Ứng dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa để giải bài toán về dao động điều hòa._SKKN Vật lý THPT

A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Như chúng ta đều biết mục tiêu của giáo dục Việt Nam hiện nay là đào tạo
con người Việt Nam phát triển tồn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ
và nghề nghiệp. Trung thành với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội,
hình thành và bồi dưỡng nhân cách, năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu sự
nghiệp đổi mới và bảo vệ tổ quốc. Để thực hiện được mục tiêu đó thì ngành giáo
dục cần đổi mới phương pháp dạy - học, nâng cao chất lượng và hiệu quả giáo
dục đào tạo.
Vì vậy trong thực tế ở các trường THPT, nhiều giáo viên đã và đang chú
trọng nâng cao trình độ chun mơn và nghiệp vụ sư phạm của mình. Mục tiêu
giáo dục là cả một quá trình, một hệ thống và đối với các trường THPT trong đó,
để học sinh tiếp tục có cơ hội học tập và phát triển toàn diện hơn ngoài việc thực
hiện mục tiêu chung là giáo dục con người phát triển toàn diện xuyên suốt trong
hệ thống giáo dục quốc dân thì một u cầu đặt ra đó là nâng cao số lượng học
sinh thi đỗ vào các trường chuyên nghiệp, để các em tiếp tục có cơ hội phát triển
tồn diện, thành một cơng dân có tri thức phục vụ cho đất nước, cho xã hội.
Hiện nay thi trắc nghiệm khách quan được đưa vào ứng dụng rộng rãi và
có hiệu quả trong các kì thi quan trọng như thi tốt nghiệp THPT, thi đại học của
các môn khoa học cơ bản: Lí, hố, sinh…. Phương pháp thi TNKQ u cầu học
sinh phải có sự bao quát kiến thức và đặc biệt phải có kĩ năng tốt, tính tốn
nhanh với các bài tập để có được kết quả cao trong các kì thi có mơn thi TNKQ.
Từ thực tế giảng dạy bộ mơn vật lí lớp 12 bản thân tơi thấy rằng học sinh
nói chung và đặc biệt đối với học sinh miền núi, vùng cao, vùng sâu nói riêng
khả năng tư duy và làm các bài tập vật lí nhanh phù hợp với yêu cầu thi cử hiện
tại còn rất hạn chế. Trong những năm gần đây đề thi đại học, cao đẳng mơn vật lí
kiến thức trong đề thi chủ yếu tập trung ở lớp 12, trong đó chương " Dao động
điều hoà" chiếm tỷ trong khá nhiều trong các đề thi (từ 8 - 12 câu trong tổng số
50 câu trắc nghiệm khách quan). Vây để góp phần nâng cao kết quả của bài thi
-1-

thì việc giải tốt, nhanh các bài tập về chương dao động cơ là cần thiết. Vì vậy tơi
mạnh dạn đưa ra một phương pháp giúp học sinh có khả năng làm nhanh và
chính xác các một số dạng bài tập về dao động điều hồ, đó là đề tài: "Ứng dụng
mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà - phương pháp véc
tơ quay để giải bài tập về dao động điều hoà" để các đồng nghiệp tham khảo. Rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

B. TỔ CHỨC THỰC HIỆN
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
* Kiến thức liên quan đến mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển
động tròn đều được đưa ra trong sách giáo khoa Vật lý 12 ( bài 6- chương trình
nâng cao và bài 1 - chương trình chuẩn); sách Bài tập Vật lý 12 (chương trình
chuẩn và nâng cao) và ở một số sách tham khảo.
* Số tiết bài tập vận dụng trên lớp thực hiện theo Phân phối chương trình
khơng nhiều nên học sinh khơng được luyện tập nhiều bài tập dạng này. Thực tế
khảo sát trên một số lớp như sau:
Lớp
% HS giải được
% HS còn lúng túng
% HS không biết
12A3
5%
10%
85%
12A4
8%
25%

67%
12A8
7%
15%
77%
* Đề tài chỉ nghiên cứu các bài tồn thuộc chương Dao động cơ trong
chương trình vật lí lớp 12 THPT.
-2-


II. CƠ SỞ LÍ THUYẾT:
1. Những kiến thức cơ bản về dao động điều hoà:
1.1. Các khái niệm:
+ Dao động là những chuyển động có giới hạn trong khơng gian, lặp đi lặp
lại nhiều lần xung quanh vị trí cân bằng.
+ Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái dao động lặp lại như cũ
sau những khoảng thời gian bằng nhau (là dao động mà sau những khoảng thời
gian bằng nhau vật trở về vị trí cũ, theo hướng cũ).
+ Chu kì dao động là khoảng thời gian để vật thực hiện được một dao động
toàn phần (là khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động lặp lại như cũ):
T = Δt/N (N là số dao động thực hiên được trong khoảng thời gian Δt )
+ Tần số là số dao động toàn phần vật thực hiện được trong một đơn vị
thời gian. f = 1/T = N/Δt
1.2. Dao động điều hoà và các đại lượng đặc trưng.
1.2.1. Khái niệm:
- Dao động điều hoà là dao động mà li độ (vận tốc, gia tốc) được biểu thị
bằng một biểu thức dạng sin hoặc cos theo thời gian:
x = A cos ( ωt + ϕ ).
+ A, ω, φ là những hằng số đối với thời gian (A,ω > 0).
+ Vị trí cân bằng x = 0.

