Một số phương pháp sử dụng bất đẳng thức côsi trong bài toán cực trị

Sở giáo dục và đào tạo Bình định
Tr-ờng THPT An nhơn I
Th.s Tô Văn Chánh
Sáng kiến kinh nghiệm
một số ph-ơng pháp
sử dụng bất đẳng thức Côsi
trong bài toán cực trị
An nhơn - 2010
1
Mục Lục
0.1. Mở đầu 2
0.2. Nội dung 3
0.2.1. Sử dụng điều kiện đẳng thức xảy ra 3
0.2.2
. Ph-ơng pháp cân bằng hệ số 6
0.2.3. Thêm, ghép, tách một biểu thức 13
0.2.4. Biến đổi đồng bậc 17
0.2.5
. Kỷ thuật Côsi ng-ợc chiều 20
0.2.6. Đổi biến 22
0.2.7. Đ-a về bất đẳng thức một biến 26
0.2.8
. Bất đẳng thức đồng bậc cộng mẫu số 29
0.3. Kết luận 32
Tài liệu tham khảo 33
2
0.1. Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Có nhiều cách giải một bài toán cực trị. Trong ch-ơng trình THPT học sinh chỉ
học bất đẳng thức Côsi. Vì vậy trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, thi học sinh
giỏi cấp tỉnh những bài toán cực trị thông th-ờng chỉ áp dụng bất đẳng thức Côsi.

Mặt khác bài toán cực trị là một bài toán khó đối với học sinh nên học sinh ngại
học bất đẳng thức. Vấn đề đặt ra là làm cho học sinh hiểu và vận dụng thành
thạo bất đẳng thức Côsi. Do đó tôi chọn đề tài một số ph-ơng pháp sử dụng bất
đẳng thức Côsi trong các bài toán cực trị để giúp cho học sinh giải quyết thành
thạo vấn đề trên trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, thi học sinh giỏi cấp tỉnh.
Đây cũng là tài liệu để giáo viên dạy cho học sinh lớp 10, dạy luyện thi đại học
và bồi d-ỡng học sinh giỏi và cũng là một tài liệu tham khảo cho giáo viên.
2. Mục đích, phạm vi và ph-ơng pháp nghiên cứu
Thông qua giảng dạy học sinh lớp 10, dạy luyện thi đại học và bồi d-ỡng học
sinh giỏi, qua s-u tầm nghiên cứu các đề thi tuyển sinh Đại học, đề thi học sinh
giỏi, giáo viên dạy giỏi cấp tỉnh. Qua đó tôi tổng kết đ-ợc một số ph-ơng pháp
sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các bài toán cực trị.
Mục đích của đề tài làm sao đ-a ra các ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi
trong các bài toán cực trị giảng dạy cho học sinh có hiệu quả nhất
Trong khuôn khổ của đề tài, dù biết rằng không thể đề cập hết các ph-ơng pháp
sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các bài toán cực trị, nh-ng tôi vẫn hy vọng
đây là một tài liệu giảng dạy bổ ích cho học sinh và cũng là tài liệu bổ ích cho
thầy cô giáo. Mặc dù đã cố gắng hết sức, nh-ng khả năng và thời gian có hạn,
chắc chắn đề tài có nhiều thiếu sót. Rất mong các bạn đồng nghiệp trong tổ góp
ý kiến để đề tài đ-ợc hoàn thiện hơn và đ-ợc áp dụng rộng rãi cho giáo viên và
học sinh của tr-ờng.
3
0.2. Nội dung
0.2.1. Sử dụng điều kiện đẳng thức xảy ra
Bài toán
0.1. Cho các số không âm a, b, c.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = a
3
+ b

3
+ c
3
, biết rằng
a.
a + b + c =3
b. a + b + c =1
Chứng minh.
a. Ta có:
a
3
+1+1 3a
b
3
+1+1 3b
c
3
+1+1 3c
Suy ra min P =3, khi và chỉ khi a = b = c =1.
b. Ta có:
a
3
+
1
27
+
1
27

1

3
a
b
3
+
1
27
+
1
27

1
3
b
c
3
+
1
27
+
1
27

1
3
c
Suy ra min P =
1
9
, khi và chỉ khi a = b = c =

1
3
.
Nhận xét: Chắc hẳn, đối với học sinh khi đọc qua cách giải trên sẽ thắc mắc
rằng: tại sao câu a thì ta thêm vào số
1 để đánh giá, còn câu b thì ta thêm
vào số
1
27
để đánh giá; đó là do trong câu a, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a = b = c =1a = b = c =
1
3
; còn lý do vì sao ta thêm vào hai số nh- vậy là để
Côsi ba số thì
a
3
tính đ-ợc qua a.
Để minh họa cách giải trên ta xét tiếp bài toán sau:
Bài toán
0.2. Cho các số không âm a, b, c.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a
3
+ b
3
+ c
3
, biết rằng
a.
a

2
+ b
2
+ c
2
=3
b. a
2
+ b
2
+ c
2
=1
4
Chứng minh.
a. Ta có:
a
3
+ a
3
+1 3a
2
b
3
+ b
3
+1 3b
2
c
3

+ c
3
+1 3c
2
Suy ra min P =3, khi và chỉ khi a = b = c =1.
b. Ta có:
a
3
+ a
3
+
1
3

3
a
2
b
3
+ b
3
+
1
3

3
b
2
c
3

+ c
3
+
1
3

3
c
2
Suy ra min P =
1

3
, khi và chỉ khi a = b = c =
1
3

3
.
Nhận xét: Lý do thêm số 1 và số
1
3

3
là để đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a = b = c, còn ở bài toán này ta chỉ thêm một số 1 và hai số a
3
là để Côsi ba
số thì ta tính đ-ợc
a

