(SKKN HAY NHẤT) phương pháp giải toán tính diện tích đa giác và phương pháp diện tích

PGD&ĐT HUYỆN HIỆP HÒA
TRƯỜNG THCS HỢP THỊNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ
PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH

NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN: PHẠM VĂN NAM
DẠY MƠN: TỐN
ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THCS HỢP THỊNH

NĂM HỌC 2015 - 2016

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


MỤC LỤC

PHẦN I : LỜI NÓI ĐẦU..........................................................................................3
PHẦN II. NỘI DUNG...............................................................................................4
A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ PHƯƠNG
PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH.....................................................................................4
I. Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác:....................................................4
II. Các cơng thức tính diện tích của các đa giác đặc biệt:.................................4
III. Cách giải bài tốn tính diện tích và phương pháp diện tích:.......................6
B. MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI.................................................7
I. Các bài tốn tính diện tích đa giác.................................................................7
II. Các bài tốn chứng minh băng phương pháp diện tích..............................15
1. Các bài tốn chứng minh về quan hệ diện tích và quan hệ các đoạn
thẳng:...........................................................................................................15
2. Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị.................................................29

3. Một số bài toán chứng minh trung điểm đoạn thẳng, đường thẳng song
song, ba đường thẳng đồng quy...................................................................36
PHẦN III . KẾT LUẬN.........................................................................................38

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


PHẦN I : LỜI NÓI ĐẦU
Như chúng ta đã biết, cùng với sự phát triển tư duy của con người, tốn học
ra đời. Tốn học là mơn khoa học đặc biệt, môn khởi đầu cho sự ra đời của các
môn khoa học khác và cung rất cần thiết cho các ngành khoa học kỹ thuật. Toán
học đã rèn luyện cho con người nhiều đức tính q: tính cần cù, lịng say mê, sáng
tạo, kiên trì.
Trong tốn học khơng thể khơng kể đến bộ mơn hình học. Hình học rèn
luyện cho con người khả năng tư duy trừu tượng, sự sáng tạo và khả năng phân
tích tổng hợp. Trong đó, một dạng tốn tương đối khó, địi hỏi nhiều tới khả năng
tư duy cao, vận dụng linh hoạt những kiến thức rất cơ bản đã được học đồng thời
phải quan sát kĩ lưỡng đặc điểm từng bài tốn, đó là
" Diện tích đa giác và phưong pháp diện tích " .
Trong q trình giảng dạy cho học sinh khá, giỏi mơn tốn lớp 8 của trường
tơi nhận thấy các bài tập về diện tích đa giác và chứng minh bằng phương pháp
diện tích rất hay và lí thú.
Chính vì vậy tơi đã viết “Sáng kiến kinh nghiệm” về chuyên đề này để dạy
cho học sinh lớp khá giỏi khối 8 của trường để giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp
những bài tập loại này, đồng thời giúp học sinh củng cố những kiến thức cơ bản đã
học và nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
Chuyên đề gồm
I. Các bài tốn tính diện tích đa giác
II. Các bài tốn chứng minh bằng phương pháp diện tích
1. Các bài tốn chứng minh về quan hệ diện tích và sử dụng diện tích để tìm

quan hệ về độ dài đoạn thẳng
2. Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị
3. Một số bài toán chứng minh trung điểm đoạn thẳng, đường thẳng song song,
đồng quy.

3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


PHẦN II. NỘI DUNG
A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ
PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH
Để giải các bài tốn tính diện tích học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức sau:
I. Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác:
1. Nếu một đa giác được chia thành các đa giác khơng có điểm chung thì diện
tíchcủa nó bằng tổng diện tích của các đa giác đó ( tính cộng)
2. Các đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau( tính bất biến)
3. Hình vng có cạnh bằng một đơn vị dài thì diện tích của nó là một đơn vị
vng ( tính chuẩn hóa)
4. Hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy tương ứng
với hai chiều cao.
5. Hai tam giác có chung cạnh thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai chiều cao ứng với
cạnh đó.
6. Tam giác đều cạnh a có diện tích

.

II. Các cơng thức tính diện tích của các đa giác đặc biệt:
1. Cơng thức tính diện tích hình chữ nhật:

Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó

S = a.b

b
a

2. Cơng thức tính diện tích hình vng:
Diện tích hình vng bằng bình phương cạnh của nó.

S = a2

a

3. Cơng thức tính diện tích tam giác:
a) Diện tích tam giác:

a

Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó

S=

a.h
h
a
4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

b) Diện tích tam giác vng:
Diện tích tam giác vng bằng nửa tích hai cạnh góc vng

S=

a.b =

c.h

b

a

h
c

4. Cơng thức tính diện tích hình thang:

Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao
a

S=

(a+b).h

h
b

5. Cơng thức tính diện tích hình bình hành:

Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó

S = a.h

h
a

6. Cơng thức tính diện tích của tứ giác có hai đường chéo vng góc:
Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vng góc với nhau bằng nửa tích của
hai đường chéo đó.

