
abc
và
acb
4141
2
1
2
1