+ Li độ x là độ lệch so với vị trí cân bằng, x có thể dương, âm, hoặc bằng 0
+ Biên độ A là giá trị cực đại của li độ (bằng li độ lúc cos ( ωt + ϕ ) = 1).
+ Pha ban đầu ϕ cho phép xác định trạng thái ban đầu của vật tại thời
điểm t = 0.
+( ωt + ϕ ) Pha dao động là đại lượng cho phép xác định trạng thái dao
động tại thời điểm t (nghĩa là cho biết li độ, vận tốc, gia tốc tại thời điểm t).
+Tần số góc ω là đại lượng trung gian cho phép xác định chu kỳ và tần số .
ω=

2π
= 2πf
T
-3-


1.2.2. Vận tốc, gia tốc trong dao động điều hoà.
Xét dao động điều hoà: x = A cos ( ωt + ϕ )
a. Vận tốc tức thời: v = x’ = - A ω sin ( ωt + ϕ ) = A ω cos ( ωt + ϕ +

π
).
2

* Nhận xét:
- Vận tốc cũng biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số bằng tần số
của li độ nhưng sớm pha hơn một góc

π
.
2

- Cơng thức độc lập đối với thời gian: v2 + ω2x2 = ω2A2
Trong đó:

A=

v 2 + ω2 x 2
;
ω2

x= ±

ω2 A 2 − v 2
;
ω2

v = ± ω2 A 2 − ω2 x 2

- Đồ thị biểu diễn vận tốc theo li độ ( hoặc li độ theo vận tốc), có dạng đường
elíp vì:
v2
x2
+ 2 =1
ω2 A 2 A
'
''
2
b. Gia tốc: a = v (t ) = x (t) = − ω A cos(ωt + ϕ) = - ω2x.

* Nhận xét:

+ Gia tốc cũng biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số bằng tần số li
độ nhưng ngược pha so với li độ (sớm pha π so với li độ).
+ Đồ thị gia tốc theo li độ: Là đoạn thẳng qua gốc toạ độ. (vì li độ chỉ biến
thiên trong khoảng từ -A đến A).
c.Vận tốc trung bình, tốc độ trung bình:
+ Vận tốc trung bình: vtb =
+ Tốc độ trung bình: V =

∆x x 2 − x1
=
∆t
∆t
S
t

* Khi tính quãng đường cần chú ý:
+ Quãng đường đi được sau một chu kỳ là 4A
+ Quãng đường đi được sau một nửa chu kỳ là 2A

-4-


+ Khi chất điểm không đổi chiều chuyển động từ vị trí có li độ x 1 đến vị trí
có li độ x2 thì:

S = x 2 − x1

1.2.3. Năng lượng trong dao động điều hoà.
- Xét dao động điều hoà: x = Acos ( ωt + ϕ ).
- Ta có:

+ Động năng: Wđ
1 2 1
1
1
mv = m.ω2 A 2 sin 2 (ωt + ϕ). = mω2 A 2 − mω2 A 2cos 2(ωt + ϕ).
2
2
4
4

Wđ =

+ Thế năng: Wt
Wt =

1
1
1
1
mω2 x 2 = mω2A 2cos 2 (ωt + ϕ) = mω2 A 2 + mω2A 2 cos2(ωt + ϕ).
2
2
4
4
+ Cơ năng:
W = W đ + Wt =

1
mω2 A 2 = hằng số.
2

* Nhận xét:
- Cả động năng và thế năng trong dao động điều hoà đều biến thiên điều
hoà theo thời gian t với ω’ = 2ω hay T’ = T/2. (với ω, T, tần số góc và chu kì của
li độ).
- Cơ năng của vật dao động điều hồ khơng đổi theo t, nó tỉ lệ với bình
phương biên độ dao động (phụ thuộc điều kiện ban đầu).
2. Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà:
2.1. Mối liên hệ:
- Xét một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo là đường trịn
tâm O bán kính OM. Chọn một trục Ox qua tâm của quỹ đạo (theo phương
đường kính bất kì), gốc trọc toạ độ trùng
với tâm O của quỹ đạo. Xét chuyển động
của hình chiếu P của điểm M lên trục Ox, nhận thấy:
- Tại thời điểm ban đầu t = 0
(M chưa chuyển dộng OM hợp với Ox một góc φ )
-5-

M (t 0)

ωt
ϕ
O P

M

+

(t =0)

x


- Tại thời điểm t bất kì OM quét được một góc: ωt
(ω là tốc độ góc của M).
Vậy tại thời điểm t OM hợp vơi Ox một góc là (ωt+φ )
- Khi đó khoảng cách từ P đến O (toạ độ của P) là x:
x = OM.cos(ωt+φ ) có dạng là phương trình dao động điều hồ. Vậy điểm P dao
động điều hồ trên trục Ox với vị trí cân bằng là O.
2.2 Kết luận:
- Hình chiếu của một chuyển động trịn đều lên một trục bất kì đi qua tâm
của quỹ đạo là một dao động điền hoà với VTCB là tâm của đường tròng quỹ
đạo chuyển động. Đoạn OM có độ dài là biên độ của dao động điều hoà.
- Trên cơ sở ấy ta thấy rằng để khảo sát một dao động điều hồ ta có thể
khảo sát chuyên động tròn đều tương ứng với dao động điều hồ ấy như đã trình
bày trên về mặt thời gian, trạng thái chuyển động.
- Thời gian, thời điểm trong chuyển động nói chung và trong dao động
điều hồ nói riêng là một yếu tố vật lí hết sức quan trọng, quyết định giúp chúng
ta xác định được trạng thái chuyển động của vật và các đại lượng khác liên quan
đến chuyển động của vật như vận tốc, gia tốc, năng lượng….
- Công thức xác định thời gian: để xác định thời gian vật dao động điều
hoà từ vị trí có toạ độ x 1 đến vị trí có toạ độ x 2 ta sẽ xác định thời gian vật
chuyên động tròn đều từ M1 đến M2 với x1, x2 là hình chiếu của M1, M2 lên trục
u ur
uu

đi qua tâm quỹ đạo: Ta xác định góc quét α của véc tơ OM khi M di chuyển từ
M1 đến M2 (chiều dương của chuyển động tròn là chiều ngược chiều kim đồng
hồ)

α
α = ω.∆t ⇒ ∆t =
(α = β+γ)
ω

M

γ
-A
2

Với ω = 2π/T (tốc độ góc của chuyển động

trịn đều - tần số góc của dao động điều hồ)
2.3. Véc tơ quay:

