PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.22 MB, 301 trang )
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
1
Bài tập chuyên đề:
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
VĂN PHÚ QUỐC
1. Giải PT:
3 2 3 2
5 3
3 2012 3 6 2013 5 2014 2013
x x x x x .
2. Giải BPT:
2 3 2012
1
1 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2012 1
x x x x
x x x x x x x x x
3. Giải HPT:
1
2
3
4
2
3
4
1
2 2 os
2 2 os
2 2 os
2 2 os
x c
x c
x c
c
x
x
x
x
x
;
1 2 3 4
, , ,x x x x
.
4. Giải HPT:
2
2
2
30 4 2012
30 4 2012
30 4 2012
y
y
x
z
z
y
x
x
z
; , ,x y z
5. Cho
2013
số dương:
1 2 2013
, , ,
0
x x x
thỏa mãn:
2 2
1 2 2 1
2 2
2 3 3 2
2 2
2011 2012 2012 2011
2 2
2012 2013 2013 2012
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
.
Chứng minh rằng trong 2013 số đó có hai số
,
a b
sao cho:
1
2012
a b .
6. Giải HPT:
2 2 2
2012 2012 2012
3
3
3
x y z
x y z
x y z
; , ,x y z
.
7. Giải BPT:
2 2
2012 2014 2 4028 2014 4024 4024
x x x x
;
x
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
2
8. Giải HPT:
2012
2013
1 2 3
2012
2013
2 3 4
2012
2013
2012 1 2
1 2 2012
30 4
30 4
30 4
, , , 0
x x x
x x x
x x x
x x x
9. Giải HPT:
1 2
2
2 3
3
2012 1
1
1 2012
2
1 2012
2
1 2012
2
x x
x
x x
x
x x
x
;
1 2 2012
, , ,x x x
.
10. Giải HPT:
2
2
2
2
2
2
2
2
x x y
y y z
z z t
t t x
; , , ,x y z t
.
11. Giải HPT:
2
2
1 1 2
2
2
2 2 3
2
2
2012 2012 1
1
2
1
2
1
2
k
x kx x
k
x kx x
k
x kx x
;
1 2 2012
, , ,x x x
,
k
là một số cho trước.
12. Cho số nguyên
3
n
. Giải hệ phương trình:
1 2 3
2 3 4
1 2
2012 4025 2013 0
2012 4025 2013 0
2012 4025 2013 0
n
x x x
x x x
x x x
;
1 2
, , ,
n
x x x
.
13. Giải HPT:
2013 2 2013
2012 2 2012
2013 2 2013
2 2012
2012
2
2 2 1
2
2 2 1
xy
x x y
x x
xy
y y x
x y
; ,x y
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
3
14. Giải PT:
2 2
2 2 2
3 2 2 2 3 10
3
3 3 4 4 3
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x
15. Giải HPT:
2012 2012 2011 2011
2x y
x y x y
; ,x y
.
16. Giải HPT:
2
2 2
5 4 4
5 4 16 8 16 0
y x x
y x xy x y
; ,x y
.
17. Giải HPT:
4 3 2 2
2
4 2 2 2
6 12 6
5 1 11 5
x x x y y x
x x y x
; ,x y
18. Giải HPT:
2 4 2 2 2 4
2
2 4 2 2
3 2 1 2
1 1 2 2 1 0
x y x y x x y
x y x x x xy
; ,x y
.
19. Giải HPT:
2 2
3 3
2
14 2 2
9
2 2
xy y x y
x y x y
x y x y
; ,x y
.
20. Giải HPT:
4 4
2009 2013 2013 2009
2011
2 1
2
3
xy x y
x y x y
; ,x y
.
21. Giải HPT:
2 2
2011 2013
2011 2013
1
2014
x y
x y y x x y xy
; ,x y
.
22. Giải PT:
4
6
2
cos2
3 1 tan
7
cos
x
x
x
23. Giải HPT:
3 3
3 3
1 1
9
1 1 1 1
1 1 18
x y
x y x y
( ,x y
).
24. Giải BPT:
2 4 2
6 3 1 1 0
x x x x
;
x
25. Giải HPT:
2
2 2
1 1 4 3
12 2 3 7 1 12 3 5
x y x y x y
x x y xy y x
, ,x y
.
26.Giải HPT:
4 4
2 2 2
1 1
2
2
1 1
3 3
2
y x
x y
y x x y
x y
, ,x y
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
4
27. Giải BPT:
3 3 2 2
4 6 7 12 6 2
x x x x x
;
x
.
28. Giải BPT:
3
5 3 2 2 2
1 1
x x x x x x x
;
x
.
29. Giải HPT:
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
3 1
4 1 ; , ,
5 1
x y z x x y z
y z x y y z x x y z
z x y z z x y
.
30. (VMO 1975). Giải PT:
3 3 3 3 3 3
3 3 3
3 3
. . .
0
2 2
y m y n y p y m y n y p
y m y n y p
y m y n y p
.
31. (VMO 1975). Không giải PT bậc ba:
3
1 0
x x
. Hãy tính tổng các lũy thừa bậc tám của ba
nghiệm số của nó.