S=

d1.d2

d2

d1

7. Cơng thức tính diện tích của hình thoi
Diện tích hình thoi bằng nửa tích của hai đường chéo.

S=

d2

d1.d2

d1

5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


III. Cách giải bài tốn tính diện tích và phương pháp diện tích:
1. Để tính diện tích của một đa giác:
+ Đa giác đó có cơng thức tính nhưng chưa đủ dữ kiện để tính địi hỏi ta phải đi
tính dữ kiện thiếu đó rồi mới tính được diện tích đa giác.
+ Đa giác có cơng thức tính nhưng nếu sủ dụng cơng thức vẫn khơng thể tính nổi
thì phải thơng qua diện tích của đa giác khác và sử dụng các tính chất đã nêu ở
trên.
+ Tính diện tích của một đa giác khơng có cơng thức thì ta cần biến đổi diện tích
này bằng diện tích của hình khác đã có biết cách tính diện tích.
2. Chứng minh hình bằng phương pháp diện tích:
+ Ta đã biết một số cơng thức tính diện tích của những đa giác dã nêu ở trên. Do
đó khi biết độ dài của một số yếu tố, ta có thể tính được diện tích của những hình
ấy. Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của hai hình từ đó kết hợp với yếu tố đã
biết khác, tổng hợp các kiến thức liên quan để suy ra điều cần chứng minh.
+ Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích, ta có thể làm theo
các bước sau:
- Xác định quan hệ diện tích giữa các hình.
- Sử dụng các cơng thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một
đẳng thức có chứa các độ dài.
- Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn
thẳng cần so sánh.
3. Để giải các bài toán về bất đẳng thức và cực trị ta cần nắm được:
Phương pháp giải: Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất
của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Các bài tốn cực trị thường được trình bày theo hai cách;

Cách 1: Đưa ra một hình rồi chứng minh rằng mọi hình khác có các yếu tố( đoạn
thẳng, góc, diện tích…) lớn hơn hoặc nhỏ hơn yếu tố tương ứng của hình được đưa
ra.
Cách 2: Thay điều kiện một đại lựợng đạt cực trị bằng các điều kiện tương đương,
cuối cùng dẫn đến điều kiện xác định được vị trí của điểm để đạt cực trị
Các bất đẳng thức thường được dùng để giải toán cực trị:
+ Quan hệ giữa đường vng góc và đường xiên.
+ Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu.
6

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


+ Bất đẳng thức tam giác
+ Các bất đẳng thức đại số
B. MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
I. Các bài tốn tính diện tích đa giác
Để tính diện tích của một đa giác:
+ Đa giác đó có cơng thức tính nhưng chưa đủ dữ kiện để tính địi hỏi ta phải đi
tính dữ kiện thiếu đó rồi mới tính được diện tích đa giác.
+ Đa giác có cơng thức tính nhưng nếu sủ dụng cơng thức vẫn khơng thể tính nổi
thì phải thơng qua diện tích của đa giác khác và sử dụng các tính chất đã nêu ở
trên.
+ Tính diện tích của một đa giác khơng có cơng thức thì ta cần biến đổi diện tích
này bằng diện tích của hình khác đã có biết cách tính diện tích.
Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm. Gọi O là trung
điểm của đường cao AH. Các tia BO và CO cắt cạnh AC và AB lần lượt ở D và
E. Tính SADOE ?
A
E

Hướng giải :
D
N

O
B

C

H

Bài giải:

Để tính diện tích đối với bài tập này học
sinh phải. nhận thấy S ABC đã biết nên ta cần
tìm mối quan hệ về SADOE với SABC. Lại có H
và O là những điểm đặc biệt trên các đoạn
AC, AH nên ta dễ dàng tìm được mối quan
hệ đó bằng cách lấy thêm điểm N là trung
điểm của DC.

