Sử dụng phương pháp diện tích hướng dẫn học sinh giải các bài toán hình học ở tiểu học

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC
*********************

VŨ THỊ KIM NHUNG

SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP DIỆN TÍCH
HƢỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC
BÀI TOÁN HÌNH HỌC Ở TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học toán Tiểu học

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Th.S. NGUYỄN VĂN ĐỆ

HÀ NỘI, 2014


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn sự hƣớng dẫn, giúp đỡ của các thầy, cô giáo
trong khoa Giáo dục Tiểu học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá
trình làm khóa luận này. Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy
Nguyễn Văn Đệ - ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn, chỉ bảo tận tình để tôi có thể
hoàn thành khóa luận.
Trong quá trình thực hiện đề tài khóa luận, dù đã cố gắng nhƣng do
thời gian và năng lực có hạn nên tôi vẫn chƣa đi sâu khai thác hết đƣợc, vẫn
còn nhiều thiếu xót và hạn chế. Vì vậy, tôi mong nhận đƣợc sự tham gia đóng
góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Vũ Thị Kim Nhung


LỜI CAM ĐOAN
Đề tài khóa luận: “Sử dụng phương pháp diện tích hướng dẫn học sinh
giải các bài toán Hình học ở Tiểu học” đƣợc tôi thực hiện dƣới sự hƣớng dẫn
của thầy giáo Nguyễn Văn Đệ. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên
cứu của riêng cá nhân tôi. Kết quả thu đƣợc trong đề tài là hoàn toàn trung
thực và không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác.
Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm!

Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Vũ Thị Kim Nhung


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT



: tam giác



: góc vuông

|

: sao cho

C.m.r

: chứng minh rằng

Đpcm

: điều phải chứng minh

GD – ĐT

: giáo dục – đào tạo

SABC

: diện tích tam giác ABC


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu.................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................... 2
4. Đối tƣợng nghiên cứu .................................................................................. 3
5. Phạm vi nghiên cứu...................................................................................... 3

6. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................. 3
7. Cấu trúc khóa luận ....................................................................................... 3
NỘI DUNG
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN ............................................................................ 4
1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học ................................................ 4
1.2. Một số vấn đề về giải toán ......................................................................... 5
1.2.1. Giải toán ............................................................................................ 5
1.2.2. Ý nghĩa của việc giải toán................................................................. 5
1.2.3. Hƣớng dẫn học sinh giải toán ........................................................... 5
1.3. Phƣơng pháp diện tích ở Tiểu học ............................................................. 8
1.4. Nội dung triển khai chƣơng trình hình học trong môn Toán ở Tiểu
học ..................................................................................................................... 9
Chƣơng 2: HƢỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH
HỌC BẰNG PHƢƠNG PHÁP DIỆN TÍCH Ở TIỂU HỌC .......................... 12
KẾT LUẬN .................................................................................................... 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 43


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong hệ thống giáo dục của mỗi quốc gia thì hệ thống giáo dục Tiểu
học giữ một vị trí quan trọng. Việc đào tạo, bồi dƣỡng nhân tài phải bắt đầu
đƣợc quan tâm ngay từ bậc Tiểu học, vì đây là “cái nôi” tri thức đầu tiên và là
bậc học quan trọng đặt nền móng cho sự hình thành nhân cách của mỗi học
sinh. Trong quyết định số 2967/ GD - ĐT của Bộ trƣởng Bộ Giáo dục và Đào
tạo đã chỉ rõ: “Tiểu học là cấp học nền tảng đặt cơ sở ban đầu cho việc hình
thành, phát triển toàn diện nhân cách của con ngƣời, đặt nền tảng vững chắc
cho giáo dục phổ thông và toàn bộ hệ thống giáo dục quốc dân”. Do đó ở Tiểu
học, các em đã đƣợc tạo điều kiện để phát triển toàn diện tối đa với các môn
học thuộc tất cả các lĩnh vực: Tự nhiên, xã hội, con ngƣời.