3
theo a
2
. Ngoài ra, ta còn tách một số hạng thành nhiều số
hạng để đảm bảo đẳng thức xảy ra. Ta xét bài toán sau:
Bài toán
0.3. (Thi học sinh giỏi tỉnh, khối 11, năm học 2003-2004)
Cho ba số không âm
x, y, z thõa mãn điều kiện: x
2005
+ y
2005
+ z
2005
=3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = x
2
+ y
2
+ z
2
Chứng minh.
Phân tích
- Dự đoán đẳng thức xảy ra:
x = y = z =1
- Cần đánh giá x
2005
qua x
2

. Do đó biểu thức thêm vào để đánh giá qua x
2
và để
đẳng thức xảy ra:
2x
2005
,và2003 số 1.
2x
2005
+ 2003.1 2005x
2
.
2y
2005
+ 2003.1 2005y
2
.
2z
2005
+ 2003.1 2005z
2
.
5
Cộng ba bất đẳng thức này ta đ-ợc: P 3.
Suy ra
max P =3, đẳng thức xảy ra x = y = z =1.
Tổng quát ta có bài toán sau
Bài toán
0.4. Cho ba số không âm x, y, z thõa mãn điều kiện: x
n

+y
n
+z
n
=3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = x
k
+ y
k
+ z
k
, với 0 <k<n.
Bài toán 0.5. Cho ba số không âm x, y, z thõa mãn điều kiện: x
n
+y
n
+z
n
=3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = x
m
+ y
m
+ z
m
, với m>n.
Bài toán 0.6. Cho ba số không âm x, y, z thõa mãn điều kiện: x+2y +3z 14.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P =6x +8y +9z +
4
x
+
16
y
+
27
z
.
Chứng minh.
Ta có:
P =2(x +2y +3z)+(4x +
4
x
)+4y +(
16
y
)+(3z +
27
z
28 + 8 + 16 + 18 = 70
Suy ra
min P =70 x =1,y =2,z =3.
Nhận xét: Do đẳng thức xảy ra x =1,y =2,z =3nên ta ghép 4x với
4
x
,để
đẳng thức xảy ra khi hai số này bằng nhau và bằng
4.

T-ơng tự cho các số
4y và
16
y
.
3z và
27
z
.
Qua các bài toán mở đầu trên, ta thấy để chứng minh một bất đẳng thức bằng
bất đẳng thức Côsi ta phải:
Dự đoán đẳng thức xảy ra khi nào
Thêm vào một biểu thức thích hợp
Tách một số hạng thành nhiều số hạng.
Ta xét thêm bài toán một: Cho các số không âm
a, b, c: a + b + c =3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = a
3
+ b
3
+ c
3
.
6
ở đây hệ số của a, b, c bằng nhau; còn nếu bài toán yêu cầu:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = ka
3
+ lb

3
+ mc
3
thì bài toán trở nên phức tạp hơn vì các hệ số của a, b, c khác nhau. Trong tr-ờng
hợp này ta phải cân bằng các hệ số. Bây giờ ta xét các bài toán dạng này
0.2.2. Ph-ơng pháp cân bằng hệ số
Bài toán
0.7. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
P = x
3
+64y
3
+ z
3
.
Chứng minh.
Gọi
k, l > 0 và do hệ số x, z nh- nhau, nên ta phân tích
x
3
+64y
3
+ z
3
=(x
3
+ k
3
+ k

3
) + (64y
3
+ l
3
+ l
3
)+(z
3
+ k
3
+ k
3
) 4k
3
2l
3
3k
2
x +12l
2
y +3k
2
z 4k
3
2l
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = z = k,4y = l, x + y + z =1,k
2

=4l
2
. Suy ra: 2k +
l
4l
=1,k =2l.
Từ đó ta có k =
8
17
,l =
4
17
Suy ra min P =
5120
4913
x = z =
8
17
,y =
4
17

Bài toán 0.8. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x
3
+ y
3
+ z
3
=10.
Tìm giá trị lớn nhất của

P = x +4y + z.
Chứng minh.
Gọi
k, l > 0 và do hệ số x, z nh- nhau, nên ta phân tích
x
3
+ y
3
+ z
3
=(x
3
+ k
3
+ k
3
)+(y
3
+ l
3
+ l
3
)+(z
3
+ k
3
+ k
3
) 4k
3

2l
3
3k
2
x +3l
2
y +3k
2
z 4k
3
2l
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = z = k,y = l, x
3
+ y
3
+ z
3
=10, 4k
2
= l
2
. Suy ra: k =1,l=2.
Suy ra
max P =10 x = z =1,y =2
Bài toán 0.9. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x
2
+ y
2

+ z
2
= 129.
Tìm giá trị lớn nhất của
P = x
3
+8y
3
+ z
3
.
7
Chứng minh.
Do vai trò
x, z nh- nhau, nên ta phân tích
2(x
3
+8y
3
+ z
3
)=x
3
+ x
3
+ k
3
+(2y)
3
+(2y)

3
+ l
3
+ z
3
+ z
3
+ k
3
2k
3
l
3
3kx
2
+3.4.ly
2
+3kz
2
2k
3
l
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = z = k,2y = l, x
2
+ y
2
+ z
2

= 129,k =4l.
Suy ra:
k =8,l =2.
Suy ra
max P = 1088 x = z =8,y =1.
Bài toán 0.10. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho ab + bc + ca =1. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
P =10a
2
+10b
2
+ c
2
Chứng minh.
Ta tách
10 = x + (10 x), x>0:
(10 x)a
2
+
c
2
2


