Bài tập Cảm ứng điện từ nâng cao

CHUYÊN ĐỀ: HIỆN TƯỢNG CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
A. LÍ THUYẾT VỀ HIỆN TƯỢNG CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
I. Từ thông qua diện tích S đặt trong một từ trường đều
+ Từ thơng qua một mạch điện kín có diện tích S, đặt trong từ trường đều có vectơ
cảm ứng từ là B được xác định theo công thức:
Φ = BScos α ; Trong đó α = ( n ; B )
(Chiều của n tuỳ thuộc vào chiều (+) mà ta chọn cho khung dây kín)
II. Hiện tượng cảm ứng điện từ:
+ Khi từ thơng qua một khung dây kín biến thiên thì trong ktg từ thơng biến thiên
trong khung xuất hiện dòng điện cảm ứng
+ Khi một đoạn dây dẫn chuyển động cắt các đường cảm ứng thì trong đoạn dây xuất
hiện một suất điện động cảm ứng
III. Định luật Lenxơ về chiều dịng cảm ứng
+ Dịng cảm ứng có chiều chống lại ngun nhân đã sinh ra nó
+ Dịng cảm ứng có chiều sao cho từ trường mà nó sinh ra chống lại sự biến thiên của
từ thông sinh ra nó
. Khi Bm tăng thì Bm và Bc ngược chiều
. Khi Bm giảm thì Bm và Bc cùng chiều
IV. Suất điện động cảm ứng:
* Định luật Farađây về cảm ứng điện từ:
Độ lớn suất điện động cảm ứng xuất hiện trong mạch kín tỉ lệ với tốc độ biến thiên từ
thơng qua mạch.
ec = -N

∆Φ
∆t

(N là số vịng dây của khung)

* Suất điện động cảm ứng xuất hiện trên đoạn dây dẫn chuyển động trong từ trường
đều.

ec = Blvsin α
+ v và B cùng vng góc với đoạn dây và v tạo với B góc α
+ Chiều của sđđ (từ cực (-) sang cực (+) tuân theo qui tắc BTP hoặc theo định
luật Lenxơ
. Qui tắc BTP: Xoè bàn tay phải hứng đường cảm ứng, ngón tai cái chỗi ra
0
90 chỉ chiều v thì chiều
từ cổ tay đến 4 ngón còn lại chỉ chiều từ cực (-) sang cực (+) của
nguồn cảm ứng
V. Suất điện động tự cảm:
Φ = Li
1. Từ thông tự cảm:
( L = k.2 π .n2V)
2. Suất điện động tự cảm:
3. Năng lượng từ:

etc = -L

1
W = LI2
2

∆I
∆t

B 2V
suy ra trong cuộn dây: W =
4π .k

4. Mật độ năng lượng từ:

2
ω = B
4π .k

VI. Công của lực từ tác dụng lên một mạch điện kín chuyển động trong từ
trường.
Khi một mạch điện chuyển động trong từ trường bất kì thì cơng của lực từ tác dụng
lên mạch điện được đo bằng tích của cường độ dịng điện với độ biến thiên từ thơng
qua mạch trong q trình chuyển động.
∆A = I. ∆Φ
Ta có: F=BIl và F tạo với dịch chuyển ∆x một góc đúng bằng góc α của vectơ pháp
tuyến khung tạo với vectơ từ cảm B .
∆A = F. ∆x .cos α = I. ∆Φ
Suy ra công của lực từ là :
B. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HIỆN TƯỢNG CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
Bài 1: Một dòng điện chạy trên một dây dẫn thẳng dài
qua hai cạnh của một hình vng ABCD, có cường độ
dịng điện i cho bởi biểu thức i = 4,5.t 2 – 10.t; trong
đó i tính bằng A và t tính bằng s. Cho a = 12 cm; b =
16 cm (hình vẽ) (Giữa dây dẫn thẳng dài và hình
vng có cách điện)
a.Tính suất điện động trong khung dây dẫn hình
vng ABCD tại thời điểm t = 3 s.
b. Xác định chiều của dòng điện cảm ứng trong khung
tại thời điểm t=3s.