Gọi N là trung điểm của CD.
AD = DN = NC =

1
AC.
3

S AOD AD 1


 (Chung chiều cao hạ từ O xuống AC)
S AOC AC 3

=> SAOD = SAHC (1)

S AOC AO 1

 (Chung chiều cao hạ từ C xuống AH)
S AHC AH 2

Mà SAHC =

1
SABC ( Chung chiều caoAH) (2)
2

Từ (1) và (2)

SAOD =

1
SABC
12

Mà SAOE = SAOD
7

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

SADOE = 2 SAOD =

1
SABC.
6

áp dụng đlí Pitago vào AHC vuông tại H => AH = 4cm
SABC =

AH.BC 4.6

 12cm2
2
2
1
.12 = 2 cm2.
6

Vậy SADOE =

Bài 2: Cho hbh ABCD có diện tích bằng 1. Gọi M là trung điểm của BC, AM cắt
BD ở Q. Tính diện tích MQDC ?
C

D
E

M

N

Q
A

B

Phân tích đề bài và hướng giải:
Hs cần nhận thấy SABCD = 1 nên dễ dàng suy ra SBCD =

1
.
2

Để tính SMQDC thì phải thơng qua SBCD và SBMQ .
Do đó ta cần phải tìm mối quan hệ của SBMQ với SBCD .
Để tìm được mối liên hệ đó ta phải xét xem Q nằm trên BD có ở vị trí đặc biệt
không bằng cách lấy thêm điểm N là trung điểm của AD.
Bài giải:
Lấy N là trung điểm của AD.
Ddcm AMCN là hình bình hành
AM // CN
QB = QE ; ED = QE ( Định lí đường trung bình)
BQ = QE = ED
SBMQ =

1
1
SBCQ ; SQBC = SBCD.
2

3

1
SBCD
6
5
5
5
= SBCD = SABCD =
6
12
12

SBMQ =
SMQDC

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh BC lấy M: BM =
CD lấy N sao cho CN =

1
BC. Trên cạnh
5

1
CD.
3

a) Tính SAMN theo SABCD.
8

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


b) BD cắt AM ở P, BD cắt AN ở Q. Tính SMNQP theo SABCD.

A

P

B

M

Q
K

H

N

D

Phân tích đề bài và hướng giải:
Để giải câu (a) hs dễ dàng nhận ra phải
sử dung tính chất 1: Nếu một đa giác
được chia thành các đa giác khơng có
điểm chung thì diện tích của nó bằng tổng
diện tích của các đa giác đó ( tính cộng).

C

Nên để tính diện tích của AMN ta phải làm
SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN
(b) Tính SMNQP theo SABCD cần phải tìm mối liên hệ SMNPQ với SAMN vì các đỉnh của
tứ giác nằm trên cạnh của  AMN.
Muốn tìm mối liên hệ đó rõ ràng phải thông qua  APQ.
Ta nhận thấy  APQ và  AMN có hai đáy cùng thuộc một đường thẳng nên ta
phải kẻ thêm đường vng góc PK và MH. Từ đó suy ra lời giải của bài tốn.
Bài giải:
a) SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN
SABM =

1
2
1
SABCD ; SCMN = SABCD; SADN = SABCD.
10
15
3

Do đó ta tính được : SAMN =
Vậy SMNPQ =

13
SABCD
60

13
SABCD
60

b) Kẻ MH  AN ; PK  AN
Vì PK// MH ( cùng vng góc với AN)

.(Theo định lí Ta let).

Do
Vì DN // AB =>
Do đó

9

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Bài 4: Cho ABC có AB = 3; AC = 4, BC = 5. Vẽ các đường phân giác AD, BE,
CF. Tính diện tích tam giác DEF.

A
E

F

B

D

H

K

Phân tích đề bài và hướng giải:
- Để tính được diện tích của  DEF thì ta phải
đi tính SABC, SAEF, SBFD, SDFC
Học sinh dễ dàng tính được S ABC, SAEF vì đó là
hai tam giác vng.
- Để tính được SBFD, SDFC thì cần phải kẻ thêm
đường cao. Căn cứ thêm vào giả thiết : có phân
giác của các góc nên từ đó suy ra kẻ đường cao
C FH và EK
FH = FA; EK = EA.

Bài giải: ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5.
Nên  ABC vng tại A.
Ta có CF là phân giác ACB

Tương

tự AE
Hạ FH  BC ; EK  BC.
FH = FA ; EK = AE ( Tính chất tia pg của một góc)
Cmtt như trên ta tính được DB =
giác)

( Dựa vào định lí đường phân giác trong tam

DC =

(*) SBFD =
(*) SDFC =

(*) SABC =
SDEF = SABC - ( SAEF + SBFD + SDFC)

10

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Vậy SDEF =

.

Bài 5: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O. Đường
trung trực của AB cắt BD, AC tại M, N. Biết MB = a,
NA = b. Tính diện tích hình thoi theo a và b.
B
H
N

A

O

C

D
M

Bài giải: Gọi H là trung điểm của AB. Dễ dàng nhận thấy:
*) AHN

S

*) AHN

S

MHN ( g.g)
AOB (g.g)

*) AHN vuông tại H
HA2(1 +

HN2 + HA2 = AN2 ( Theo định lí Pitago)

) = b2 .