32. (VMO 1976). Tìm nghiệm nguyên của HPT:
12
3
x y
x y
x y
y x
.
33. (VMO 1977). Giải BPT:
1 1 1
1
x
x
x x x
.
34. (VMO 1978). Tìm tất cả các giá trị của
m
sao cho HPT sau đây chỉ có một nghiệm
2
2 2
2
1
x
x x y m
x y
.
35. (VMO 1981). Giải HPT:
2 2 2 2
2 2 2 2
50
24
0
x y z t
x y z t
xz yt
x y z t
.
36. (Kỳ thi đặc biệt tại Huế, 1981). Giải HPT:
1 2 1
1 2 3 2
2 3 4 3
2 1 1
1
2
2
2
2
2
n n n n
n n n
t t a
t t t a
t t t a
t t t a
t t a
.
37. Tìm nghiệm nguyên dương của PT:
2 2 2 2336
x y z
x y z
.
38. (VMO 1993, bảng B). Giải BPT:
3 3
12 1
2
4x x
.
40. (VMO 1994, bảng B). Giải HPT:
2
2
3 ln 2 1
3 ln 2 1
x x x y
y y y x
.
41. (VMO 1995, bảng A). Giải PT:
3 2
4
3 8 40 8 4 4 0
x x x x
.
42. (VMO 1995, bảng B). Giải PT:
2
3
2 11 21 3 4 4 0
x x x
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
5
43. (VMO 1996, bảng A). Giải HPT:
1
3 1 2
1
7 1 4 2
x
x y
y
x y
.
44. (VMO 1999, bảng A). Giải PT:
2 1 2 2 1
3 2
1 4 .5 1 2
4 1 ln
2 0
x y x y x y
y x y x
.
45. (VMO 2001, bảng B). Giải HPT:
7 2 5
2 2
x y x y
x y x y
.
46. (VMO 2002, bảng A). Giải PT:
4 3 10 3 2
x x
.
47. (VMO 2004, bảng A). Giải HPT:
2
3
2
3
2
3
2
30
16
x x x z
y y z x
z z x y
.
48. (VMO 2004, bảng B). Giải HPT:
3 2
2 2
3 49
8 8 17
x xy
x xy y y x
.
49. (VMO 2006, bảng A). Giải HPT:
2
3
2
3
2
3
2 6.log 6
2 6.log 6
2 6.log 6
x x y x
y y z y
z z x z
.
50. (VMO 2006, bảng B). Giải HPT :
3 2
3 2
3 2
3 2 5
3 2 5
3 2 5
x x x y
y y y z
z z z x
.
51. (VMO 2007). Giải HPT:
12
1 2
3
1
1 6
3
x
y x
y
y x
.
52. (VMO 2008). Hãy xác định số nghiệm của HPT ( ẩn
,
x y
) sau:
2 3
3 3
29
log .log
1
x y
x y
.
53. (VMO 2009). Giải HPT:
2 2
1 1 2
1 2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
9
xy
x y
x x y y
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
6
54. (VMO 2010). Giải HPT:
4 4
2
3 3 2
240
2 3 4 4 8
x y
x y x y x y
.
55. Giải PT:
2 2
3 2 9 4 2 16 5
x x x x
.
56. Tìm giá trị lớn nhất của tham số
m
để BPT sau có nghiệm:
3
3
2
3
4
1
1
sin
2
m
m
x
mx
x
.
57. Giải BPT:
2
2 2 30 2013. 30 4 2013 30. 2013
x x x .
58. Giải HPT:
2 2 2
2 2
2 3
2 1
x y z xy zx zy
x y yz zx xy
.
59. Với giá trị nào của ,u v
thì HPT:
2 2 2
4
2 2 2 2 2 2 2 2 2
169
2 .13
4
a b c
u v
a ua vb b ub vc c uc va
có nghiệm nguyên dương
, ,
a b c
?
60. Giải PT:
2 2
9
1
x x
x
.
61. Giải BPT:
2
12 8
2 4 2 2
9 16
x
x x
x
.
62. Giải PT:
2 4 2 4
13 9 16
x x x x
.
63. Giải PT:
2
4 3 2
3
2 7 3 3 2
2
x x
x x x x
.
64. Giải HPT:
2 2
1 13 1 13
16 16
97
36
0
0
y x y x
x x
x y
x
y
.
65. Giải HPT:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 0
x y z xyz
x y z y x z z x y
.
66. Giải BPT:
2
2
2
2
6 5
x x
x x
.
67. Trong các nghiệm thực
, , ,
x y z t
của HPT:
2 2
2 2
1
2
2
x y
z t
xt yz
.
Hãy tìm nghiệm sao cho tổng
y t
nhỏ nhất.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
7
68. Biết rằng PT:
4 2
2 3 1 0
x x x
(1) có nghiệm dương
0
x
. Chứng minh rằng:
9
0
162 2
x
và
0
x
không phải là nghiệm của PT:
3 1 4
x x x
.
69. Giải BPT:
2 2
2 1 2 1 2 3 0
x x x x x x
.
70. Giải HPT:
2
2
2
4 8
4 8
4 8
x y y
y z z
z x x
.