A
i

b

a
D

Lời giải

a. Từ trờng B của dòng điện i gây ra có phơng vuông
phẳng chứa khung dây ABCD, có chiều
A
đi từ sau ra trớc với vùng ở phía trên dòng
điện và có chiều từ trớc ra sau đối với vùng
M
ở phía dới dòng điện.
A
Xét hình chữ nhật ABNM đối xứng với
a
hình chữ nhật ABNM qua MN. Vì lý do
đối xứng nên từ thông gửi qua ABNM
D
bằng nhng trái dấu với từ thông gửi qua
ABNM, nên từ thông gửi qua hình chữ
nhật ABCD chỉ còn bằng từ thông gửi qua hình chữ
và bằng:
a
a
à i dr à 0 ib
à bi
a

Φ = ∫ BdS = ∫ bBdr = ∫ b 0
=
ln r = 0 ln
Thay i =
b−a
2π r
2π
2π
b−a
b−a
vµo biĨu thøc của từ thông ta đợc
àb
a
= 0 (ln
)(4,5.t 2 10.t )
2
ba
Suất điện động cảm ứng trên khung tại thời điểm t là
2

B

C

b

góc với mặt
B
N
i

b

B


b
C

nhật ABCD
4,5.t2 10.t


=

àb
d
a
= 0 (ln
)(9t 10)
dt
2
ba

6
Tại thời điểm t = 3 s thì suất điện động có độ lớn = 0,598.10 V
b. Tại thời điểm t = 3 s thì dòng điện i đi qua dây dẫn MN đang
tăng theo thời gian t tức B đang tăng. Theo định luật Len-xơ thì
dòng điện cảm ứng ic đi trong khung dây ABCD phải có chiều sao
cho chống lại sự tăng của B trong khung ABCD, nghĩa là nó phải

sinh ra từ trờng cảm ứng Bc có chiều ngợc với B . Vậy ic phải có chiều
ngợc chiều quay của kim đồng hồ tại thời điểm đó.

Bi 2: Mt
khung dõy dẫn OABC nằm trong mặt phẳng Oxy có cạnh b=2cm. Từ

trường B vng góc với mặt phẳng Oxy có chiều hướng từ trong ra ngồi và có độ
lớn cho bởi cơng thức B = 4t 2y. Trong đó B tính bằng T, tính tính bằng s và y tính
bằng m.
a. Xác định suất điện động cảm ứng trên khung dây tại thời điểm t = 2,5 s.
b. Xác định chiều của dòng cảm ứng chạy trong khung y
dây tại thời im t=2,5s.
Lời giải
a. Từ thông gửi qua bề mặt bao bởi khung
dây hình chữ nhật có cạnh là b = 2 cm cã
chiỊu cao lµ dy lµ:
dS = b.dy
B = 4t2y

B

A


x

C

O

dΦ = BdS = Bbdy = 4t 2 bydy.

V× B = 4t2y lµ hµm cđa hai biÕn t vµ y. Ta lÊy tÝch ph©n theo biÕn
y
b

y2
Φ = ∫ 4t bydy = 4t b ∫ ydy = 4t b( )
2
0
2

2

b

= 2b 3t 2

2

0

Suất điện động cảm ứng trên khung dây là:
=

d
= 4b 3t
dt

Tại thời điểm t = 2,5 s, suất điện động có độ lớn là = 80.10-6 V

b. Khi t = 2,5 s th× B = 4yt 2 đồng biến với t. Vậy Bc có chiều ngợc

chiều với chiều của B . Nên dòng điện cảm ứng cã chiỊu ®i theo
chiỊu quay cđa kim ®ång hå.
Bài 3: Một khung dây hình chữ nhật, có
chiều dài là a, chiều rộng là b, điện trở là R
đặt gần một sợi dây dài vơ hạn mang dịng
điện i nh hình vẽ bên. Khoảng cách từ sợi
dây dài đến tâm của khung dây là r. Hãy
tính.
3

v
a
b
r
i


a. Độ lớn của từ thông gửi qua khung dây.
b. Dòng điện cảm ứng trong khung dây khi khung dây chuyển động ra xa sợi
dây dài với tốc độ v.
Lêi giải
a. Từ trờng B gây ra bởi dòng điện thẳng i ở khoảng cách r là:
B=

à 0i
2r

Từ thông gửi qua khung dây là:
ài
d = BdS = a 0 dr
2π r

µi
Φ = ∫ BdS = ∫∫ 0 drdx = ∫ dx
2π r
0
a

r+

b
2

µ0i dr
µ 0i
=
a
∫b 2π r 2π ln r

r−

2

r+

r−

b
2

=

b
2

µ0ia 2r + b
ln(
).
2
2r b

b. Suất điện động cảm ứng trong khung dây khi nó chuyển động
ra xa so với dây với tốc độ v

