BIỆN PHÁP NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG MÔN ĐẠI SỐ 8, 9 PHẦN ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG
TRƯỜNG THCS ……………
=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU,
ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến:
BIỆN PHÁP NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG MÔN ĐẠI SỐ 8, 9 PHẦN
ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Mơn/lĩnh vực: Tốn
Mã mơn: 28
Tác giả sáng kiến: ……………….

Lũng Hịa, tháng 2 năm 2022


MỤC LỤC
MỤC LỤC.............................................................................................................1
1. Lời giới thiệu.....................................................................................................1

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU,
ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1. Lời giới thiệu
Mục tiêu quan trọng của chương trình giáo dục THCS là cung cấp đủ kiến
thức để học sinh tốt nghiệp cấp THCS và thi đỗ vào lớp 10 THPT. Trong đó vấn
đề thi vào lớp 10 THPT luôn là mối quan tâm, lo lắng nhất của học sinh, giáo
viên, các bậc phụ huynh và các cấp lãnh đạo. Vì vậy cần có những giải pháp cụ
thể để nâng cao chất lượng thi vào lớp 10 THPT.
Muốn nâng cao chất lượng đại trà cũng như chất lượng thi lớp 10 chúng

ta sẽ nâng cao chất lượng giảng dạy từng dạng toán. Thực tế kinh nghiệm giảng
dạy của tôi, tôi nhận thấy phần đa các bài tập đều sử dụng đến việc phải phương
trình, hệ phương trình. Vậy muốn lấy điểm các dạng tốn trên địi hỏi học sinh
phải giải phương trình, hệ phương trình thật tốt. Trong đó mảng tốn: “ Giải bài
tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” có tính ứng dụng của phương
trình, hệ phương trình rất cao. Với dạng tốn này trước tiên học sinh phải lập
được phương trình, hệ phương trình sau đó phải giải được phương trình, hệ
phương trình chính xác mới hồn thành bài tốn. Nhiều học sinh khi lập ra được
1


phương trình, hệ phương trình rồi nhưng quá trình giải phương trình, hệ phương
trình lại sai dẫn đến mất điểm.
Với vai trị là một giáo viên dạy tốn tại trường THCS Lũng Hòa, nhiều
năm liền bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh ôn thi vào lớp 10. Tôi nhận thấy để
nâng cao chất lượng thi lớp 10 mơn tốn thì giáo viên cần dạy tốt ứng dụng của
phương trình, hệ phương trình. Trong khn khổ của chun đề tơi nghiên cứu
ứng dụng của dạng toán này trong dạng toán giải bằng cách lập phương trình, hệ
phương trình. Do đó tơi xin chia sẻ: “BIỆN PHÁP NÂNG CAO CHẤT
LƯỢNG MƠN ĐẠI SỐ 8, 9 PHẦN ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH”. Chun đề tơi nghiên cứu hai vấn đề lớn: Thứ nhất là
dạy học sinh giải được phương trình, hệ phương trình ở dạng tốn cơ bản.Thứ
hai là nghiên cứu ứng dụng của phương trình, hệ phương trình trong dạng tốn
giải bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. Hy vọng khi áp dụng
chuyên đề này sẽ giúp giáo viên nâng cao chất lượng đại trà đặc biệt là chất
lượng thì vào lớp 10.
2. Tên sáng kiến
“BIỆN PHÁP NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG MÔN ĐẠI SỐ 8, 9 PHẦN ỨNG
DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH”.
3. Tác giả sáng kiến

- Họ và tên: ..........................
- Địa chỉ: THCS ................. – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: .........................
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
........................................... – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
- Phương trình, hệ phương trình là một dạng tốn rất rộng và ứng dụng của dạng
toán này ở rất nhiều dạng tốn. Trong chương trình THCS tơi chủ yếu nghiên
2


cứu ứng dụng trong chương trình đại số 8,9 vì lúc này học sinh được trang bị đủ
kiến thức để giải các phương trình, hệ phương trình cơ bản.
- Giải bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình là dạng tốn nằm
trong chương trình tốn lớp 8 và lớp 9 THCS. Nên chuyên đề áp dụng vào các
tiết dạy về dạng tốn này trong chương trình lớp 8, lớp 9, các buổi dạy chuyên
đề, ôn thi vào lớp 10 THPT.
- Áp dụng vào các buổi chuyên đề cấp cụm, cấp huyện nhằm nâng cao chất
lượng đại trà.
6. Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
Từ tháng 04 năm 2020

7. Mô tả bản chất của sáng kiến
7.1. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu...
7.1.1. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu hai vấn đề chính: Thứ nhất là giải phương trình, hệ phương trình
cơ bản trong chương trình THCS. Thứ hai là nghiên cứu ứng dụng của vấn đề
trên trong dạng tốn giải bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.
- Học sinh biết cách giải các phương trình, hệ phương trình cơ bản trong chương
trình THCS. Từ đó tìm hiểu ứng dụng của dạng tốn này trong bài tốn giải

bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.
- Với dạng tốn giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình, để học sinh
giải được dạng tốn này thì với mỗi dạng toán giáo viên phải đưa ra được
phương pháp giải. Với từng dạng tốn đều có hướng dẫn cụ thể từ việc chọn ẩn,
đặt điều kiện cho ẩn, dạng tốn đó nên lập phương trình hay hệ phương trình, có
những lưu ý nào để học sinh nhận dạng đúng dạng tốn. Khi xác định được
chính xác các vấn đề trên thì việc học sinh lấy điểm dạng tốn này thì khơng cịn
khó nữa.
3