71. Giải PT:
3 2
3 1 5 2 10 34 40
x x x x x x
.
72. Giải HPT:
2
2
3 2 3
3 2 3
x x y
y y x
74. Tìm m để BPT:
2
2
1 1
2 sin sin 7
sin sin
2
1 1
3 sin sin 12
sin sin
x x
x x
x x m
x x
vô nghiệm.
75. Giải PT:
2 2 2
11 14 9 11 2 3 17 2 3 2 2 2
x x x x x x x
.
76. Giải HPT:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1 1 1
1
1 1
1 1
x y
x y
y x x y
x y
x y
x y
.
77. Giải PT:
3
3 2
3log 1 2log
x x x
.
78. Giải HPT:
2 1
2 1
2 2 2012 1
2 2 2012 1
y
x
x x x
y y y
79. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
5 1 5 1
2
7 7 2012 2012
2 2 3 0
x x x
x
x m x m
80. Giải HPT:
2 2
2
2
1
xy
x y
x y
x y x y
.
81. Giải HPT:
2 32
2 2 2 2
log 5log
2
1 3
x y x y
x y x y
.
82. Giải PT:
3
3
8sin 1 162sin
27 0
x x
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
8
83. Giải HPT:
3 2
2 1 3
4 1 9 8 52 4
x y
x x y x y xy
.
84. Giải HPT:
4 4 2 2
4 4 2 2
2 6
2
8 6 0
x y x y x y
y x y x y x
x y x
.
85. Giải HPT:
1
1 1
3
xy xy x
y y y
x x x
.
86. Giải HPT:
3 2 2 3
2 2
1 2 30
1 11
x y y x y y xy
x y x y y y
.
87. Giải HPT:
2
4
16 2 3
x y x y x y
x y x
.
88. Giải HPT:
2
2
2 2 1 34 2
2 2 1 34 2
x x y xy x
y x y xy y
.
89. Giải HPT:
2
3
3
1 4
2 1 log
1
log 3
1 log 1 2 2
x
x
y
x
y
y
.
90. Giải HPT:
2 2
2 2
7
2 1 2 1
2
7 6 14 0
x y xy
x y xy x y
.
91. Giải HPT:
2 2
1 2
2
1 1 3 1
y x
x y
x
y x x
.
92. Giải HPT:
6
2 3 3
2 3 3 6 3 4
x
x y y
y
x x y x y
93. Tìm các số
; ; ;
x y z t
thỏa mãn HPT:
2 2 2 2
3 3 3 3
2 2 2 2
12
50
252
2
x y z t
x y z t
x y z t
x t y z xyzt
.
94. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của PT:
2 2
4 6 9 6
313
x y x y
x y
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
9
95. Giải BPT:
2
35
12
1
x
x
x
.
96. Tìm tất cả các cặp số thực
;
x y
thỏa mãn BPT:
2
1
1
x y x y
.
97. Xác định tất cả các nghiệm số nguyên của PT vô định:
3 2 2 3 2 2
8 1
x x y xy y x xy y
.
98. Tìm tất cả các số tự nhiên
,
x y
thỏa mãn PT:
4
3361 11296320
x y .
99. Tìm
m
để PT sau có nghiệm duy nhất:
3
4
1 2 1 2 1
x x m x x x x m
.
100. Giải PT:
6 5 4 3 2
16 16 20 20 5 2 7 0
x x x x x x
.
101. Giải PT:
2 2 2
45
2 5 4 40 5
4
x x x x x x .
102. Cho
, , , 30;
4 1 0
\ ; 4;
1
a b c d
là bốn tham số đôi một phân biệt và
, , ,
x y z t
là các ẩn số.
Hãy giải HPT:
1
30 4 14 10
1
30 4 14 10
1
30 4 14 10
1
30 4 14 10
x y z t
a a a a
x y z t
b b b b
x y z t
c c c c
x y z t
d d d d
.
103. Cho
1
k
. Giải HPT:
3 2
2
2
4 8
4 8
x y z kx y z k k
x y z x ky z k k
x y z x y kz k
.
104. Tìm tất cả các cặp
;
x y
với ,x y
thỏa
3
1 2 1
2
x y y x xy
.
105. Tìm tất cả các bộ
; ;
x y z
với
, ,
x y z
là những số nguyên thỏa mãn HPT:
3 3 3
3
3
x y z
x y z
.
106. Tìm
m
để HPT:
16
25
36
x y xy xy
y z yz yz
z x zx zx
xy yz zx m xyz
có nghiệm , ,
0
x y z
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
10
107. Giải HPT:
3 2
3 2
3 2
2
2
2
1
2012
1
2012
1
2012
x x
y y
z z
y
z
x
.
108. Tìm tất cả các bộ ba số dương
; ;
x y z
thỏa HPT:
2012 2010 2010
2012 2010 2010
2012 2010 2010
2
2
2
x y z
y z x
z x y
.
109. Giải HPT:
2 2
2
2 2
2
3 8 8 8 2 4 2
x y y x z
x x y yz
x y xy yz x z
.