-6-

M

α

β

1

x2 O x
1

A

x


- Từ các kết luận trên ta thấy rằng: Li độ của điểm P trên trục ox là độ dài
u ur
uu

u ur
uu

hình chiếu của véc tơ quay OM , Mặt khác véc tơ OM còn biểu thị được chiều
u ur
uu

chuyển động của P, như vậy véc tơ quay OM biểu diễn cho dao động điều hòa
của P. Từ đây ta khái qt hóa: Một dao động điều hịa được biểu diễn bời một
véc tơ quay.
- Cách biểu diễn một dao dộng điều hịa bằng véc tơ quay:
+ Phương trình dao động điều hòa: x = Acos (ωt+φ) (1)
+ Chọn trục chuẩn (trục pha) ox.
+ Véc tơ OM biểu diễn dao động (1) tại thời điểm ban đầu (t=0) có đặc
+
điểm sau:
M
u ur
uu
φ
Độ ur OM tỉ lệ với A.
dài

u u
u
O
x
( OM , ox) = φ

+ Để phù hợp với chiều quy ước của đường tròn lượng giác ta chon chiều
dương ngược chiều kim đồng hồ.
III. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
1. Dạng 1: Xác định khoảng thời gian vật dao động điều hồ thực hiện
một q trình:
1.1. Phương pháp giải:
+ Bước 1: Xác định vị trí của điểm đầu M1 và điểm cuối M2 trên đường
trịn.
+ Bước 2: Xác định góc quét α của vectơ quay biểu diễn dao động khi vật
đi từ M1 đến M2.
+ Bước 3: Thời gian vật thực hiện q trình là:

α = ω.∆t ⇒ ∆t =
-7-

α
T
=α
(góc α: rad)
ω
2π


1.2. Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Định thời gian theo li độ:
π
Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 5cos(2π t + )cm. Xác định
3

thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ 2,5cm đến li độ -2,5 3 cm?
* Giải:
+ Thời gian ngắn nhất đi từ li độ 2,5cm đến li độ
M

-2,5 3 cm tương ứng với vật chuyển động trên
đường trịn từ vị trí M1 đến vị trí M2 (vận tốc

-5

2

αβ
γ

-2,5

O

M

2,5

1

5

x

trên trục x chưa đổi chiều):

2,5
π
2,5 3
π
⇒ β = ;sin γ =
⇒γ =
5
6
5
3
π
⇒α = β +γ =
2
sin β =

+ Thời gian ngắn nhất vật vật đi từ M1 đến M2 là:

π
α
1
∆t = = 2 = ( s )
ω 2π 4

* Nếu giải bằng phương pháp đại số học sinh sẽ phải xác định thời điểm t1 tại li
độ x = 2,5cm theo chiều âm và xác định thời điểm t2 tại li độ x = -2,5 3 cm khi
đó xẽ xác định được Δt = t2 - t1 (việc làm này sẽ dài và mất thời gian, dễ bị tính
tốn sai).

Bài tập 2: Định thời gian theo vận tốc:
Một vật dao động điều hoà với chu kì 2s biên độ bằng 5cm. Tính thời gian ngắn
nhất để vật tăng tốc từ 2,5π cm/s đến 5π cm/s?
* Giải: Tốc độ cực đại: vmax = Aω = 5.

2π
= 5π (cm / s) .
2

+ Vì vận tốc cũng biến thiên điều hoà theo thời
gian với cùng tần số với li độ nên cũng được
-8-

O

2,5π

M

α 5π
M
1

2

v


biểu diễn bằng một véc tơ quay giống li độ (trục
chuẩn là trục Ov), biên độ của vận tốc tức thời là
tốc độ cực đại.
+ Thời gian ngắn nhất để vật tăng tốc từ 2,5π cm/s
đến 5π cm/s tương ứng với thời gian vật chuyển
động trên đường tròn từ vị trí M1 đến vị trí M2 :
cos α =

π
α
→ ∆t = = 3 = 1 ( s )
ω π
3

2,5π
π
⇒α =
5π
3

Bài tập 3*: Định thời gian theo lực:
Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với phương trình
x = 5cos(5πt + π) (cm) (gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống).
Biết độ cứng của lò xo là 100N/m và gia tốc trọng trường tại nơi đặt con lắc là
g = π2 (m/s2). Trong một chu kì, tìm khoảng thời gian lực đàn hồi tác dụng lên
quả nặng có độ lớn lớn hơn 1,5N ?
g

π2
= 0,04m
* Giải: Tại vị trí cân bằng, độ dãn của lò xo là: ∆l = 2 =
ω
(5π ) 2

+ Lực đàn hồi tác dụng lên quả nặng:

F = k (∆ l + x) = k∆ l + kx = 100.0,04 + 100.0,05 cos(5πt + π ) = 4 + 5 cos(5πt + π ) ( N )
+ Nhận xét: lực đàn hồi biến thiên điều hòa với biên độ 5N xung quanh vị
trí cân bằng có toạ độ F = 4N. Ta biểu diễn lực đàn hồi qua vectơ quay như sau:
Khoảng thời gian lực đàn hồi tác dụng lên quả nặng có độ lớn lớn hơn 1,5N
tương ứng với thời gian vật chuyển động từ M1 đến M2 trên đường trịn Góc do
M
vectơ quay qt được trong thời gian đó là:
2,5
π
2π 4π
cos β =
⇒ β = ⇒ α = 2π −
=
5
3
3
3

Thời gian cần tìm: ∆t = α =

ω

4π

3 = 4 ( s)
5π
15

-9-

2

β

−1

1,5
M
1

4

α

9

F


Bài tập 4: Định thời gian theo năng lượng:
Một vật dao động với phương trình x = 2cos3πt (cm). Tính thời gian ngắn nhất
để vật đi từ vị trí có động năng bằng thế năng đến vị trí động năng bằng 3 lần

thế năng?
* Giải: Đối với dạng toán này ta nên đưa về tính theo li độ.
+ Tại vị trí có động năng bằng thế năng: W = Wđ + Wt = 2Wt
⇔