Do đó HA2 =
*) AOB vng

OA2 + OB2

= AB2

OA2 +
Do đó OA2 =

và OB =

Mà SABCD = 2.OA.OB

Vậy SABCD =
Bài 6: Cho hình vng ABCD có cạnh bằng 30cm. Trên các cạnh AB, BC,
CD, DA thứ tự lấy các điểm E, F, G, H: AE = 10cm;
BF =12cm, CG = 14 cm, DH = 16cm.
a) Tính SEFGH .

11

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


b) Trên EF lấy hai điểm M, N : sao cho EM =

, FN=

Trên cạnh HG lấy hai điểm P, Q : GP = HQ =

. Tính SMNPQ .

A

10cm

E

.

B
M

N

12cm
F

H

16cm

Q
P

D

G

14cm

C

Phân tích đề bài và hướng giải:
a) Ta nhận thấy để tính được SEFGH phải thông qua SABCD, SAEH, SEBF, SFCG, SHGD là
các hình tính được diện tích qua các cơng thức đã học.
b) Vì tứ giác MNPQ có các đỉnh nằm trên cạnh của tứ giác EFGH ở những vị trí
đặc biệt theo gt đã nêu. Do đó ta cần tìm mối liên hệ giữa tứ giác MNPQ với
EFGH. Từ đó tính được diện tích của tứ giác MNPQ.
Bài giải:
a)Từ gt
EB = 20cm, CF = 18cm, DG = 16cm, AH = 14cm.
*) SABCD = 900 cm2.

*) SAEH =
SFCG =

AE.AH
EB.BF
= 70 cm2; SEBF =
= 120cm2
2
2

FC.CG
DH.DG
= 126cm2; SHGD =
= 128 cm2.
2
2

=> SEFGH = 900 - ( 70 + 120 + 126 + 128) = 456 cm2
b) Vì EM =
GP =

(gt) => EM =
(gt) => PH =

=> SHMF + SHFP =

=> SHMF =

=> SHFP =

3
3
( SHEF + SHFG) = SEFGH .
5
5

Do đó chứng tỏ PQ =
=> SMQP + SPMN =

=> SHEM =

1
1
1
1
HP , MN = MF => SMQP = SMHP ; SPMN = SMPF.
3
3
3
3

1
1 3
1
( SMHP + SMPF.) = . S EFGH = S EFGH
3
3 5
5

12

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


=> SMNPQ =

1
1
S EFGH = .456 = 91,2 (cm2)
5
5

Bài 7: Cho hình thang ABCD. Biết độ dài hai đường chéo là 3 và 5, độ dài
đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy là 2. Tính diện tích hình thang
B

A

M

C

N

P

D

K

E

Bài giải: Gọi M, N lần lượt là trung điểm 2 đáy BC, AD.
Dựng hình bình hành BCKD ta có : CK = BD = 5.
SABCD = SCAK .
Kẻ CP là trung tuyến  ACK.
Ta có: NP = ND + DK – PK

MNPC là hình bình hành
CP = MN = 2.
Dựng hình bình hành ACKE ta có: CE = 4, EK = 3, CK = 5.
 EKC vuông tại E => AC  CP.
SCAK = 2.SACP = AC.CP = 6 đvdt.
Vậy SABCD = 6 đvdt.
Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy M, N, P lần lượt thuộc AB, BC, CD sao
cho AM : MB = 1:2 ; BN : NC = 2:3 ; CP : PD = 3:4.
Nối CM, DN chúng cắt nhau tại điểm E. Đường thẳng qua E song song với AB
cắt AP tại F. Đường thẳng BF cắt AD tại Q.
a) Tính DQ : QA ?
b) Tính SPEQ theo SABCD ?

13

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


M

A

B

I

N
F

T

S
E

Q

K

P

D

C

Phân tích đề bài và hướng giải:
a) + Để tính DQ : DA ta cần xem tỉ số đó bằng tỉ số nào ?
+ Để tìm các đoạn thẳng tỉ lệ với bài này ta nên sử dụng định lí Ta Lét vì có các
đường song song nhưng phải kéo dài DN , CD, AB, BQ:
DN  AB = {I} ; BQ  CD = { K}.
Do đó ta thấy được:

.

