To 22 7 ben tre v2 2020

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

TỔ 22-TÀI LIỆU HSG

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Đề chọn HSG Tỉnh Bến Tre 2019-2020

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI
HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TỈNH BẾN TRE
NĂM 2019-2020
MƠN TỐN 12
TIME: 180 PHÚT
PHẦN I-ĐỀ THI

(6 điểm)

3
2
 2; 2 .
a) Giải phương trình: x  x  3x  2  2 x  2 trên
 x2  2 y2  1
 2
2
2 y  3 z  1
 xy  yz  zx  1

b) Giải hệ phương trình: 
(với x, y, z  R )
(3 điểm) Sắp xếp 1650 học sinh (cả nam và nữ) thành 22 hàng ngang và 75 hàng dọc. Biết rằng
với hai hàng dọc bất kì, số lần xảy ra hai học sinh trong cùng 1 hàng có cùng giới tính không
quá 11. Chứng minh rằng số học sinh nam không vượt quá 928 em.
(3 điểm) Tìm số nguyên nhỏ nhất n sao cho với n số thực phân biệt a1 , a2 , a3 ,..., an lấy từ

0  ai  a j  1  3 3 ai a j
a ,a
1;1000
đoạn 
luôn tồn tại hai số phân biệt i j thỏa mãn
với
i, j  {1,2,...,n} .
Câu 4.

(5 điểm) Gọi các điểm I , H lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, trực tâm của tam giác nhọn

ABC ; B1 , C1 lần lượt là trung điểm của AC , AB ; tia B1I cắt cạnh AB tại B2  B2  B  , tia
C1 I
C BC
A
cắt phần kéo dài của AC tại 2 , 2 2 cắt BC tại K , 1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
S
 S CKC2
I , A, A1
giác BHC . Chứng minh rằng: ba điểm
thẳng hàng khi và chỉ khi BKB2
S
,S

BKB2 , CKC2
(trong đó BKB2 CKC2 lần lượt là diện tích tam giác
)
Câu 5.

(3 điểm) Tìm tất cả hàm số f : ¡ ® ¡ sao cho

f ( f ( x) + y ) = f ( x 2 - y ) + 4 yf ( x) , với x, y Î ¡ .
---HẾT---

PHẦN II-LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

(6 điểm)

3
2
 2; 2 .
a) Giải phương trình: x  x  3x  2  2 x  2 trên
 x2  2 y2  1
 2
2
2 y  3 z  1
 xy  yz  zx  1
b) Giải hệ phương trình: 
(với x, y, z  R )

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Phạm Minh Trí ; Fb: Tri Nguyen
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! (Tổ 22)

Trang 1 Mã đề Đợt 1-Đề 2


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề chọn HSG Tỉnh Bến Tre 2019-2020

a) Điều kiện: x  2 .
Cách 1: Ta có:

x 3  x 2  3x  2  2 x  2
 x  x2  4  x2  4  2 x  2   x  2



  x 2  4   x  1  x  2 2  x  2

  x  2   x  2   x  1 



 x  2  2  x 



x  2. 2  x  2




1
  x  2   x  2   x  1 

x  2. 2  x  2







0



 x  2

1
  x 1 
 0  1



x  2. 2  x  2

.



Giải phương trình
1
t 2 1 
0
t  2 t



 1 , ta đặt t 

x  2  t  0  thì phương trình  1 trở thành

 t 4  2t 3  t 2  2t  1  0

2 1
 t 2  2t  1   2  0  2 
t t
Lại đặt

ut

Phương trình

1
1
t 2  2  u2  2
t thì
t
.

 2

sẽ đưa về theo biến u thành phương trình mới như sau:

u 2  2  2u  1  0   u  1  0  u  1 .
2

1
5 1
u  t   1
t 
2
 t  t 1  0
t
2 do t  0 .
Vậy
2

 5 1  6  2 5
2  2 5
 x  2  

x
 
2
4


4
Thay ngược lại vào t  x  2

.
Thử lại ta thấy nghiệm

x

2  2 5
4
thỏa mãn.

2  2 5 

S  2;
; 2
4


 .
Vậy phương trình đã có có tập nghiệm
Cách 2:

 t  0  thì phương trình  1 trở thành
Đặt t  x  2
t 6  5t 4  5t 2  2t  0
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! (Tổ 22)

Trang 2 Mã đề Đợt 1-Đề 2


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề chọn HSG Tỉnh Bến Tre 2019-2020

 t  t  2   t 4  2t 3  t 2  2t  1  0
 t  t  2   t 2  t  1  0
2


t  0

 t  2

t  5  1

2 (do t  0 ).

Thay ngược lại vào t  x  2 , ta được

x  2; x  2; x 

2  2 5
4
.

Thử lại ta thấy các nghiệm trên đều thỏa mãn.

 2  2 5 
S  2;
; 2
4



 .
Vậy phương trình đã có có tập nghiệm là
b) Đặt x  ay , z  by với a, b  R .
2
+ Xét a  0  x  0  2 y  1 (vô lý).
2
+ Xét y  0  3 z  1 (vô lý), vậy y  0 .