110. Giải HPT:
2012
1 2 3
2012
2 3 4
2012
2011 2012 1
2012
2012 1 2
x x x
x x x
x x x
x x x
.
111. Giải HPT:
3 2
3 2
3 2
6 12 8 0
6 12 8 0
6 12 8 0
y x x
z y y
x z z
.
112. Giải HPT:
2
2
2
1
1
1
x y
y z
z x
113. Giải HPT:
2 3 2 1
2 3 2 1
x y y x x x
y x x y y y
.
114. Giải HPT:
3 2 2
3 2 2
3 2 2
2 3 18
2 3 18
2 3 18
x x y y
y y z z
z z x x
.
115. Giải HPT:
2012
1 1
3 2 2 2
x y z
x y x y z
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
11
116. Giải HPT:
2 3 2 3
2
6 6 5 2 6 4
2 2
1
x x x x x x
x
x y
.
117. Giải HPT:
2
2
1
3
1
1
3
a
x a y a z a
a
a x a y a z
a
1
a
.
118. Giải HPT:
1 2 2012
1 2 2012
2013
1 1 1 2012
2012
2011
1 1 1 2012
2012
x x x
x x x
.
119. Giải HPT:
1 1 1
2
1 1 1
3
1 1 1
4
x y z
y z x
z x y
.
120. Giải HPT:
4
4
2
1
2
4
2
1
1
4
x y
x
x y
x y
y
x y
.
121. Giải PT:
4 3 2
32 80 50 4 3 4 1 0
x x x x x
.
122. Giải HPT:
2
2
2
5
3
3
1
3
x y z
y z x
z x y
123. Giải HPT:
3 3 2
4 4
8 4 1
2 8 2 0
x y xy
x y x y
.
124. Giải HPT:
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
x y z x yz
y z x y zx
z x y z xy
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
12
125. Tìm số
a
lớn nhất để PT:
4 3 2
0
x ax bx cx d
; ; ;a b c d
có 4 nghiệm
1 2 3 4
; ; ;
x x x x
thỏa
2012 2012 2012 2012
2 2 2 2
1 2 3 4
4
x x x x
. Trong trường hợp đó hãy tính
; ;
b c d
.
126. Giải PT:
3 2 3 3 2
6 12 7 9 19 11
x x x x x x
.
127. Giải HPT:
2
2
12 2 4
1 2 5 2
x y
y y x
.
128. Giải HPT:
2 2
2
1
5 5 3
1 1
2 3
2
x y
x
x y
x
.
129. Giải PT:
n n n n
a x a x b x b x
a x a x b x b x
( với
,
a b
là các số thực dương )
130. Định
m
để hệ sau có nghiệm:
2 2
2 0
0
4 4
3 4 5
x y x y m
x y
.
131. Giải HPT:
1 2 6
2 3 12
3 1 8
u v
v t
t u
; , ,u v t
.
132. Giải PT:
6 6
5 5 12 0
x y y x x y xy
; ,x y
.
133. Giải HPT:
1 2 2 3
2012 2013 2013 1
2013 1 1 2
1 2
2
2
2
2013, 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x
.
134. Giải HPT:
2 2
2 2
2
2
x y y x
x y x y
.
135. Giải HPT:
2
1
2
2
1
2
2
3
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
136. Giải PT:
3 2
3
3 3 3 5 1 3
x x x x
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
13
137. Giải HPT:
2 2
2
2
2 8
4 3
x y
z z x y
z y x
.
138. Giải PT:
2
2 37
4 1 9 26 0
3 3
x x x
.
139. Tìm nghiệm nguyên dương của PT:
2
2 2 2
1 1
y x x x x
140. Giải PT:
4
2 2 2 2 1
x x
.
141. Giải HPT:
2 2
2 2
2 2
2 1 9
2 1 9
2 1 9
x y y y
y z z z
z x x x
.
142. Giải HPT:
3 3 3 2
2 2 2 2
16 9 2 4 3
4 2 3
x y y xy y xy
x y xy y
.
143. Giải PT:
4 2
4
4 1 8 3 4 3 5
x x x x x
.
144. Tìm các cặp số nguyên
;
x y
thỏa:
2010 2010 1340 670
2
y x x x
.
145. Giải HPT:
2 2 2
3 1
3
2 3
9
x x y y z z
x y y z z x x y z
.
146. Tìm các bộ ba
; ;
x y z
nguyên dương sao cho:
2 2 2
2011
2011
x y
y z
x y z
.
( Ký hiệu
,
lần lượt là tập hợp các số hữu tỉ , tập hợp các số nguyên tố).
147. Giải PT:
2 2 2 4
4
4 4 1 2 3 16 5
x x x y y x y
.
148. Biết HPT:
3 3 3
4 4 4
3
15
35
x y z
x y z
x y z
có một bộ nghiệm
; ;
x y z
thỏa
2 2 2
10
x y z
.
Hãy tính
5 5 5
x y z
.
149. Giải PT:
4 2 2 2 2 2 2
2
1
4 16 9 2 2x y x y x y y x
x
với
0
x
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
14
150. Giải HPT:
3 2 2
2 2
2 3 2 3
3 3 2
3
6
x x z z
y y x x
y z z
z
.