Trong các môn học ở trƣờng Tiểu học thì môn Toán có một ý nghĩa và
vị trí đặc biệt quan trọng. Toán học với tƣ cách là một khoa học nghiên cứu
một số mặt của thế giới hiện thực, nó có một hệ thống khái niệm, quy luật và
có phƣơng pháp nghiên cứu riêng. Hệ thống này luôn phát triển trong quá
trình nhận thức thế giới và đƣa ra kết quả là những tri thức toán học để áp
dụng vào cuộc sống. Nhƣ vậy với tƣ cách là một môn học trong nhà trƣờng
thì môn Toán giúp trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức, phƣơng pháp
riêng để nhận thức thế giới, làm công cụ cần thiết để học tập các môn học
khác và phục vụ cho cấp học trên.
Các tuyến kiến thức Toán học đƣợc đƣa vào dạy cho học sinh Tiểu học
gồm 4 tuyến chính là: số học, đại lƣợng và phép đo đại lƣợng, các yếu tố hình
học và giải toán có lời văn. Các tuyến kiến thức này có mối liên hệ mật thiết
với nhau, hỗ trợ và bổ sung cho nhau góp phần phát triển toàn diện năng lực
toán học cho học sinh Tiểu học. Việc giải các bài toán trong 4 tuyến kiến thức
này cũng có nhiều cách khác nhau. Trong đó, các bài toán hình học giải bằng

1


phƣơng pháp diện tích chiếm một số lƣợng tƣơng đối lớn trong mảng toán
hình học. Các bài toán này không những đƣợc trình bày trong sách giáo khoa
mà còn đƣợc trình bày trong nhiều tài liệu tham khảo khác và có trong các kì
thi học sinh khá giỏi bậc Tiểu học.
Có thể nói rằng phƣơng pháp diện tích là một phƣơng pháp khá tối ƣu,
rất tiện lợi và nhanh nhạy để giải các bài toán về tính diện tích. Tuy nhiên,
qua thực tế và qua việc thu thập tài liệu các kì thi của học sinh Tiểu học tôi
thấy rằng học sinh vẫn chƣa biết áp dụng một cách triệt để phƣơng pháp diện
tích để giải các bài toán hình học. Đôi khi học sinh còn lúng túng và chƣa
thực sự hiểu kĩ về phƣơng pháp này. Mặt khác, các bài toán hình học đƣợc
giải bằng phƣơng pháp diện tích trong sách giáo khoa chỉ đáp ứng đƣợc yêu

cầu phổ cập. Các bài toán đó vốn hƣớng tập trung vào việc rèn luyện kĩ năng
tính toán theo công thức, trong khi đó một bộ phận học sinh khá giỏi có nhu
cầu tìm hiểu nhiều hơn về các dạng bài toán nâng cao nói chung và các bài
toán hình học đƣợc giải bằng phƣơng pháp diện tích nói riêng chƣa đƣợc chú
ý đúng mức.
Xuất phát từ lí do đó trên, tôi quyết định chọn đề tài: “Sử dụng
phương pháp diện tích hướng dẫn học sinh giải các bài toán Hình học ở
Tiểu học”. Tôi mong rằng đề tài này sẽ góp một phần nhỏ vào sự bồi dƣỡng,
phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh Tiểu học.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc sử dụng phƣơng pháp diện tích để hƣớng dẫn học sinh
giải các bài toán hình học ở Tiểu học nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy
học các yếu tố hình học ở Tiểu học nói riêng và hiệu quả dạy học môn Toán ở
Tiểu học nói chung.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Tìm hiểu mục tiêu, nội dung hình học ở Tiểu học.
 Hƣớng dẫn học sinh giải các bài toán hình học bằng phƣơng pháp diện
tích ở Tiểu học.