1
1
A
2
mω 2 A 2 = 2 mω 2 x 1 ⇒ x 1 = ±
2
2
2

+ Tại vị trí có động năng bằng ba lần thế năng: W = Wđ + Wt = 4Wt
⇔

1
1
A
mω2 A 2 = 4 mω2 x 2 ⇒ x 2 = ±
2
2
2
2

+ Vì tại t = 0 vật ở vị trí biên dương nên thời gian

α
M2

A
ngắn nhất suy ra vật đi từ vị trí có x 1 = +
2

đến x 2 = +

A
tương ứng với thời gian vật chuyển
2

động trên đường tròn từ vị trí M1 đến vị trí M2
(hoặc ngược lại): Góc qt được là: α =
Thời gian:

−A−A
2

A A
2 2

M1

A

x

π π π
− =
3 4 12

π
α
1
∆t = = 12 = ( s)
ω 3π
36

1.3. Bài tập đề nghị:
Bài 1: Một vật dao động với tần số 2Hz và biên độ 4cm. Tính thời gian ngắn nhất
để vật đi giữa 2 li độ 2cm và -2 3 cm ?
Bài 2:

Đs:

1
s
8

Một vật dao động điều hồ có vận tốc khi đi qua vị trí cân bằng là 6π

cm/s. Tính thời gian ngắn nhất để vật thay đổi vận tốc từ 3π 2 (cm/s) đến 3π 3
(cm/s) ?

Đs:

-10-

T
s

24


Bài 3: Một vật dao động với phương trình x = 2cos3πt (cm). Tính thời gian ngắn
nhất để vật đi từ vị trí ban đầu đến vị trí động năng bằng 3 lần thế năng?
Đs:

1
s
18

Bài 4: Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lị xo có độ cứng K = 100N/m. Vật có
khối lượng 0,5 kg dao động với biên độ 5 2 cm. Tính thời gian ngắn nhất để vật
đi từ vị trí có lực tác dụng lên điểm treo cực đại đến vị trí lực tác dụng lên điểm
treo cực tiểu? Lấy g = 10m/s2.
Đs: 0,17s
Bài 5: Một vật có khối lượng 100g được treo vào lị xo có độ cứng 100N/m. Tìm
thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có hợp lực tác dụng lên vật cực đại đến vị
trí có lực tác dụng lên vật bằng nửa cực đại?
Đs: 0,2s
Bài 6: Một vật dao động điều hoà trong 4 giây thực hiện được 20 dao động.
Khoảng cách từ vị trí cân bằng đến điểm có vận tốc cực tiểu là 3cm. Tìm thời
gian để vật tăng tốc từ 15π đến 15 3 π cm/s?
Đs:

1
s
30

2. Dạng 2 Xác định thời điểm vật qua một vị trí cho trước:

2.1. Phương pháp giải
+ Bước 1: Cần xác định chính xác vị trí của vật ở
thời điểm ban đầu trên trục Ox (xo) suy ra vị trí ban
đầu trên đường trịn (vị trí M0).
+ Bước 2: Xác định vị trí có tọa độ x1 mà vật sẽ đi

M

1

x1
M

α
O

M

xo

0

x

2

qua theo bài ra trên đường trịn (vị trí M1 hoặc M2).
* Chú ý: Vị trí có toạ độ x = x1 tương ứng có 2 vị
trí trên đường trịn, vị trí đó khi vật đang đi theo
chiều âm (M1) và vị trí đó khi vật đang đi theo chiều dương (M 2): (xác định theo

chiều của trục Ox, không phải chiều của đường tròn)
-11-


+ Bước 3: Nếu tìm thời điểm qua x1 theo chiều âm ta làm như sau:
Xác định khoảng thời gian vật đi từ vị trí M0 tới M1 lần đầu tiên từ cơng thức:

α = ω.∆t ⇒ ∆t =

α
ω

Trong đó α là góc mà véc tơ quay biểu diễn dao động điều hoà đã quét được khi
vật di chuyển từ vị trí M0 đến M1.

t = ∆t +

+ Bước 4. Thời điểm cần tìm là:

2nπ
= ∆t + n.T ( n ∈ N )(1)
ω

* Các trường hợp đặc biệt:
- Xác định thời điểm vật qua vị trí theo chiều âm hoặc chiều dương lần thứ k:
+ Vật đi qua vị trí x = x1 lần thứ k theo chiều âm trong biểu thức (1)
lấy n = k-1.
+ Nếu tìm thời điểm qua x1 theo chiều dương ta làm tương tự chỉ khác là
khoảng thời gian

là khoảng thời gian từ vị trí đầu M0 đến vị trí M2 trên

đường trịn
- Nếu xác định thời điểm qua vị trí lần thứ n mà khơng u cầu đến chiều chuyển
động:
+ Trong một chu kì thi chất điểm qua một ví trí bất kì là hai lần.
 Nếu bài tốn là: Tìm thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x 1 lần thứ n
(không yêu cầu về chiều) với n là số lẻ thì thời điểm cần tìm là:
t = ∆t +

Trong đó

n −1
.T ( n ∈ N )(2)
2

là khoảng thời gian vật đi từ vị trí ban đầu M0 đến vị trí M1.

Giải thích biểu thức:
- Trong khoảng thời gian

vật tới M1 nghĩa là qua x1 lần thứ nhất. Để vật qua

x1 lần thứ n = 3 thì véctơ bán kính phải quay được 1 vòng. Thời gian vật đi khi
véc tơ quay được 1 vòng đúng bằng

3 − 1 2π
.
. Để vật qua vị trí x1 lần thứ n = 5
2 ω

thì véctơ bán kính phải quay thêm 2 vịng kể từ thời điểm t =
-12-

. Khoảng thời


gian cần dùng để véc tơ bán kính quay thêm hai vịng này là:

5 − 1 2π
.
. Vậy
2 ω

cơng thức (2) là đúng.
 Nếu bài tốn là: Tìm thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x1 lần thứ n với n
là số chẳn thì thời điểm cần tìm là:
t = ∆t +

Trong đó

n −2
.T (n ∈ N )(3)
2

là khoảng thời gian vật đi từ vị trí ban đầu M0 đến vị trí M2.