2(10 x)ac
(10 x)b
2
+
c
2

2


2(10 x)bc
xa
2
+ xb
2
) 2xab
Cộng ba bất đẳng thức: 10(a
2
+ b
2
)+c
2


2(10 x)(ac + bc)+2xab
Ta chọn x, sao cho 2x =

2(10 x). Suy ra x =2
Từ đó ta có cách giải sau:
8a
2
+
c
2
2
4ac
8b

2
+
c
2
2
4bc
2a
2
+2b
2
) 4ab
Cộng ba bất đẳng thức: 10(a
2
+ b
2
)+c
2
4(ab + bc + ca)=4
Suy ra P =10a
2
+10b
2
+ c
2
4
Do đó: min P =4khi a = b =
1
3
,c =
4

3

Tổng quát ta có bài toán sau
Bài toán
0.11. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho ab + bc + ca =1. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
P = xa
2
+ xb
2
+ c
2
,x> 0
8
Chứng minh.
Ta tách
x = y +(x y), y>0:
(x y)a
2
+
c
2
2


2(x y)ac
(x y)b
2
+
c

2
2


2(x y)bc
ya
2
+ yb
2
) 2yab
Cộng ba bất đẳng thức: x(a
2
+ b
2
)+c
2


2(x y)(ac + bc)+2yab
Ta chọn y, sao cho 2y =

2(x y). Suy ra 2y
2
+ y = x, y =
1+

1+8x
4
Suy ra P = xa
2

+ xb
2
+ c
2

1+

1+8x
2
Do đó: min P =
1+

1+8x
2

Bài toán 0.12. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =3.
Tìm giá trị lớn nhất của
P =

xy +2

yz +

zx.
Chứng minh.
Do vai trò
y, z nh- nhau, nên ta phân tích

xy +2

yz +

zx =

kx
1
k
y +2

yz +

1
l
zlx
(
kx +
1
k
y
2
)+(y + z)+
lz +
1
l
x
2
)
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
kx =

1
k
y, y = z,
1
l
z = lz, x + y + z =3.
Suy ra k =

3 1,l =

3+1
2
Vậy max P =
3(

3+1)
2

Bài toán 0.13. Cho các số d-ơng x, y, z thõa mãn x
2
+ y
2
+ z
2
=1.
Tìm giá trị lớn nhất của
P =6xy +6yz + zx
Chứng minh.
Ta có hệ số của
x, z bằng nhau nên

6xy =6ax
1
a
y
36a
2
x
2
+
1
a
2
y
2
2
6yz =6az
1
a
y
36a
2
z
2
+
1
a
2
y
2
2

zx
z
2
+ x
2
2
9
Chọn a, sao cho 1+36a
2
=
2
a
2
. Suy ra a =

2
3
.
Cộng ba bất đẳng thức: max P =
9
2
x = z =
3

22
,y =
4

22

Tổng quát ta có bài toán sau:
Bài toán
0.14. Cho các số d-ơng x, y, z thõa mãn x
2
+ y
2
+ z
2
=1.
Tìm giá trị lớn nhất của
P = kxy + kyz + zx
Chứng minh.
Ta có hệ số của
x, z bằng nhau nên
kxy = kax
1
a
y
k
2
a
2
x
2
+
1
a
2
y
2

2
kyz =6az
1
a
y
k
2
a
2
z
2
+
1
a
2
y
2
2
zx
z
2
+ x
2
2
Chọn a, sao cho 1+k
2
a
2
=
2

a
2
. Suy ra a =
1+

1+8k
2
2k
2
.
Cộng ba bất đẳng thức:
max P =
k
2
a
2
+1
2
.
Bài toán 0.15. Cho ba số d-ơng a, b, c, d sao cho ab + bc + cd + da =1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =5a
2
+4b
2
+5c
2
+ d
2
Chứng minh.

Ta tách
5=x +(5 x), x>0:
xa
2
+2b
2
2

2xab
2b
2
+ xc
2
2

2xbc
(5 x) c
2
+
d
2
2


2(5 x)cd
(5 x) a
2
+
d
2

2


2(5 x)da
Cộng bốn bất đẳng thức: 5a
2
+4b
2
+5c
2
+d
2
2

2x(ab + cd)+

2(5 x)( cd +da)
Ta chọn x, sao cho 2

2x =

2(5 x). Suy ra x =1
Suy ra:
min P =5a
2
+4b
2
+5c
2
+ d

2
=2

2 a
2
= c
2
=
1
5

2
,b
2
=
1
10

2
,d
2
=
4

2
5
.
Bài toán 0.16. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
P = x

2
+ y
2
+ z
3
.
10
Chứng minh.
Gọi
a, b > 0, ta có
x
2
+ a
2
2ax
y
2
+ a
2
2ay
z
3
+ b
3
+ b
3
3b
2
z
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = a, z = b, 2a =3b

2
,x+ y + z =3. Suy ra
a =
19

37
12
,b =
1+

37
6
. Cộng ba bất đẳng thức: min P =2a
2
+ b
3

Bài toán 0.17. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
P = x + y
2
+ z
3
.
Chứng minh.
Gọi
a, b > 0, ta có
y
2
+ a

2
2ay
z
3
+ b
3
+ b
3
3b
2
z
Suy ra x + y
2
+ z
3
x +2ay +3b
2
z a
2
2b
3
Ta cần chọn a, b sao cho 2a =3b
2
=1. Suy ra a =
1
2
,b =
1