+ Với y  0 thì ta viết lại hệ ban đầu như sau:
 y 2  a2  2  1

 2
2
 y  2  3b   1
 2
 y  a  b  ab   1  a 2  2  2  3b 2  a  b  ab
.
2
2
  a  1  a  1   a  1  b  1
Ta có a  2  a  b  ab  a  1  a  b  ab  1

2
Với a  1  0 . Thay vào phương trình đầu của hệ ta được  y  1 (vô lý). Vậy a  1  0 . Từ đó
 1
ta suy ra được a  1  b  1  a  b  2 .
2
 2 .
Tương tự, từ 2  3b  a  b  ab ta suy ra được a  3b  2

a  2
 1 ,  2  ta suy ra b  0 . Thay lại vào cách đặt ta được x  2 y, z  0 .
Từ
x  2 x   2


2
2 y  1 
1 
1
 y 
 y 

2 
2
x  2 y

z  0
z  0
z  0


Hệ phương trình ban đầu trở thành 


Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
Câu 2.

 x; y; z   



2;

1
1  
 
; 0 ,  2;
;0 
2  
2 

(3 điểm) Sắp xếp 1650 học sinh (cả nam và nữ) thành 22 hàng ngang và 75 hàng dọc. Biết rằng
với hai hàng dọc bất kì, số lần xảy ra hai học sinh trong cùng 1 hàng có cùng giới tính không
quá 11. Chứng minh rằng số học sinh nam không vượt quá 928 em.
Lời giải

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! (Tổ 22)

Trang 3 Mã đề Đợt 1-Đề 2


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề chọn HSG Tỉnh Bến Tre 2019-2020

Tác giả: Phu An; Fb: Phu An
Gọi

ai

75  ai
là số học sinh nam hàng thứ i. Vì có 75 cột nên số học sinh nữ của hàng thứ i là

Số cặp học sinh cùng hàng và cùng giới tính:
Chọn 2 nam trong số nam cùng hàng:
Chọn 2 nữ trong số nữ cùng hàng:

Ca2i

C752  ai

cách.

cách.

2
Chọn 2 bạn học sinh bất kỳ trong cùng một hàng: C75 cách.

Theo đề bài ta có:
22

 C

2
ai

i 1



 C752  ai  11C752

.

22

22

i 1

i 1

   ai2  75ai   30525    2ai  75   1650
2

Theo Cauchy-Swatch:
2

22
22
191  1650
 22

2
2
a

75


22
2
a

75

36300

ai 
 921






i
 i

2
i 1
i 1
 i 1


Câu 3.

a , a , a ,..., an
(3 điểm) Tìm số nguyên nhỏ nhất n sao cho với n số thực phân biệt 1 2 3
lấy từ

0  ai  a j  1  3 3 ai a j
a ,a
1;1000
đoạn 
luôn tồn tại hai số phân biệt i j thỏa mãn
với
i, j {1,2,...,n} .
Lời giải
Tác giả: Quang Trần; Fb: Quang Trần
Sử dụng hằng đẳng thức cơ bản ta có:
A  ai  a j  1  3 3 ai a j 

Trước hết ta thấy rằng

3



3



ai  3 a j  1

3

ai 2  3 a j 2  1  3 ai a j  3 ai  3 a j

ai 2  3 a j 2  1  3 ai a j  3 ai  3 a j

 (1)

luôn dương với mọi

ai , a j

dương.

3
3
3
 1;1000 .
Trường hợp n  10 , Ta xét các số a1  1 , a2  2 ,..., a10  10 lấy từ đoạn

Với i, j phân biệt từ tập {1,2,...,10} , ta dễ thấy
nếu i  j . Điều này có nghĩa là

3

ai  3 a j  0

3

ai  3 a j  0

hoặc

nếu i  j , và

ai  a j  1  3 3 ai a j  0

3

ai  3 a j  1  0

.

Trái với giả thiết đề bài.
3 3
3
Trường hợp n  10 , Ta chọn dãy a1 , a2 ,..., an từ tập hợp {1 ,2 ,...,10 } và lập luận tương tự trên
ta cũng dẫn đến mâu thuẫn.

 1;1000 , ta suy ra
Trường hợp n  11 , Với a1 , a2 , a3 ,..., an được lấy từ đoạn
là các giá trị nằm trong đoạn

3

a1 , 3 a2 ,..., 3 an

 1;10 . Mà n  11 nên theo nguyên lý Dirichle, tồn tại i, j

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! (Tổ 22)

phân

Trang 4 Mã đề Đợt 1-Đề 2

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

biệt từ tập {1,2,..,n} sao cho
ai  a j  1  3 3 ai a j  0

hay

3

ai  3 a j  0

Đề chọn HSG Tỉnh Bến Tre 2019-2020

và

3

ai  3 a j  1  0

0  ai  a j  1  3 3 ai a j

, tức là

3

ai  3 a j  0

và

.