Vì AB = CD . Nên ta có thể tìm

KD
.
CD

b) Ta nhận thấy các đỉnh của  PEQ đều nằm trên các cạnh của hình thang vng
TEPD.
Do đó để tính SPEQ ta cần phải thông qua các STEPD , STQE , SDPQ.
Bài giải:
a)DN  AB = {I} ; BQ  CD = { K}.
BI BN 2


CD NC 3

MB =

BI =

2
CD
3

MI =

=>

2

2
AB = CD
3
3

Có MI// CD

EI
MI EM 4



ED CD EC 3

ME BS
BS FB
FB 4




mà
EC SC
SC FK
FK 3
FB AB
AB 4
3
3


 => KP = AB  CD .
AB// KP
=>
FK KP
KP 3
4
4
3
5
CD .
Mà DP = CD => KD =
7
28

ES // MB

Vậy
b) SPQE = STEPD - STQE - SDPQ.
Ta có :

ES EC

.
MB MC

; có MB =
14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

EC 3
EC 3
 =>

EM 4
MC 7
2
5
ES = CD => TE = CD
7
7
1
1 4
5
1 3 9
27
3
*) STEPD = (DP  ET).TD   CD  CD . AD  . . AD.CD  S ABCD .
2
2 7
7
2 7 7
98
7

Mà

Có

( cmt) =>

64
AD .
231
1
1 5
64
320
160
AD 
S ABCD 
S ABCD
= .TE.TQ  . .CD.
2
2 7
231
3234
1617

TD = SC =
*)STEQ

QD =

*) SQDP =

3
AD .
7

TQ = TD - QD =

1
1 5
4
10
.QD.DP  . .AD. CD 
S ABCD .
2
2 33
7
231

S PQE = STEPD - STQE - SDPQ =

.

II. Các bài tốn chứng minh băng phương pháp diện tích
1. Các bài tốn chứng minh về quan hệ diện tích và quan hệ các đoạn thẳng:
+ Ta đã biết một số cơng thức tính diện tích của những đa giác đã nêu ở trên. Do
đó khi biết độ dài của một số yếu tố, ta có thể tính được diện tích của những hình
ấy. Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của hai hình từ đó kết hợp với yếu tố đã
biết khác, tổng hợp các kiến thức liên quan để suy ra điều cần chứng minh.
+ Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích, ta có thể làm theo
các bước sau:
- Xác định quan hệ diện tích giữa các hình.
- Sử dụng các cơng thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một
đẳng thức có chứa các độ dài.
- Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn

thẳng cần so sánh.
Bài 1: Cho hình thang ABCD, BC // AD. Các đường chéo cắt nhau tại O. Chứng
minh rằng: SOAB = SOCD .
B

C
O

A

D

Phân tích đề bài và hướng giải:
- Ta nhận thấy OAB và OCD
không chung đường cao và cũng
không chung cạnh.
- BAD và CAD là hai tam giác
có chiều cao bằng nhau và chung
đáy AD
SBAD = SCAD
đpcm
15

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Bài giải:
- Vì BC // AD ( gt)

Chiều cao hạ từ B và C cùng xuống AD bằng nhau.

SBAD = SCAD
SOAB +SOAD = SOCD + SOAD
Vậy SOAB = SOCD.
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AB > BC và góc BAD nhọn, đường phân
giác của góc BAD cắt CD tại M và cắt đường thẳng BC tại N. Gọi O là diểm
cách đều ba điểm C, M, N và K là giao điểm của OB và CD.
Chứng minh:a) SOBN = SODC b) SBCK + SNOC = SDOK
C

B

N

K
O
M

Phân tích đề bài và hướng giải:
a) Ta nhận thấy OBN và OCD có
ON = OM.
Vì vậy để cm SOBN = SODC ta nghĩ
đến tính chất: hai tam giác bằng
nhau thì có diện tích bằng nhau.
Do đó ta cần cm: OBN = OCD.

A

b) Để cm: SBCK + SNOC = SDOK

D

ta cần tìm mối liên hệ của SBCK và
SNOC với SOBN. SDOK với SODC

Bài giải:
a) Vì O cách đều các điểm M, C, N
Vì BN// AD

BNA = NAD
Mà

NAD = NAB

OM = ON = OC.
BNA = NAB

BAN cân tại B => BA = BN => BN = CD.
Cmtt

CM = CN => CMN cân

CMO = CNO (1)

Có OM = ON( cmt) => OMN cân
Có OM = OC( cmt )
Từ (1) và (2)

OCM cân tại O

CMO = MCO (2)

CNO = MCO

Do đó ddcm : OBN = OCD (c.g.c)
Vậy SOBN = SODC
b) SBCK + SNOC = SOBN - SOCK (3)
SDOK = SODC - SOCK (4)
16

