SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
VÀ VNG GĨC VỚI NHAU TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC
KHƠNG GIAN "
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong q trình ơn thi đại học, khi giải bài tốn hình học khơng gian tổng hợp, học
sinh thường lúng túng khi gặp giả thiết bài toán “cho trước hai đường thẳng chéo nhau
và vng góc với nhau”.
Đa số học sinh đều nhận xét dạng toán này khó, vì học sinh thường khơng liên kết
được hai đường thẳng chéo nhau đó trong một quan hệ vng góc để từ đó dễ dàng suy
luận ra các kết quả phục vụ cho việc giải toán. Đặc biệt, khi học về “Định lý ba đường
vng góc” học sinh chỉ biết áp dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc với
nhau mà khơng biết cách khai thác khác của nó là: tạo ra mối liên hệ gần gũi hơn giữa hai
đường thẳng chéo nhau và vng góc với nhau.
Trên đây là lí do cơ bản để tơi chọn đề tài: MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ
THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VNG GĨC VỚI NHAU
TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí luận
I.1. Góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian. Hai đường thẳng vng góc.
+ Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng
đi qua một điểm và lần lượt song song ( hoặc trùng) với a và b.
a’
a
I
b’
+ Hai đường thẳng trong
b khơng gian gọi là vng góc với nhau nếu góc giữa
chúng bằng 900.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
I.2. Điều kiện để một đường thẳng vng góc với một mặt phẳng
+ Nếu đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng cắt nhau b và c cùng nằm trong
mặt phẳng (P) thì đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P)
a
b
P
I
c
I.3. Định lý ba đường vng góc
+ Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b
nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vng góc với a
là b vng góc với hình chiếu a’ của a trên (P).
B
a
A
P
A’
b
B’
a’
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
II. Thực trạng của vấn đề
Khi bài toán giả thiết cho trước hai đường thẳng chéo nhau và vng góc với nhau.
Học sinh thường mất định hướng trong giải toán vì khơng liên kết được hai đường thẳng
chéo nhau đó trong một quan hệ vng góc để từ đó dễ dàng suy luận ra các kết quả phục
vụ cho việc giải toán.
III. Giải pháp và tổ chức thực hiện
III.1. Định hướng phương pháp
Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau và vng góc với nhau (1).
Để khai thác giả thiết này áp dụng vào giải tốn, chúng ta có hai hướng suy luận:
Hướng 1: Từ giả thiết (1) , lập luận để chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau và
vuông góc với nhau. Từ đó áp dụng các tính chất hình học phẳng để
giải tốn ( Định lý Pytagore,….)
Hướng 2: Từ giả thiết (1) suy ra một đường thẳng vuông góc với một mặt
phẳng. Từ đó áp dụng các tính chất của đường thẳng vng góc với
mặt phẳng để giải toán.
Để suy luận theo một trong hai hướng trên ta đưa ra ba cách thực hiện:
Cách 1:
+ Qua một điểm I trên b, kẻ a’ // a. Ta được hai đường thẳng a’ và b cắt và vng góc với
nhau.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
b
I
a’
a
Cách 2: Áp dụng Định lý 3 đường vng góc
+ Nếu đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P), mà ta dễ dàng xác định hình chiếu vng
góc của a lên (P) thì khi đó ta dựng hình chiếu a’ của a lên (P).
Ta có kết quả:
B
a
A
B’
a’
A’
b
P
Cách 3:
+ Nếu chỉ ra được đường thẳng c cắt b và
. Suy ra
.
a
b
P
I
c
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
III.2. Tiến trình thực hiện
+ Cung cấp cho học sinh một số kiến thức về hình học khơng gian và 3 cách khai thác giả
thiết về hai đường thẳng chéo nhau, vng góc với nhau.
+ Đưa ra các ví dụ về bài tốn hình học khơng gian tổng hợp có giả thiết hai đường thẳng
chéo nhau và vng góc với nhau, phân tích để học sinh tự lựa chọn cách khai thác giả
thiết đó dựa trên các cách đã gợi ý ở trên.
+ Yêu cầu học sinh nhận xét xem cịn có thể dùng cách khác để khai thác giả thiết đó
khơng, so sánh tính khả thi và hiệu quả của phương pháp.
III.3. Các ví dụ điển hình
Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S.ABC, tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm SA, SC. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết
.