3

.
min P =
3

3
2
+
1
12
, x =
3

3 1
2

3
,y =
1
2
,z =
1

3
Bài toán 0.18. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =1.
Tìm giá trị lớn nhất của
P =

xy +
3

14xyz.
Chứng minh.
Hệ số
x, y bằng nhau, nên ta phân tích

xy
x + y
2
3

14xyz =
3

kx.ky.
14
k
2
z
kx + ky +
14
k
2
z
3
suy ra: P
x + y
2
+
kx + ky +
14

k
2
z
3
.
Ta chọn
k sao cho
1
2
+
k
3
=
14
3k
2
. suy ra k =2
Khi đó max P =
7
6
, x = y =
7
18
,z =
2
9
.
Bài toán
0.19. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho xy + yz + zx =1.
11

Tìm giá trị nhỏ nhất của P =5x
2
+16y
2
+27z
2
.
Chứng minh.
Ta có
3x
2
+12y
2
12xy
4y
2
+9z
2
12yz
18z
2
+2y
2
12zx
Cộng ba bất đẳng thức: min P =12 x =1,y =
1
2
,z =
1
3

Bài toán 0.20. Đề thi học sinh giỏi năm học 2009-2010-Khối 11
Cho tứ diện gần đều
AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. Gọi ,, là
góc tạo bởi
(DAB), ( DBC ), (DCA) vói (ABC).
Tìm giá trị lớn nhất của
P = cos +

cos cos +
3

cos cos cos .
Chứng minh.
Ta chứng minh đ-ợc
cos + cos + cos =1
Đặt x = cos , y = cos , z = cos . Bài toán đã cho t-ơng với bài toán sau
Cho các số d-ơng
x, y, z sao cho x + y + z =1.
Tìm giá trị lớn nhất của
P = x +

xy +
3

xyz.
P = x +

1
k

xky +
3

1
lm
xlymz x +
1
k
x + ky
2
+
1
lm
x + ly + mz
3
.
Ta cần chọn
k,l,m thõa mãn điều kiện:
1
k
x = ky,
1
lm
x = ly = mz và 1+
1
2k
+
l
3lm
=

k
2
+
l
3
=
m
3
Từ đó k =2,l =1,m=4.
Ta có cách giải sau:
P = x +

1
2
x2y +
3

1
4
xy4z x +
1
2
x +2y
2
+
1
4
x + y +4z
3
=

4(x + y + z)
3
=
4
3
.
Vậy
max P =
4
3
. x = cos =
16
21
,y = cos =
4
21
,z = cos =
1
21

Bài tập
Bài toán 0.21. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =3.
Tìm giá trị lớn nhất của
P =2xy +3yz +4zx.
Bài toán
0.22. Cho bốn số d-ơng a, b, c, d sao cho a + b + c + d =4. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
P = a
3
+8b

3
+8c
3
+ d
3
12
Bài toán 0.23. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x
2
+ y
2
+ z
2
=1.
Tìm giá trị lớn nhất của
P = x(y + z).
Bài toán 0.24. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x
2
+ y
2
+ z
2
=1.
Tìm giá trị lớn nhất của
P = xy +16yz + zx.
Bài toán 0.25. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x
2
+ y
2
+ z
2

=3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
P = x
2
+ y
4
+ z
6
.
Bài toán 0.26. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x
2
+ y
2
+ z
2
=1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
P = x
3
+8y
3
+8z
3
.
Bài toán 0.27. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =1.
Tìm giá trị lớn nhất của
P = x
2
+4y
2

+ z
2
.
Bài toán 0.28. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
P = x
3
+4y
3
+ z
3
.
Bài toán 0.29. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x
2
+ y
2
+ z
2
=3.
Tìm giá trị lớn nhất của
P = xy +4yz +4zx.
Bài toán 0.30. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =1.
Tìm giá trị lớn nhất của
P =

xy +

yz +
3

xyz.
Bài toán 0.31. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =1.
Tìm giá trị lớn nhất của
P =

x +

y +

xy +
3

xyz.
Bài toán 0.32. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =1.
Tìm giá trị lớn nhất của
P =

x +

xy +
3

xyz.
Bài toán 0.33. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x
2
+ y
2
+ z
2
=1.

Tìm giá trị lớn nhất của
P = x + yz.
Bài toán 0.34. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x
2
+ y
2
+ z
2
=1.
Tìm giá trị lớn nhất của
P =2x +3y
2
+4yz.
Trong nhiều bài toán cực trị ta gặp những bài toán dạng phân thức. Trong tr-ờng
hợp này ta cần thêm vào biểu thức thích hợp để khử mẫu thức. Bây giờ ta xét
các bài toán dạng này
13
0.2.3. Thêm, ghép, tách một biểu thức
Bài toán
0.35. (Thi học sinh giỏi tỉnh, khối 11, năm học 2002-2003)
Cho ba số d-ơng
x, y, z thõa mãn điều kiện: xy

xy + yz

yz + zx

zx.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =

x
6
x
3
+ y
3
+
y
6
y
3
+ z
3
+
z
6
z
3
+ x
3
Chứng minh.
Phân tích
- Dự đoán đẳng thức xảy ra:
x
3
= y
3
= z
3
=

1
3
- Biểu thức thêm vào để khử mẫu của biểu thức
x
6
x
3
+ y
3
có dạng k( x
3
+ y
3
) và
khi đẳng thức xảy ra thì biểu thức
x
6
x
3
+ y
3
=
x
3
2
, do đó biểu thức thêm vào là:
k(x
3
+ y
3

)=
x
3
+ y
3
4
. T-ơng tự cho các biểu thức còn lại.
Từ đó ta có cách giải sau
Ta có
x
6
x
3
+ y
3
+
x
3
+ y
3
4
x
3
y
6
y
3
+ z
3
+

y
3
+ z
3
4
y
3
z
6
z
3
+ x
3
+
z
3
+ x
3
4
z
3
Cộng ba bất đẳng thức này ta đ-ợc:
x
6
x
3
+ y
3
+
y

6
y
3
+ z
3
+
z
6
z
3
+ x
3

1
2
(x
3
+ y
3
+ z
3
)

1
2
(xy

xy + yz

yz + zx

zx)=
1
2
.
Suy ra min P =
1
2
, đẳng thức xảy ra x = y = z =
1
3

3

Bài toán 0.36. Cho a, b, c > 0, sao cho a + b + c =3. Chứng minh
a
3
(a + b)(a + c)
+
b
3
(b + c)(b + a)
+
c
3
(c + a)(c + b)

3
4
Chứng minh.

