Đề thi học sinh giỏi lớp 10 THPT tỉnh Đăk Nông năm học 2010 - 2011 môn Toán chuyên pptx

S GIO DC V O TO Kè THI TUYN SINH LP 10 THPT
TNH K NễNG Khúa ngy 21 thỏng 6 nm 2010
MễN THI: TON
Thi gian: 150 phỳt (Khụng k thi gian giao )

Cõu 1: (1,5 im):
Cho biu thc:


2 x x 3x+3 2 x-2
P= - - : -1
x-9
x+3 3- x x-3
ổ ửổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ

a) Rỳt gn biu thc P.
b) Tỡm giỏ tr nh nht ca P.
Cõu 2: (2,5 im)
Cho parabol (P) cú nh gc to O v i qua im
1
A 1;-

4
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
a) Vit phng trỡnh ca parabol (P).
b) Vit phng trỡnh ng thng d song song vi ng thng x+2y=1 v i
qua im B(0;m). Vi giỏ tr no ca m thỡ ng thng d ct (P) ti hai im cú
honh
1 2 1 2
x ,x (x >x )
sao cho
1 2
3x +5x =5
.
Cõu 3: (2,0 im)
Cho h phng trỡnh:
mx + y=2m
x +my =m+1
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù

ợ

Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca m h phng trỡnh trờn cú nghim (x;y) vi x, y
l nhng s nguyờn.
Cõu 4: (3,0 im)
Cho ng trũn (O), mt dõy AB v mt im C ngoi ng trũn v nm
trờn tia BA. T im chớnh gia P ca cung ln AB k ng kớnh PQ ca ng
trũn ct dõy AB ti D. Tia CP ct ng trũn (O) ti im th hai I. Cỏc dõy AB v
QI ct nhau ti K.
a) Chng minh t giỏc PDKI ni tip.
b) Chng minh IC l phõn giỏc gúc ngoi nh I ca tam giỏc AIB.
c) Gi s A, B, C c nh, chng minh khi ng trũn (O) thay i nhng
vn i qua A, B thỡ ng thng IQ luụn i qua mt im c nh.
Cõu 5: (1,0 im)
Chng minh:
1 3 5 2n -1 2
< , n
2 4 6 2n
2n+1
+
ì ì ììì " ẻ
Z
.

Ht
(Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm)

H v tờn thớ sinh: ; SBD:
Giỏm th 1: ; Giỏm th 2:
S GIO DC V O TO Kè THI TUYN SINH LP 10 THPT

TNH K NễNG Khúa ngy 21 thỏng 6 nm 2010
MễN THI: TON

P N V HNG DN CHM MễN TON

CU P N IM
1
(1,5)

a)
+ k:

x 9
x 0
ỡ
ạ
ù
ù
ớ
ù

ù
ợ

+ P=
3
3
x
-
+

b)
P
1
-

Vy giỏ tr nh nht ca P = -1 xy ra khi x = 0.

0,25


0,75

0,25
0,25
2
(2,5)

a)
(P) cú nh gc to O cú dng
2
y = ax
(
a 0
ạ
).
Vỡ (P) i qua
1
A 1; -
4

ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
nờn:

2
1
- .1
4
1
4
a
a
=
ị = -

Vy (P): y=
2
1
- x
4
.
b)
+ ng thng d song song vi ng thng x+2y=1
ị

Phng trỡnh ng thng d cú dng y=
1
- x+b
2
.
+ Vỡ d i qua M(0;m) nờn ta cú: m=
1
- 0+b b=m
2
ì ị
Vy t d: y=
1
- x+m
2
.
+ Phng trỡnh honh giao im:

2
1 1
- x = - x+m
4 2


2
x -2x+4m=0

(P) ct d ti hai im phõn bit

1
' 0 1 4m 0 m

4
D > - > <

Theo gi thit ta cú:

1 2
3x 5x 5
+ =


3(1 ') 5(1 ') 5
+ D + - D =
(Vỡ
1 2
x >x
)

0,25





0,25

0,25



0,25

0,25




0,25


0,25




3 9 9
' ' 1 4
2 4 4
m
Û D = Û D = Û - =


Û
5
m= -
16
(Thoả đk
1
m
4

<
).
Vậy với
5
m= -
16
thoả yêu cầu bài toán.
0,25



0,25
0,25



3
(2đ)
+ Giải hệ phương trình ta được:
2 1
1
( 1)
1
m
x
m
m
m
y
m

ì
+
ï
ï
=
ï
ï
+
ï
¹ ±
í
ï
ï
=
ï
ï
+
ï
î

+ Ta có:

2m+1 1
x= =2-
m+1 m+1
m 1
y= =1-
m+1 m+1

Từ đó suy ra để x và y là những số nguyên thì m+1 là ước của 1

m-1= 1
Þ ±

Þ
m=-2 hoặc m=0.
Vậy m=-2 hoặc m=0 thoả yêu cầu bài toán.


0,75




0,5

0,25
0,25
0,25
4
(3đ)
Vẽ hình và ghi giả thiết, kết luận đúng.

C






a)
+ Ta có:


0
PIQ 90
= ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)


0
PDK 90
=

0,5

C
Q
C

A
B
P

I
K
D
Þ
Tứ giác PDKI nội tiếp.
b)
+ Ta có:


AIQ
=
sđ

AQ



BIQ
=
sđ

BQ

sđ

AQ
=sđ

BQ

Þ


AIQ BIQ
= hay IQ là phân giác của

AIB
.
Mà


0
90
CIK =
nên CI là phân giác ngoài đỉnh I của tam giác AIB.


c)
Xét hai tam giác CIK và CDP ta có:


0
I=D=90




C
chung
Þ
Hai tam giác CIK và CDP đồng dạng
CI CK
= CI.CP=CK.CD
CD CP
Þ Þ
Mà CI.CP=CA.CB
Þ
CK.CD=CA.CB
Þ
CA.CB

CK=
CD

Vì A, B, C cố định, D là trung điểm AB nên D cố định
Þ
CA.CB
CD
không đổi.
Mà
K AB
Î
, IQ cắt AB tại K. Vậy IQ luôn đi qua điểm K cố
định.
0,75


0,25


0,25
0,25







0,25

0,25

0,25


0,25
5
(1đ)
Đặt
1 3 5 2n-1
A
2 4 6 2n
= × × ×××
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 3 5 (2n-1) 1 3 5 (2n-1)
A
2 4 6 (2n) 2 1 4 1 6 1 (2n) -1
1 3 5 (2n-1) 1
3 3.5 5.6 (2n-1)(2n+1) 2n+1
= × × ××× < × × ×××
- - -
= × × ×××× =

1 3 5 2n-1 1
A < , n

2 4 6 2n
2n+1
+
Þ = × × ××× " Î
Z



0,5


0,25

0,25
Lưu ý: nếu thí sinh giải cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa.

Hết