CHUYÊN DAKLAK 2021 2022

CT10-21-22-DAKLAK

ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN - THPT CHUYÊN NGUYỄN DU – 2021 – 2022

x 4 − ( m + 2 ) x 2 + 3m − 3 = 0
Câu 1. Cho phương trình

với

m

là tham số. Tìm tất cả giá trị của

để

x + x2 + x3 + x4 − 2 x1 x2 x3 x4
4
1

x1 , x2 , x3 , x4
phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt
trị nhỏ nhất.

m

4

4

4

sao cho

đạt giá
2

5  27 27
2

P = 2t12 + 2t2 2 − 2t1t2 = 2S 2 − 6 P = 2 ( m + 2 ) − 6 ( 3m − 3) = 2m 2 − 10m + 26 = 2  m − ÷ +
≥
2
2
2


Câu 2.
1) Giải phương trình

2022 2022 x − 2021 + 2023 x − 2022 = 2023

2) Giải hệ phương trình

3
3
 x − 6 xy − y = 8

2
 2 x + y + 3 + 5 x − y + 3 = − x − y + 5

2022 2022 x − 2021 + 2023 x − 2022 = 2023

⇔ 2022

⇔

(

)

2022 x − 2021 − 1 + 2023 x − 2022 − 1 = 0

2022 ( 2022 x − 2022 )
2022 x − 2021 + 1

+

2023x − 2023
=0
2023 x − 2022 + 1



20222
2023
⇔ ( x − 1) 
+
=0
2023 x − 2022 + 1 
 2022 x − 2021 + 1
⇔ x =1
⇔ ( x − y ) + 3xy ( x − y ) − 6 xy − 8 = 0

3

2
⇔ ( x − y − 2 ) ( x − y ) + 2 ( x − y ) + 4  + 3 xy ( x − y − 2 ) = 0



⇔ ( x − y − 2 ) ( x 2 − 2 xy + y 2 + 2 x − 2 y + 4 + 3 xy ) = 0
⇔ ( x − y − 2 ) ( x 2 + y 2 − xy + 2 x − 2 y + 4 ) = 0
x − y − 2 = 0
⇔
2
2
2
( x + 2 ) + ( y − 2 ) + ( x − y )

y = x−2

 x = −2
⇔ 
⇔ y = x−2
 y = 2
=0

  x = y


CT10-21-22-DAKLAK

3x + 1 + 4 x + 5 = − x2 − x + 7

⇔

(

) (

3x + 1 − 2 +

DK : x ≥ −

)

4x + 5 − 3 + ( x2 + x − 2) = 0

1
3

3
4


⇔ ( x − 1) 
+
+ x + 2 = 0
4x + 5 + 3
 3x + 1 + 2

⇔ x =1
Câu 3.
1) Tìm tất cả các số tự nhiên

n

và

k

để

n 4 + 42 k +1

x 4 − x 2 + 2 x 2 y − 2 xy + 2 y 2 − 2 y − 36 = 0

x, y

2) Tìm tất cả các số nguyên dương

là số nguyên tố.

thỏa mãn

A = n 4 + 42 k +1 = ( n 2 ) + ( 22 k +1 ) = ( n2 + 22 k +1 ) − 2n 2 .22 k +1
2

2

2

= ( n 2 + 22 k +1 ) − ( n.2k +1 ) = ( n 2 + 22 k +1 − n.2k +1 ) ( n 2 + 22 k +1 + n.2k +1 )
2

2

A

⇔ ( n − 2k +1 ) + n 2 = 2
2

⇔ ( x 4 + y 2 + 1 − 2 x 2 − 2 y + 2 x 2 y ) + ( x 2 − 2 xy + y 2 ) = 36 + 1

⇔ ( x 2 + y − 1) + ( x − y ) = 37 ( 1)
2

2

 x2 + y − 1 = 6
 x 2 + x − 4 = 0


 x − y = 1
 y = x − 1
 2
 2
x + y −1 = 6

  x + x − 6 = 0 ⇔  x = 2
1
⇔
⇔
( ) 

 y = x + 1
y = 3
 x − y = −1
 2
 2
 x + y − 1 = 1
 x + x + 4 = 0


  x − y = −6
 y = x + 6
a , b, c

Câu 4. Cho ba số thực dương
P=

b ( a 2 + 1)

2

a 2 ( b 2 + 1)

+

c ( b 2 + 1)

2

b 2 ( c 2 + 1)

+

a ( c 2 + 1)

thỏa mãn
2

c 2 ( a 2 + 1)
.