151. Giải HPT:
4 2
3 6
2 3 6
1 . 2 . .
1024
4 16 8 16
1; 2; 0; 0
x y z t
x z y t x
x y z t
.
152. Tìm ; ;x y z
thỏa mãn PT:
2 2 2 2 2
3 6 2 3 18 6 0
x y z y z x
.
153.(USAOP 1990). Giải HPT:
1 1 1
3 4 5
1
x y z
x y z
xy yz zx
.
154. Tìm mọi cặp số thực
;
x y
thỏa hệ:
2
2
6 3 2 2 3
3 3
2
2
1
4
2
1 2
y y x xy x y
xy y
x x y
.
155. Tìm nghiệm nguyên của HPT:
3 3 3
2 3 2
2 1 1 6 2 3
x y z
x y z
.
156. Cho HPT:
2012
2 2012
3 2012
y x
z y
w z
. Tìm nghiệm
; ; ;
x y z w
sao cho ; ; ;
0
x y z w
và
x
có giá trị bé nhất.
157. Tìm nghiệm nguyên dương của PT:
3 2 2 2 3 2 2 3
2 3 12 8 8 8 2 2 40 0
x y z x y yz z x y y z z y z
.
158. Tìm nghiệm nguyên dương của PT:
2012 2011 2
2011 4023 2012
x y
x y y x z
.
159. Giải HPT:
2 2 2
7 7 7
0
50
350
x y z
x y z
x y y
.
160. Gọi
1 2 3
; ;
x x x
là ba nghiệm phân biệt của PT:
3
1 0
x x
. Tính tổng
11 11 11
1 2 3
x x x
.
161. Giải HPT:
2012
1 2 3 4
2012
1,10
i i i i i
x x x x x
i
với
11 1 12 2 13 3 14 4
; ; ;
x x x x x x x x
.
162. Giải PT:
2 2 2
4 3 4 sin 2cos 13 4cos
2
x y
x x x y x y
.
163. Giải PT:
120
1 2 120 1 2 120
1 1 1 1 1
1 2
x x x x x x trên đoạn
1;
1
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
15
164. Giải HPT:
1 1 2 2
1 2
1 2
n n
n
n
x a
x a x a
b b b
x x x a
.
165. Giải HPT:
1 2 3
2 3 4
98 99 100
99 100 1
100 2 1
0
0
0
0
0
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
.
166. Giải HPT:
2 2
2 2
2 2
37
28
19
x xy y
x xz z
y yz z
.
167. Giải HPT:
2 2 2
13
61
2
x y z
x y z
xy xz yz
.
168. Giải HPT:
2 2 2
47
2
x y z
xy yz zx
z x z y
.
169. Giải HPT:
2
3
xy x y z
xz x y z
yz x y z
.
170. Giải HPT:
2 2 2
50
60
4 5 20 0
x y z
xyz
xy x y
.
171. Giải HPT:
4 4 4
1x y z
x y z xyz
.
172. Giải HPT:
3 3 2
3 3 2
3 3 2
14
21
7
x y x y z xyz
y z y z x xyz
z x z x y xyz
.
173. Giải HPT:
1 2
1 3
1
1
1 0
1 0
1 0
1 0
n n
n
x x
x x
x x
x x
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
16
174. Giải HPT:
1 2 1 3 2 3 4
1 2 1 4 2 4 3
1 3 1 4 3 4 2
2 3 2 4 3 4 1
2
2
2
2
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
.
175. Giải PT:
2
3
sin 2 sin sin 1 3 3sin
1 1
x x x x
.
176. Giải HPT:
2
17 3 5 3 14 4 0
2 2 5 3 3 2 11 6 13
x x y y
x y x y x x
.
177. Gọi
; ;
x y z
là nghiệm của HPT:
sin os 2
2 3 13 7
x yc z x y z
x y z
với
3
;
2
.
Hãy tính
.
x y z
.
178.(AIME 1984). Xác định
2 2 2 2
x y z t
biết
; ; ;
x y z t
là nghiệm của HPT sau:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
2 1 2 3 2 5 2 7
1
4 1 4 3 4 5 4 7
1
6 1 6 3 6 5 6 7
1
8 1 8 3 8 5 8 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
.
179. Giải HPT:
2
1 2 3 2 4 5 2
2
2 3 4 3 5 1 3
2
3 4 5 4 1 2 4
2
4 5 1 5 2 3 5
2
5 1 2 1 3 4 1
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
.
180. Giải HPT:
2 4 7
2 4 7
1 1 1 1
1 1 1 1
x x x y
y y y x
.
181. Giải PT:
2
2 1
2 2 1 2 2 2 2
x x x
x x
.
182. Tìm tất cả các cặp số nguyên
;
x y
thỏa mãn:
2
3 3
x y x y
.
183. (Korean Mathematics Competition 2000). Giải PT:
2 3 4 6 9 1
x x x x x
.
184. Giải PT:
2
1 2 3 4 5 360
z z z z z ;
z
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
17
185. Giải PT: 2 2
x y z u v x y z u v
.