=

à iav
2 à 0 abvi
d
d dr
dΦ
2
2
=−
= −v
=− 0 (

−
)=
dt
dr dt
dr
2π 2r + b 2r − b (4r 2 b 2 )

Cờng độ dòng điện cảm ứng ic đi qua khung dây là:
2 à 0 abvi
ξ
ic = =
R πR(4r 2 − b 2 )
Bài 4: Trong cùng một mặt phẳng nằm ngang với dòng điện thẳng dài vơ hạn có
cường độ I = 20A người ta đặt hai thanh trượt kim loại song song với dòng điện và
thanh gần hơn cách dòng điện một khoảng x 0 = 1cm. Hai thanh trượt cách nhau l =
2cm. Trên hai thanh trượt người ta lồng vào một
I
đoạn dây dẫn MN dài l .Cho dây dẫn trượt tịnh
x0
tiến trên các thanh với vận tốc không đổi v =
M
P
3m/s theo hướng song song với các thanh trượt.
a. Tìm hiệu điện thế xuất hiện giữa hai đầu

dây dẫn UMN.
v
b. Nối hai đầu P, Q của hai thanh trượt với
nhau bằng điện trở R = 0,2Ω để tạo thành mạch
Q

N
kín. Xác định độ lớn và điểm đặt lực kéo tác
dụng lên MN để nó chuyển động tịnh tiến đều
như trên. Bỏ qua ma sát.
I

Lêi gi¶i
ur
Dịng I sinh ra từ trường có cảm ứng từ B như hình
vẽ
4

P

X

X0

M
d
x

l

Q

N vt

+ B

Vì đoạn dây MN chuyển động trong từ trường nên trên nó xuất hiện suất điện động
cảm ứng.Sau thời gian t kể từ lúc bắt đầu chuyển động,từ thông quét bởi đoạn dài dx
của dây (cách dòng I khoảng x) bàng:
µ0 I
vtdx
2πx

dΦ = Bds =
Từ thơng qt bởi cả đoạn dây MN bằng:
x0 + l

Φ=

µ 0 Ivt  x 0 + l 

ln
2π
 x0 

∫ dφ =

x0

Suất điện động cảm ứng có độ lớn: εc = /Φ’/ =

µ 0 Iv  x 0 + l 

ln
2π

x
 0 

Và cực của nguồn có dấu: N âm, M dương.
Mạch hở
UMN = εc =

 x +l
µ 0 Iv  x0 + l 
 =2.10-7Iv ln 0

ln
2π  x0 
 x0 

Thay số được UMN = 1,32.10-5 (V)
Mạch kín .
Dịng điện qua đoạn dây MN có cường độ : Ic = εc / R = 6,6.10-5 (A)
*Lực từ tác dụng lên đoạn dài dx của
dây dẫn MN :
dF = BIcdx =

µ0 I
Icdx
2πx

X 0 +l

Các dF cùng hướng => F =

∫ dF =

X0

µ0 I
X +l
I c ln 0
2π
X0

 x0 + l 
 = 2,9.10-10 (N)
x
 0 

Hay F = 2.10-7I.Ic ln

Chọn trục quay tại vị trí X = 0
F.XG = tổng mơmen của các dF = momen của lực từ tác dụng lên thanh
dM = xdF


Xác định điểm đặt của F .Giả sử G là điểm đặt của F . GM = XG.F
X 0 +l

µ I
XGF = ∫ XdF = 0 Icl
2π
X0

l
=> XG = ln X 0 + l = 1,82 (cm)
X0

Suy ra G cách đầu M khoảng 0,82 cm.




Vậy lực kéo F ' cân bằng với lực từ F F’= 2,9.10-10N và đặt tại G
Bi 5: Một sợi dây tiết diện ngang 1,2 mm2 và điện trở suất là
1,7.10-8 m đợc uốn thành một cung tròn có tâm tại O, bán kính r
= 24 cm nh hình vẽ bên. Một đoạn dây thẳng khác
OP cũng cùng loại nh trên , có thể quay quanh điểm
P

O và trợt có tiếp xúc với cung tròn tại P. Sau cùng, một

đoạn dây thẳng khác OQ cũng cùng loại trên, hợp với
hai đoạn dây trên thành một mạch ®iƯn kÝn. Toµn
Q
O
5


bộ hệ nói trên đặt trong một từ trờng B = 0,15 T, hớng từ trong ra
ngoài vuông góc với cung tròn. Đoạn dây thẳng OP thoạt đầu nằm
yên tại vị trí = 0 và nhận một gia tốc góc bằng 12 rad/s2.
a. Tính điện trở của mạch kín OPQO theo .
b. Tính từ thông qua mạch theo .