Giải thích biểu thức:
- Trong khoảng thời gian

vật tới M2 nghĩa là qua x1 lần thứ hai. Để vật qua x1

lần thứ n = 4 thì véc tơ bán kính phải quay được 1 vịng . Thời gian vật đi khi
véctơ quay được 1 vòng đúng bằng:

4 − 2 2π
.
. Để vật qua vị trí x1 lần thứ n = 6
2
ω

thì véctơ bán kính phải quay thêm 2 vòng kể từ thời điểm t =

. Khoảng thời

gian cần dùng để véc tơ bán kính quay thêm hai vịng này là:

6 − 2 2π
.
. Vậy
2
ω

cơng thức (3) là đúng.
2.2. Bài tập ví dụ:

Bài tập 1: Cho một dao động điều hồ có phương trình:

x = 6 cos(2πt +

π
)(cm) Xác định thời điểm vật qua vị trí x= - 3cm lần thứ 2011
3

theo chiều âm. (đề thi ĐH năm 2011)
* Giải:

π
3

Tại thời điểm ban đầu t = 0, tọa độ vật là x0 = 6 cos( ) = 3(cm) .
+ Vị trí ban đầu trên đường trịn là M0

-13-


+ Vị trí vật qua x1 = -3(cm) theo chiều âm là vị trí M1 trên đường trịn.
M
1
α
+ Thời gian vật đi từ M0 đến M1 là ∆t =
Với ω = 2π ( rad / s ) ;
α
ω

-6

sin

M

-3 O

π
α 3
π
= ⇒ α = Suy ra ∆t = α = 3 = 1 ( s )
2 6
3
ω 2π 6

0

6

3

x

+ Vì vật qua lần thứ 2011 nên ta có n =2010
Thay số ta được: t = ∆t +

2nπ 1
= + 2010.T = 2010,167( s)
ω
6

Bài tập 2: Cho một dao động điều hoà có phương trình:

x = 10 cos(5πt −

π
)(cm) . Xác định thời điểm vật qua vị trí x = -5
6

2 cm lần thứ

2012 theo chiều dương?
* Giải: Tại thời điểm ban đầu t = 0, tọa độ vật là:

π
x = 10 cos(− ) = 5 3 (cm) .
6
+ Vị trí ban đầu trên đường trịn là M0
+ Vị trí vật qua x = -5 2 cm theo chiều dương là
vị trí M2 trên đường tròn.

M1
10

5 3
5 2
⇒ β = π ; cos γ =
⇒γ =π
3
4
10
10
π π π 13π
⇒α = + + =

3 2 4 12
sin β =

-5

α

γ
M

2

13π
α
+ Thời gian vật đi từ M0 đến M2 là:
∆t = = 12 = 13 ( s )
60
ω 5π
-14-

O

M0

β

10
5

x

+ Vì vật qua lần thứ 2012 nên n =2011
+ Thay số ta được: t = ∆t +

2nπ 13
=
+ 2011.T = 2011, 217( s )
ω
60

Chú ý: Có hai điểm M1, M2 tương ứng với li độ x = -5 2 cm nhưng vì theo
chiều dương nên ta lấy điểm M2.

Bài tập 3: Cho một dao động điều hồ có phương trình:

x = 6 cos(2πt +

π
)(cm) Xác định thời điểm vật qua vị trí x = -3cm lần thứ
3

2011.
* Giải:
+ Làm hoàn toàn tương tự như bài tập 1.
+ Vật qua lần thứ n = 2011 là số lẻ nên kết quả là :

t = ∆t +

n −1

1 2011 − 1
.T = +
.T = 1005,167( s )
2
6
2

Bài tập 4: Cho một dao động điều hồ có phương trình:

x = 10 cos(5πt −

π
)(cm) . Xác định thời điểm vật qua vị trí x = -5
6

2 cm lần thứ

2012?
* Giải:
+ Làm tương tự như bài tập 3.
+ Vật qua lần thứ n = 2012 là số chẵn nên kết quả là :

t = ∆t +

n−2
13 2012 − 2
.T =
+
.T = 402, 217( s)
2

60
2

2.3. Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho một dao động điều hồ có phương trình: x = 10 cos(5πt +

-15-

π
)(cm)
4


Xác định thời điểm vật qua vị trí x = 5 3 cm lần thứ 1001?
Đs: 200,017s
Bài 2: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục x theo phương trình

x = 5 cos(2πt −

π
)(cm) . Tìm thời điểm vật qua vị trí x = 2,5 2 cm lần thứ1999
6

theo chiều dương?

Đs: 1998,96s

Bài 3: Cho một dao động điều hoà có phương trình: x = 6 cos(5πt +

π

2

)(cm)

Xác định thời điểm vật qua vị trí x = 3 3 cm lần thứ 2012 theo chiều âm?
Đs: 804,33s
3. Dạng 3: Tính quãng đường trong dao động điều hòa:
3.1. Phương pháp
Một trong những thói quen đáng tiếc của đa số học sinh là thường xun
sử dụng cơng thức tính qng đường S = v.t cho mọi chuyển động. Mặc dù cơng
thức đó chỉ đúng cho chuyển động đều. Do đó cần giúp các em học sinh khắc
phục khuyết điểm nói trên. Trước khi tìm hiểu phương pháp ta có một số nhận
xét:
- Quãng đường đi trong một chu kỳ bằng 4A Do đó nếu ∆t = nT thì S = 4nA
- Qng đường vật đi trong nửa chu kỳ luôn bằng 2A, do đó nếu thời gian
dao động ∆t = n. T/2 thì quãng đường vật đi được là S = n.2A
* Phương pháp:
Bài tốn u cầu tính qng đường trong một khoảng thời gian từ t 1 đến t2 ta
thực hiện các bước sau :
+ Bước 1: Tính khoảng thời gian ∆t = t2 – t1 so sánh với chu kỳ dao động T
+ Bước 2: Thiết lập biểu thức: ∆t = nT + τ; (τ < T)
Trong đó n nguyên ( n∈ N) Ví dụ : T =1s, ∆t = 2,5s thì ∆t =2.T +0,5
+ Bước 3: Quãng đường được tính theo cơng thức:
S = 4nA + ∆S (∆S là quãng đường đi được trong khoảng thời gian τ)
-16-