Phân tích
- Dự đoán đẳng thức xảy ra:
a = b = c
- Biểu thức thêm vào để khử mẫu của biểu thức
a
3
(a + b)(a + c)
có dạng k (a +
14
b),l(a + c) và ta cũng đánh giá
a
3
(a + b)(a + c)
qua a. Khi đẳng thức xảy ra thì
a
3
(a + b)(a + c)
=
a
2
4
nên biểu thức thêm vào để khử mẫu là
a + b
8
,
a + c
8
. T-ơng
tự cho các biểu thức còn lại. Từ đó ta có cách giải sau
a

3
(a + b)(a + c)
+
a + b
8
+
a + c
8

3a
4
b
3
(b + c)(b + a)
+
b + c
8
+
b + a
8

3b
4
c
3
(c + a)(c + b)
+
c + a
8
+

c + b
8

3c
4
Cộng ba bất đẳng thức trên ta đ-ợc điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra
a = b = c.
Bài toán 0.37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a
5
b
2
+
b
5
c
2
+
c
5
a
2
a
3
+ b
3
+ c
3
Chứng minh.

Phân tích
- Dự đoán đẳng thức xảy ra:
a = b = c
- Biểu thức thêm vào để khử mẫu của số hạng:
a
5
b
2
là xb
2
, mà khi a = b thì
a
5
b
2
= a
3
. Do đó biểu thức thêm vào xb
2
= ab
2
. T-ơng tự cho các biểu thức còn
lại. Từ đó ta có cách giải sau
Ta có
a
5
b
2
+ ab
2

2a
3
b
5
c
2
+ ab
2
2b
3
c
5
a
2
+ ab
2
2c
3
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có:
a
5
b
2
+
b
5
c
2
+
c

5
a
2
a
3
+ b
3
+ c
3

Bài toán 0.38. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a
5
b
3
+
b
5
c
3
+
c
5
a
3

a
3
b
+

b
3
c
+
c
3
a
15
Chứng minh.
Phân tích
- Dự đoán đẳng thức xảy ra:
a = b = c
- Ta cần đánh giá
a
5
b
3
qua
a
3
b
nên biểu thức thêm vào là ab
Ta có
a
5
b
3
+ ab 2
a
3

b
b
5
c
3
+ bc 2
b
3
c
c
5
ab
+ ca 2
c
3
a
và
a
3
b
+ ab 2a
2
b
3
c
+ bc 2b
2
c
3
a

+ ca 2c
2
Từ các bất đẳng thức trên ta có:
a
5
b
3
+
b
5
c
3
+
c
5
a
3

a
3
b
+
b
3
c
+
c
3
a
, đẳng thức xảy ra

a = b = c.
Lập luận t-ơng tự nh- trên. Ta giải đ-ợc các bài toán sau
Bài toán
0.39. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a
5
bc
+
b
5
ca
+
c
5
ab
a
3
+ b
3
+ c
3
Chứng minh.
Ta có
a
5
bc
+ abc 2a
3
b
5

ca
+ abc 2b
3
c
5
ab
+ abc 2c
3
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có:
a
5
bc
+
b
5
ca
+
c
5
ab
a
3
+ b
3
+ c
3
, đẳng thức xảy ra
a = b = c.
Bài toán 0.40. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a

3
a +2b
+
b
3
b +2c
+
c
3
c +2a

a
2
+ b
2
+ c
2
3
16
Chứng minh.
Ta có
9a
3
a +2b
+ a(a +2b) 6a
2
9b
3
b +2c
+ b(b +2c) 6b

2
c
3
c +2a
+ c(c +2a) 6c
2
và 2(a
2
+ b
2
+ c
2
2(ab + bc + ca)
Từ các bất đẳng thức trên ta có:
a
3
a +2b
+
b
3
b +2c
+
c
3
c +2a

a
2
+ b
2

+ c
2
3
, đẳng
thức xảy ra
a = b = c.
Bài toán 0.41. (Tuyển sinh Đại học-Khối A-năm 2002. Cho x, y, z là ba số
d-ơng và
x + y + z 1.
Chứng minh

x
2
+
1
x
2
+

x
2
+
1
x
2
+

x
2
+

1
x
2


82.
Chứng minh.
Chọn
a =(x,
1
x
),

b =(y,
1
y
),c =(z,
1
z
). Suy ra

x
2
+
1
x
2
+

y

2
+
1
y
2
+

z
2
+
1
z
2
= |a | + |

b| + |c ||a +

b + c | =

(x + y + z)
2
+(
1
x
+
1
y
+
1
z

)
2


9
3

x
2
y
2
z
2
+
9
3

x
2
y
2
z
2
Đặt t =9
3

x
2
y
2

z
2
1,vìx + y + z 1.