- Đưa ra các phương pháp giải riêng cho mỗi dạng tốn giải bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình, kèm bài tốn ví dụ và bài tập áp dụng.
- Học sinh nắm được cách giải của từng dạng toán từ đó giải được các dạng bài
tập của các dạng tốn.
- Nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn cũng như chất lượng thi vào lớp 10
THPT.
7.1.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Nắm được những khó khăn của vấn đề nghiên cứu
+ Nêu được các giải pháp để giải quyết các khó khăn
+ Tiến hành nghiên cứu và đối chiếu kết quả.
+ Tổng hợp các kết quả sau khi áp dụng giải pháp từ đó hồn thiện giải
pháp.
7.1.3. Địa điểm, thời gian, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Địa điểm: Lớp 8, lớp 9 Trường THCS Lũng Hòa -Vĩnh Tường -Vĩnh Phúc
+ Thời gian: Từ tháng 03 năm 2019 đến tháng 02 năm 2022
+ Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 8, lớp 9 Trường THCS Lũng Hòa -Vĩnh
Tường-Vĩnh Phúc .
+Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu dạng tốn này thơng qua các tiết dạy liên
quan trong chương trình kỳ hai lớp 8, lớp 9, thông qua các buổi chuyên đề, ôn

thi lớp 10.
7.1.4. Phương pháp nghiên cứu
1. Đọc tài liệu : Đọc các sách, tài liệu chuyên sâu về mảng giải bài tốn
bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. Đề thi vào lớp 10, đề thi
học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 của các huyện, các tỉnh trong nước.
2. Điều tra:
a. Dự giờ:
-Thông qua tiết dự giờ của giáo viên trong tổ, nhóm chun mơn nhà trường.
-Thơng qua các buổi chuyên đề cấp cụm, cấp huyện.
4


- Tham khảo các tiết dạy trên mạng của các giáo viên dạy có nhiều kinh
nghiệm.
b. Đàm thoại:
- Giáo viên trao đổi với học sinh để biết các khó khăn của học sinh khi gặp
dạng toán này. Giáo viên trao đổi với đồng nghiệp trong trường để có thêm kinh
nghiệm dạy dạng toán này.
- Giáo viên trao đổi với các đồng nghiệp cùng chuyên môn trong cụm, trong
huyện để học hỏi kinh nghiệm.
- Trao đổi thơng qua các nhóm giáo viên tốn trên mạng trong huyện, trong
nước từ đó học hỏi kinh nghiệm dạy học của đồng nghiệp.

c. Thực nghiệm:
- Giáo viên hướng dẫn học sinh theo phương pháp đã định từ đó nhận thấy
với phương pháp đó học sinh có hiểu bài khơng, nếu học sinh vẫn chưa hiểu
giáo viên có thể điều chỉnh phương pháp làm cho học sinh dễ tiếp cận vấn đề
hơn.
- Trong quá trình dạy dạng toán giáo viên thử cho học sinh mỗi lớp tiếp cận
dạng toán ở mỗi cách khác nhau, xem cách tiếp cận dạng toán nào học sinh dễ

hiểu hơn từ đó có kinh nghiệm dạy dạng tốn phù hợp.
d.Kiểm tra:
- Sau khi học xong dạng toán học sinh sẽ phải làm bài kiểm tra 15 phút, một
tiết theo dạng toán để giáo viên nắm bắt được tình hình học tập của học sinh.
- Giáo viên có thể kiểm tra đột xuất, kiểm tra nhiều dạng toán một lúc để xem
học sinh có biết cách phân loại dạng tốn hay chưa.
7.2. Một số phương trình, hệ phương trình cơ bản trong chương trình
THCS.
Trong chương trình cơ bản của đại số 8, 9 tơi chỉ đưa ra cách giải phương
trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích và phương trình chứa ẩn ở mẫu, hệ hai
phương trình bậc nhất hai ẩn.
5


7.2.1 Phương trình bậc nhất một ẩn:
*Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng: ax + b = 0 trong đó: a, b ∈ R, a ≠ 0.
−b
.
a

- Cách giải: ax + b ⇔ ax = −b ⇔ x =

−b 

a 


Tập nghiệm của phương trình S = 

*Bài tập minh họa:

a, 6( x + 3) − 4( x + 2) = 5 x − 15
c,

b, ( x + 1) 2 − ( x − 2)( x − 3) = 5 x + 6

2 x + 1 x + 5 3x + 1
−
=
3
2
4

d,

Giải:
a, 6( x + 3) − 4( x + 2) = 5 x − 15
⇔ 6 x + 18 − 4 x − 8 = 5 x − 15
⇔ 6 x − 4 x − 5 x = −15 − 18 + 8
⇔ −3 x = −25
25
⇔x=
3

vậy tập nghiệm của phương trình là S = 

25 

3

b, ( x + 1) 2 − ( x − 2)( x − 3) = 5 x + 6

⇔ x 2 + 2 x + 1 − x 2 + 3x + 2 x − 6 = 5 x + 6
⇔ 2 x + 3x + 2 x − 5 x = 6 + 6 − 1
⇔ 2 x = 11
11
⇔x=
2
11 
Vậy tập nghiệm của phương trình S =   .
2

6

3 − 2x
2x +1
−x=
3
4


2 x + 1 x + 5 3x + 1
−
=
3
2
4
⇔ 4(2 x + 1) − 6( x + 5) = 3(3x + 1)
⇔ 8 x + 4 − 6 x − 30 = 9 x + 3
⇔ 8 x − 6 x − 9 x = 3 + 30 − 4
⇔ −7 x = 29
−29