c. Với giá trị nào của thì dòng điện cảm ứng trong mạch đạt
cực đại.
d. Tính giá trị dòng điện cảm ứng cực đại trong mạch.
Lời giải
a. Độ dài của cung PQ là: PQ = r. Trong đó tính bằng rad
Độ dài của mạch kín OPQO là:
l = OP + OQ + PQ = r + r + r = (2 + )r.
Vậy điện trở của mạch kính OPQO là:
l
(2 + )r
R= =
S

S

Thay số ta đợc R = 3,4.10-3(2 + θ) (Ω) = 3,4. (2 + θ) m.
b. Từ thông qua mạch kín OPQO là:
trũn s = πR2
cung s = πR2.α/2π= R2.α/2
r 2θ
(0,24) 2
Φ = BS = B
= 0,15
θ = 4,32.10 −3.θ (Wb) = 4,32.θ mW
2

2

c. SuÊt điện động cảm ứng trên mạch kính
=

d
d
= 4,32.10 3
= −4,32.10 −3 ω = −4,32.10 −3 γ t
dt
dt

Trong ®ã ω, tơng ứng là vận tốc góc và gia tốc góc của thanh OP.
Dòng điện cảm ứng ic trong khung lµ:
ξ
4,32.10 −3 γt
1,271γt
ic = =
=
−3
R 3,4.10 (2 + θ )
2 +θ
1
2θ
θ = γt 2 ⇒ t =
Víi
2
γ
Thay vµo biĨu thøc của ic ta đợc

ic = 1,271. 2
2 +
Để tìm giá trị cực đại icmax của ic ta phả tính
Ta có

dic
+ 2
=
dθ 2(θ + 2) 2 θ

6

dic
dθ


Khảo sát ic theo ta có bảng biến thiên


0
2

dic
d

2
+

0

-

i

Vậy khi = 2 rad thì ic đạt giá trị cực đại.
d. Cờng độ dòng điện cảm ứng cực đại trong mạch
Thay = 2 rad vào biểu thức của dòng điện cảm ứng ta đợc
icMax = 1,271. 2

1,271 2.12.2

=
= 2,2 A
(2 + 2)
2 +θ

Bài 6: Một khung hình vng làm bằng dây dẫn
quay đều quanh một trong số các cạnh của nó
tại gần một dây dẫn thẳng dài vơ hạn có dịng
điện khơng đổi I đi qua (hình vẽ). Trục quay
song song với dây dẫn và khoảng cách giữa
chúng bằng d, chiều dài cạnh khung bằng a.
Tại vị trí mặt phẳng khung tạo với mặt phẳng
chứa dây dẫn và trục của khung một góc α
bằng bao nhiêu thì vơn kế chỉ giá trị tuyệt đối
cực đại tức thời của điện áp?
Lời giải:
Xét tại thời điểm t=0 khi khung dây trong
cùng mặt phẳng với dòng điện.
Tại điểm M trên khung cách dòng điện
đoạn x, từ cảm do dòng điện gây ra tại M
có độ lớn bằng:

BM =

I

V

a
d

M
O2

O1

kI
x

Từ thơng qua diện tích (a.dx) của khung
là: d Φ =BM.a.dx =

kIa.dx
x

D

Xét tại thời điểm t=0 khung ở vị trí
O2CDE

7

E

Tại thời điểm t, khung quay được góc α =
ωt và ở vị trí O2C’D’E như hình 2.
Từ thơng qua khung lúc này bằng từ thơng
qua diện tích O2AFE của khung khi α =0,
với O1A= O1C’= r
Xét tam giác O1C’O2:
O1C’=r = d 2 + a 2 − 2da cos α = O1A
Từ thơng qua diện tích O2AFE là:

C’

O1

A

d

Φ = ∫ dΦ =...=kIa(lnd

-

D’

ln

r

D

d + a − 2da cos α )
kIa 2 d ω.sin(ωt )
⇒ e = -Φ ’ = 2
d + a 2 − 2da cos(ωt )
2

e’

O2

2

F

E

kIa 2 dω 2
.
[d 2 + a 2 − 2da cos(ωt )]2

=

( d 2 + a 2 ).cos ωt − 2ad 

e’=0 khi cos α =

2ad
d 2 + a2

Vậy tại vị trí mặt phẳng khung tạo với mặt phẳng chứa dây dẫn và trục của khung
một góc α thỏa mãn cos α =
của điện áp