P≥3

3

(a

2

+ 1) ( b 2 + 1) ( c 2 + 1)
abc

a +b +c ≤ 2

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


CT10-21-22-DAKLAK

a+

1
a
1
1
= 4. + 9. ≥ 1313 4 9 5
a
4
9a
4 .9 a

b+

1
b
1
1
= 4. + 9. ≥ 1313 4 9 5
b
4
9b
4 .9 b

c+

1
c
1
1
= 4. + 9. ≥ 1313 4 9 5
c

4
9c
4 .9 c

P ≥ 3 3 133.13

1
≥ 39
4 .9 .a 5 .b5 .c5
3 13
12

27

1
15

2
224.354.  ÷
3

( O; R )

=

13
2

C

AB

C

Câu 5. Cho nửa đường trịn
đường kính
. Lấy điểm
tùy ý trên nửa đường trịn đó ( khác
M,N
AC
BC
AC
A
B
và ). Gọi
lần lượt là điểm chính giữa của cung
và cung
. Hai đường thẳng
và

BN

AN
BC
H
. Hai dây cung
và
cắt nhau tại .
CDNH
1) Chứng minh tứ giác

nội tiếp.
cắt nhau tại

2) Gọi

I

D

là trung điểm

DH

3) Chứng minh rằng khi
một đường tròn cố định.

C

. Chứng minh

IN

là tiếp tuyến của nửa đường tròn

( O; R )
di động trên nửa đường tròn

( O; R )
4) Trên nửa đường trịn

( O; R )

khơng chứa

lần lượt là hình chiếu vng góc của
giá trị nhỏ nhất.

P

C

lấy một điểm

thì đường thẳng

P

tùy ý (

AB, BC , CA

trên

. Tìm vị trí của

P

P

khác

.

MN

A

và

ln tiếp xúc với

B

Q, R, S

). Gọi

AB BC CA
+
+
PQ PR PS
để tổng

đạt


CT10-21-22-DAKLAK

·
·

⇒ DCH
+ DNH
= 180°

P=

AB 2
BC 2
CA2
+
+
PQ. AB PR.BC PS .CA

BC
·
·
PR.BC = PB.PC.sin BPC
= PB.PC.sin BAC
= PB.PC.
AB
AC
·
·
·
PS .CA = PA.PC.sin APC
= PA.PC .sin APC
= PA.PC.sin ABC
= PA.PC.
AB

=

AB ( AC.PA + BC.PB )
AB 2
AB 2
AB. AB.PC
+
=
+
PA.PB
PA.PB.PC
PA.PB PA.PB.PC

=2

AB 2
4 AB 2
≥
=4
PA.PB PA2 + PB 2

(d /l

Ptolemy )


CT10-21-22-DAKLAK

x 4 − ( m + 2 ) x 2 + 3m − 3 = 0
Câu 1. Cho phương trình

m

với

là tham số. Tìm tất cả giá trị của

để

x14 + x2 4 + x34 + x4 4 − 2 x1 x2 x3 x4

x1 , x2 , x3 , x4
phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt
trị nhỏ nhất.

m

sao cho

đạt giá

Lời giải

t 2 − ( m + 2 ) t + 3m − 3 = 0 ( 1)
x2 = t t ≥ 0
Đặt
,
. Phương trình trở thành:

( 1)

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình

có hai nghiệm dương phân biệt

0 < t1 < t2
.

Ta được

 ∆ = ( m + 2 ) 2 − 4 ( 3m − 3) > 0

 m 2 − 8m + 16 > 0
m > 1
⇔
⇔
S = m + 2 > 0
m ≠ 4
m > 1
 P = 3m − 3 > 0


x1 < x2 < x3 < x4
Giả sử
x12 = x4 2 = t2 x2 2 + x32 = t1 t1 > 0; t2 > 0
Khi đó, đặt
;
;
.

Ta có

2

5  27 27
2

P = 2t12 + 2t2 2 − 2t1t2 = 2S 2 − 6 P = 2 ( m + 2 ) − 6 ( 3m − 3) = 2m 2 − 10m + 26 = 2  m − ÷ +
≥
2
2
2

m=

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của

5
2

P

(thỏa mãn điều kiện)

là

27
2

m=

, đạt khi

5
2

.