+ Bước 4: Tính ∆S:
- Xác định trạng thái thứ nhất: x1 = Asos(ωt1 +ϕ ); v1 = - ωAsin(ωt1 + ϕ )
- Và trạng thái thứ hai: x2 = Asos(ωt2 +ϕ ) ; v2 = - ωAsin(ωt2 + ϕ )

(v1, v2 chỉ cần xác định dấu để biết chiều chuyển động)
- Dựa vào v1 và v2 để tính ∆S.
* Trường hợp đặc biệt:
- Nếu t = 0 lúc vật ở biên: thì cứ T/4 thì vật
đi được quãng đường A. Ta có thể tính S
bằng cách phân tích ∆t = n. T/4 + τ; (τ < T/4)
+ Nếu n lẻ thì

S = n.A + A.sin ω τ

+ Cịn n chẵn thì S = n.A + A.(1- cos ω τ )
- Nếu t = 0 lúc vật ở vị trí cân bằng: thì ta làm
ωτ

tương tự nhưng:
+ n lẻ (hình 8.1)thì áp dụng cơng thức
S = n.A + A.(1- cos ω τ )

Hình 8.2

+ n chẵn (hình 8.2) thì áp dụng công thức
S = n.A + A.sin ω τ
3.2. Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Vật dao động điều hoà với chu kì T=2s, biên độ A=2cm. Lúc t = 0 nó
bắt đầu chuyển động từ biên. Sau thời gian t =2,25s kể từ lúc t= 0 nó đi được
quãng đường là bao nhiêu?

M

* Giải:

ωτ

∆ t = 2,25s ; T = 2s ⇒ ∆t = T + 0,25
Do vật xuất phát từ biên. Ta có S = 4. A + A(1 – cos(ωτ)
Thay số: A = 2cm, ω = π rad/s, τ =0,25s
ta có: S = 4.2 + 2(1 – cos 0,25π) = (10 - 2 )cm
-17-

x
O

B

∆s


Bài tập 2: Một vật dao động với biên độ 4cm và chu kỳ 2s. Mốc thời gian khi vật
có động năng cực đại và vật đang đi theo chiều dương. Tìm quãng đường vật đi
được trong 3,25s đầu

* Giải:
+ t = 0 khi x = 0, v > 0.
+ Ta có t = 3,25s = 6.T/4 + 0,25s
+ Do vật xuất phát từ vị trí cân bằng và n chẵn nên :
S = n.A + A.sin ω τ = 6.4 + 4 sin( π.0,25) = 26,83 cm.
Bài tập 3: Một vật dao động điều hồ với phương trình: x = 6cos(4πt + π/3)
(cm;s). Tính quãng đường vật đi được từ lúc t = 1/24s đến thời điểm 77/48s

* Giải:

+ Lúc t = 0: x = 3cm; v < 0 ; chu kì T =
+ Ta có : ∆t = t2 – t1 =

2π
= 0,5s
4π

77 1
−
= 1,5625s = 3T + 0,0625 s
48 24

Quãng đường : S = 3.4.6 + ∆S
Lúc t =

ωτ
x

∆s

1
s thì x = 0 , v < 0
24

Lúc t =

B
M

77

s thì x = − 3 2 cm , v < 0.
48

O

Vì vật chưa đổi chiều chuyển động nên ∆S = A sin ω τ
Vậy :

S = 3.4.6 + 6. sin (4π. 0,0625) = 76,24 cm.

3.3. Bài tập đề nghị:
Bài 1. Một vật dao động điều hòa với biên độ bằng 3 cm. Khi t = 0 vật ở vị trí có
động năng bằng khơng. Tìm qng đường vật đi được từ đó đến khi động năng
bằng một phần 3 thế năng lần thứ 3 ?

ĐS: (9 -1,5 3 )cm
-18-


Câu 2. Tìm quãng đường ngắn nhất để vật đi từ vị trí có pha bằng π/6 đến vị trí
lực phục hồi bằng nửa cực đại ? Biết biên độ dao động bằng 3cm.

ĐS : 1.06cm

Câu 3. Một vật dao động theo phương trình x = 4cos(10πt + π/4) cm. t tính bằng
giây. Tìm qng đường vật đi được kể từ khi vật có tốc độ 0,2π 3 m/s lần thứ
nhất đến khi động năng bằng 3 lần thế năng lần thứ tư?
ĐS : 12cm
Câu 4. Vật dao động điều hồ trên 1 đoạn thẳng có chiều dài 10cm. Tìm quãng
đường ngắn nhất vật đi được giữa 2 thời điểm có động năng bằng thế năng?