186. Giải PT: 4 16
4 3 1
n
x x x x x
(*)
187. Giải PT:
2
1 2 1 2
1 2 4
2
n n
x x n x n x x x
.
188. Giải HPT:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
4 1
4 1
4 1
4 1
4 1
y u v w x
x u v w y
x y v w u
x y u w v
x y u v w
.
189. Giải HPT:
4 3
4 3
8 4 1 16 3
8 4 1 16 3
x y x
y x y
.
190. Giải HPT:
2 2
2 2
7
2 1 2 1
2
7 6 14 0
x y xy
x y xy x y
.
191. Giải PT:
2
4
4
1
1 5 2
1
x x x
x x
.
192. Giải PT:
3 2 3 3
12 46 15 5 1 2 1
x x x x x
.
193. Giải HPT:
2 2
3 3 14
14 36
x y x y xy
x y x xy y
.
194. Giải HPT:
4 4
4 2 2 4
2 2
121 122
4
122 121
14
x y
x y
xy
x y
x x y y
x y
.
195. Giải HPT:
4 3 2 2 3 4
3 4
2 2 12 8 1 0
2 1
x x y x y xy y
x y y
.
196. Giải PT:
3 2 3
1 2 0
x x x
.
197. Giải HPT:
2 2
2
2
3 2
1
1
3log 2 6 2log
2 1
y x
x
e
y
x y x y
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
18
198. Giải HPT:
6 4
sin
sin
10 1 3 1
5
;
4
,
x y
x
e
y
x y
x y
.
199. Giải PT:
14 6 2
13 39 13 6 13
3125. 13 25. 4 3125 4 5. 3125 0
x x x
.
200. Giải PT:
2 2 2 2 2 2
2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2
cos
25 25 21 21 4 4
x x x x x x
.
201. Giải HPT:
3
2 2
2 3
2 2 9 4
4
0
y x
z y y y
x z x
z
.
202. Giải HPT:
3
2 2
3 3 2
4 8
0
2 3 5 16
x y
z y y
z x x x
z
.
203. Giải HPT:
2
3
4
yz zx xy xyz
zx xy yz xyz
xy yz zx xyz
.
204. Giải HPT:
2
2
2
4
4
4
x y y z xy z
y z z x yz x
z x x y zx y
.
205. (HSG tỉnh Thừa Thiến Huế năm 2009-2010). Giải HPT:
17 5
9 4 17
log 3 2 log
3 2 1
x y
x y x y
.
206. (HSG tỉnh Gia Lai năm 2009-2010).
Giải PT:
1 os2 2cos2 2009.
cos
1
cos sin os
2 3
cos sin
2
cos
2
os
3
sin
3 2010
c x x x
x x c x x x x c x x
.
207. Giải HPT:
2
3
2 2 1 4
4 0
y x
z y y y
x z x
.
208. Giải HPT:
2 2
3 4 2
4 6 4 2
2 1
3 1
4 1
x y x
y z y y
z x z z z
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
19
209. Giải PT:
2
1 1
1 1
3
2
1 1
ln 1 ln
1 1
x
x
x x x
x x
( với
0
x
).
210. Giải PT:
2
6 2
2012
6 2
4 2
log
3 1
1
x
x x
x x
.
211. Giải HPT:
1 1 1
3 3
1
7
2
27
x y z
x y z
xy yz zx xyz
.
212. Giải HPT:
2013 2012
2014
2 2
4 4 2
1
2
2
2014
z x y
x y xy z z
x y z
x y z
.
213. Giải HPT:
2
1 1 1 1 1 1
log 1
9 6 3 6 3 9
x y x y x y x y x y x y
x x y
.
214. Giải HPT:
2013
3 1 1
3
3
2 2
2 2
3 2
1
log log 2 log
9 4
2
log 2 log
x y
y y
z y
x z x
để tìm nghiệm
0 0 0
; ;
x y z
thỏa
0
0
z
.
215. Chứng minh rằng
m
, HPT sau có nghiệm duy nhất
3 2
2 3
4
2 2
2
x y m y
x y x
y
y
.
216. Giải HPT:
2
2
3
4 2
4
6 4 2
2
1
3
1
4
1
x
y
x
y
z
y y
z
x
z z z
.
217. Giải HPT:
3 2 2
3 2 2
3 2 2
3 3 3
3 3 3
3 3 3
x y y y
y z z z
z x x x
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
20
218. Tìm nghiệm nguyên dương của HPT:
1 2 3
1 2
2 3 4
2 3
2012 2013 1
2012 2013
2013 1 2
2013 1
2013
2013
2013
2013
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
.
219. Cho
1
a
, hãy tìm tất cả các bộ ba số thực
; ;
x y z
sao cho
1
y
thỏa PT:
2
2
2 3 3
8 4
log log
0
2
a a
z y
xy x y xyz
.
220. Giải HPT:
2
2 2
2
3 2
9
2 6ln
9
2 1
y y
x y x xy y
x x
x x y
.
221. Giải HPT:
1
1
1
1
1
1
y
x
x
z
y
y
x
z
z
.
222. Giải HPT:
3 2 3
3 2 3
2 3
2 3 18
2 3 18
2 3 18
x x y y
y y z z
z z x x
.