Như vậy n  11 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn giả thiết đề bài.
Câu 4.

(5 điểm) Gọi các điểm I , H lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, trực tâm của tam giác nhọn

ABC ; B1 , C1 lần lượt là trung điểm của AC , AB ; tia B1 I cắt cạnh AB tại B2  B2  B  , tia
C1 I
C BC
A
cắt phần kéo dài của AC tại 2 , 2 2 cắt BC tại K , 1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
S
 S CKC2
giác BHC . Chứng minh rằng: ba điểm I , A, A1 thẳng hàng khi và chỉ khi BKB2
S
,S
BKB2 , CKC2
(trong đó BKB2 CKC2 lần lượt là diện tích tam giác
).
Lời giải
Tác giả:Minh Hồng; Fb: Minh Hồng

Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
0
·
·
Ta có BHC  180  BAC





· C  2 1800  BHC
·
·
BA
 2 BAC
1

Do đó

·
·
· C  1800
BAC
 600  BAC
 BA
1

AI , AA1
A
nằm trên đường tròn tâm O , suy ra
trùng nhau (do 1 nằm trên đường trung
trực của cạnh BC )
Nên

A1

Vậy ba điểm

I , A, A1

Ta chứng minh
S AB1B2 



thẳng hàng

·
S BKB2  S CKC2  BAC
 600

(*)

1
1
1
·
AB2 .r  AB1.r  AB2 . AB1.sin BAC
2
2
2



·
 AB2 AB1.sin BAC
 r  AB1.r

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! (Tổ 22)

Trang 5 Mã đề Đợt 1-Đề 2


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề chọn HSG Tỉnh Bến Tre 2019-2020

2 S ABC  b 2 S ABC
S
 AB2  ABC 
 .
abc  2 abc
 c
bc
 AB2 
abc

Tương tự

AC2 

bc
a c b .

Do đó ta có:

SBKB2  SCKC2  S ABC  S AB2C2
bc

bc
.
a bc c  a b
2
 a  b 2  c 2  bc
·
 BAC
 600
 bc 

Vậy (*) đúng. Do đó ta có đpcm
Câu 5.

(3 điểm) Tìm tất cả hàm số f : ¡ ® ¡ sao cho

f ( f ( x) + y ) = f ( x 2 - y ) + 4 yf ( x) , với x, y Ỵ ¡ .
Lời giải
Tác giả: Lê Văn Thiện; Fb: Lê Văn Thiện
2
Đặt f ( f ( x ) + y ) = f ( x - y ) + 4 yf ( x) (1)

x 2 - f ( x)
y=
2
Với mọi x Ỵ ¡ , thay
vào (1), ta c
ổx 2 + f ( x) ử
ữ
ữ
fỗ

ỗ
ữ=
ữ
ỗ
2
ố
ứ

ổx 2 + f ( x ) ử
x 2 - f ( x)
ữ
ỗ
ữ
fỗ
ìf ( x )
ữ+ 4 ì 2
ữ
ỗ
2
ố
ứ

.

iu ny tng ng vi

x 2 - f ( x)
×f ( x) = 0
2
, với mọi x Ỵ ¡ .

Từ đây, ta suy ra f (0) = 0. Thay x = 0 vào (1), ta được
f ( y ) = f (- y ) với mọi y Ỵ ¡ ,

hay

f ( x)

là hàm chẵn.

Dễ thấy hàm

f ( x) º 0

với mọi x Ỵ ¡ thỏa đề.

Giả sử tồn tại b để f (b) ¹ 0 . Ta chứng minh f (a ) = 0 Þ a = 0. Thật vậy, giả sử tồn tại a Ỵ ¡
để f (a ) = 0 , thay x = a vào (1), ta có

f ( y ) = f (- y + a 2 ), hay f (- y ) = f (- y + a 2 ), với mọi y Ỵ ¡ .
2
2
Từ đây ta suy ra f tuần hồn với chu kì a . Thay y bởi y + a vào (1), ta có

f ( f ( x ) + y + a 2 ) = f ( x 2 - y - a 2 ) + 4( y + a 2 ) f ( x )
Û f ( f ( x ) + y ) = f ( x 2 - y ) + 4( y + a 2 ) f ( x )
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! (Tổ 22)

Trang 6 Mã đề Đợt 1-Đề 2

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề chọn HSG Tỉnh Bến Tre 2019-2020

2
Thay x = b và so sánh với đẳng thức f ( f (b) + y ) = f (b - y) + 4 yf (b) , ta suy ra a = 0 .

x 2 - f ( x)
×f ( x) = 0
2
2
Vậy f (a) = 0 Û a = 0. Từ
ta suy ra f ( x) = x với mọi x ¹ 0 . Kết hợp
2
với f (0) = 0 , ta suy ra f ( x) = x với mọi x Ỵ ¡ .
2
Thử lại, ta thu được hai nghiệm của phương trình là f ( x) = x , f ( x) = 0.

---HẾT---

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! (Tổ 22)

Trang 7 Mã đề Đợt 1-Đề 2