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Mà SOBN = SODC (cmt) (5)
Từ (3) (4)(5)

SBCK + SNOC = SDOK (đpcm)

Bài 3: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đường chéo AC, BD của tứ giác
ABCD cắt các cạnh AB, CD ở M và K.
Chứng minh rằng: SDMC = SAKB
B
A
M
P

Q

K

C

D

Phân tích đề bài và hướng giải:
Để cm: SDMC = SAKB ta phải tìm các tam giác có diện tích bằng nhau ở trong bài này
và diện tích tam giác đó có mối liên hệ thế nào với diện tích tam giác ta cần chứng
minh.
Bài giải:
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC , BD.
BP = PD ; AQ = QC.
Do đó SMAQ = SMCQ; SKAQ = SKCQ
SAMK = S CMK. (1)
Cmtt
SBMK = SDMK (2)
Từ (1) và (2)
SBMK - SAMK = SDMK - S CMK
Vậy SDMC = SAKB (đpcm)
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Điểm E trên tia đối của tia BA, điểm F trên
tia đối của tia DA. Nối BF và DE cắt nhau ở K.
Chứng minh: SABKD = SCKE +SCKF
B

A

E

Để cm: SABKD = SCKE +SCKF

K

C

D

Phân tích đề bài và hướng giải:

M
N
F

- Ta khơng thể chứng tỏ ngay mối
liên hệ SCKE ,SCKF vớiSABKD.
- Cần phải tìm mối liên hệ SABKD
với SABCD; SCKE +SCKF với SABCD.

Bài giải:
Ta có SABKD = SABCD - ( SCDK + SCBK) (1)
Hạ EM  CD ; FN  BC.
17

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


SECD =

1
1
SABCD ; SFCB = SABCD.
2
2

Do đó SECD + SFCB = SABCD
SCDK + SCKE + SCBK + SCKF = SABCD
SCKE+ SCKF = SABCD - (SCDK+ SCBK) (2)
Từ (1) và (2)

SABKD = SCKE +SCKF

Bài 6: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD.
Chứng minh rằng: SMNP =
B

1
SABCD.
4

N
C

M

P

A
Q
D

Phân tích đề bài và hướng giải:
Ta có M, N, P là trung điểm các cạnh
của tứ giác ABCD. Nếu ta lấy thêm Q là

trung điểm của AP => MNPQ là hình
bình hành.Do đó SMNP = SMNPQ.
Ta nhận thấy SMNPQ có mối liên hệ với SABCD.
Vì vậy => đpcm

Bài giải:
Lấy P là trung điểm của AP.
Do đó ddcm được MNPQ là hình bình hành.
SMNP =

1
SMNPQ.
2

SMNPQ = SABCD - SMNB - SCNP - SDPQ - SAMQ
SBMN =

1
1
SBAN = SABC.
4
2

SCNP =

1
1
SBCP = SCBD
4
2

SDPQ =

1
1
SQCD = SDAC
4
2

SAMQ =

1
1
SAMD = SABD
4
2

SMNPQ = SABCD SMNPQ = SABCD Do đó SMNP =

1
( SABC + SCBD+ SDAC + SABD)
4

1
1
.2 SABCD = SABCD
4
2

1

1
SMNPQ= SABCD
4
2

18

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Bài 7: Cho ABC có ba góc nhọn, vẽ đường cao BD, CE. Gọi H, K là hình chiếu
của B, C trên đường thẳng ED. Chứng minh rằng:
a) EH = DK.
A
b) SBEC + SBDC = SBHKC
P

N

D

K
Q

E
H

B

E'

N'

M D'

C

Bài giải:
a) Gọi M, N thứ tự là trung điểm của BC và ED.
MED có ME = MD (cùng bằng 1/2 BC) nên là tam giác cân.
Do đó MN  ED.
Hình thang BHKC có BM = MC, MN // BH // CK
N là trung điểm của HK( định lí đường trung bình )
Mà có NE = ND .
Vậy EH = DK (đpcm).
b) Vẽ EE' , NN', DD' vng góc với BC.
Ddcm được NN' là đường trung bình hình thangEE'D'D.
EE' + DD' = 2NN'
Do đó S BEC + SBDC =

1
1
BC.EE' + BC.DD' =BC.NN' (1)
2
2

Qua N vẽ đường thẳng PQ // BC, cắt BH và CK ở P và Q.
Ta có BC.NN' = SBPQC (2)
Mà ddcm được: NHP = NKQ (g.c.g)
SNHP = SNKQ

SBPQC = SBHKC (3)
Từ (1)(2)(3)