2


4. Đối tƣợng nghiên cứu
Sử dụng phƣơng pháp diện tích hƣớng dẫn học sinh giải các bài toán
hình học ở Tiểu học.
5. Phạm vi nghiên cứu
Sƣu tầm một số bài toán hình học trong chƣơng trình Tiểu học và một
số bài toán trong các kì thi học sinh giỏi toàn quốc.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
6.1. Nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu khai thác tài liệu về lí luận dạy học môn Toán ở trƣờng
Tiểu học.
6.2. Phƣơng pháp điều tra quan sát
- Điều tra thực trạng giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinh
trƣớc và sau thử nghiệm.
- Quan sát việc học tập của học sinh liên quan đến khoá luận.
- Thu thập các kết quả thực tế của học sinh làm cơ sở thực tiễn để đƣa
ra hệ thống bài tập phù hợp có tính khả thi dành cho đối tƣợng học sinh ở
Tiểu học.
- Đánh giá kết quả thử nghiệm.
6.3. Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm
- Thống kê số liệu sau thử nghiệm của lớp thử nghiệm.
- Lấy ý kiến đánh giá phản hồi.
7. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của
khóa luận gồm hai chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận
Chƣơng 2: Hƣớng dẫn học sinh giải các bài toán hình học bằng phƣơng
pháp diện tích ở Tiểu học.

3


NỘI DUNG
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
`1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học
Nhìn chung ở học sinh Tiểu học, hệ thống tín hiệu thứ nhất còn chiếm
ƣu thế, các em rất nhạy cảm với các tác động bên ngoài, điều này phản ánh
những hoạt động nhận thức của học sinh Tiểu học. Tuy nhiên ở giai đoạn
cuối của bậc Tiểu học hệ thống tín hiệu thứ hai đã phát triển nhƣng còn ở

mức độ thấp.
Khả năng phân tích của học sinh Tiểu học còn kém, các em thƣờng tri
giác trên tổng thể. Tri giác không gian chịu nhiều tác động của trƣờng tri giác
gây ra các biến dạng, các ảo giác. So với học sinh ở đầu bậc Tiểu học, các em
học sinh ở lớp cuối Tiểu học có các hoạt động tri giác đã phát triển và đƣợc
hƣớng dẫn bởi các hoạt động nhận thức khác nên chính xác dần.
Sự chú ý không chủ định còn chiếm ƣu thế ở học sinh Tiểu học. Sự chú
ý này không bền vững nhất là với đối với các đối tƣợng ít thay đổi. Do thiếu
khả năng tổng hợp, sự chú ý của học sinh còn phân tán, lại thiếu khả năng
phân tích nên dễ bị lôi cuốn vào hình ảnh trực quan, gợi cảm. Sự chú ý của
học sinh Tiểu học thƣờng hƣớng ra hành động bên ngoài chứ chƣa có khả
năng hƣớng vào bên trong, vào tƣ duy.
Trí nhớ trực quan hình tƣợng và trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ
lôgic. Hình tƣợng, hình ảnh cụ thể dễ nhớ hơn là các câu chữ hình tƣợng khô
khan. Ở giai đoạn cuối Tiểu học, trí nhớ tƣởng tƣợng có phát triển hơn nhƣng
còn tản mạn, ít có tổ chức và chịu nhiều ảnh hƣởng của hứng thú, của kinh
nghiệm sống và các mẫu hình đã biết.
Với đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học nhƣ đã nêu, ta phải sử
dụng phƣơng pháp diện tích hợp lí trong quá trình giải các bài toán hình học

4


để đạt hiệu quả cao, làm thế nào để thu hút sự chú ý của học sinh Tiểu học
giúp học sinh hiểu bản chất của bài toán, biết giải bài toán một cách khoa học,
lôgic đồng thời phát triển khả năng tƣ duy của học sinh Tiểu học.
1.2. Một số vấn đề về giải toán
1.2.1. Giải toán
Ta có thể hiểu một cách đơn giản giải toán là hoạt động làm tính để từ
những đại lƣợng đã cho tìm ra đại lƣợng chƣa biết.