9
3

x
2
y
2
z
2
+
9
3

x
2
y
2
z
2
=

t +
81
t
=

t +
1
t
+
80
t


82.
Suy ra:

x
2
+
1
x
2
+

x
2
+
1
x
2
+

x
2
+

1
x
2


82
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
1
3

Nhận xét: ở đây ta tách
81
t
thành hai số hạng:
1
t
+
80
t
là để Côsi hai số t và
1
t
đẳng thức đ-ợc xảy ra khi và chỉ khi t =1
Bài tập
Bài toán 0.42. Cho a, b, c > 0.
Chứng minh
a
3
(b + c)
2

+
b
3
(c + a)
2
+
c
3
(a + b)
2

1
4
(a + b + c)
17
Bài toán 0.43. Cho a, b, c > 0.
Chứng minh
a
3
b(c + a)
+
b
3
c(a + b)
+
c
3
a(b + c)

1

2
(a + b + c)
Bài toán 0.44. Cho a, b, c > 0:a + b + c =3abc. Chứng minh
bc
a
3
(c +2b)
+
ca
b
3
(c +2a)
+
ab
c
3
(a +2b)
1
Bài toán 0.45. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a
2
bc
+
b
2
ca
+
c
2
ab

9
a + b + c
Bài toán 0.46. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a
5
b
2
+
b
5
c
2
+
c
5
a
2
ab
2
+ bc
2
+ ca
2
Bài toán 0.47. (Thi học sinh giỏi tỉnh, khối 12, năm học 2005-2006) Cho các
số d-ơng
k, n và các số thực d-ơng a
1
,a
2

, , a
k
sao cho a
1
+ a
2
+ + a
k
k.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a
n
1
+ a
n
2
+ + a
n
k
a
n+1
1
+ a
n+1
2
+ + a
n+1
k
Bài toán 0.48. (Thi học sinh giỏi tỉnh, khối 12, năm học 2002-2003) Cho
A, B, C là ba góc của tam giác ABC, (đo bằng Radian).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
d =
A + B
AB
2
C
3
Trong các bài toán cực trị ta th-ờng gặp các bài toán mà bậc của tử thức (hoặc
mẫu thức) không bằng nhau. Trong tr-ờng hợp này tr-ớc hết ta biến đổi đồng
bậc ở tử thức (hoặc mẫu thức) . Ta xét các bài toán dạng này
0.2.4. Biến đổi đồng bậc
Bài toán
0.49. Cho a, b, c > 0, sao cho ab + bc + ca = abc. Chứng minh
a
2
a + bc
+
b
2
b + ca
+
c
2
c + ab

a + b + c
4
Chứng minh.
Phân tích
-Biến đổi đồng bậc ở mẫu

- Dự đoán đẳng thức xảy ra:
a = b = c =3
- Thêm biểu thức vào để khử mẫu của biểu thức:
a
3
(a + b)(a + c)
, mà đẳng thức
xảy ra:
a = b = c =3nên
a
3
(a + b)(a + c)
=
3a
4
.
18
Do đó biểu thức thêm vào để khứ mẫu là
a + b
8
+
a + c
8
Từ đó ta có cách giải sau:
a
2
a + bc
=
a
3

a
2
+ abc
=
a
3
a
2
+ ab + bc + ca
=
a
3
(a + b)(a + c)
Ta có:
a
3
(a + b)(a + c)
+
a + b
8
+
a + c
8

3a
4
Suy ra:
a
2
a + bc

3a
4
Chứng minh t-ơng tự
b
2
b + ca

3b
4
,
c
2
c + ab

3c
4
Cộng ba bất đẳng thức trên ta đ-ợc điều phải chứng minh và đẳng thức xảy ra
a = b = c =3
Bài toán 0.50. Cho a, b, c > 0, sao cho a + b + c =2. Tìm giá trị lớn nhất của
P =
ab

2c + ab
+
bc

2a + bc
+
ca

2b + ca
Chứng minh.
Phân tích
- Dự đoán đẳng thức xảy ra:
a = b = c =
2
3
- Biến đổi đồng bậc ở mẫu của biểu thức:
ab

2c + ab
=
ab

(c + a)(c + b)
.
Từ đó ta có cách giải sau:
P =
ab

2c + ab
+
bc

2a + bc
+
ca

2b + ca

=
ab

(c + a)(c + b)
+
bc

(c + a)(a + b)
+
ab

(b + a)(c + b)

1
2
ab

1
c + a
+
1
c + b

+
1
2
bc

1
c + a

+
1
a + b

+
1
2
ca

1
b + a
+
1
c + b

=1
Đẳng thức xảy ra a = b = c =
2
3

Bài toán 0.51. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho ab + bc + ca =1. Chứng minh
a

1+a
2
+
b

1+b
2

+
c

1+c
2

3
2
Chứng minh.
Ta biến đổi đồng bậc ở mẫu thức
a

1+a
2
=
a

ba + bc + ca + a
2
=
a

(a + b)(a + c)

1
2

a
a + b
+

a
a + c

t-ơng tự ta có hai bất đẳng thức sau
19
b

1+b
2

1
2

b
b + c
+
b
b + a

c

1+c
2

1
2

c
c + a
+

c
c + b

Cộng ba bất đẳng thức này lại ta đ-ợc
a

1+a
2
+
b

1+b
2
+
c

1+c
2

1
2

a
a + b
+
a
a + c

+
1

2

b
b + c
+
b
b + a

+
1
2

c
c + a
+
c
c + b

=
3
2
đẳng thức xảy ra a = b = c =
1

3
Bài toán 0.52. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c =1. Chứng minh

ab
c + ab
+

bc
a + bc
+

ca
b + ca

3
2
Chứng minh.
Ta biến đổi đồng bậc ở mẫu thức

ab
c + ab
=

ab
c(a + b + c)+ab
=

ab
(c + a)(c + b)

1
2

a
c + a
+

b
c + b

t-ơng tự ta có hai bất đẳng thức sau

bc
a + bc
=

bc
(a + b)(a + c)