⇔x=
7

c,

−29 
.
 7 


Vậy tập nghiệm của phương trình S = 
3 − 2x
2x +1
−x=
3
4
⇔ 4(3 − 2 x) − 12 x = 3(2 x + 1)
⇔ 13 − 8 x − 12 x = 6 x + 3
⇔ −8 x − 12 x − 6 x = 3 − 13
⇔ −26 x = −10
5
⇔x=
13
d,

5
Vậy tập nghiệm của phương trình S =   .
13 

*Bài tập áp dụng:

a, 4( x + 2) − 5(3 − 5 x) = 20 x − 3
b, ( x − 2)(3 − x) − 3(2 x + 5) = 8 − x 2
2x + 5 x + 3 7 − 2x
c,
+
=
7
2
4
4 − 2x 6x −1 x + 5
d,
+
=
−2
5
3
3x + 5
2 − 5x
e,
− x+3=
4
3

7.2.2. Phương trình tích:
*Phương trình tích có dạng: A( x).B( x).C ( x)... = 0 .
 A1 ( x) = 0
 A ( x) = 0
 2
 A3 ( x) = 0
A

(
x
).
A
(
x
).
A
(
x
)...
A
(
x
)
=
0
⇔
- Cách giải: 1
2
3
n

...
 A ( x) = 0
 n

7

Muốn giải phương trình đưa về phương trình tích thì:
Bước 1: Phải đưa vế phải về 0.
Bước 2: Phân tích vế trái thành nhân tử
Bước 3: Giải phương trình tích thu được.
Đặc biệt nếu phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0 . Để giải phương trình này
có hai cách cơ bản là: Tách hạng tử bx hoặc là sử dụng cơng thức nghiệm của
phương trình bậc hai.
*Bài tập minh họa: Giải các phương trình sau:
a, ( x + 1)( x − 5) = 0

b, ( x + 3) 2 − 2 x − 6 = 0

c, x(2 x − 7) = 4 x − 14

2
d, ( x + 2 ) (3 − 4 x) = x + 4 x + 4

Giải:
x +1 = 0
 x = −1
⇔
x − 5 = 0
x = 5

a, ( x + 1)( x − 5) = 0 ⇔ 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 1; −5}
b, ( x + 3) 2 − 2 x − 6 = 0
⇔ ( x + 3) 2 − 2( x + 3) = 0
⇔ ( x + 3)( x + 1) = 0

x + 3 = 0
 x = −3
⇔
⇔
x +1 = 0
 x = −1

Vậy tập nghiệm của phương trình S = { −1; −3}
c, x (2 x − 7) = 4 x − 14
⇔ x (2 x − 7) − 2(2 x − 7) = 0
⇔ (2 x − 7)( x − 2) = 0
7

x=
2 x − 7 = 0
⇔
⇔
2

x − 2 = 0
x = 2


Vậy tập nghiệm của phương trình S =  ; 2
7
2



8

d , ( x + 2 ) (3 − 4 x ) = x 2 + 4 x + 4
⇔ ( x + 2)(3 − 4 x) − ( x + 2) 2 = 0
⇔ ( x + 2)(3 − 4 x − x − 2) = 0
⇔ ( x + 2)(1 − 5 x) = 0
 x = −2
x + 2 = 0
⇔
⇔
x = 1
1
−
5
x
=
0

5



Vậy tập nghiệm của phương trình S =  ; −2
1
5



*Bài tập áp dụng: Giải phương trình
a, x 2 − 4 x + 3 = 0

b, ( x + 1) 2 − 2018 x − 2018 = 0

c, ( x + 2)3 = x + 2

d, 2021x( x − 2022) = 2022 − x

e, x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) 3

f, (2021x − 2022) 2 + 2020.2021x = 2020.2022

7.2.3. Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Phương trình mà mẫu chứa ẩn ta gọi đó là phương trình chứa ẩn ở mẫu.
-Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình bằng cách cho mẫu khác 0.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: ( Kết luận). Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa
mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
*Bài tập minh họa: Giải các phương trình sau:
a,

x−6
x
=
x−4 x−2
6

5

15

c, x + 1 − x − 2 = ( x + 1)(2 − x)

b,

x −3 x −2
+
= −1
x−2 x−4

d,

x+3 x−2
+
=2
x +1
x

Giải:
a,

x−6
x
=
x−4 x−2

ĐKXĐ: x ≠ 4; x ≠ 2

⇒ ( x − 6)( x − 2) = x( x − 4)

⇔ x 2 − 2 x − 6 x + 12 = x 2 − 4 x
⇔ −4 x = −12
⇔ x=3

9


x = 3( thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình S = { 3}
b,

x −3 x −2
+
= −1
x−2 x−4

ĐKXĐ: x ≠ 4; x ≠ 2

⇒ ( x − 3)( x − 4) + ( x − 2) 2 = −( x − 2)( x − 4)
⇔ x 2 − 4 x − 3x + 12 + x 2 − 4 x + 4 = − x 2 + 4 x + 2 x − 8
⇔ 3 x 2 − 17 x + 24 = 0
⇔ 3 x 2 − 9 x − 8 x + 24 = 0
⇔ 3 x( x − 3) − 8( x − 3) = 0
⇔ ( x − 3)(3 x − 8) = 0
x = 3
x − 3 = 0
⇔
⇔
x = 8
3 x − 8 = 0

3


Với x = 3 ( thỏa mãn điều kiện); x =

8
( thỏa mãn điều kiện)
3

 8
Vậy tập nghiệm của phương trình S = 3; 
 3

6

5

15

c, x + 1 − x − 2 = ( x + 1)(2 − x)