223. Giải PT:
2012 2 2012 2
sin . sin 2012 cos 1 os 2cos 2013 cos sin
1
x x x c x x x x
.
224. Giải HPT:
2 2
2 2
2 22 2 1
2 22 2 1
x x y y y
y y x x x
.
225. Tìm nghiệm nguyên dương của PT sau:
3 2 2 3 2 2
2 2
3 3
3 1 4 3 1 4
8 16
2 2
x x x x x x x x
y z
với điều kiện: 2
10
y x
226. Giải HPT:
2 2 2 2 2 2
4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2
1
1 1 1
1
x y y z z x
x y x y y z y z z x z x
xyz
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
21
227. Giải HPT:
2 2
1 3 5 1 3 5
80
x x x y y y
x y x y
.
228. Giải HPT:
4 2
2 2
697
81
3 4 4 0
x y
x y xy x y
.
229. Giải HPT:
5 4 2
5 4 2
5 4 2
2 2
2 2
2 2
x x x y
y y y z
z z z x
.
230. Giải HPT:
1
2
2
ln 1
1
1
1 log
1 1
y
x y
x
e
x
x y
.
231. Giải HPT:
2 2
2
2 2 1
2
3 9 2 2
3 2 29
x y
x y
y x
x y
.
232. Giải HPT:
2 2
16 2 8 2
2 2 2
4 3 1 4 3 4 8 17
1 4 3 8 ln 3 3 0
x y y
x x y y y
y x x x x x
.
233. Giải HPT:
6 4
3 2
1
8 3
2
4
x xy y x
x x y y
.
234. Giải HPT:
2
2 2 2
3 3
2 2
3
log 2 1 log
4 4 2 1 3 4 2 1
log 2 4 4 1 1 2
x x y x x x y x y x xy
x x x
.
235. Giải HPT:
2 2
2012 2012 2012
6 2 1 4 6 1
x x y y
x x xy xy x
.
236. (Russia). Giải HPT:
sin 2sin
0
sin 2sin
0
sin 4sin
0
x x y z
y x y z
z x y z
.
237. (Moscow). Giải HPT với n = 100
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 2 2 2 2 1
3 4 4 4 4 2
3 5 6 6 6 3
3 5 7 9 2 1
n
n
n
n
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x n x n
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
22
238. (Moscow 1962). Cho HPT:
1 2 3 1962
1 2 3 1962
1 2 3 4 1962
1 2 3 1961 1962
1
1
1
1
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
. Tìm giá trị của
25
x
.
239. (Moscow). Tìm tất cả các nghiệm dương của hệ:
2
1 2 3
2
2 3 4
2
3 4 5
2
4 5 1
2
5 1 2
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
.
240. (Moscow). Giải HPT:
1 2 3 4 5 6 7
2 5
3 6
4 7
1 5
2 3
3 4
150
43
52
53
52
480
135
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
.
241.(Moscow). Giải HPT:
2 2 2
2
2
2 2
2
2
os os
os
2
1
2
1
os
3
1
c x y c a a
x y
x yc c a
x y
.
242. (Hungari). Giải HPT:
2
2 2
24 25 73 25 35 0
2 2 7 0
x xy x y
x y x y
.
243. (Austria - Poland).Tìm bộ bốn số
; ; ;
x y u v
thỏa mãn HPT:
2 2 2 2
4
2
1
x y u v
xu yv xv yu
xyu yuv uvx vxy
xyuv
.
244. (England 1975). Chứng minh rằng với
n
tùy ý, tồn tại đúng một bộ số
1 2
; ; ;
n
x x x
thỏa PT:
2 2 2
2
1 1 2 1
1
1
1
n n n
x x x x x x
n
.
245. (IMO 1966). Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
n
và mọi số thực
x
sao cho
0 s 1;2
;
i
n 2
.
n
nx
ta có:
1 1 1
cot cot
2
sin
2
sin
4
sin
2
n
n
x x
x x
x
.
246. (IMO 1966). Cho
1 2 3 4
, , ,
a a a a
là bốn số thực khác nhau cho trước.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
23
Giải hệ phương trình sau:
1 2 2 1 3 3 1 4 4
2 1 1 2 3 3 2 4 4
3 1 1 3 2 2 3 4 4
4 1 1 4 2 2 4 3 3
1
1
1
1
a a x a a x a a x
a a x a a x a a x
a a x a a x a a x
a a x a a x a a x
.
247. (IMO 1968). Cho hệ phương trình với các ẩn số
1 2
; ; ; :
n
x x x
2
1 1 2
2
2 2 3
2
1 1
2
1
n n n
n n
ax bx c x
ax bx c x
ax bx c x
ax bx c x
trong đó
, ,
a b c
là những số thực và
0
a
. Chứng minh rằng:
a) Hệ không có nghiệm thực nếu
2
1 4 0
b ac
.
b) Hệ có nghiệm duy nhất nếu
2
1 4 0
b ac
.
c) Hệ có hơn một nghiệm thực nếu
2
1 4 0
b ac
.
