CHUYEN ĐHSP HA NOI TS10 vòng 2 (1)

Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ
NỘI

TRƯỜNG SƯ PHẠM
NĂM HỌC 2021 – 2022.
MƠN THI: TỐN (Tốn chung)
Ngày thi: 17/06/2021.

(Đề thi gồm 01 trang)

(Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI

Bài 1.

(2,5 điểm)

a=
Cho

1+ 5
2

a) Tìm một đa thức bậc hai

b) Cho đa thức:
Bài 2.

Q( x)

với hệ số nguyên sao cho

P( x) = x5 − x 4 − x + 1

. Tính giá trị của

α

là nghiệm của

Q( x)

P(α )

(3,0 điểm)

Cho

A, B

là hai điểm cố định nằm trên đường tròn tâm

O , bán kính R . Giả sử C

( O)

C
BA
định trên tia đối của tia
. Một cát tuyến thay đổi qua cắt đường tròn

tại

là điểm cố

D và E

(

D nằm giữa C , E ). Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD và ACE cắt nhau tại giao
điểm thứ hai

M . Biết rằng bốn điểm O, B, M , E

tạo thành tứ giác

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác

OBME

nội tiếp.

2
2

CD
.
CE
=
CO
−
R
b)
.

NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 1

OBME .


Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”

c)
Bài 3.

M ln di chuyển trên một đường trịn cố định.

(2,0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương

x2 y + 1
xy + 1
Bài 4.

với

x, y

N

sao cho

N có thể biểu diễn một cách duy nhất ở dạng

là hai số nguyên dương.

(2,5 điểm)

Cho

a , b , c là ba số nguyên dương sao cho mỗi số trong ba số đó đều biểu diễn được dưới

2
dạng lũy thừa của

với số mũ tự nhiên. Biết rằng phương trình bậc hai

ax 2 − bx + c = 0 (1) có

cả hai nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng hai nghiệm của phương trình (1) bằng nhau.
Bài 1.

(2,5 điểm)

a=
Cho

1+ 5
2

a) Tìm một đa thức bậc hai

b) Cho đa thức:

Q( x)

với hệ số nguyên sao cho

P( x) = x5 − x 4 − x + 1

. Tính giá trị của

α

là nghiệm của

Q( x)

P(α )

Lời giải

a).Tìm một đa thức bậc hai

Q( x)

với hệ số nguyên sao cho

α

là nghiệm của

Cách 1:

α=
Có

1+ 5
⇔ 2α − 1 = 5 ⇒ 4α 2 − 4α − 4 = 0 ⇔ α 2 − α − 1 = 0
2

NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 2

.

Q( x)


Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”

x − x − 1= 0

α=

2

Phương trình

Vậy

Q ( x ) = x2 − x − 1

có hệ số nguyên và có 2 nghiệm

1+ 5
1− 5
β=
2
2

thỏa yêu cầu bài.

Cách 2:

α=
Có

Ta có

1+ 5
2

1− 5
2

β=
, đặt

α + β = 1

α .β = − 1

α β
Phương trình có hệ số ngun nhận ,
Vậy

b)

Q ( x ) = x2 − x − 1

làm nghiệm là

x2 − x − 1 = 0

thỏa yêu cầu bài.

P( x) = x 5 − x 4 − x + 1 = x 5 − x 4 − x 3 + x 3 − x + 1

P( x) = x3 ( x 2 − x − 1) + x3 − x 2 − x + x 2 + 1

P( x) = ( x 2 − x − 1)( x3 + x) + x 2 + 1
P(α ) = (α 2 − α − 1)(α 3 + α ) + α 2 + 1
P(α ) = 0 + α 2 + 1
2

α
+ 1= α + 2
Mà

α
(Do

.

là nghiệm của phương trình:

x 2 − x − 1 ).

nên

P(α ) = α 2 + 1 = α + 2 =

1+ 5
5+ 5
+2=
2
2

.

NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 3

,

.

Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”

P(α ) =
Vậy
Bài 2.

5+ 5
2

.

(3,0 điểm)

Cho

A, B

là hai điểm cố định nằm trên đường trịn tâm

O , bán kính R . Giả sử C

( O)
C
BA
định trên tia đối của tia
. Một cát tuyến thay đổi qua cắt đường tròn

tại

là điểm cố

D và E

(

D nằm giữa C , E ). Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD và ACE cắt nhau tại giao
điểm thứ hai

M . Biết rằng bốn điểm O, B, M , E

tạo thành tứ giác

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác

OBME

nội tiếp.

2
2
CD
.
CE
=
CO
−

R
b)
.

c)

M ln di chuyển trên một đường trịn cố định.
Lời giải

NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 4

OBME .


Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”

a) Chứng minh tứ giác

OBME

nội tiếp.

(

·
·
·
·
·
·

EOB
= 2 BAE
= 2 BDC
= 2 BMC
= 2 EMC
− EMB

(

· − EMB
·
= 2 180° − EAB

)

)

· − 2 EMB
·
= 360° − EOB
suy ra

· + EMB
·
EOB
= 180° hay tứ giác OBME

nội tiếp.

2

2
CD
.
CE
=
CO
−
R
b) Chứng minh
.

Cách 1.
2
2
2
2
2
( O)
CF
CF
⊥
OF
⇒
CF
=
CO
−
OF
=
CO

−
R
Kẻ
là tiếp tuyến của
, suy ra
(1)

Mặt khác:

∆ CDF ∽∆ CFE (g.g)
NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 5


Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”

⇒

CD CF
=
⇒ CF 2 = CD.CE
CF CE

(2)

2
2
CD
.
CE
=

CO
−
R
Từ (1) và (2) ta có
.

Cách 2.