S
K
M
N
A
C
O
B
Phân tích:
Khi tiếp cận với giả thiết
, chúng ta dùng cách 1
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Lời giải:
Gọi K là trung điểm SN, suy ra MK // AN ( tính chất đường trung bình)
Vì
vng tại M
(*)
Đặt SA = b ( b > 0). Theo công thức độ dài đường trung tuyến, ta có:
, tương tự:
.
Áp dụng ĐL Cosin, ta có:
.
Khi đó (*)
.
Gọi O là tâm tam giác ABC, suy ra
,
.
Suy ra:
(đvtt).
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a,
. Gọi M là trung điểm SD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng BM, AC, biết
.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
S
M
A
F
K
D
E
B
C
Phân tích:
Khi tiếp cận với giả thiết
, chúng ta dùng cách 2, vì có thể thấy ngay việc dựng
hình chiếu của BM lên (ABCD) là khá dễ dàng.
Lời giải:
Gọi K là trung điểm AD, suy ra MK // SA
Vì
(Theo ĐL 3 đường vng góc)
Khi đó, ta có
(vì cùng phụ với
)
đồng dạng với
Suy ra:
Gọi
Ta có
(đvtt)
. Kẻ
( vì
tại
.
).
Suy ra EF là đoạn vng góc chung của hai đường thẳng BM và AC
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
.
Ta có
.
Ta có
.
Vậy
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC, tam giác SAC cân tại C, có
và
. Biết
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính thể tích
khối tứ diện SBCK, biết K là điểm thuộc SA thỏa mãn CK vuông góc với SB.
S
K
A
C
H
B
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Phân tích:
Khi tiếp cận với giả thiết
, chúng ta dùng cách 2, vì
nên hình
chiếu của SA lên (ABC) là AC.
Lời giải:
Vì
có
, suy ra AC là hình chiếu vng góc của AS lên mặt phẳng (ABC). Lại
( Theo ĐL 3 đường vng góc).
Suy ra tam giác ABC vng tại C
Kẻ
Ta có
Suy ra
Vì
tại H, suy ra
.
.
.
(đvtt).
, suy ra SC là hình chiếu vng góc của SB lên mặt phẳng
(SAC).
Vì
( Theo ĐL 3 đường vng góc).
Khi đó ta có:
Ta có:
Ta có
(đvtt).
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh bằng
và (SBD) tạo với mặt đáy góc 60 0. Tính thể tích khối chóp
Biết
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC, SB theo
.
s
F
H
K
E
D
A
O
B
C
Phân tích:
Bài tốn này phức tạp hơn khi cho hai cặp đường thẳng chéo nhau và vng góc với nhau
là:
+Ta để ý đến
Suy ra
.
trước, vì có
(cách 3)
, khi đó ta nghĩ đến ngay việc dựng hình chiếu vng góc của S
lên (ABCD). Đây chính là cơ sở để ta dùng cách 2 để khai thác giả thiết
.
Lời giải:
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Vì ABCD là hình thoi nên
, mà
,
suy ra
Kẻ
tại H, suy ra
Vì
Gọi
( Theo ĐL 3 đường vng góc).
, ta có
, suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)
bằng góc
Từ giả thiết, suy ra tam giác ABC và ACD là các tam giác đều cạnh
Vì
.
.
Suy ra
Suy ra
(đvtt).
Tính
Dựng hình bình hành OHEB, suy ra OHEB là hình chữ nhật.
Ta có BE // AC, suy ra AC // (SBE)
.
Ta có
Kẻ
.
tại F, suy ra
.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a.
Gọi M là trung điểm B’C’. Biết AB’ vng góc với A’M và AB’ = AM. Cạnh bên AA’
hợp với đáy một góc bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a và tính
cosin góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’).
Phân tích:
Để ý
, từ giả thiết
Đây chính là cách 3.
A
C
N
B
A’
C’
B’
H
M
Lời giải:
Vì tam giác A’B’C’ đều nên
,
lại có
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Gọi H là trung điểm B’M, vì tam giác AB’M cân đỉnh A nên
Suy ra góc giữa AA’ và (A’B’C’) bằng góc
Ta có
.
.
Suy ra
.
Suy ra
(đvtt).
Tính tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’)
Vì (ABC) // (A’B’C’) nên số đo góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’) bằng số
đo góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) với (ABC).
Gọi N là trung điểm BC, ta có
.
Vì
Suy ra
.
Ta có tam giác ANH vng tại A, nên
.