1.2.2. Ý nghĩa của việc giải toán
Dạy học toán là dạy học các hoạt động toán học. Các hoạt động toán
học là công việc của ngƣời làm toán. Một trong những hoạt động cơ bản của
ngƣời làm toán là giải toán. Kết quả học toán của học sinh cũng đƣợc đánh
giá trƣớc hết qua khả năng giải toán. Do đó giải toán rất quan trọng trong việc
dạy học toán. Giải toán có thể có các ý nghĩa sau:
- Tạo động cơ hình thành tri thức mới.
- Củng cố, khắc sâu kiến thức.
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng tri thức.
- Phát triển năng lực tƣ duy của học sinh.
- Rèn luyện và phát triển nhân cách cho học sinh.
1.2.3. Hƣớng dẫn học sinh giải toán
Trong lí luận về giải toán, tùy theo mục đích nghiên cứu ngƣời ta đƣa
ra các quy trình giải toán khác nhau. Trong cuốn: “Giải bài toán nhƣ thế
nào?” G.Polya đã đƣa ra các bƣớc giải một bài toán nhƣ sau:
- Tìm hiểu nội dung bài toán.
- Tìm tòi, lập kế hoạch giải toán.
- Thực hiện kế hoạch giải toán.
- Kiểm tra và đánh giá cách giải.
Thực tiễn dạy và học giải toán đã khẳng định sự đúng đắn của sơ đồ
giải toán nói trên.

5


Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Việc tìm hiểu nội dung bài toán (đề toán) thông thƣờng diễn ra qua việc
đọc bài toán. Trừ những bài toán quá phức tạp thì nói chung chúng ta phải tập
cho học sinh thói quen tự tìm hiểu đề toán. Học sinh cần hiểu rõ hơn về bài
toán: Bài toán cho biết gì? Bài toán hỏi gì? Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể

thỏa mãn điều kiện nào của bài toán? Điều kiện có đủ để xác định ẩn?... Khi
đọc bài toán học sinh cần phải hiểu thật kĩ một số từ, thuật ngữ quan trọng,
chỉ rõ tình huống toán học đƣợc diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thƣờng. Sau
đó, học sinh thuật lại vắn tắt bài toán mà không phải đọc lại nguyên văn bài
toán đó.
Tuy nhiên trong quá trình đọc đề toán cần lƣu ý: Dữ kiện đƣợc đƣa ra
bằng những từ ngữ thông thƣờng thì học sinh thƣờng khó khăn hơn trong việc
diễn tả hay phát hiện dữ kiện, điều kiện (cả những dữ kiện hoặc điều kiện
không trực tiếp hay không tƣờng minh trong đề bài cũng thƣờng là khó đối
với học sinh Tiểu học).
Bước 2: Tìm tòi, lập kế hoạch giải toán
Hoạt động tìm tòi và lập kế hoạch giải toán gắn liền với việc phân tích
các dữ kiện, điều kiện, yếu tố phải tìm của bài toán nhằm xác lập mối quan hệ
giữa chúng và tìm đƣợc phép tính số học thích hợp. Hoạt động này diễn ra
nhƣ sau:
+ Minh họa bài toán bằng tóm tắt, minh họa bằng dùng sơ đồ đƣờng
thẳng, tranh vẽ, mẫu vật.
+ Lập kế hoạch giải toán nhằm xác định trình tự thực hiện các phép
tính số học.
Trong việc tìm lời giải của bài toán, chúng ta thƣờng sử dụng các thao
tác tƣ duy nhƣ phân tích, tổng hợp và đƣợc tiến hành theo phƣơng pháp đi
xuôi hay đi ngƣợc.

6


+ Phƣơng pháp đi xuôi là phƣơng pháp suy luận đi từ cái đã biết, đã
cho trƣớc đến điều cần tìm.
+ Phƣơng pháp đi ngƣợc là phƣơng pháp suy luận đi từ điều cần tìm
đến điều đã biết nào đó.

Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải toán
Hoạt động này bao gồm thực hiện phép tính đã nêu trong kế hoạch giải
và trình bày bài giải. Trong đó các thành phần phép tính hoặc là số liệu đã
cho, số liệu đã biết, hoặc số liệu là kết quả phép tính trƣớc đó.
Theo chƣơng trình Tiểu học hiện hành có thể áp dụng một trong những
cách trình bày riêng biệt hoặc trình bày dƣới dạng biểu thức gồm một vài
phép tính.
Bước 4: Kiểm tra và đánh giá cách giải
Việc kiểm tra nhằm phân tích cách giải đúng hay sai, sai ở chỗ nào để
sửa chữa, sau đó nêu cách giải đúng và ghi đáp số.
Ngoài ra còn kiểm tra xem việc trình bày lời giải đã đầy đủ chƣa, kiểm
tra tính hợp lí của lời giải.
Có các hình thức sau đây:
+ Thiết lập tƣơng ứng các phép tính giữa các số cần tìm đƣợc trong quá
trình giải với các số đã cho.
+ Tạo ra các bài toán ngƣợc với các bài toán đã cho rồi giải bài toán
ngƣợc đó.
+ Giải bài toán bằng cách khác.
Trên đây là các bƣớc giải một bài toán. Các bƣớc này trên thực tế
không tách rời nhau. Mà bƣớc trƣớc chuẩn bị cho bƣớc sau, có khi đan chéo
vào nhau, không phân biệt rõ ràng. Nhiều trƣờng hợp không theo đầy đủ các
bƣớc trên vẫn giải đƣợc bài toán.

7


1.3. Phƣơng pháp diện tích ở Tiểu học
Có thể hiểu phƣơng pháp diện tích là một phƣơng pháp giải toán dùng
để giải các bài toán về diện tích mà không sử dụng trực tiếp các công thức
tính diện tích. Phƣơng pháp diện tích cũng là cơ sở cho việc giải các bài toán

về cắt ghép hình. Đây là phƣơng pháp khó đối với học sinh diện đại trà nên
sách giáo khoa có đề cập nhƣng lƣợng bài tập dành cho vấn đề này còn ít.
Ở Tiểu học, học sinh đã học về diện tích các hình nhƣ hình chữ nhật,
hình vuông, hình tam giác... Các công thức về diện tích của các hình này chủ
yếu đƣợc học sinh ứng dụng giải các bài tập tính toán có liên quan đến diện
tích. Để bồi dƣỡng, phát triển năng lực giải toán cho học sinh Tiểu học thông
qua việc giải các bài toán hình học bằng phƣơng pháp diện tích, nội dung chủ
yếu dựa trên hai tính chất cơ bản sau:
+ Nếu hai hình tam giác có chung đáy (hoặc đáy bằng nhau) thì tỉ số
hai chiều cao tƣơng ứng bằng tỉ số diện tích.
Ví dụ :
A

h1

C
B

M
h2

Hai tam giác ABM và AMC có chung đáy AM nên

8

SABM
h
= 1
SAMC
h2

+ Nếu hai hình tam giác có chung chiều cao (hoặc chiều cao bằng
nhau) thì tỉ số hai đáy bằng tỉ số hai diện tích.
Ví dụ:
A

B

H

M

C

Hai tam giác ABM và ACM có chung chiều cao AH nên:
SABM
h
= 1
SAMC
h2

1.4. Nội dung triển khai chƣơng trình hình học trong môn Toán ở Tiểu
học
Lớp

Nội dung
- Hình vuông, hình tròn, hình tam giác.

1

- Bài đo độ dài: vẽ đoạn thẳng có độ dài cho trƣớc; điểm ở
trong, ở ngoài một hình.
- Hình chữ nhật, hình tứ giác.
- Đƣờng thẳng.

2

- Đƣờng gấp khúc - độ dài đƣờng gấp khúc.
- Chu vi hình tam giác – chu vi hình tứ giác.
- Góc vuông, góc không vuông.
- Vẽ góc vuông bằng ê ke.

9


- Hình chữ nhật, chu vi hình vuông.
3

- Điểm ở giữa. Trung điểm của đoạn thẳng.
- Hình tròn, tâm, đƣờng kính, bán kính.
- Vẽ trang trí hình tròn.
- Diện tích của một hình.
- Góc nhọn, góc tù, góc bẹt
- Hai đƣờng thẳng vuông góc.
- Hai đƣờng thẳng song song.
- Vẽ hai đƣờng thẳng vuông góc.
- Vẽ hai đƣờng thẳng song song.