1
2

b
a + b
+
c
a + c


ca
b + ca
=

ca
(b + c)(b + a)

1

2

c
b + c
+
a
b + a

Cộng ba bất đẳng thức này lại ta đ-ợc

ab
c + ab
+

bc
a + bc
+

ca
b + ca

3
2
đẳng thức xảy ra a = b = c =
1
3
Bài tập
Bài toán 0.53. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho abc = 1. Chứng minh
a
3

(1 + b)(1 + c)
+
b
3
(1 + c)(1 + a)
+
c
3
(1 + a)(1 + b)

3
4
Bài toán 0.54. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c =3. Chứng minh
a
3
b(2c + a)
+
b
3
c(2a + b)
+
c
3
a(2b + a)
1
Bài toán 0.55. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a
2
+ b
2
+ c

2
=1. Chứng minh
a
3
b +2c
+
b
3
c +2a
+
c
3
a +2b

1
3
Bài toán 0.56. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c =1. Chứng minh
a
3
(c + a)
2
+
b
3
(c + a)
2
+
c
3
(c + a)

2

1
4
20
Bài toán 0.57. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho ab + bc + ca =1. Chứng minh
a
2

1+a
2
+
b
2

1+b
2
+
c
2

1+c
2

a + b + c
4
0.2.5
. Kỷ thuật Côsi ng-ợc chiều
Nhiều bài toán nếu ta sử dụng bất đẳng thức Côsi thì ta đ-ợc bất đẳng thức ng-ợc
chiều với bài toán đã cho trong tr-ờng hợp này ta biến đổi dấu

tr-ớc biểu
thức cần Côsi để đ-ợc bất đẳng thức cùng chiều
Bài toán
0.58. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c =3. Chứng minh
a
1+b
2
+
b
1+c
2
+
c
1+a
2

3
2
Chứng minh.
Phân tích:
Nếu ta sử dụng Côsi thì ta đuợc bất đẳng thức ng-ợc chiều:
a
1+b
2
+
b
1+c
2
+
c

1+a
2

a
2b
+
b
2c
+
c
2a

3
2
?
Đối các bài toán này ta có thể phân tích nh- sau:
a
1+b
2
= a
ab
2
1+b
2
a
ab
2
2b
= a
ab

2
T-ơng tự ta có hai bất đẳng thức t-ơng tự
b
1+c
2
b
bc
2
c
1+a
2
c
ca
2
Cộng ba bất đẳng thức này lại ta đ-ợc:
a
1+b
2
+
b
1+c
2
+
c
1+a
2
a + b + c
ab + bc + ca
2
Mà a + b + c =3,ab+ bc + ca 3. Suy ra:

a
1+b
2
+
b
1+c
2
+
c
1+a
2

3
2
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Bài toán 0.59. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c =6. Chứng minh
a
1+

1+b
3
+
b
1+

1+c
3
+
c
1+

1+a
3

3
2
Chứng minh.
Ta có:
21

1+a
3
=

(a + 1)(a
2
a +1)
a
2
+2
2
.
Ta đ-a bài toán về dạng
a
4+b
2
+
b
4+c
2

+
c
4+a
2

3
4
Tới đây chứng minh t-ơng tự nh- trên ta có điều phải chứng minh
Bài toán 0.60. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c =3. Chứng minh
a
1+b
2
c
+
b
1+c
2
a
+
c
1+a
2
b

3
2
Chứng minh.
a
1+b
2

c
= a
ab
2
c
1+b
2
c
a
ab
2
c
2b

c
= a
ab

c
2
= a
b

a.ac
2
a
b(a + ac)
4
a
ab +1

4
,vìabc 1.
Suy ra:
a
1+b
2
c
a
ab +1
4
.
T-ơng tự ta có hai bất đẳng thức t-ơng tự
Cộng ba bất đẳng thức này lại ta đ-ợc:
a
1+b
2
c
+
b
1+c
2
a
+
c
1+a
2
b
a + b + c
ab + bc + ca +3
4

Mà a + b + c =3,ab+ bc + ca 3. Suy ra:
a
1+b
2
c
+
b
1+c
2
a
+
c
1+a
2
b

3
2
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Bài toán 0.61. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c =3. Chứng minh
1
1+a
2
+
1
1+b
2
+
1
1+c

2

3
2
Chứng minh.
Giải
1
1+a
2
=1
a
2
1+a
2
1
a
2
2a
=1
a
2
T-ơng tự ta có hai bất đẳng thức t-ơng tự
Cộng ba bất đẳng thức này lại ta đ-ợc:
1
1+a
2
+
1
1+b
2

+
1
1+c
2

3
2

Bài tập
Bài toán
0.62. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c =3.
Chứng minh
a
1+ab
+
b
1+bc
+
c
1+ca

3
2
22
Bài toán 0.63. Cho ba số d-ơng a, b, c.
Chứng minh
a
3
a
2

+ b
2
+
b
3
b
2
+ c
2
+
c
3
c
2
+ a
2

a + b + c
2
Bài toán 0.64. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c =3.
Chứng minh
a
2
a +2b
2
+
b
2
b +2c
2

+
c
2
c +2a
2
1
Bài toán 0.65. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c =3.
Chứng minh
a
2
a +2b
3
+
b
2
b +2c
3
+
c
2
c +2a
3
1
Bài toán 0.66. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c =3.
Chứng minh
a +1
1+b
2
+
b +1