ĐKXĐ: x ≠ −1; x ≠ 2

⇒ 6( x − 2) − 5( x + 1) = −15
⇔ 6 x − 12 − 5 x − 5 = −15
⇔ x = −15 + 12 + 5
⇔x=2

Với x = 2 ( khơng thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình vơ nghiệm

d,

x+3 x−2
+
=2
x +1
x

ĐKXĐ: x ≠ −1; x ≠ 0

⇒ x( x + 3) + ( x − 2)( x + 1) = 2 x( x + 1)
⇔ x 2 + 3x + x 2 + x − 2 x − 2 = 2 x 2 + 2 x
⇔ 0x = 2

Phương trình 0x = 2 ( vơ nghiệm)
Vậy phương trình vơ nghiệm.
*Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau:
a,

x+2
2
1
+ 2
=
x − 2 x − 2x x

b,
10

3

1
−7
+
=
x + x − 2 x −1 x + 2
2


c,

x +1 x −1
16
+
= 2
x −1 x +1 x −1

e,

12
1
= 1+
3
8+ x
x+2

d,
f,

x
2x

x
+ 2
=
2x + 2 x − 2x − 3 6 − 2x
4
2x − 5 2x
=
−
x + 2x − 3 x + 3 x −1
2

7.2.4. Giải hệ phương trình:
Trong khn khổ chương trình cơ bản của đại số 8, 9 tơi chỉ nghiên cứu giải hệ
hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
ax + by = 0
a ' x + b ' y = 0

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: 

Cách giải: Có hai cách giải thơng thường là sử dụng phương pháp thế hoặc
cộng đại số.
Thông thường nếu trong hệ phương trình có biến nào đó mang hệ số là 1
hoặc -1 chúng ta nên dùng phương pháp thế, cịn nếu trong hệ phương trình hai
biến đều có hệ số khác 1 và -1 thì ta sẽ sử dụng cộng đại số.
Chúng ta tìm hiểu hai cách đó thơng qua bài tập minh họa sau:

*Bài tập minh họa: Giải các hệ phương trình sau:
 2x + 5 y = −3
x − y = 2

a, 

3 x − 2 y = 5
2 x − 3 y = 1

b, 

x − 4 y = 1
3 x + y = −3

c, 
Giải:

 2x + 5 y = −3 2( y + 2) + 5 y = −3 2 y + 4 + 5 y = −3  y = −1
⇔
⇔
⇔
x − y = 2
x = y + 2
x = y + 2
x = 1

a, 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = (1; −1)
7

y=

3 x − 2 y = 5

6 x − 4 y = 10
5 y = 7

5
⇔
⇔
⇔
b, 
2 x − 3 y = 1
6 x − 9 y = 3
2 x − 3 y = 1  x = 13

5

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = 

13 7 
; ÷
 5 5

11

5 x − 2 y = 1
x + 3y = 5

d, 


−11


x=

x
−
4
y
=
1
x
=
4
y
+
1
x
=
4
y
+
1




13
⇔
⇔
⇔
c, 
3 x + y = −3 3(4 y + 1) + y = −3 12 y + 3 + y = −3  y = −6


13
−11 −6 
; ÷
 13 13 


Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = 

24

y=

5 x − 2 y = 1 5(5 − 3 y ) − 2 y = 1 25 − 15 y − 2 y = 1 
17
⇔
⇔
⇔
d, 
x + 3y = 5
x = 5 − 3y
x = 5 − 3y
 x = 13

17

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = 

13 24 
; ÷

 17 17 

*Bài tập áp dụng: Giải các hệ phương trình sau:
2 x + 3 y = −2
a, 
x + y = 5
7 x − y = 5
d, 
2 x + 5 y = 1

 −5 x + y = 7
b, 
x − 2 y = 4

4 x − 5 y = 12
c, 
 x − 15 y = −3

3x + y = 11
e, 
 −2 x − 3 y = 1

 6 x − y = −1
f ,
3 x − 3 y = 4

Chú ý: Ngồi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn chúng ta nhiều lúc còn gặp hệ
x − y = 1

dạng 150 − 140 = 5 ta sẽ sử dụng phương pháp thế và làm như sau:

 y
x

x − y = 1
 y = x −1


⇔  150 140
150 140
 y − x = 5  x − 1 − x = 5

150 140
−
=5
x −1 x
⇒ 150 x − 140( x − 1) = 5 x( x − 1)
⇔ 150 x − 140 x + 140 = 5 x 2 − 5 x
⇔ 5 x 2 − 15 x − 140 = 0
⇔ x 2 − 3 x − 28 = 0
⇔ x 2 − 7 x + 4 x − 28 = 0
⇔ x ( x − 7) + 4( x − 7) = 0
⇔ ( x + 4)( x − 7) = 0
x + 4 = 0
 x = −4
⇔
⇔
x − 7 = 0
x = 7