4

- Thực hành vẽ hình chữ nhật, hình vuông.
- Hình bình hành.
- Diện tích hình bình hành.
- Hình thoi.
- Diện tích hình thoi.
- Hình tam giác, diện tích hình tam giác.
- Hình thang, diện tích hình thang.

5

- Hình tròn, đƣờng tròn, chu vi hình tròn.
- Diện tích hình tròn.
- Hình hộp chữ nhật, hình lập phƣơng.
- Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lập
phƣơng.
- Thể tích của một hình.
- Thể tích hình hộp chữ nhật, thể tích hình lập phƣơng.
- Giới thiệu hình trụ, giới thiệu hình cầu.

10


Việc giải bài toán có nội dung hình học chiếm phần lớn thời lƣợng
trong phần hình học lớp 5 – khi học sinh đã nắm đƣợc một lƣợng kiến thức
tƣơng đối về các khái niệm hình học.
Đây cũng là khâu tiền đề cho quá trình giải các bài toán trong chƣơng
trình hình học sau này của học sinh. Chính vì vậy nó có ý nghĩa quan trọng và
ngƣời giáo viên cần hƣớng dẫn học sinh thông qua hoạt động này để rèn luyện
và phát triển tƣ duy.

11


Chƣơng 2
HƢỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC
BẰNG PHƢƠNG PHÁP DIỆN TÍCH Ở TIỂU HỌC
Trong chƣơng 1, tôi đã đƣa ra cơ sở hƣớng dẫn học sinh giải toán bằng
phƣơng pháp diện tích ở Tiểu học. Chƣơng này tôi đƣa ra các bài tập hình học
có sử dụng phƣơng pháp diện tích hƣớng dẫn học sinh giải toán.
Trong mỗi bài toán, tôi hƣớng dẫn học sinh giải theo các bƣớc:
+ Tìm hiểu nội dung bài toán (Bài toán cho biết gì? Bài toán yêu cầu
tìm gì?).
+ Tìm tòi, lập kế hoạch giải toán (đƣa ra sơ đồ cây minh họa việc phân
tích bài toán).
+ Thực hiện kế hoạch giải.
+ Kiểm tra và đánh giá cách giải.
Một số bài tập tự luyện cho học sinh:
Bài 1: Cho tam giác ABC, với điểm M, N là điểm chính giữa cạnh AB, AC.
Chứng minh rằng SAMN =

1
× SABC.
4

A

M

N

B

C

12


Tìm hiểu nội dung bài toán:
+ Bài toán cho biết gì?


∆ ABC, AM = BM, AN = CN

+ Bài toán hỏi gì?


C.m.r : SAMN =

1
× SABC
4

Lập kế hoạch giải:
C.m.r

1
× SABC
4

SAMN =



C.m.r

SABN = 2 × SAMN
SABC = 2 × SABN

Thực hiện kế hoạch giải:
Vì N, M là điểm chính giữa cạnh AC, AB ( giả thiết) nên AC = 2 × AN,
AB = 2 × AM.
Ta có:

SABC = 2 × SABN (2 tam giác ABC và ABN có chung chiều

cao từ B tới AC và đáy AC = 2 × AN)
SABN = 2 × SAMN (2 tam giác ABN và AMN có chung chiều cao từ N tới
AB và đáy AB = 2 × AM)
Do đó suy ra SABC = 2 × SABN = 2 × 2 × SAMN = 4 × SAMN
Vậy SAMN =

1
× SABC (đpcm).
4

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD, I là điểm chia AB thành hai phần bằng
nhau, đoạn thẳng BD cắt CI tại K. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD, biết
diện tích tứ giác ADKI là 20 cm2 .

13


I

A

B
h1

K
h2

D

C

Tìm hiểu nội dung bài toán:
+ Bài toán cho biết gì?
 Hình chữ nhật ABCD, IA = IB
 K = BD  CI
 SADKI = 20 cm2
+ Bài toán hỏi gì?
 SABCD = ?
Lập kế hoạch giải:
Tính SABCD = ?


