CHUYÊN KIÊN GIANG 2021 2022

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

KIÊN GIANG

NĂM HỌC 2021 – 2022

ĐỀ CHÍNH THỨC

MƠN THI: TỐN (chun)

(Đề thi gồm 02 trang)

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 05/06/2021.
x
2
2x − x x − 2
+
+
x −1
x −2 x −3 x + 2

A=
Bài 1 (1,5 điểm). Cho biểu thức

(với

x ≥ 0, x ≠ 1

, và

x≠4

)

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị biểu thức A tại

x = 3+2 2

Bài 2 (1,0 điểm) Tìm tất cả các số thực
a
1
3
a+2
nghiệm là
và
.

.

a, b

x x 2 + ax + b = 0
sao cho phương trình (ẩn )
có hai

Bài 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:
 x 3 − 2 y + x − 2 x 2 y = 0


 x + 1 − 16 − y = 3
ABCD
BC
M
Bài 4 (1,0 điểm) Cho hình vng
có cạnh bằng 8. Trên cạnh
, lấy điểm
sao cho
BM = 5
N
CD
AM
A
. Gọi
là giao điểm của đường thẳng
và đường thẳng vng góc với
tại .
MN
I
DI
Gọi là trung điểm của
. Hãy tính độ dài đoạn thẳng
.

Bài 5 (2,5 điểm). Cho

( O1 ) , ( O2 )

A, M

∠O1 AO2

là hai đường tròn, cắt nhau tại điểm
, sao cho
là
( O1 )
( O2 )
A
B
A
A
góc tù. Tiếp tuyến tại
của
cắt
tại điểm thứ hai
(khác ). Tiếp tuyến tại
của
( O2 )
( O1 )
D
A
cắt
tại điểm thứ hai
(khác ).


a) Trên cung

AD

KM

không chứa

M

AB

của

( O1 )

, lấy điểm

K

( O2 )

M

cắt cung
không chứa
của
tại điểm
AK
BL
đường thẳng
song song với đường thẳng
.

b) Gọi

C

là điểm đối xứng của

A

qua

M

L

, khác
, khác

. Chứng minh rằng

A
A

D

và

B

và

ABCD

, sao cho đường thẳng
. Chứng minh rằng

là tứ giác nội tiếp.

Bài 6 (1,5 điểm)
m, p , r

a) Cho
là các số nguyên tố thỏa mãn
số chính phương.

mp + 1 = r

q

. Chứng minh rằng

b) Tìm tất cả các số nguyên tố , sao cho tồn tại số nguyên dương
thừa với số mũ nguyên dương của 11.

n

m2 + r

n 2 + 22q

để

hoặc

p2 + r

là

là một lũy

Bài 7 (1,0 điểm). Có bốn căn phịng nằm liên tiếp nhau, thành một hàng ngang. Có một con
chuột trốn trong các căn phịng đó; mỗi ngày nó trốn trong một căn phịng. Có một chú mèo tìm
cách bắt con chuột này. Cứ mỗi tối, mèo ta vào một căn phòng, và nếu con chuột đang trốn ở căn
phòng ấy thì nó sẽ bị mèo bắt. Biết rằng, nếu chưa bị mèo bắt mỗi sáng, con chuột lại chạy sang
trốn ở căn phòng nằm ngay bên cạnh. Hỏi chú mèo có thể đảm bảo chắc chắn sẽ bắt được con
chuột sau tối đa bốn tối hay khơng? Vì sao?
x, y , z
Bài 8 (0,5 điểm). Cho
là các số thực lớn hơn 2021, thỏa mãn
minh rằng, ta có bất đẳng thức sau:

1 1 1
2
+ + =
x y z 2021

x + y + z ≥ x − 2021 + y − 2021 + z − 2021

Đáp án
Bài 1.
a) (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức

.