ĐS : 5(2- √2)
Câu 5. Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng ngang khơng ma sát. vật có khối
lượng 200g, lị xo nhẹ có độ cứng 50N/m. người ta kéo vật theo phương trục lò
xo cho lò xo giãn 3cm rồi thả nhẹ. Tính quãng đường vật đi được từ lúc thả vật
đến thời điểm động năng bằng 11,25mJ lần thứ 100?
ĐS :(303 – 1,5 2 )cm
4. Dạng4 :Tính quãng đường cực trị trong dao động điều hòa:
4.1. Phương pháp:
* Trước hết ta xác định quãng đường cực đại và cực tiểu trong khoảng
thời gian t ≤ T/2 (quãng đường ≤ 2A)
+ Tính quãng đường cực đại.
Ta đã biết trong dao động điều hòa vật chuyển động càng nhanh nếu vật
chuyển động càng gần vị trí cân bằng và chuyển động càng chậm nếu vật chuyển
động càng gần biên, do đó trong cùng một khoảng thời gian ∆t ≤ T/2 vật chuyển
động được quãng đường dài nhất nếu vật chuyển động giữa 2 điểm đối xứng
N
M
nhau qua vị trí cân bằng.
ω.
+ Theo hình vẽ ta có:

Smax = 2A.sin

ˆ
MON
2

ˆ
+ Mà MO N = ω ∆t thay vào (1) ta có:

Smax = 2A.sin

ω.∆t
2

O
S
ma

(1)

+ Trường hợp tính qng đường ngắn
nhất trong khoảng thời gian ∆t thì vật đi từ một điểm
-19-

x

x


đến biên rồi quay lại chính điểm đó, tương tự trường
hợp cực đại ta có:
Smin = 2A(1- cos

N

ω.∆t
) (2)
2

* Trường hợp tổng quát ∆t >T/2 thì ta làm như sau :

O

Smax = 2A + 2A.sin

S min
2

x

M

T
+ Lập biểu thức : ∆t =
+ τ; (τ < T/2)
2
+ Tính :

ω.

ω.τ
2

(trong đó 2A là quãng đường trong khoảng thời gian T/2,
trong khoảng thời gian τ quãng đường đi được xác định như trên )
Smin = 2A + 2A(1- cos

ω.τ
)

2

4.2. Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ 2s, biên độ 4cm. Tìm quãng
đường dài nhất, ngắn nhất vật đi được trong khoảng thời gian 5/3s?
* Giải:
Ta có : ∆t =

2π
T
2
= π (rad / s )
+
(s) ; ω =
2
3
T

Suy ra : Smax = 2A + 2A.sin
Smin = 2A + 2A(1- cos

π .2
3
= 2.4 + 2.4.
= 14,93 cm
2.3
2

π .2

) = 3.4 = 12 cm.
2.3

Bài tập 2: Một vật dao động điều hồ khi đi từ 2 vị trí có động năng bằng thế
năng mất thời gian ngắn nhất là 0,25s. Tính quãng đường cực đại khi vật đi
trong khoảng thời gian 2/3s? Biết khoảng cách 2 điểm xa nhau nhất khi vật dao
động đi qua bằng 10cm.
* Giải:
-20-


Hai điểm xa nhau nhất khi vật dao động đi qua bằng 10cm:
2A = 10 => A = 5 cm.
Động năng bằng thế năng sau những khoảng thời gian ngắn nhất là

T
= 0,25s ⇒ T = 1s
4
Ta có : ∆t =

2π
T
1
= 2π (rad / s )
+
(s) ; ω =
2
6
T

Suy ra : Smax = 2A + 2A.sin

1
2π .1
= 2.5 + 2.5. = 15 cm
2.6
2

4.3. Bài tập đề nghị:
Bài 1. Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo thẳng. Biết khoảng cách 2 điểm
xa nhau nhất bằng 5cm. Thời gian tối thiểu để vật tăng tốc từ không đến cực đại
là 0,6s. Tính quãng đường cực đại và cực tiểu vật đi được trong 0,4s?
Đs: 2,5cm; 5(1-

3
)cm
2

Bài 2. Tính quãng đường cực đại trong khoảng thời gian bằng thời gian cần thiết
để động năng chuyển hóa hết thành thế năng? Biết biên độ dao động điều hồ
bằng 4cm.

Đs: 4

cm

Bài 3. Tính quãng đường dài nhất vật đi được trong 2 phần ba chu kỳ dao động
điều hoà? Biết li độ khi có động năng bằng thế năng là 3

cm.

Đs: 6 3 cm

Bài 4: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh vị trí cân bằng O với
biên độ A và chu kỳ T. Trong khoảng thời gian T/4, tìm qng đường lớn nhất
mà vật có thể đi được ? ( Đề thi CĐ năm 2008)
Đs: A

-21-


IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Ưu điểm của phương pháp sử sụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn
đều và doa động điều hoà - phương pháp giản đồ vectơ quay là đơn giản, dễ
nhớ. Do đó, sau khi hướng dẫn học sinh áp dụng giản đồ vectơ quay vào giải
từng loại bài tập cụ thể như trên, tôi nhận thấy các em học sinh thấy được rõ
hơn mối quan hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều, từ đó tự tin
vận dụng rất tốt để giải các loại bài tập liên quan. Đặc biệt khi làm các bài tập
trắc nghiệm, các em tìm ra kết quả rất nhanh và chính xác, phát huy được khả
năng phân tích, tổng hợp và tư duy sáng tạo của các em.
Sau khi đưa ra cách phân loại và cách giải trên, kết quả khảo sát và thống
kê ở 3 lớp 12 trường THPT Hà Văn Mao năm học 2012 - 2013 cho thấy:
Lớp
12A3
12A4
12A8

