a đề vào 10 chuyên môn toán 22 23 tỉnh hòa bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HỊA BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2022-2023
Môn : TỐN (chun Tốn)
Thời gian làm bài : 150 phút

Câu I. (3,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức A  3  2 2  3  2 2

 
 
 
2) Tìm m để các đường thẳng :
cùng đi qua một điểm
2
3) Cho phương trình x  2mx  2m  1  0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình
có hai nghiêm dương
Câu II. (3,0 điểm)
1) Tìm x, y nguyên thỏa mãn xy  2 x  y  1  0
2) Một cửa hàng điện máy thực hiện chương trình khuyến mãi giảm giá tất cả
các mặt hàng 10% theo giá niêm yết, và nếu hóa đơn khách hàng trên 10 triệu
sẽ được giảm thêm 2% số tiền trên hóa đơn, hóa đơn trên 15 triệu sẽ được
giảm thêm 4% số tiền trên hóa đơn, hóa đơn trên 40 triệu sẽ được giảm thêm
8% số tiền trên hóa đơn. Ơng An muốn mua một ti vi với giá niêm yết là
9 200 000 đồng và một tủ lạnh với giá niêm yết là 7100 000 đồng. Hỏi với
chương trình khuyến mãi của cửa hàng, ơng An phải trả bao nhiêu tiền
y  2 x  4 d , y  3 x  5 d ' , y  2mx  m  3 

2 x 2  6 y 2  xy
 2
3) Giải hệ phương trình 3x  2 y  xy  x

Câu III. (3,0 điểm)

 nội tiếp trong đường tròn tâm O
Cho tam giác ABC vng tại B 
đường kính AC  2 R. Kẻ dây cung BD vng góc với AC , H là giao điểm của AC và
BD. Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với H qua A. Đường trịn tâm O '
đường kính EC cắt đoạn BC tại I (I khác C)
1) Chứng minh rằng CI .CA  CE.CB
2) Chứng minh rằng ba điểm D, I , E thẳng hàng
3) Chứng minh rằng: HI là tiếp tuyến của đường trịn đường kính EC
4) Khi B thay đổi thì H thay đổi, xác định vị trí của H trên AC để diện tích tam
giác O ' IH lớn nhất
Câu IV. (1,0 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số thực x, y dương thỏa mãn điều kiện :
BC  AB

22 x 2  36 xy  6 y 2  6 x 2  36 xy  22 y 2  x 2  y 2  32
2
2
2) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a  b  a  b
3
3
2
2
Chứng minh rằng : a  b  a b  ab  4

ĐÁP ÁN
Câu I. (3,0 điểm)
4) Rút gọn biểu thức A  3  2 2  3  2 2
A  3  2 2  3  2 2  2 1 2 1  2
y  2 x  4  d  , y  3x  5  d '  , y  2mx  m  3   
m

5) Tìm để các đường thẳng :
cùng đi qua một điểm

Tọa độ giao điểm của  d  ,  d ' là A  1; 2 

 , (d ), (d ')
 A 
Để  
cùng đi qua 1 điểm
 2m.( 1)  m  3  2  m 

m

1
3

1
3 thì thỏa đề

Vậy
2

6) Cho phương trình x  2mx  2m  1  0 ( m là tham số). Tìm m để phương
trình có hai nghiêm dương
2
Phương trình x  2mx  2m  1  0 có 2 nghiệm dương khi và chỉ khi
 m  1 2  0
  '  m  2m  1  0

1
1


 m 
m
 P  2m  1  0
2
2
 S  2m  0


m  0

1
m
2 thì thỏa đề
Vậy
2

Câu II. (3,0 điểm)
4) Tìm x, y nguyên thỏa mãn xy  2 x  y  1  0

xy  2 x  y  1  0  x  y  2    y  2   3  0   y  2   x  1  3

Vì x, y nguyên nên  y  2  ,  x  1 U (3)   3; 1;1;3

 
   

Các cặp số nguyên cần tìm   
5) Một cửa hàng điện máy thực hiện chương trình khuyến mãi giảm giá tất
cả các mặt hàng 10% theo giá niêm yết, và nếu hóa đơn khách hàng trên
10 triệu sẽ được giảm thêm 2% số tiền trên hóa đơn, hóa đơn trên 15
triệu sẽ được giảm thêm 4% số tiền trên hóa đơn, hóa đơn trên 40 triệu
sẽ được giảm thêm 8% số tiền trên hóa đơn. Ơng An muốn mua một ti vi
với giá niêm yết là 9 200 000 đồng và một tủ lạnh với giá niêm yết là
7100 000 đồng. Hỏi với chương trình khuyến mãi của cửa hàng, ông An
phải trả bao nhiêu tiền
x; y  4; 3 ; 2; 5 ; 0;1 ; 2; 1