248. (IMO 1972). Tìm tất cả các nghiệm thực dương của hệ:
2 2
1 3 5 2 3 5
2 2
2 4 1 3 4 1
2 2
3 5 2 4 5 2
2 2
4 1 3 5 1 3
2 2
5 2 4 1 2 4
0
0
0
0
0
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
249. (IMO 1976). Cho số nguyên dương
n
và
2
n m
. Với mọi
,
i j
thỏa mãn điều kiện:
,
1
1
i n j m
. Gọi
ij
a
là các số nhận giá trị
0
;
1
;
1
. Xét hệ phương trình:
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
m m
m m
n n nm m
a x a x a x
a x x x a x
a x a x a x
Chứng minh rằng hệ này có một nghiệm
1 2
; ; ;
m
x x x
sao cho các thành phần , 1
,
i
x i m
là các số
nguyên không đồng thời bằng 0 và , 1
,
i
m i m
x .
250. (IMO 1965). Cho hệ phương trình:
11 1 12 2 13 3
21 1 22 2 23 3
31 1 32 2 33 3
0
0
0
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
với các hệ số thỏa mãn các điều
kiện sau đây:
(i).
11 22 33
, ,
a a a
dương
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
24
(ii). Tất cả các hệ số còn lại đều âm
(iii). Trong mỗi phương trình, tổng các hệ số là dương.
Chứng minh rằng: nghiệm
1 2 3
0
x x x
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ấy.
251. (IMO 1965). Tìm bốn số thực
1 2 3 4
; ; ;
x x x x
sao cho mỗi số cộng với tích các số còn lại đều bằng 2.
252. (IMO 1965). Tìm tất cả các giá trị 0;
2
x
sao cho: 1 sin2 12cos sin
2 2
xx x
.
253. (IMO 1963). Tìm tất cả các nghiệm
1 2 3 4 5
; ; ; ;
x x x x x
của hệ phương trình:
5 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
4 1 5
x x yx
x x yx
x x yx
x x yx
x x yx
.
trong đó
y
là tham số.
254. (USA 1995). Giả sử
, ,
a b c
là các số phức và các nghiệm
z
của phương trình
3 2
0
x ax bx c
thỏa
1
z
. Chứng minh rằng phương trình
3 2
0
x a x b x c
có ba
nghiệm
w
thỏa
1
w
.
255. (IMO 1963). Với những giá trị nào của
p
thì phương trình:
2 2
2 1
x p x x
có nghiệm
thực? Hãy tìm các nghiệm đó.
256. (IMO 1961). Giải hệ phương trình:
2 2 2
2
x y z a
x y z b
xy z
trong đó
,
a b
là những số cho trước.
Các số
,
a b
phải thỏa mãn điều kiện gì để các nghiệm
; ;
x y z
của hệ là dương và khác nhau?
257. (IMO 1961). Giải phương trình:
os sin
1
n n
c x x
với
n
.
258. Giải phương trình:
2 2 2 2 2 2
sin sin sin os os os
196 16 100 100 16 196
x x x c x c x c x
.
259. (IMO 1973). Cho phương trình:
4 3 2
1 0
x ax bx ax
có ít nhất một nghiệm thực, với
,
a b
là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2
a b
.
260. (Canada 1996). Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
2
2
4
1 4
4
1 4
4
1 4
x
y
x
y
z
y
z
x
z
.
261. (IMO Shortlist 2007). Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
3 1 3
3 1 3
3 1 3
x y y y
y z z z
z x x x
.
262. (Romania 2008). Xác định số nguyên
x
sao cho:
3 2
log 1 2 log 1
x
x
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
25
263. (THPT chuyên Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 2004). Tìm nghiệm
; ; ;
x y u v
của hệ PT sau:
2 2
3 3
2
3
5
9
u v
ux vy
ux vy
ux vy
.
264. (Poland 1997). Giải hệ phương trình sau:
2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
3 1x y z
x y y z z x xyz x y z
265. (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu). Tìm tất cả các số thực dương
1 2
, , , ,
n
x x x x
sao cho:
1 2
1 2
log log log log log log
n
n
x x x
xx xx xx
x x x
1 2
log log log
n
x x x
.
266. (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu). Tìm tất cả các số thực
, ,
a b c
sao cho:
ax by cz bx cy az cx ay bz x y z
,
, ,
x y z
.
267. (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu). Tìm các số thực của hệ phương trình:
3 3 3
7 7 7
0
18
2058
x y z
x y z
x y z
.
268. (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu). Tìm tất cả các số thực của hệ phương trình:
8
23
28
12
a b
ab c d
ad bc
cd
269. (diendantoanhoc.net) . Giải phương trình:
4 3 2
2
2
3 9 17 11 8
1 3
3 4 5
x x x x
x x
x x
270. (diendantoanhoc.net). Giải hệ phương trình:
1 1 1 1
6 3 2x y z xyz
y z x xyz
.
271. (diendantoanhoc.net). Giải hệ phương trình:
2
2 2 2
6
1 2 9
3
x y z
xy xy
x y z
272. (diendantoanhoc.net). Giải phương trình sau:
1 1 2 1 1
1 . 0
1 1.2 1.2.3
!
n
x x x x x x x x n
x
x
n
.