12

Thay x= 7 vào phương trình y = x – 1 ta có: y = 6
Thay x = -4 vào phương trình y = x – 1 ta có y = -5
Vậy phương trình có nghiệm ( x; y ) ∈ { ( 7;6 ) ; ( −4; −5 ) }
Trong khn khổ chương trình cơ bản lớp 8, 9 tơi khơng nghiên cứu các dạng
phương trình, hệ phương trình nâng cao.
7.3. Ứng dụng của phương trình, hệ phương trình:
Chuyên đề nghiên cứu ứng dụng của phương trình, hệ phương trình trong
dạng tốn giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.
- Các bước giải bài tốn bằng cách lập phương trình:
* Bước 1: Lập phương trình :
- Chọn ẩn số (trực tiếp hoặc gián tiếp), đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
- Biểu diễn mỗi quan hệ giữa đại lượng chưa biết thông qua ẩn và đại lượng đã
biết.
- Căn cứ dữ kiện bài tốn lập phương trình phù hợp. Phương trình thường biểu
diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.
* Bước 2: Giải phương trình nhận được
* Bước 3: Trả lời ( đối chiếu điều kiện của ẩn) rồi kết luận.
- Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Tương tự các bước giải bài tốn bằng cách lập phương trình. Chú ý hơn ở
bước chọn ẩn là sử dụng hai ẩn, khi đó điều kiện cần đặt điều kiện cho hai ẩn,
bài giải phải ra được hai phương trình để tạo thành hệ phương trình.
7.3.1 Một số dạng toán cơ bản của dạng toán giải bài tốn bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình.
A. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHI DẠY DẠNG TOÁN:
Bước 1. Với mỗi dạng toán học sinh phải nắm được các đại lượng kèm theo
cơng thức liên hệ( nếu có). Một số đặc điểm nhận dạng dạng toán hoặc một số
chú ý khi giải dạng toán đang xét như: Cách chọn ẩn của dạng toán, với dạng

13


tốn này nên lập phương trình hay hệ phương trình, điều kiện của ẩn như thế
nào?
Bước 2. Khi giải toán giáo viên cần hướng dẫn học sinh từng bước như:
a.Học sinh phải đọc kỹ đề để tìm nhận ra dạng tốn, các dữ kiện của bài tốn.
Từ đó tìm được hướng đi của bài toán.
b.Phương pháp hữu hiệu giải dạng toán này là phương pháp kẻ bảng. Giáo
viên hướng dẫn học sinh điền các dữ kiện trong bảng biểu diễn. Bước lập
phương trình hay hệ phương trình là bước quan trọng đòi hỏi học sinh phải nắm
chắc dữ kiện bài tốn và căn cứ các dữ kiện đó thành các phương trình phù hợp.
c. Học sinh giải phương trình, hệ phương trình thu được dưới sự hướng dẫn
của giáo viên. Với những học sinh bị rỗng kiến thức về giải phương trình, hệ
phương trình thì giáo viên phải dạy cho các em các kiến thức này trước khi dạy
dạng toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương.
d. Đối chiếu điều kiện của ẩn rồi trả lời bài toán. Khi đối chiếu điều kiện của
ẩn với giá trị của ẩn tìm được giáo viên cần cho học sinh quan sát kỹ điều kiện
của ẩn để từ đó nhận hay loại giá trị phù hợp. Đôi khi chúng ta gặp một số bài
toán mà giá trị của ẩn thu được là số vơ tỷ, vậy nếu các bước làm của mình kiểm
tra lại mà khơng sai thì kết quả là số vơ tỷ vẫn nhận bình thường.
Bước 3. Để cho học sinh nhớ dạng toán, sau khi học xong một dạng giáo viên
cho học sinh làm lại hai hoặc ba bài tập tương tự để học sinh làm dạng tốn đó
một cách thành thạo.
Bước 4. Giáo viên muốn kiểm tra việc lĩnh hội kiến thức của học sinh sẽ cho
học sinh kiểm tra ngay tại lớp. Giáo viên cho học sinh làm đề bài tương tự dạng
toán để học sinh sau khi được giáo viên đã giải các bài trước sẽ độc lập làm bài
tập tương tự. Sau đó có đề về nhà của từng dạng toán.
Bước 5. Kết thúc dạng tốn giáo viên có bài kiểm tra tổng hợp các dạng toán để
kiểm tra kiến thức của học sinh qua tất cả các dạng toán. Hơn nữa học sinh phải

biết phân loại dạng toán.
14


B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN GIẢI BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
B.1. DẠNG 1 : TỐN VỀ NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG.
*Các đại lượng liên quan tới dạng toán:
Năng suất: Số sản phẩm làm ra trên một đơn vị thời gian.
Thời gian: Thời gian hồn thành cơng việc
Khối lượng cơng việc: Lượng công việc cần làm
- Công thức: Năng suất nhân Thời gian bằng khối lượng công việc
*Phương pháp giải :
Chú ý với dạng toán này nên giải bằng cách lập phương trình. Thơng thường
dạng tốn này đề bài cho đối tượng làm việc ở hai mức là dự định và thực tế,
hoặc hai mức thời gian nào đó. Giáo viên phải lưu ý cho học sinh để học sinh
khi đọc đề xong và biết chia mức phù hợp. Cách nhận ra dạng tốn là: đề bài sẽ
có mối quan hệ của ba đại lượng: Năng suất, thời gian, khối lượng cơng việc.
* Bài tốn: Đề thi vào lớp 10 năm học 2021 – 2022 .
Một đội xe dự định chở 140 tấn hàng ( năng suất chở mỗi ngày như nhau). Thực
tế đội đã vượt mức 5 tấn mỗi ngày, do đó đội xe đã hồn thành sớm hơn thời
gian dự định một ngày và chở thêm được 10 tấn hàng. Hỏi số ngày đội chở theo
dự định.
Hướng dẫn: Bài tốn nghiên cứu cơng việc chở hàng của một đội xe và ở
hai mức: Kế hoạch và thực tế.
x ∈ N*
Theo kế hoạch
Theo thực tế

Số tấn chở trong một

Số ngày chở

Số tấn chở được

ngày ( tấn / ngày)

( ngày)

(tấn )

x

140

x-1

140 + 10 = 150

140
x
150
x −1

15


Cơ sở để lập phương trình là thực tế đội xe mỗi ngày chở vượt mức 5 tấn
nên ta có phương trình:

150 140
−
=5
x −1 x

Sau khi hướng dẫn học sinh điền bảng biểu diễn và ra phương trình. Giáo
viên tiếp tục hướng dẫn học sinh đọc bảng biểu diễn . Đây chính là nội dung
mà học sinh trình bày vào bài làm của mình. Giáo viên hướng dẫn học sinh
sắp xếp thứ tự các câu văn cần xuất hiện cho phù hợp logic bài tốn. Trong
q trình nghe học sinh trình bày nếu học sinh đọc bảng biểu diễn sai thì giáo
viên kịp thời sửa ngay để lần sau học sinh không mắc phải lỗi sai nữa.
Giải :
Gọi thời gian đội chở hàng theo kế hoạch là x(ngày), x ∈ N*
Thời gian đội chở theo thực tế là x – 1 ( ngày)
Số tấn hàng đội chở theo thực tế là 140 + 10 = 150 ( tấn )
Số tấn chở trong một ngày theo kế hoạch là
Số tấn chở trong một ngày theo thực tế là

140
(tấn/ngày)
x

150
(tấn/ngày)
x −1

Do thực tế mỗi ngày đội chở nhiều hơn dự định 5 tấn nên ta có phương trình:
150 140
−
=5

x −1 x
⇒ 150 x − 140( x − 1) = 5 x( x − 1)
⇔ x 2 − 3 x − 28 = 0

Giáo viên hướng dẫn học sinh giải phương trình
Giải phương trình trên ra: x = 7 (nhận) hoặc x = -4(loại)
Vậy thời gian đội chở theo kế hoạch là 7 ngày.
* BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Một xí nghiệp dự định sản xuất 1500 sản phẩm trong 30 ngày. Nhưng nhờ
tổ chức hợp lý nên thực tế đã sản xuất mỗi ngày vượt 15 sản phẩm. Do đó xí
nghiệp khơng những vượt mức 255 sản phẩm mà cịn hồn thành trước kế
hoạch. Hỏi xí nghiệp thực tế rút ngắn được bao nhiêu ngày.

16


Bài 2: ( Đề kiểm tra học kỳ II năm học 2018 – 2019 phòng giáo dục Vĩnh
Yên)
Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất 20 sản phẩm. Khi thực
hiện, mỗi ngày tổ đã sản xuất được 25 sản phẩm. Vì vậy tổ vượt mức 5 sản
phẩm và hoàn thành trước thời hạn 1 ngày. Hỏi thực tế tổ đã sản xuất trong bao
nhiêu ngày.
Bài 3: Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian nhất định.
Thực tế, xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm. Vì vậy mặc dù người đó đã làm thêm
mỗi giờ 1 sản phẩm xong thời gian hoàn thành cơng việc vẫn chậm hơn dự định
12 phút. Tính năng suất dự kiến, biết mỗi giờ người đó làm khơng q 20 sản
phẩm.
B.2.DẠNG 2: TỐN VỀ CƠNG VIỆC LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG.
* Các đại lượng của dạng toán:
Năng suất: Số sản phẩm làm ra trên một đơn vị thời gian.

Thời gian: Thời gian hồn thành cơng việc
Khối lượng cơng việc: Toàn bộ số sản phẩm làm ra( quy ước bằng 1)
-Công thức:
Năng suất nhân Thời gian bằng khối lượng cơng việc(quy ước bằng1)
Từ đó rút ra:

Năng suất bằng 1 chia thời gian
Thời gian bằng 1 chia năng suất

* Phương pháp giải toán: Đặc điểm nhận biết dạng toán là có hai đối
tượng tham gia làm việc với ba đại lượng: Năng suất, thời gian và khối lượng
công việc. Đề thông thường sẽ hỏi thời gian từng đối tượng làm riêng xong cơng
việc đó. Đặc biệt dạng tốn này là khối lượng cơng việc làm khơng rõ ràng nên
coi tồn bộ công việc là một đơn vị. Bảng biểu diễn chia ba mức: Đối tượng thứ
nhất, đối tượng thứ hai, cả hai đối tượng.
Ta xét bài tốn ví dụ sau:
* Bài toán: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2021 – 2022 tỉnh Vĩnh Phúc)
17


Hai đội công nhân A và B làm chung một cơng việc và dự định hồn thành trong
12 ngày. Sau khi cùng làm trong 8 ngày thì đội A được điều động đi làm việc
khác, đội B tiếp tục làm. Khi làm một mình do cải tiến kỹ thuật nên năng suất
đội B tăng gấp hai lần do đó đội B đã hồn thành nốt cơng việc cịn lại trong 8
ngày. Hỏi với năng suất ban đầu thì mỗi đội làm một mình sẽ hồn thành cơng
việc đó trong bao lâu ?
- Hướng dẫn giải: Giáo viên gợi ý : Bài tốn có hai đối tượng tham gia
làm việc, bài toán gồm ba đại lượng : Năng suất, thời gian, khối lượng công việc
nhưng do khối lượng công việc không rõ ràng nên quy ước bằng 1. Bài toán
nghiên cứu ở mức làm chung và làm riêng do đó ta nhận ra đây là dạng toán làm

chung, làm riêng. Sau đó hướng dẫn học sinh kẻ bảng biểu diễn của dạng toán.
Khi chọn ẩn, ở dạng toán này ta thường sử dụng hai ẩn và lập hệ phương trình
để dễ giải quyết các loại bài toán nhỏ của dạng này. Khi đặt điều kiện cho ẩn chú
ý thời gian làm riêng xong công việc phải lớn hơn thời gian cùng làm xong công
việc.