. Chứng


A=

Ta có:

x( x − 2) + 2( x − 1) + (2 x − x x − 2)
( x − 1)( x − 2)

=

x x − 2x + 2 x − 2 + 2x − x x − 2
( x − 1)( x − 2)

=

2 x −4
2( x − 2)
=
=
( x − 1)( x − 2) ( x − 1)( x − 2)

2
x −1

b) (0,5 điểm)

x = 3 + 2 2 = ( 2 + 1) 2

ta có

A=
do đó:

2
( 2 + 1) 2 − 1

=

2
= 2
2 +1−1

Bài 2. (1,0 điểm) Theo định lí Vi-ét (thuận và đảo),
khi và chỉ khi

a, b

là các số thực thỏa mãn yêu cầu đề bài


 a ≠ −2
(1)

1
a
= − a (2)

 +
3 a + 2
a 1
 3 ×a + 2 = b (3)

Với

a

thỏa mãn (1) ta có
a=

Thay
a=
Thay

−1
2
−3
2

1
3
(2) ⇔ 4a 2 + 8a + 3 = 0 ⇔ a = − , a = −
2
2
b=

vào (3) ta được

vào (3) ta được

Vậy có tất cả hai cặp số thực

−1
9

b = −1

a, b

thỏa mãn yêu cầu là

Bài 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:

 −1 −1   −3

 ; ÷,  ; −1÷
 2 9   2


.


 x 3 − 2 y + x − 2 x 2 y = 0

 x + 1 − 16 − y = 3

Điều kiện:

x ≥ −1

và

y ≤ 16

. (1)

Với điều kiện đó, ta có:
 x3 − 2 y + x − 2 x 2 y = 0
( x − 2 y ) ( x 2 + 1) = 0

⇔

 x + 1 − 16 − y = 3
 x + 1 − 16 − y = 3
 x = 2 y
⇔
 2 y + 1 − 16 − y = 3.
Ta có:
(3) ⇔ ( 2 y + 1 − 5) − ( 16 − y − 2) = 0
⇔

2( y − 12)
y − 12
+
=0
2 y +1 + 5
16 − y + 2



2
1
⇔ ( y − 12) 
+
=0
÷
 2 y +1 + 5
÷
16
−
y
+
2


⇔ y = 12.

Thay

y = 12

Cặp số
đã cho.

vào (2), ta được

( x, y ) = ( 24,12 )

x = 24

.

thỏa mãn (1). Vì thế, cặp số đó là nghiệm duy nhất của hệ phương trình

ABCD
BC
M
Bài 4. (1,0 điểm) Cho hình vng
có cạnh bằng 8. Trên cạnh
, lấy điểm
sao cho
BM = 5
N
CD
AM
A
. Gọi
là giao điểm của đường thẳng
và đường thẳng vng góc với
tại .
MN
I
DI
Gọi là trung điểm của
. Hãy tính độ dài đoạn thẳng
.

Xét hai tam giác vng

ABM

và

ADN

, ta có:

AB = AD ∠BAM = ∠DAN
,
(hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc)
Do đó tam giác
Qua

M

∆ABM = ∆ADN

(cạnh góc vng – góc nhọn). Suy ra,

kẻ đường thẳng song song

Xét tam giác

MNE

ID

cắt

NC

tại

E

DN = BM

(1).

.

:

MN
ID / / ME
NE
I
D
Do là trung điểm của
và
, nên
là trung điểm của
. Vì thế
DE = DN = BM
MC = CE
(theo (1)). Suy ra,
(2)

Do

I, D

tương ứng là trung điểm của
1
DI = EM
2
đó,
.

MN , NE

, nên

ID

là đường trung bình của tam giác. Do

Xét tam giác vng (tại C) MCE, theo định lí Pitago, ta có:
EM = MC 2 + CE 2 = 2 MC 2

(do (2))

= 2 MC = 2 ( BC − BM ) = 2 ( 8 − 5 ) = 3 2

.

DI =
Vì thế
Bài 5. Cho

3 2
2

.

( O1 ) , ( O2 )

A, M

∠O1 AO2

là hai đường tròn, cắt nhau tại điểm
, sao cho
là góc tù.
( O1 )
( O2 )
( O2 )
A
B
A
A
Tiếp tuyến tại
của
cắt
tại điểm thứ hai
(khác ). Tiếp tuyến tại

của
( O1 )
D
A
cắt
tại điểm thứ hai
(khác ).