Tính SADI = ? ( Vì SABCD = 4 × SADI )


Tính SIDK = ? SADI (Vì SAIKD = SADI + SIDK và SAIKD đã biết)


C.m.r SCDI = 2 × SADI
SCDI = 3 × SIDK


C.m.r SIDK =

1
× SCKD
2



14


C.m.r h1 =

1
× h2 (với h1, h2 lần lƣợt là chiều cao kẻ từ I, C tới BD)
2


C.m.r

SDIB =

1
× SCBD ( Vì 2 tam giác có chung chiều cao là
2

chiều cao hình chữ nhật ABCD và đáy CD = AB = 2 × IB)
Thực hiện kế hoạch giải:
+ Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD và AB = 2 × IB
 CD = 2 × IB

Do đó SDIB =

1
× SCBD ( Vì 2 tam giác có chung chiều cao là chiều cao hình
2

chữ nhật ABCD và đáy CD = 2 × IB)
+ Gọi h1, h2 lần lƣợt là chiều cao kẻ từ I, C tới BD.
Ta có: h1 =

1
× h2
2

(Vì SDIB =

1
× SCBD (chứng minh trên) và đều là chiều
2

cao kẻ xuống đáy BD).

 SIDK =

1
× SCKD (Vì 2 tam giác IDK và CKD có chiều cao lần lƣợt
2

là h1 và h2)
 SCDI = SIDK + SCKD = 3 × SIDK.

Mà SCDI = 2 × SADI ( Vì 2 tam giác có chung chiều cao là chiều cao hình chữ
nhật ABCD và đáy CD = AB = 2 × AI)
 SADI =

3
2
× SIDK hay SIDK = × SADI
2
3

+ Mặt khác SAIKD = SAID + SIDK = 20 (cm2 ) nên suy ra:
SAID +

2
SADI = 20 (cm2 ) hay SADI = 12 (cm2 )
3

Ta có: SABCD = 4 × SADI ( Vì SADI =

1
1

× SABD và SABD = × SABCD)
2
2
2

 SABCD = 4 × 12 = 48 (cm )

Đáp số: SABCD = 48 (cm2 ).

15


Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho
AM = MN = NB. P là điểm chia cạnh DC thành 2 phần bằng nhau. ND cắt
MP tại O. Biết diện tích tam giác DOP lớn hơn diện tích tam giác MON là 3,5
cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

M

A

N

B

O

D

P

C

Tìm hiểu nội dung bài toán:
+ Bài toán cho biết gì?


Hình chữ nhật ABCD



M, N  AB | AM = MN = NB



P  DC | DP = PC



SDOP = SMON + 3,5 cm2

+ Bài toán hỏi gì?
 SABCD = ? cm2
Lập kế hoạch giải:
Tính SABCD = ?


Tính SNPD = ? (Vì SABCD = 4 × SNPD)


C.m.r SNDP = 1,5 × SMPN

16


SNDP = 3,5 + SMPN
Đến đây ta dễ dàng tính đƣợc:
SMPN = 7 (cm2 ) ; SNDP = 10, 5 ( cm2)
Thực hiện kế hoạch giải:
+ Theo giả thiết: SPON = SMON + 3, 5 cm2
2

 SPOD + SNOP = SMON + SNOP + 3, 5 cm (cùng cộng thêm SNOP)

Hay SNPD = SMPN + 3, 5 cm2 (1)
+ Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = DC và AM = MN = NB ; DP = PC
 DP = 1, 5 × MN
 SNDP = 1, 5 × SMPN ( Vì đáy DP = 1, 5 × MN và cùng đƣờng cao là chiều

rộng hình chữ nhật)(2)
Từ (1) và (2) suy ra SMPN = 7 (cm2 ) và SNDP = 10,5 ( cm2)
+ SBCD =

1
× SABCD ( Vì tam giác BCD là một nửa của hình chữ nhậtABCD)
2

Và SBCD = SNCD ( 2 tam giác có chung đáy DC và chung chiều cao là chiều
rộng của hình chữ nhật ABCD)
 SNCD =