% HS giải được
47%
55%
63%

% HS còn lúng túng
33%
40%
23%

-22-

% HS không biết
20%
5%
14%


C. KẾT LUẬN
I. TỔNG KẾT:

Với việc đưa ra phương pháp giải bài tập dao động điều hoà bằng mối liên
hệ giữa chuyển động trịn đều và dao động điều hồ - phương pháp giản đồ vectơ
quay đã giúp các em học sinh chủ động hơn và tìm ra đáp án một cách nhanh
nhất khi gặp những bài tập liên quan đến thời gian trong dao động điều hồ. Từ
đó kích thích khả năng tìm tịi sáng tạo của các em, hình thành cho các em
phương pháp phân tích, chọn lọc, tổng hợp trong quá trình tiếp thu kiến thức.
Trên đây chỉ là một số dạng bài tập điển hình vận dụng mối liên hệ giữa
chuyển động tròn đều và dao động điều hoà, trên cơ sở các dạng bài tập này học
sinh sẽ mở rộng vận dụng cho các dạng bài tập khác, đặc biệt hiệu dụng cho
những học sinh khá giỏi, đam mê mơn vật lí trong việc giải các bài tập về dao
động điều hồ.
Đề tài này cịn có thể phát triển và vận dụng ở dạng bài tập về sóng cơ (tìm
biên độ, độ lệch pha, bước sóng, tốc độ truyền sóng …), bài tập về dịng điện

xoay chiều; bài tập về dao động điện từ.... trong những chương tiếp theo của
chương trình vật lí 12 THPT. Do kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên
chắc chắn rằng đề tài cịn nhiều thiếu sót, tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý
kiến của các quý thầy cơ vào SKKN của mình, để được học hỏi thêm những kinh
nghiệm q báu và góp phần nâng cao tính khả thi cho đề tài.
-23-


II. BÀI HỌC KINH NGHIỆM, SỰ PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI:
Để việc truyền đạt kiến thức cho học sinh có hiệu quả, cụ thể là kỹ năng
giải bài tập khắc sâu kiến thức, người giáo viên cần có cách nhìn tổng quát đồng
thời phải biết chọn lọc trong quá trình giảng dạy. Như vậy từ những kiến thức
đã có trong sách giáo khoa người thầy cần phải nghiên cứu, tham khảo rồi phân
tích, tổng hợp để tích luỹ thêm nhiều kiến thức, nhiều dạng bài tập để định
hướng tư duy cho học sinh, hướng dẫn các em biết phân loại và tìm ra cách giải
tối ưu, lựu chọn cách giải nhanh nhất, dễ nhớ nhất, đặc biệt đối với những môn
thi TNKQ.
Phương pháp dùng mối liên hệ giữa chuyển động trịn đều và doa động
điều hồ - phương pháp vectơ quay để giải bài tập dao động đã giúp các em học
sinh khắc sâu có hiệu quả đặc tính của một dao động điều hòa. Những kiến thức
này các em đã được nghe giảng trong giờ học lý thuyết nhưng nếu khơng được
hướng dẫn phân tích, tổng hợp và áp dụng để tìm ra cách giải bài tập thì việc
ghi nhớ kiến thức là điều khó đối với các em.
Phương pháp dùng giản đồ vectơ quay để giải bài tập dao động điều hồ
cịn được áp dụng mở rộng và phát triển trong các chương tiếp theo của chương
trình vật lí 12 cụ thể:
1. Chương trình Vật lý lớp 12 (chương trình chuẩn):
Chương I: DAO ĐỘNG CƠ (đã nghiên cứu)
Chương II: SĨNG CƠ VÀ SĨNG ÂM
Chương III: DỊNG ĐIỆN XOAY CHIỀU

chương IV: DAO ĐỘNG VÀ SĨNG ĐIỆN TỪ
2. Chương trình Vật lý lớp 12 (chương trình nâng cao):
Chương II: DAO ĐỘNG CƠ
Chương III: SÓNG CƠ
Chương IV: DAO ĐỘNG VÀ SÓNG ĐIỆN TỪ
Chương V: DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU

-24-


Nhìn chung phương pháp sử dụng mối liên hệ giữu chuyển động trịn đều
và dao động điều hồ - phương pháp véc tơ quay có thể được thao tác tính tốn
vận dụng cho các đại lượng vật lí biến thiên điều hoà theo thời gian.
III. ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ:
Để làm tốt công tác giảng dạy, người giáo viên không chỉ nắm vững kiến thức
mà cịn phải có những kỹ năng dạy học cần thiết kết hợp với thực tế cuộc sống
thì mới có thể hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức có hiệu quả. Đặc biệt mơn
vật lí là môn khoa học thực nghiệm, để học sinh tiếp thu kiến thức một cách chủ
động và vận dụng được kiên thức vật lí vào thực tiễn thơng qua việc giải các bài
tập định tính, định lượng, giải thích hiện tượng vật lí trong thực tế.... thì người
giáo viên cần có phương pháp để học sinh có thể hình dung đuợc quy trình của
một chuyển động hay hiện tượng vật lí thông qua việc mô phỏng hoặc sử dụng
đồ dùng dạy học trực quan....
Muốn học tốt mơn vật lí phải hiểu được hiện tượng vật lí, các định luật, định
lí trong vật lí chỉ là phương tiện, cơng cụ cho chúng ta tiếp cận, thao tác với các
chuyển động, hiện tượng vật lí. Bên cạnh đó cộng cụ về tốn học trong vật lí hết
sức quan trọng, vì vậy song song với việc hướng dẫn học sinh tiếp cận với một
phần kiến thức vật lí nào đó thì người giáo viên cần nhắc lại những kiến thức
toán học liên quan, đối với lớp 12 thì các kiến thức tốn như: Lượng giác, số mũ,
tích phân, hàm số....là phương tiện tốn học xun suất cả chương trình.

Trong vật lí thì việc phân dạng bài tập chỉ là tương đối, mỗi bài tập lại có
nhiều cách giải khác nhau vì vậy người giáo viên cần có sự đúc kết các cách giải,
hướng dẫn học sinh tìm tịi cách giải nhanh và chính xác nhất để phù hợp với yêu
cầu, mức độ kiểm tra đánh giá hiện nay, đồng thời cùng là rèn luyện kĩ năng tư
duy sáng tạo cho học sinh.
Để làm tốt được cơng tác giảng dạy bộ mơn vật lí ở trường THPT người giáo
viên phải thường xuyên tự bồi dưỡng về chuyên môn, nghiệp vụ cho bản thân.
thông qua việc tham khảo các tư liệu cần thiết như:
- Sách tham khảo chuyên sâu, tạp chí Vật lý, các đĩa, băng từ về giáo dục, về
những thông tin mới trong lĩnh vực vật lý…
-25-