18


Bảng biểu diễn các đại lượng :
x>12; y>12

Năng suất

Thời gian( giờ)

Khối lượng công việc

Đội A

1
x

x

1

Đội B

1

y

y

1

Cả hai đội

1
12

12

1

Căn cứ năng suất chung cả hai đội là

1 1 1
1
nên ta có phương trình x + y = 12
12

Căn cứ dữ kiện hai đội làm chung trong 8 giờ sau đó đội hai làm một mình trong
8 giờ với năng suất gấp đơi thì hồn thành cơng việc, nên ta có phương trình :
8.

=> Hệ phương trình

1 2
+ .8 = 1

12 y

1 1 1
 x + y = 12

2
 1
 8. 12 + 8. y = 1


Sau khi hướng dẫn học sinh kẻ bảng biểu diễn của dạng toán xong, giáo viên
tiếp tục hướng dẫn học sinh đọc bảng biểu diễn bao gồm cả việc sắp xếp thứ tự
thứ tự các câu cho phù hợp.
- Lời giải:
Gọi thời gian đội A làm riêng xong công việc là x( giờ), x > 12
Gọi thời gian đội B làm riêng xong công việc là y ( giờ), y > 12
Trong một giờ đội A làm được

1
(công việc).
x

19


1

Trong một giờ đội B làm được y (công việc)
Trong một giờ cả hai đội làm được 1: 12=

Do trong một giờ hai đội làm được

1
(công việc)
12

1
công việc nên ta có phương trình
12

1 1 1
+ =
(1)
x y 12

Do hai đội làm chung trong 8 giờ sau đó đội hai làm một mình trong 8 giờ với
năng suất gấp đơi thì hồn thành cơng việc, nên ta có phương trình :
8.

1 2
+ .8 = 1
12 y
(2)

Giáo viên hướng dẫn học sinh giải phương trình (2)ta được: y = 48 ( nhận)
Thay y = 48, vào phương trình(1) ta có x = 16 ( nhận)
Vậy nếu làm một mình thì đội A mất 16 giờ xong công việc, đội B mất 48 giờ
xong công việc.
* BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Hai đội cơng nhân cùng làm một cơng việc thì xong trong 8 giờ. Nếu mỗi

đội làm một mình để hồn thành cơng việc đó, đội thứ nhất cần ít thời gian hơn
đội thứ hai là 12 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình sau bao lâu xong cơng việc đó.
Bài 2: Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong
18 ngày hồn thành công việc. Nếu đội I làm trong 6 ngày sau đó đội II làm tiếp
trong 8 ngày nữa thì được 40% cơng việc. Hỏi mỗi đội làm một mình sau bao
lâu xong công việc.

20


Bài 3: Hai người cùng làm một cơng việc thì hồn thành cơng việc trong 4 ngày.
Nếu một trong hai người làm một nửa cơng việc, sau đó người kia làm nốt nửa
cơng việc cịn lại thì tồn bộ cơng việc sẽ hoàn thành trong 9 ngày. Hỏi mỗi đội
làm một mình sau bao lâu xong cơng việc.
B.3. DẠNG 3: DẠNG TỐN CĨ LIÊN QUAN HÌNH HỌC.
*Phương pháp giải tốn: Để học sinh có tư duy chắc chắn khi làm dạng
toán này giáo viên khi dạy nên chia thành hai dạng tốn nhỏ là: Tốn về hình
chữ nhật và tốn về hình tam giác. Trong dạng tốn về hình tam giác nên chia
nhỏ là tam giác thường và tam giác vng.
* Với dạng tốn hình chữ nhật: Để biểu diễn được các mối quan hệ trong bài
tốn thì ở dạng này nên gọi ẩn là chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật. Chú ý
ngồi điều kiện riêng từng ẩn thì thêm điều kiện là chiều dài lớn hơn chiều rộng.
Cơng thức tính chu vi, diện tích hình chữ nhật:
Chu vi hình chữ nhật bằng hai lần tổng của chiều dài và chiều rộng
Diện tích hình chữ nhật bằng tích giữa chiều dài và chiều rộng.
Trong đó các chiều dài và chiều rộng có cùng đơn vị đo.
* Với dạng tốn tam giác: Khi làm tốn về hình tam giác thơng thường ta sử
dụng ẩn chính là cạnh đáy và chiều cao tương ứng của tam giác. Nếu tam giác
vuông ẩn chính là hai cạnh góc vng. Trong tam giác vng thì điều kiện mỗi
cạnh góc vng phải nhỏ hơn cạnh huyền.

Diện tích tam giác bằng một nửa tích giữa chiều cao và cạnh đáy tương ứng.
Diện tích tam giác vng tính bằng nửa tích hai cạnh góc vng. Nếu bài tốn
nghiên cứu về tam giác vng thì chúng ta có thể sử dụng định lý Py – ta – go
để biểu diễn các đại lượng
* Bài tốn hình chữ nhật:( Đề thi vào 10 Vĩnh Phúc năm học 2018-2019)
Một mảnh vườn hình chữ nhật, biết rằng nếu giảm chiều rộng đi 3m và tăng
chiều dài thêm 8m thì diện tích mảnh vườn đó giảm 54m 2 so với diện tích ban
đầu, nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài đi 4m thì diện tích mảnh
vườn đó tăng 32m2 so với diện tích ban đầu. Tính chiều dài và chiều rộng của
hình chữ nhật đó.
21