S BEC + SBDC = SBHKC

Bài 8: Cho tứ giác ABCD. Các đường thẳng AB cắt CD tại E. Gọi F và G theo
thứ tự là trung điểm của đường chéo AC và BD.
Chứng minh rằng: SEFG =

1
SABCD.
4

19

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


A

B
F
G

D

C

E

Bài giải:

Phân tích đề bài và hướng giải:
+ Để cm: SEFG = SABCD ta cần
phải biểu diễn SEFG thông qua
diện tích của các hình có liên
quan với SABCD.
+ Cần dựa vào gt có các đoạn
thẳng bằng nhau
Có diện tích
các tam giác bằng nhau.
đpcm

Nối AG , CG. Ta có:
S EFG = SAEG - SAFG - SAFE .
Mà SAEG = SABG + SEBG
Nên S EFG = SABG + SEBG- SAFG - SAFE .
Có SABG =
SAFG =

1
1
1
1
SABD ( vì GB = BD); SEBG = SEBD ( vì GB = BD)
2
2
2
2

1
1
1
1
SAGC ( vì AF = AC) ; SAFE = SACE( vì AF = AC)
2
2
2
2
1
2

S EFG = ( SABD + SEBD - SAGC - SACE)
S EFG =

1
( SADE - SAGCE)
2
1
2

S EFG = ( SABCD + SEBC - SEBC - SABCG).
Ddcm: SABCG =
S EFG =

1
SABCD
2

1

1
( SABCD - SABCD)
2
2

S EFG =

1
SABCD
4

Bài 9: Cho ABC và hình bình hành BCDE nằm cùng phía đối với BC sao cho
các điểm D, E nằm bên ngoài tam giác. Vẽ các hình bình hànhABGH, ACIK
sao cho đường thẳng GH đi qua E, đường thẳng IK đi qua D. Cmr: SBCDE =
SABGH + SACIK.

20

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


O
K

H
A

N

E

D
I

G
B

C

M

Phân tích đề bài và hướng giải:
CM: SBCDE = SABGH + SACIK.
+ Rõ ràng bài này ta cần vẽ đường phụ
+ Ta cần cm: S BENM = SABGH.; SCDNM = SACIK
Bài giải:
Vẽ hình bình hành ABEO

ACDO là hình bình hành.

Do đó GH  IK = {O}.
Cho OA  BC ={M}; OA  DE = {N}
Ddcm được SABGH = SABEO ( chung cạnh, chung đường cao)
SABEO = S BENM ( chung cạnh BE, đường cao từ A và N xuống BE
bằng nhau).
S BENM = SABGH.
Cmtt

SCDNM = SACIK

Do đó : S BENM + SCDNM = SABGH.+ SACIK
Vậy : S BEDC = SABGH.+ SACIK
Bài 10: Cho tứ giác ABCD. M và N là trung điểm của AB, CD. AN cắt DM tại P,
CM cắt BN tại Q.
Chứng minh: SMPNQ = SADP + SBCQ.

A
P

D

B

M

H

Q

I N

K

C
21

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Phân tích đề bài và hướng giải:

Chứng minh: SMPNQ = SADP + SBCQ.
+ Cần tìm mối liên hệ của SMPNQ với SMDC.
+ Cần tìm mối liên hệ SADP với SADN ; SBCQ với SBCN.
đpcm
Bài giải:
Dựng AH, MI và CK cùng vng góc với DC.
AH // MI // BK; AH + BK = 2MI.
*) SMDC = SMPNQ + SDPN + SQCN (1)
*) SADN + SBCN = SADP + SDPN + SBQC + SQCN
SADN + SBCN = (SADP + SBQC) + (SDPN + SQCN ) (2)
*) SMDC =

MI.CD
AH.DN BK.CI (AH  CD)CD MI.CD



; SADN + SBCN =
2
2
2
4
2

SMDC = SADN + SBCN (3)
Từ (1) (2) (3)

SMPNQ = SADP + SBCQ.(đpcm)

Sử dụng công thức tính diện tích để thiết lập quan hệ các đoạn thẳng:

Bài 11: Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH.
Chứng minh rằng: AB.AC = BC. AH
A

B

Bài giải: SABC =

 AB.AC = BC. AH

C

H

; SABC =

Bài 12: a) Chứng minh rằng: Tổng các khoảng cách từ một điểm M bất kì nằm
trong ABC đều đến các cạnh của tam giác khơng phụ thuộc vị trí của điểm M.
A

K

I
M

B

H

O

C

Bài giải:
Gọi cạnh ABC đều là a, chiều cao của tam giác là h.
22

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


*) SABC = SMAB + SMBC + SMAC.
*) SABC =

a.h
(1)
2

*) SMAB + SMBC + SMAC =

MI.a MH.a MK.a (MI MH  MK)a



(2)
2
2
2
2

Từ (1) và (2)