Tổng giá trị 1 chiếc ti vi và 1 chiếc tủ lạnh ông An mua là 16300 000 đồng
Số tiền ông An phải trả khi được giảm giá 10% là :
16300 000.90%  14 670 000 (đồng)
Vì số tiền trên hóa đơn của ơng An là 14 700 000 (đồng ) nên ông An được giảm
thêm 2% số tiền in trên hóa đơn
Vậy số tiền ơng An phải trả là 14 670 000.98%  14376 600 (đồng)
2
2
 x  2 y   2 x  3 y   0

2 x  6 y  xy

 2
 2
6) Giải hệ phương trình 3x  2 y  xy  x 3x  2 y  xy  x
 x  2 y   2   12 y 2  2 y 2  0  x  y  0

x  0  y  0

4
2
2
2
 2 x  3 y   2   3 x  x   x  x  
 x  7  y  14

3
3
11
33


7 14
 0; 0  ,  ; 
 11 33 
Vậy nghiệm (x;y) là

Câu III. (3,0 điểm)

 nội tiếp trong đường tròn tâm
Cho tam giác ABC vng tại B 
O đường kính AC  2 R. Kẻ dây cung BD vng góc với AC , H là giao điểm của

AC và BD. Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với H qua A. Đường trịn
tâm O ' đường kính EC cắt đoạn BC tại I (I khác C)
BC  AB


5) Chứng minh rằng CI .CA  CE.CB
Xét CIE và CBA có ICE chung ; EIC  ABC  90
CI CE

 CI .CA  CE.CB(dfcm)
CB CA
6) Chứng minh rằng ba điểm D, I , E thẳng hàng
Ta có EI  BC (do EIC là góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) (1)
Vì BD  AC tại H , và HA  HE , HB  HD nên tứ giác ABED là hình thoi
 CIE ∽ CBA( g.g ) 

 
Suy ra DE / / AB, mà AB  BC nên
Từ (1) và (2) ta có 3 điểm D, E , I thẳng hàng
7) Chứng minh rằng: HI là tiếp tuyến của đường trịn đường kính EC
Ta có tứ giác DHIC nội tiếp đường trịn đường kính DC nên ta có
DE  BC 2

BIH  BDC   180  HIC 
Lại có BAC  IEO ' (đồng vị), IEO '  O ' IE (tam giác cân)
Suy ra BIH  O ' IE mà BIH  HIE  90 nên HIE  O ' IE  90

 HI  O ' I hay HI là tiếp tuyến của  O ' 
8) Khi B thay đổi thì H thay đổi, xác định vị trí của H trên AC để diện tích
tam giác O ' IH lớn nhất

Ta có :


AC 2
O ' I 2  HI 2 O ' H 2
R2
R2
2 SO ' IH  O ' I .HI 

 4 
 SO ' IH 
2
2
2
2
4
2

R
R
O ' I .HI 
2  O ' I  HI 

2

Dấu bằng xảy ra khi O ' I  HI
(Do O ' I  0; HI  0)

Ta có

Vậy

O ' H  R, O ' E  O ' I 

AH 

R





R
R
R
AH  HE  R 

2 suy ra
2





2 1
2

2 1
2

thì diện tích tam giác O ' IH lớn nhất

Câu IV. (1,0 điểm)
3) Tìm tất cả các cặp số thực x, y dương thỏa mãn điều kiện :
22 x 2  36 xy  6 y 2  6 x 2  36 xy  22 y 2  x 2  y 2  32
22 x 2  36 xy  6 y 2   5 x  3 y   3  x  y    5 x  3 y 
2

Ta có :

 22 x 2  36 xy  6 y 2  5 x  3 y

2

2

(do x,y dương)

Tương tự ta có :

6 x 2  36 xy  22 y 2   3x  5 y   3  x  y    3x  5 y 
2

2

2

 6 x 2  36 xy  22 y 2  3 x  5 y,  x, y  0 

Vậy

22 x 2  36 xy  6 y 2  22 x 2  36 xy  6 y 2  8  x  y   1

Ta có :  x  4 

2

  y  4   0  x , y 
2

 x 2  8 x  16  y 2  8 y  16  0  x 2  y 2  32  8  x  y   2 

2
2
2
2
2
2
Vậy 22 x  36 xy  6 y  6 x  36 xy  22 y  x  y  32  x  y  4
2
2
4) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a  b  a  b
3
3
2
2
Chứng minh rằng : a  b  a b  ab  4
2
2
Nếu a  b  0  a  b  0  a  b  0 , khi đó bđt cần chứng minh đúng

2
2
Nếu a  b  0  a  b  a  b  0 . Ta có :

a 2  b2 

Ta có

 a  b

 ab 

 a  b

2

 2 a  b   a  b  a  b  2
2

2
2
a  b  a b  ab   a  b  a 2  ab  b 2  ab  a  b    a  b 
3

2

2

3

2

2



2
Vì 0  a  b  2   a  b   4  dfcm 