Với giả thuyết
Xét

( O1 )

∠O1 AO2

chứa D). (1)
Xét

của

là góc tù, ta có thế hình như ở trên.

, ta có:

∠AKM = ∠MAB

( O2 )

khơng chứa

M

( O1 )

K
A
D
, lấy điểm , khác
và , sao cho
( O2 )
KM
AB
M
L
A
B
đường thẳng
cắt cung
không chứa
của
tại điểm , khác
và . Chứng
AK
BL
minh rằng đường thẳng
song song với đường thẳng
.
a) (1,0 điểm) Trên cung

AD

, ta có:

(góc nọi tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, cùng chắn cung AM không


∠MLB = ∠MAB

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB khơng chứa A). (2)

Từ (1) và (2), suy ra,
Do đó,

AK / / LB

b) (1,5 điểm) Gọi
tiếp.

∠AKM = ∠MLB

.

(vì có hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).
C

là điểm đối xứng của

A

qua

M

. Chứng minh rằng

ABCD

là tứ giác nội

.

Xét

( O1 )

ta có:

∠MDA = ∠MAB

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, cùng chắn cung AM không

chứa D). (3)
Xét

( O2 )

ta có

∠MAD = ∠MBA

(góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, góc nội tiếp, cùng chắn cung AM không

chứa B) (4)
Từ (3) và (4), suy ra,

∆AMD ∽ ∆BMA

.


MA MB
=
MD MA

Do đó,

; mà

MC = MA

(gt), nên

MC MB
=
MD MC

. (5)

Do trong một tam giác, mỗi góc ngồi bằng tổng hai góc trong khơng kề với nó, nên cộng (3) và
(4), vế theo vế, ta được:

∠DMC = ∠CMB

(6)

Từ (5) và (6), suy ra,

∆DMC ∽ ∆CMB

∠DCM = ∠CBM

Do đó,

.

.

Vì thế, ta có:
∠DCB = ∠DCM + ∠MCB = ∠CBM + ∠MCB
= 180° − ∠BMC = 180° − (∠BAM + ∠MBA)
= 180° − (∠BAM + ∠MAD ) (do(4))
= 180° − ∠BAD
Suy ra,

∠BAD + ∠DCB = 180o

. Do đó,

ABCD

là tứ giác nội tiếp.

m, p, r

Bài 6. a) (1,0 điểm) Cho
là các số nguyên tố thỏa mãn
2
2
p +r
m +r
hoặc
là số chính phương.
Vì

m, p

Vì thế,
- Nếu

là các số nguyên tố nên
mp = r − 1

m=2

thì

mp ≥ 4

. Do đó,

r ≥5

là một số chẵn. Suy ra, trong hai số

r = 2 p +1

. Mà
m, p

. Do đó:

p 2 + r = p 2 + 2 p + 1 = ( p + 1)

2

,

Là một số chính phương.
- Nếu

p=2

thì

r = 2m + 1

. Do đó

m 2 + r = m 2 + 2m + 1 = ( m + 1)

2

là một số chính phương

r

mp + 1 = r

. Chứng minh rằng

là nguyên tố nên r là số lẻ.

, có ít nhất một số bằng 2.


q

b) Tìm tất cả các số nguyên tố , sao cho tồn tại số nguyên dương
thừa với số mũ nguyên dương của 11.

n

để

n 2 + 22q

là một lũy

Giả sử q là số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu đề bài. Khi đó, sẽ tồn tại các số nguyên dương
n, k

Do

sao cho

n 2 + 22q = 11k

n 2 + 22q > 11

nên

. (1)

11k > 11

; suy ra

k≥2

(n
Do

22qM
11

nên từ (1) suy ra,

Từ (2) và (3) suy ra,
Ngược lại, với

22qM

112

q = 11

, ta có:

n2 M
11

2

. Vì thế, từ (1), ta có:

+ 22q ) M
112

. (2)

; mà 11 là số nguyên tố, nên

. Do đó,

qM
11

; mà

q

là số nguyên tố nên

332 + 22.11 = 112. ( 9 + 2 ) = 113

Vậy có duy nhất số q thỏa yêu cầu của đề bài là

n2 M
112

q = 11

. (3)
q = 11

.