MH + MI + MK = h
Mà h: không đổi
Vậy MH + MI + MK không đổi khi M ở vị trí bất kỳ nằm trong ABC.
b) Quan hệ trên thay đổi như thế nào nếu M thuộc miền ngoài ABC.
Chứng minh được: MH + MI - MK = h.
Bài 13: Các điểm E, F nằm trên các cạnh AB, BC của hình bình hành ABCD
sao cho AF = CE. Gọi I là giao điểm của AF , CE.
Chứng minh rằng: ID là tia phân giác của góc AIC.
A

E
H

B

I
K
F

C

D

Phân tích đề bài và hướng giải:
+ Để chứng minh ID là phân giác góc AIC ta nghĩ đến cần chứng minh khoảng
cách từ D đến IA và IC phải bằng nhau.
+ Tiếp tục cần cm: SADF = SDCE vì hai tam giác có: AF = CE (gt)
+ Tìm mối liên hệ giữa SADF và SDCE với SABCD
Bài giải:
+ Hạ DH  IA ; DK  IC.

+ Gọi chiều cao hình bình hành hạ từ B xuống AD là h1.
Gọi chiều cao hình bình hành hạ từ A xuống CD là h2
SADF =

AD.h1 S ABCD

.
2
2

S DCE =

CD.h2 S ABCD

2
2

SADF = S DCE (1)
SADF =

DH.AF
DK.CE
(2) ; S DCE =
(3)
2
2

Mà AF = CE (gt) (4)
Từ (1)(2)(3)(4)

DH = DK.

23

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Vậy ID là phân giác của AIK.
Bài 14: Cho ABC đều. A', B', C' thứ tự là hình chiếu của M ( M nằm trong
ABC hoặc trên AB, BC, CA). Các đường vng góc với AB tại B , vng góc
với BC tại C, vng góc với CA tại A cắt nhau ở D, E, F.
Chứng minh:
a) DEF đều.
b) AB' + BC' +CA' khơng phụ thuộc vị trí điểm M.
D
A
H

C'

B'
M

E

K
B

C

A'
I

F

Bài giải:
a) ddcm được :  DEF đều.
b) Goị cạnh  ABC đều là a
h: chiều cao DEF đều

cạnh DEF đều là a 3

h không đổi

Từ M hạ MH  DE, MI  EF, MK  DF.
Mà MH + MI + MK = h _ Dựa và bài 11 ( đã cm)
Ta ddcm : MH = AB'; MI = BC' ; MK = CA'.
MH + MI + MK = AB' + BC' + CA'.
Do đó AB' + BC' + CA' = h - không đổi
Vậy AB' + BC' + CA' không phụ thuộc vị trí điểm M.

24

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Bài 15: Cho ABC vuông tại C, trong tam giác ấy lấy điểm O sao cho SOAB =
SOBC = SOCA. Chứng minh rằng: OA2 + OB2 = 5. OC2
C
N

M

O
A

B

I

Bài giải:
Ddcm bài toán: Gọi G là trọng tâm của tam giác thì SGAB =SGAC = SGBC.
Do đó ta cm: O là trọng tâm của ABC.
Từ O kẻ OM  AC, ON  BC; cho CO  AB= {I}
Theo giả thiết SOAC =

1
BC;
3

Nên ddcm : OM =
Cmtt : ON =

1
SABC
3

1
AC.
3

Đặt BC = a, AC = b, ta có: OM =

1
1
a, ON = b.
3
3

Do đó OA2 = AM2 + OM2 ; OB2 = NB2 + ON2 (Theo định lí Pitago)
2

2


 

OA2 =  b   a  b2  a2
2
3 

1
3 

2

4
9

1

9

2

4
1
2  1 
OB =  a   b  a2  b2
9
9
3  3 
2
2
b
a 
OA2 + OB2 = 5    (1)
9
 9
2

Vì O là trọng tâm ABC

OC =

2
2 AB AB
CI = .

.
3

3 2
3

 AB2  a2  b2
 =
OC = 
(2)
9
 9 
2

Từ (1) và (2)

OA2 + OB2 = 5OC2

Bài 16: Từ điểm M tùy ý trong  ABC, các đường thẳng MA, MB, MC lần lượt
cắt BC, CA, AB tại A1, B1 , C1 .
MA

MB

MC

1
1
1
Chứng minh: AA  BB  CC  1
1
1
1

25

LUAN VAN CHAT LUONG download : add