Hướng dẫn:
Giáo viên hướng dẫn học sinh điền bảng biểu diễn :
ĐK : 4 < x
3< y ; x < y
Lúc đầu
Khi tăng giảm lần thứ nhất
Khi tăng giảm lần thứ hai

Chiều dài(m)

Chiều rộng(m)

x
x+8
x-4

y

y–3
y+2

Căn cứ hai dữ kiện bài toán là sự tăng giảm diện tích qua hai lần thay đổi độ dài
 xy − ( x + 8)( y − 3) = 54
3 x − 8 y = 30
⇔
( x − 4).( y + 2) − xy = 32
 x − 2 y = 20

các cạnh ta có phương trình: 
Giải:

Gọi chiều dài của hình chữ nhật dài x(m),
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật dài y(m), 0 < x ; 0 < y ; x > y
Do khi giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài thêm 8m thì diện tích hình chữ
nhật giảm 54 m2 nên ta có phương trình : xy − ( x + 8)( y − 3) = 54 ⇔ 3x − 8 y = 30 (1)
Do tăng chiều rộng thêm 2m, giảm chiều dài đi 4m thì diện tích của mảnh vườn
đó tăng thêm 32m2 nên ta có phương trình ( x − 4).( y + 2) − xy = 32 ⇔ x − 2 y = 20 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
3 x − 8 y = 30 3 x − 8 y = 30
 −2 y = −30
 y = 15
⇔
⇔
⇔

(thỏa mãn điều kiện)
 x − 2 y = 20
3 x − 6 y = 60

 x − 2 y = 20
 x = 50

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt dài : 50m,
15m.
* Bài toán tam giác :
Một sân hình tam giác có diện tích 180m 2. Tính cạnh đáy của hình tam giác biết
rằng nếu tăng cạnh đáy thêm 4m và giảm chiều cao tương ứng đi 1m thì diện
tích tam giác khơng thay đổi.

22


Hướng dẫn :
-Bảng biểu diễn :
x > 0 ; y>1.
Cạnh đáy(m)
Chiều cao tương ứng(m)
Lúc đầu
x
y
Lúc sau
x+4
y–1
2
Do sân hình tam giác lúc đầu có diện tích 180m nên ta có phương trình :
1
xy = 180 ⇔ xy = 360
2

(1)

Do chiều cao giảm đi 1m và cạnh đáy tăng thêm 4m thì diện tích tam giác đó
khơng đổi, nên ta có phương trình :
1
( x + 4 ) . ( y − 1) = 180 ⇔ x − 4 y = −4 ( 2)
2
 xy = 360
(4 y − 4) y = 360
⇔
 x − 4 y = −4
x = 4 y − 4

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 
(4 y − 4) y = 360
⇔ y 2 − y − 90 = 0

⇔ y 2 − 10 y + 9 y − 90 = 0
Từ phương trình ⇔ y ( y − 10) + 9( y − 10) = 0
⇔ ( y − 10)( y + 9) = 0
 y = 10
⇔
 y = −9

Đối chiếu với điều kiện của ẩn: y = 10 ( nhận), y= -9 ( loại)
Thay y = 10, vào phương trình x = 4 y − 4 ⇒ x = 4.10 − 4 = 36 (nhận)
Vậy cạnh đáy của tam giác là 36m.
*BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Một tam giác có chiều cao bằng 2/5 cạnh đáy. Nếu chiều cao giảm đi 2dm
và cạnh đáy tăng thêm 3dm thì diện tích tam giác giảm đi 14dm 2. Tính chiều cao

và cạnh đáy tương ứng của tam giác.
Bài 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật có nửa chu vi là 40m, nếu tăng chiều dài
thêm 3m, tăng chiều rộng thêm 5m thì diện tích của mảnh vườn tăng thêm
195cm2.Tính diện tích mảnh vườn.
Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có nửa chu vi là 140 m. Người chủ khu
vườn muốn làm một con đường bằng bê tông rộng 2m xung quanh khu vườn
23


(thuộc đất của vườn) để làm lối đi, diện tích cịn lại để trồng cây là 4256 m 2.
Tính diện tích khu vườn.
B.4. DẠNG 4: DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN CHUYỂN ĐỘNG.
* Các đại lượng: Vận tốc(v)km/h, quãng đường đi được (S)km, thời gian(t)h.
- Công thức liên hệ:

S = v.t ; v =

S
S
;t =
t
v

Riêng đối với chuyển động trên dòng nước thì :
vxi dịng = vThực + vdịng nước
vngược dịng = vThực - vdịng nước
Khi dạy dạng tốn này GV cần chia nhỏ từng dạng toán chuyển động cho học
sinh dễ tiếp cận dạng tốn hơn. Thơng thường tơi thường chia dạng toán này
thành hai loại là:
+Chuyển động trên cạn: Có thể chia thành hai dạng nhỏ là:

+ Bài tốn có một chuyển động: Trong chương trình đại trà, với dạng tốn có
một chuyển động thơng thường bài tốn sẽ nghiên cứu ở các mức chuyển động
khác nhau như: Mức đi và mức về, mức dự định và mức thực tế, chuyển động
trên các quãng đường khác nhau thì mỗi một qng đường là một mức....
+ Bài tốn có nhiều chuyển động: Thơng thường bài tốn chỉ nghiên cứu hai
chuyển động khi đó ta chia thành: Hai chuyển động cùng chiều, hai chuyển động
ngược chiều...
Việc chia nhỏ theo sơ đồ như vậy học sinh dễ hình dung được cách làm
bài tốn. Nhận ra bài tốn đó rơi vào trường hợp nào để áp dụng cách giải phù
hợp.

24