Câu 2.
1) Giải phương trình

2022 2022 x − 2021 + 2023 x − 2022 = 2023

2) Giải hệ phương trình

 x 3 − 6 xy − y 3 = 8

2
 2 x + y + 3 + 5 x − y + 3 = − x − y + 5
Lời giải


CT10-21-22-DAKLAK

1) Điều kiện:


 x ≥

x ≥



2021
2022
2022
⇔ x≥
2022
2023
2023

2022 2022 x − 2021 + 2023 x − 2022 = 2023
⇔ 2022

⇔

(

)

2022 x − 2021 − 1 + 2023 x − 2022 − 1 = 0

2022 ( 2022 x − 2022 )
2022 x − 2021 + 1

+

2023x − 2023
=0
2023 x − 2022 + 1



20222
2023
⇔ ( x − 1) 
+
=0
2023 x − 2022 + 1 
 2022 x − 2021 + 1
⇔ x =1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

x =1

x3 − 6 xy − y 3 = 8
2)
⇔ ( x − y ) + 3xy ( x − y ) − 6 xy − 8 = 0
3

2
⇔ ( x − y − 2 ) ( x − y ) + 2 ( x − y ) + 4  + 3 xy ( x − y − 2 ) = 0



⇔ ( x − y − 2 ) ( x 2 − 2 xy + y 2 + 2 x − 2 y + 4 + 3 xy ) = 0
⇔ ( x − y − 2 ) ( x 2 + y 2 − xy + 2 x − 2 y + 4 ) = 0
x − y − 2 = 0
⇔
2

2
2
( x + 2 ) + ( y − 2 ) + ( x − y )

y = x−2

 x = −2
⇔ 
⇔ y = x−2
 y = 2
=0

  x = y

2 x + y + 3 + 5x − y + 3 = − x2 − y + 5
Thay vào phương trình

, ta được

3x + 1 + 4 x + 5 = − x2 − x + 7
⇔

(

) (

3x + 1 − 2 +

)

4x + 5 − 3 + ( x2 + x − 2) = 0

3
4


⇔ ( x − 1) 
+
+ x + 2 = 0
4x + 5 + 3
 3x + 1 + 2

⇔ x =1

DK : x ≥ −

1
3


CT10-21-22-DAKLAK

( x; y ) = ( 1; −1)

Vậy hệ có nghiệm

.

Câu 3.
1) Tìm tất cả các số tự nhiên

n

và

k

n 4 + 42 k +1

để

x 4 − x 2 + 2 x 2 y − 2 xy + 2 y 2 − 2 y − 36 = 0

x, y

2) Tìm tất cả các số nguyên dương

là số nguyên tố.

thỏa mãn
Lời giải

A = n 4 + 42 k +1 = ( n 2 ) + ( 22 k +1 ) = ( n2 + 22 k +1 ) − 2n 2 .22 k +1
2

2

2

= ( n 2 + 22 k +1 ) − ( n.2k +1 ) = ( n 2 + 22 k +1 − n.2k +1 ) ( n 2 + 22 k +1 + n.2k +1 )

2

A

2

là số nguyên tố

⇔ (n−2

Thử lại

)

k +1 2

⇒ n 2 + 22 k +1 − n.2 k +1 = 1 ⇔ n 2 − 2.n.2 k +1 + 2

n = 1
n = 1
⇔
⇔

k +1
+n =2
n − 2 = ±1 k = 0
2

A = 1+ 4 = 5

, thỏa mãn yêu cầu.

x 4 − x 2 + 2 x 2 y − 2 xy + 2 y 2 − 2 y − 36 = 0
2)
⇔ ( x 4 + y 2 + 1 − 2 x 2 − 2 y + 2 x 2 y ) + ( x 2 − 2 xy + y 2 ) = 36 + 1

⇔ ( x 2 + y − 1) + ( x − y ) = 37 ( 1)
2

Nhận xét:

2

2

x + y −1 > x − y
 2

x + y −1 > 0

( ∀x ∈ ¥ *; y ∈ ¥ *)
.

 x2 + y − 1 = 6
 x 2 + x − 4 = 0


 x − y = 1
 y = x − 1
 2

 2
x + y −1 = 6

  x + x − 6 = 0 ⇔  x = 2
1
⇔
⇔
( ) 
 y = x + 1
y = 3
 x − y = −1
 2
 2
 x + y − 1 = 1
 x + x + 4 = 0


  x − y = −6
 y = x + 6

( x; y ) = ( 2;3)
Vậy phương trình có nghiệm:

2( k +1)

+ n2 = 2


CT10-21-22-DAKLAK

a , b, c
Câu 4. Cho ba số thực dương

P=

b ( a 2 + 1)

2

a 2 ( b 2 + 1)

+

c ( b 2 + 1)

