(SKKN HAY NHẤT) một số phương pháp sử dụng bất đẳng thức côsi trong bài toán cực trị

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI
TRONG BÀI TỐN CỰC TRỊ"

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


I. Mục đích đề tài:
- Đưa ra các giải pháp mới để giúp học sinh có một số phương pháp sử dụng bất đẳng
thức Cơsi trong các bài tốn cực trị trong chương trình Tốn lớp 10, trong kỳ thi
Tuyển sinh Đại học và trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Nhằm giúp học sinh tiếp cận
một số phương pháp mà các tài liệu chưa viết hồn chỉnh, thơng qua đó nhằm rèn
luyện kỹ năng tư duy và sử dụng kiến thức linh hoạt, tạo hứng thú tìm tịi, khám phá
cho học sinh và sáng tạo ra bất đẳng thức.
- Đề tài tập hợp các phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi để giáo viên làm tài liệu
dạy luyện thi Đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
II. Mô tả giải pháp:
1. Bản chất giải pháp.
1.1. Thực trạng :
- Trong trong chương trình Tốn phổ thơng thời gian học bất đẳng thức Cơsi rất ít
(chương trình chuẩn học 2 tiết, chương trình nâng cao học 3 tiết), nên khả năng áp
dụng của học sinh rất yếu. Mặt khác các bài toán cực trị lại thường gặp trong các kỳ thi
Tuyển sinh Đại học và thi học sinh giỏi cấp tỉnh là các bài tốn khó, nên đại đa số học
sinh đều khơng làm được.
- Nhiều bài tốn nếu không biết sử dụng “một số phương pháp bất đẳng thức Cơsi” thì
rất khó giải quyết.
1.2. Ưu điểm của giải pháp.
Trang bị cho học sinh một số phương pháp để giải thành thạo các bài toán dạng này:
- Tạo hứng thú trong học tập, biết sử dụng kiến thức linh hoạt và định hướng được

cách giải quyết bài toán.
- Phát triển khả năng tư duy, hình thành kỷ năng, kỷ xảo trong học tập Tốn cũng như
các mơn khoa học khác.
2. Nội dung giải pháp: Gồm 8 giải pháp.
2.1. Sử dụng điều kiện đẳng thức xảy ra
2.2. Phương pháp cân bằng hệ số.
2.3. Thêm, ghép tách một biểu thức.
2.4. Biến đổi đồng bậc.
2.5. Kỷ thuật Côsi ngược chiều.
2.6. Đổi biến.
2.7. Đưa về bất đẳng thức một biến.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


2.8. Bất đẳng thức đồng bậc cộng mẫu.
Để minh họa các giải pháp ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1. Cho a, b,c 0, biết: a + b + c = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a3 + b3 + c3,
Giải:
Phân tích: Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =
ta phải dùng Cơ si ba số a3,
Cách giải: Ta có:a3 +

,

+

. Mặt khác ta cần đánh giá a3 qua a nên

. Lập luận tương tự cho b3, c3.
, b3 +

+

, c3 +

+

.

Suy ra, minP = , khi a = b = c = .
Ví dụ 2. Cho a, b,c 0 thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 10.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + b3 + c3.
Giải:
Vì vai trịb, c như nhau nên ta có đánh giá sau:
Ta có a2 + k2 2ka, b3 + m3 + m3 3m2b, c3 + m3 + m3 3m2c, (với k, m > 0).
Ta cần chọn k, m sao cho hệ số của a, b, c bằng nhau và để áp dụng được giả thiết:
a + b + c = 10 là 2k = 3m2
Mặt khác đẳng thức xảy ra: b = c = m, a = k, a + b + c = 10. Suy ra: k = 6, m = 2.
Từ đó ta có minP = 52, khi a = 6, b = c = 2.
Ví dụ 3. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất: P =
Giải:
Phân tích: Ta cần đánh giá

qua a nên biểu thức thêm vào để khử mẫu có dạng:

m( a + 2b) và m( a + 2b). Mặt khác, đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 và để
= m(a + 2b). Suy ra m =

. Lập luận tương tự cho

,

.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Cách giải: Ta có:
+

,

+

,

. Suy ra: minP = , khi a = b = c = 1.

3. Khả năng áp dụng của giải pháp.
- Khả năng áp dụng dễ và áp dụng được cho mọi cho giáo viên.
- Giáo viên dùng làm tài liệu để dạy luyện thi Đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Giáo viên và học sinh khá giỏi có thể sáng tạo được bất đẳng thức.
4. Hiệu quả kinh tế, giáo dục.
- Học sinh dễ hiểu bài, tạo cho học sinh hứng thú, say mê trong học tập.
- Học sinh vận dụng nhanh, ít tốn thời gian, đem lại hiệu quả làm bài được các bài toán
cực trị trong các đề thi.
- Trong năm học 2009-2010, tác giả đã dùng tài liệu này để dạy bồi dưỡng cho đội học

sinh giỏi của trường tham gia dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh, kết quả như sau:
Năm học

2008-2009

2009-2010

Số lượng đạt giải cấp tỉnh

2

9

LUAN VAN CHAT LUONG download : add