T

Gọi

Có

là trung điểm

DE .

CD.CE = ( CT − TD ) ( CT + TE ) , TD = TE

= CT 2 − TD 2 = CO 2 − OT 2 − TD 2 = CO 2 − OD 2 = CO 2 − R 2
c) Chứng minh

M luôn di chuyển trên một đường tròn cố định.

·
·
·
· + EAB
· = 90°

OMC
= OMB
+ BMC
= OEB
M ln di chuyển trên đường trịn đường
hay
kính
Bài 3.

OC cố định.

(2,0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương

x2 y + 1
xy + 1

với

x, y

N

sao cho

N có thể biểu diễn một cách duy nhất ở dạng

là hai số nguyên dương.
Lời giải

x2 + y
N=
⇔ x 2 − Nxy − N + y = 0 ⇔ x ( Ny − x ) = y − N ( 1)
xy + 1

Với

N = 1 dễ thấy có vơ số cách biểu diễn N

theo

x, y

NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 6


Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”

là các bộ số dạng

Với

Nếu

Nếu

( x, y ) = ( a, a + 1) ( a ∈ ¥ * )

N≥2

y = N ⇒ x = N2

y≠ N

thì

( 1) ⇒

suy ra trong hai số

y − N Mx ⇒ y − N ≥ x

y; N

có ít nhất một số lớn hơn

x

⇒ Ny − x > 0 ⇒ y − N > 0 ⇒ y > N ⇒ y > x

Từ

( 1) ⇒

Vậy với

y − N MNy − x ⇒ y − N ≥ Ny − x ≥ 2 y − x ≥ y + ( y − x ) ≥ y ⇒ N ≤ 0

N ≥ 2 thì ta có một biểu diễn duy nhất ở dạng

( loại)

x2 + y
xy + 1

Cách khác.

( x; y )
N
=
1
+)
có vơ số bộ
Suy ra

+)

có dạng

( k ; k + 1) ( k ∈ N )

thỏa mãn

x2 + y
=N
xy + 1

N = 1 loại

N≠1

x 2 + y Mxy + 1
⇒ y ( x 2 + y ) − x ( xy + 1) Mxy + 1 ⇒ y 2 − xMxy + 1

NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 7

.


Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”

+)

x < y ⇒ x 2 + y ≤ xy + y < 2 xy + 2

x2 + y
⇒ x + y ≤ xy + xy = 2 xy < 2 xy + 2 ⇒
< 2⇒ N < 2
xy + 1
2

+)

vô lý.

x ≥ y ⇒ − ( xy + 1) < − x < y 2 − x < y 2 < xy + 1

⇒ y2 − x = 0 ⇒ x = y2
y4 + y
⇒N= 2

=y
y +1

⇒ x = N2

Với mọi
Bài 4.

N > 1 thì cặp

( N ;N)
2

là duy nhất

(2,5 điểm)

Cho

a , b , c là ba số nguyên dương sao cho mỗi số trong ba số đó đều biểu diễn được dưới

2
dạng lũy thừa của

với số mũ tự nhiên. Biết rằng phương trình bậc hai

ax 2 − bx + c = 0

(1) có

cả hai nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng hai nghiệm của phương trình (1) bằng nhau.
Lời giải
Cách 1:

Đặt

Gọi

a = 2k ; b = 2n ; c = 2m ( k , m, n ∈ ¥ )

x1; x2

là nghiệm nguyên của phương trình

ax 2 − bx + c = 0

NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 8


Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”

Ta có

ax12 − bx1 + c = 0 ⇒ c = x1 ( b − ax1 ) > 0 ⇒ c Mx1 ⇒ 2m Mx1
 x1 + x2 = 2n − k  x1 > 0
⇒
( 2)

m− k
x

>
0
x
.
x
=
2
 2
 1 2

Theo hệ thức Vi-et:

Từ

Đặt

( 1) ; ( 2 ) ⇒ x1; x2

là các lũy thừa với số mũ tự nhiên của 2.

x1 = 2 p , x2 = 2q ( p, q ∈ ¥ )

Khi đó

tương tự

khơng mất tính tổng qt giả sử

p≥q

x1 + x2 = 2n−k ⇔ 2q ( 2 p −q + 1) = 2n −k ⇒ 2 p −q + 1 = 2n −k −q

p− q
n− k − q
n− k − q
2
+
1
≥
2
⇒
2
≥
2
⇒
2
Vì

p− q
⇒
2
+ 1 là số chẵn
là số chẵn

⇒ 2 p −q = 1 ⇒ p − q = 0 ⇔ p = q ⇒ x1 = x2

(đpcm).

Cách 2:

Đặt

.

a = 2n ; b = 2m ; c = 2 p ( m; n; p ∈ ¥ )

Xét phương trình

Để phương trình

ax 2 + bx + c = 0 ( 1)

( 1)

⇒ 22 m − 2n + p + 2 = k 2

.

2
2m
n+ p + 2
∆
=
b
−
4
ac
=
2
−

2
có
.

có nghiệm ngun thì

∆

là số chính phương.

( k ∈ ¥ ) ⇔ 2n + p + 2 = ( 2m − k ) ( 2m + k )

m
u
2u + 2v u −1
2 − k = 2
m
⇒ m
u
<
v
⇒
2
=
= 2 ( 1 + 2 v −u )
( )
v
2
2 − k = 2

.

NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 9

2m Mx2 ( 1)


Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”

u≠ v
Nếu
Suy ra

v −u
1
+
2
thì

là số lẻ và khác

1 (vơ lý).

u = v ⇒ k = 0⇒ ∆ = 0.

Do đó, phương trình

( 1)

có hai nghiệm bằng nhau.

NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 10