2

+

b 2 ( c 2 + 1)

thỏa mãn

a ( c 2 + 1)

a +b +c ≤ 2

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

c 2 ( a 2 + 1)
.
Lời giải
3

Ta có
P≥3

2
2 = a + b + c ≥ 3 3 abc ⇔ abc ≤  ÷
3
3

(a

2

+ 1) ( b 2 + 1) ( c 2 + 1)
abc

a+

1
a
1
1
= 4. + 9. ≥ 1313 4 9 5
a
4

9a
4 .9 a

b+

1
b
1
1
= 4. + 9. ≥ 1313 4 9 5
b
4
9b
4 .9 b

c+

1
c
1
1
= 4. + 9. ≥ 1313 4 9 5
c
4
9c
4 .9 c

P ≥ 3 3 133.13

1

≥ 39
4 .9 .a 5 .b5 .c5
3 13
12

27

a=b=c=

Dấu bằng xảy ra khi

1
15

2
224.354.  ÷
3

13
2

2
3

( O; R )
Câu 5. Cho nửa đường trịn

=

đường kính

AB

. Lấy điểm

C

tùy ý trên nửa đường trịn đó (

C

khác

M,N
AC
BC
AC
B
và ). Gọi
lần lượt là điểm chính giữa của cung
và cung
. Hai đường thẳng
và
BN
AN
BC
D
H
cắt nhau tại . Hai dây cung
và

cắt nhau tại .
CDNH
1) Chứng minh tứ giác
nội tiếp.
A

2) Gọi

I

là trung điểm

DH

3) Chứng minh rằng khi
một đường tròn cố định.

C

. Chứng minh

IN

( O; R )
là tiếp tuyến của nửa đường tròn

( O; R )
di động trên nửa đường trịn

thì đường thẳng

.

MN

ln tiếp xúc với


CT10-21-22-DAKLAK

( O; R )

4) Trên nửa đường trịn

khơng chứa

lần lượt là hình chiếu vng góc của
giá trị nhỏ nhất.

P

C

lấy một điểm

P

tùy ý (

AB, BC , CA

trên

. Tìm vị trí của

P

P

khác

A

và

B

Q, R, S

). Gọi

AB BC CA
+
+
PQ PR PS
để tổng

đạt

Lời giải

·
·
AC ⊥ CH ⇒ DCH
= 90° AN ⊥ NB ⇒ HND
= 90°
1) Có
;
·
·
⇒ DCH
+ DNH
= 180° ⇒

2) Tam giác

CDNH

Tứ giác

ACNB

Tứ giác

Tam giác

Suy ra

DNH

ONB

3) Ta có

ON ⊥ OM

.

vng tại

nội tiếp nên

nội tiếp nên

cân tại

·
INO
= 90°

OM

tứ giác

. Vậy

O

N

NI

là tứ giác nội tiếp.

là trung tuyến ứng với cạnh huyền. Ta được

·
·
INH
= IHN

.

·
·
IHN
= NCD
·
·
NCD
= NBA

nên

IN

có

CDNH

·
·
·
·
NBA
= ONB
⇒ NBA
+ ONA
= 90°

( O; R )
là tiếp tuyến của nửa đường trịn

.

·AOC ON
·
NOB
là tia phân giác góc
,
là tia phân giác góc
. Hai góc này kề bù, suy ra


CT10-21-22-DAKLAK

Tam giác

OMN

vng cân tại

O

. Gọi

J

là trung điểm

MN

, ta có

1
1
R 2
MN =
R2 + R2 =
2
2
2

OJ =

Suy ra

MN

luôn tiếp xúc với đường trịn tâm

O

, bán kính

R 2
2

.

4)

AB 2
BC 2
CA2
P=
+
+
PQ. AB PR.BC PS .CA
PQ. AB = PA.PB

Có
BC
·
·
PR.BC = PB.PC.sin BPC
= PB.PC.sin BAC
= PB.PC.
AB
AC

·
·
·
PS .CA = PA.PC.sin APC
= PA.PC .sin APC
= PA.PC.sin ABC
= PA.PC.
AB

Ta được
=

AB 2
AB. AC AB.BC
AB 2
AB. AC.PA + AB.BC .PB
P=
+
+
=
+
PA.PB PC.PB PC.PA PA.PB
PA.PB.PC

AB ( AC.PA + BC.PB )
AB 2
AB 2
AB. AB.PC
+
=

+
PA.PB
PA.PB.PC
PA.PB PA.PB.PC

=2

(d /l

AB 2
4 AB 2
≥
=4
PA.PB PA2 + PB 2

Dấu bằng xảy ra khi

P

là điểm chính giữa cung

AB

khơng chứa

C

.

Ptolemy )

MN ⊥ OJ

;