1
× SABCD
2

Lại có SNPD =

1
1
× SNCD ( Vì đáy DP = × DC và chiều cao là chiều rộng của
2
2

hình chữ nhật ABCD)
 SNPD =

1
× SABCD hay SABCD = 4 × SNPD
4

Vậy SABCD = 4 × SNPD = 4 × 10, 5 = 42 (cm2)
Đáp số: SABCD = 42 (cm2)

17


Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là 108 cm2. M là trung điểm
cạnh AB. Trên đoạn thẳng DM lấy điểm N sao cho DM = 3 × DN. Kéo dài
AN cắt BD tại I.
a) Tính SDNI, SDIC = ?

b) Tính SMNIC = ?
A

M

B

N
I
D

C

Tìm hiểu nội dung bài toán:
+ Bài toán cho biết gì?


ABCD là hình chữ nhật, SABCD = 108 cm2



M  AB | AM = MB



N  DM | DM = 3 × DN



I = AN  BD

+ Bài toán hỏi gì?


Tính SDNI, SDIC = ?



Tính SMNIC = ?

Lập kế hoạch giải:
Tính SDNI = ?


Tính SDMI = ? (Vì SDMI = 3 × SDNI)


18


Tính
(Vì

DI
=?
DB

SDIM
DI
=

và có thể tính đƣợc SDMB theo SABCD)
SDMB
DB


Tính

DI
= ? (Vì DI + IB = DB)
IB


Tính

SAID
DI SAID
= ? (Vì
=
)
SAIB
IB SAIB


Tính

SAID
1
= ? (Vì SAIM = × SAIB)
SAIM
2

Đến đây ta dễ dàng tính đƣợc:
SADN =

1
× SAMN
2

Mà SADN + SDIN = SAID
nên

SDIN =
;

1
× SMIN
2

SAMN + SMIN = SAIM

SAID
1
= .
SAIM
2

Tính SDIC =?


Tính

SDIC
1
1
= ? (Vì SDBC = × SABCD = × 108 = 54 (cm2))
SDBC
2
2

Đến đây dễ dàng chứng minh đƣợc

SDIC
DI
DI
=
;
đã biết.
SDBC
DB DB

b) Tính SMNIC = ?


Tính SDMC – (SDNI + SDIC) = ?
Đến đây ta dễ dàng tính đƣợc SDMC =
SDNI và SDIC tính ở phần a.

19

1

1
× BC × CD = × SABCD
2
2


Thực hiện kế hoạch giải:
a) Theo giả thiết ta có:
DM = 3 × DN hay DM + MN =3 × DN  MN = 2 × DN hay

1
DN
=
MN 2

 AND và  AMN có chung đƣờng cao hạ từ A xuống DM nên :

SAND DN 1
=
=
SAMN MN 2
 DIN và  MIN có chung đƣờng cao hạ từ I xuống DM nên:

SDIN DN 1
=
=
SMIN MN 2

Lại có: SADN + SDIN = SAID

;

SAMN + SMIN = SAIM nên:

SAID 1
=
SAIM 2

(1)

Vì  AIM và  AIB có chung đƣờng cao hạ từ I xuống AB nên:
SAIM AM 1
=
=
SAIB
2
AB

Từ (1) và (2) 

(2)

SAID
1
1 1
= × =
2
2 4
SAIB

Mặt khác:  AID và  AIB có chung đƣờng cao hạ từ A xuống BD nên:
SAID DI
=
SAIB IB

Vậy

DI 1
DI
1
= 
= (Vì DI + IB = DB)
IB 4
DB 5

Vì  DIM và  DMB có chung đƣờng cao hạ từ M xuống AB nên:
SDIM
DI
1
1
=
=  SDIM = × SDMB
DB 5
5
SDMB

Lại có SDMB =

1
1

1
1
× SABCD nên SDIM = × × SABCD =
× SABCD
4
5
4
20

Vì  DIM và  DIN có chung đƣờng cao hạ từ I xuống DM nên:

20