.

.

Bài 7 (1,0 điểm). Có bốn căn phòng nằm liên tiếp nhau, thành một hàng ngang. Có một con
chuột trốn trong các căn phịng đó; mỗi ngày nó trốn trong một căn phịng. Có một chú mèo tìm
cách bắt con chuột này. Cứ mỗi tối, mèo ta vào một căn phòng, và nếu con chuột đang trốn ở căn
phịng ấy thì nó sẽ bị mèo bắt. Biết rằng, nếu chưa bị mèo bắt mỗi sáng, con chuột lại chạy sang
trốn ở căn phòng nằm ngay bên cạnh. Hỏi chú mèo có thể đảm bảo chắc chắn sẽ bắt được con
chuột sau tối đa bốn tối hay khơng? Vì sao?
Câu trả lời là "có". Lần lượt, từ trái qua phải, đánh số thứ tự các căn phòng bởi 1,2,3,4. Với mỗi
k = 1, 2,3, 4
k
k
, gọi căn phịng được đánh số là "phịng ". Trong phần trình bày dưới đây, thứ tự

của các ngày được tính từ ngày đầu tiên mèo vào dãy phòng để lùng bắt chuột. Xét lịch trình
lùng bắt chuột như sau của mèo:
- Tối ngày 1: Vào phòng 2 ;
- Tối ngày 2 : Vào phòng 3 ;
- Tối ngày 3: Vào phòng 3 ;
- Tối ngày 4: Vào phòng 2 .


Khi đó, nếu ngày 1, chuột trốn ở phịng 2 hoặc phịng 4, thì mèo sẽ bắt được chuột vào tối ngày
1, hoặc vào tối ngày 2 (bắt được vào tối ngày 1 nếu ngày 1 chuột trốn ở phòng , và bắt được vào
tối ngày 2 nếu ngày 1 chuột trốn ở phòng 4).
Nếu ngày 1, chuột trốn ở phịng 1 hoặc phịng 3, thì nó s thốt được mèo trong hai tối đầu tiên.
Tuy nhiên, do sang ngày 3, theo cách trốn của mình, chuột sẽ lại trốn ở phịng 1 hoặc phịng 3 ,
nên nó sẽ bị mèo bắt vào tối ngày 3 , hoặc vào tối ngày 4 (bị bắt vào tối ngày 3 , nếu ngày 3 nó
trốn ở phịng 3; và bị bắt vào tối ngày 4, nếu ngày 3 nó trốn ở phịng 1 ). Vậy, với lịch trình lùng
bắt nêu trên, mèo sẽ bắt được chuột, sau tối đa bốn tối. Do đó, câu trả lời cho câu hỏi của bài ra
là "có".
Lưu ý: Lịch trình lùng bắt trên đây khơng phải là lịch trình duy nhất để mèo đạt được mục tiêu
đặt ra ở đề bài.
x, y , z
Bài 8. (0,5 điểm). Cho
là các số thực lớn hơn 2021, thỏa mãn
minh rằng, ta có bất đẳng thức sau:

1 1 1
2
+ + =
x y z 2021

x + y + z ≥ x − 2021 + y − 2021 + z − 2021

Từ giả thuyết đề bài suy ra

Do đó

Suy ra
Do

. Chứng

.

2021 2021 2021
+
+
=2
x
y
z

x − 2021 y − 2021 z − 2021
+
+
= 3− 2 =1
x
y
z
 x − 2021 y − 2021 z − 2021 
x + y + z = ( x + y + z) 
+

+
÷
x
y
z



x, y, z > 2021

nên

x − 2021, y − 2021, z − 2021 > 0

Bunhiacôpxki cho hai bộ ba số thực dương

(

(*)

. Vì thế, bằng cách áp dụng bất đẳng thức

x, y, z

)

và

 x − 2021 y − 2021 z − 2021 
,

,

÷
÷
x
y
z


, từ (*) ta được:
x + y + z ≥ ( x − 2021 + y − 2021 + z − 2021) 2


Do đó,

x + y + z ≥ x − 2021 + y − 2021 + z − 2021

x= y=z=
(Đẳng thức xảy ra khi

6063
2

)

.