Ví dụ 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình vng cạnh a,
.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BB’, AD. Biết BN vng góc với CM, AA’
hợp với (ABCD) góc 600. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
N
A
K
D
H
C
B
D’
A’
M
C’
B’
Phân tích:
Vì ABCD là hình vng, ta liên tưởng đến tính chất : Gọi K là trung điểm AB thì
, mà
, do đó bài này ta chọn cách 3
Lời giải:
Gọi K là trung điểm AB.
Ta dễ dàng chứng minh được
.
Vì
Kẻ
tại H, suy ra
.
Vì AA’ // BB’
Suy ra
.
.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Suy ra
(đvtt).
III.4. Một số bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Biết
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
CM.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
thuộc đoạn CD sao cho MC = 2MD. Biết
. Gọi M
. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ C đến (SAB).
Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vng tại B,
. Biết
, với M là trung điểm A’C’; mặt phẳng
(BCC’B’) tạo với đáy góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài 4: Cho hình chóp SABC có ABC là tam giác vuông cân tai B, AC = 2a. Tam giác
SAC vuông tại S,
đường thẳng SC thỏa mãn
;
. Gọi M là trung điểm BC, N là điểm thuộc
. Tính thể tích khối tứ diện SBMN.
IV. Kết quả thực nghiệm.
1) Trong khuôn khổ của một bài viết tôi chỉ đưa ra 6 ví dụ điển hình. Từ 6 ví dụ này
dưới sự hướng dẫn của cơ giáo, học sinh tìm tịi các lời giải của các bài toán. Sau khi giải
được mỗi bài tốn, tơi hướng dẫn học trị thay đổi cách tiếp cận bài toán, để đưa ra được
sự so sánh về tính khả thi và hiệu quả của phương pháp đó. Trong q trình tìm tịi học
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
sinh không những phấn chấn, tự giác tiếp nhận các kiến thức và kỹ năng giải các bài toán
dạng này mà cịn hình thành được cho các em cách nhìn nhận một Định lý, tính chất hình
học dưới nhiều góc độ khác nhau, biết cách phân tích một vấn đề dưới nhiều góc độ.
2) Trong 3 lớp 12C8, 12C9, 12C10 tơi dạy năm nay, tơi giao Ví dụ 1 và Ví dụ 2
về nhà cho 3 lớp 12C8, 12C9 và 12C10 khi chưa nếu phương pháp khai thác giải thiết hai
đường thẳng chéo nhau và vng góc với nhau. Kết quả số học sinh giải được như sau:
Lớp
12C8
12C9
12C10
Sĩ số
51
51
45
Số học sinh giải Tỉ lệ % học sinh
được
giải được
12(VD1)
23,5%(VD1)
7(VD2)
13,7%(VD2)
16(VD1)
31,4%(VD1)
10(VD2)
19,6%(VD2)
7(VD1)
15,6%(VD1)
5(VD2)
11,1%(VD2)
Sau khi hướng dẫn phương pháp, phân tích hai ví dụ: Ví dụ 1 và Ví dụ 2 ở 3 lớp
và yêu cầu học sinh làm các ví dụ cịn lại trên cơ sở gợi mở, phân tích. Hầu hết các học
sinh ở 3 lớp đều hiểu, nắm được phương pháp và giải được các ví dụ 3,4,5,6. Khi giao
bài 4 bài tập trên về nhà . Kết quả số học sinh giải được cả 4 bài tập như sau:
Lớp
12C8
Sĩ số
51
Số học sinh giải Tỉ lệ % học sinh
được
giải được
38
74,5%
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
12C9
51
42
82,4%
12C10
45
30
58,8%
C. KẾT LUẬN
Quá trình dạy học là một quá trình tìm tịi suy nghĩ để khơng ngừng đúc rút kinh
nghiệm nâng cao hiệu quả giờ dạy. Kinh nghiệm trình bày ở trên của tôi chỉ là một ứng
dụng nhỏ rèn luyện kỹ năng giải tốn hình học khơng gian. Nhưng dù sao qua quá trình
nêu trên cũng đã hình thành cho học sinh phương pháp luận; rèn luyện cho học sinh cách
nhìn nhận và vận dụng lý thuyết vào giải tốn, tạo cho học sinh hứng thú tìm tịi, hứng
thú học toán.
Trên đây chỉ là những kinh nghiệm được rút ra từ q trình giảng dạy của bản thân,
tơi rất mong được đồng nghiệp bổ sung, góp ý để có thể áp dụng rộng rãi và hiệu quả hơn
trong dạy học.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add