1+c
2
+
c +1
1+a
2
3
0.2.6. Đổi biến
Giống nh- các bài toán khác. Ph-ơng pháp đổi biến là một ph-ơng pháp không
thể thiếu khi giải toán. Đổi biến thích hợp, để đ-a bái toán đã cho về bài toán
đơn giản hơn
Bài toán
0.67. (Tuyển sinh Đại học năm 2009-Khối A)
Cho các số d-ơng
x, y, z thõa mãn điều kiện: x(x + y + z)=3yz.
Chứng minh
(x + y)
3
+(x + z)
3
+3(x + y)(y + z)(z + x) 5(y + z)
3
Đặt a = y + z, b = z + x, c = x + y. Khi đó bài toán đ-a về bài toán đơn giản hơn:
Cho các số d-ơng
a, b, c thõa mãn điều kiện a
2
= b
2
+ c
2

bc.
Chứng minh
b
3
+ c
3
+3abc 5a
3
Từ a
2
= b
2
+ c
2
bc. Suy ra: b + c 2a và bc a
2
. Suy ra: b
3
+ c
3
+3abc
2a.a
2
+3a.a
2
=5a
3
Đẳng thức xảy ra a = b = c x = y = z
Bài toán 0.68. Cho a, b, c > 0, sao cho abc =1. Chứng minh
bc

a
2
(b + c)
+
ca
b
2
(c + a)
+
ab
c
2
(a + b)

3
2
Chứng minh.
Đặt
x = bc, y = ca, z = ab. Bất đẳng thức đã cho

x
2
y + z
+
y
2
z + x
+
z
2

x + y

3
2
, với x, y, z > 0:xyz =1
23
Phân tích
- Dự đoán đẳng thức xảy ra:
a = b = c
- Biểu thức thêm vào để khử mẫu của biểu:
x
2
y + z
là k(y + z), mà khi x = y = z
thì
x
2
y + z
=
x
2
. Do đó biểu thức thêm vào
y + z
2
. T-ơng tự cho các số hạng còn
lại. Từ đó ta có cách giải sau:
x
2
y + z
+

y + z
2
x
y
2
z + x
+
y + z
2
y
z
2
x + y
+
y + z
2
z
Cộng ba bất đẳng thức ta đ-ợc:
x
2
y + z
+
y
2
z + x
+
z
2
x + y

x + y + z
2
3
3

xyz
2
=
3
2
.
Đẳng thức xảy ra
x = y = z a = b = c =1
Bài toán 0.69. Cho a, b, c > 0, sao cho abc =1.
Chứng minh
1
a
3
(b + c)
+
1
b
3
(c + a)
+
1
c
3
(a + b)

3
2
Chứng minh.
Đặt
x =
1
a
,y =
1
b
,z =
1
c
. Bất đẳng thức đã cho

x
2
y + z
+
y
2
z + x
+
z
2
x + y

3
2
, với x, y, z > 0:xyz =1

Sử dụng ph-ơng pháp thêm biểu thức thích hợp ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 0.70. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh
P =
4a
b + c a
+
9b
c + a b
+
12c
a + b c
26
Chứng minh.
Đặt
x = b +c a, y = c+a b, z = a+b c. Suy ra: a =
y + z
2
,b =
z + x
2
,c =
x + y
2
. Khi đó: 2P =
4(y + z
x
+
9(z + x)
y

+
16(x + y)
z
=

4y
x
+
9x
y

+

4z
x
+
16x
z

+

9z
y
+
16y
z

52.
P =
4a

b + c a
+
9b
c + a b
+
12c
a + b c
26
Bài toán 0.71. Cho a, b, c > 0:a + b + c =1.
24
Chứng minh P =
a

1 a
+
b

1 b
+
c

1 c


6
2
Chứng minh.
Đặt
x =

1 a, y =

1 b, z =

1 c.
Bất đẳng thức đã cho

1
x
+
1
y
+
1
z
(x + y + z)

6
2
, với x, y, z > 0:x
2
+ y
2
+ z
2
=2.
Ta có:
1
x
+

1
y
+
1
z
(x + y + z)
3
3

xyz
(x + y + z)
9
x + y + z
(x + y + z), (1).
Mà:
x + y + z

3(x
2
+ y
2
+ z
2
)=

6, (2).
Suy ra:
1
x
+

1
y
+
1
z
(x + y + z)

6
2
.
Bài toán 0.72. Cho a, b, c > 0:ab + bc + ca = abc.
Chứng minh
P =

a + bc +

b + ca +

c + ab

abc +

a +

b +

c
Chứng minh.
Từ giả thiết:
1

a
+
1
b
+
1
c
=1và bất đẳng thức đã cho t-ơng đ-ơng với:

1
a
+
1
bc
+

1
b
+
1
ca
+

1
c
+
1
ab
1+

1
bc
+

1
ca
+

1
ab
Đặt x =
1
a
,y =
1
b
,z =
1
c
thì x + y + z =1.
Ta phải chứng minh

x + yz

yz +

y + zx

zx +

z + xy

xy 1.
Ta có
x + yz = yz +1 y z =(1y)(1 z)=(x + y)(x + z). Từ đó ta có:

x + yz

yz =
x

x + yz +

yz

x
x + y + x + z
2
+
y + z
2
= x
T-ơng tự, ta có:

y + zx

zx y và

z + xy

xy z
Cộng ba bất đẳng thức lại ta đ-ợc

x + yz

yz +

y + zx

zx +

z + xy

xy 1.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z hay a = b = c =3
Bài toán 0.73. Cho a, b, c > 0:a + b + c =
3
2
.
Chứng minh

a
2
+ ab + b
2
4bc +1
+

b

2
+ bc + c
2
4ca +1
+

c
2
+ ca + a
2
4ab +1

3

3
4
Chứng minh.
Từ:

a
2
+ ab + b
2


3
2
(x + y) và 4bc (b + c)
2
. Ta đ-ợc