2ad
thì vôn kế chỉ giá trị tuyệt đối cực đại tức thời
d 2 + a2

Bài 7: Một khung dây dẫn hình vuông chuyển động dọc theo trục x với vận tốc v 0 đi
vào một bán không gian vô hạn (x>0) trong đó có một từ trường khơng đều hướng
theo trục z: Bz(x) = B0(1 + αx) với B0, α là hằng số dơng. Biết rằng hai cạnh của
khung song song với trục x, cịn mặt phẳng của khung ln vng góc với trục z.
Hỏi khung đã thâm nhập vào khơng gian có từ trường một khoảng cách bằng bao
nhiêu, nếu khối lượng của khung là m, chiều dài cạnh của khung là b và biết rằng vào
thời điểm khi các đường sức từ xuyên qua toàn bộ
x
O
mặt phẳng của khung, trong khung toả ra lượng
nhiệt đúng bằng nhiệt lượng mà khung toả ra trong A

D
chuyển động tiếp sau đó cho tới khi dừng hẳn. Tính
điện trở của khung. Bỏ qua hệ số tự cảm của khung
và coi αb<<1.
8

B

C

Lời giải
Xét thời điểm cạnh CD có toạ độ là x và khung đang thâm nhập vùng từ trường. Áp
dụng định luật bảo toàn năng lượng, nhiệt lượng toả ra trong khung bằng độ biến
thiên động năng của khung:
dQ =

m 2 m
v − (v + dv) 2 ⇒ dQ = −mvdv
2
2

(1)

Suất điện động cảm ứng xuất hiện trên cạnh CD là:
E = BCD bv = B0 (1 + αx)bv
B02 (1 + αx) 2 b 2 v 2 dt B02 (1 + 2α ) 2 b 2 v 2 dt
E
2
⇒ I = ⇒ dQ = I Rdt =
≈
R
R
R

(2)

Từ (1) và (2) ta có:
− Rmvdv = B02 (1 + 2αx)b 2 v 2 dt

⇒ − Rmdv = B02 (1 + 2αx )b 2 dx

(3)
Gọi v1 là vận tốc của khung khi bắt đầu khung nằm trọn trong từ trường ta có:
mv 2
v
mv02
mv 2
− Q = 1 trong đó Q = 0 ⇒ v1 = 0
4
2
2
2

Tích phân 2 vế phương trình (3) ta có:
v1

b

v0

0

− ∫ Rmdv = ∫ B02 (1 + 2αx)b 2 dx

⇔ Rm(v1 − v0 ) = B02 b 2 (b + αb) = B02 b 3 (1 + αb) ≈ B02 b 3
⇒R=

2 B02 b 3
mv0 ( 2 − 1)

=

( 2 + 2) B02 b 3
mv0

(*)

Khi khung đã vào hẳn trong từ trường, cường độ dòng điện trong khung là:
ECD − E AB B0 vb[1 + α ( x + b) − (1 + αx)] B0 b 2αv
I=

R

=

R
Xét trong khoảng thời gian nhỏ dt: dQ = I 2 Rdt
⇔ dQ =

B02 b 4α 2 v 2 dt B02 b 4α 2 v dx
=
R
R

=

R

(4)

Tích phân 2 vế phương trình (4) và thay R ở (*) vào ta được: s1 =
Khung đã vào trong từ trường được một đoạn là:
2 + 1 + α 2b 2
2 +1
s = s1 + b =
≈
2
α b
α 2b

( 2 + 1)
α 2b

( 2 + 2) B02 b 3
2 +1
Vậy s = 2 và ⇒ R =
mv0
α b

Bài 8: Cho một khung dây dẫn kín hình chữ nhật ABCD bằng kim loại, có điện trở R,
có chiều dài các cạnh là a và b. Một dây dẫn thằng ∆ dài vô hạn, nằm trong mặt
phẳng của khung dây, song song với cạnh AD và cách nó một đoạn d như hình vẽ
bên. Trên dây dẫn thẳng có dòng điện cường độ I0 chạy qua.
9


a. Tính từ thơng qua khung dây.
b. Tính điện lượng chạy qua một tiết diện thẳng của
khung dây trong quá trình cường độ dịng điện trong dây dẫn

thẳng giảm đến 0.
c. Cho rằng cường độ dòng điện trong dây dẫn thẳng
giảm tuyến tính theo thời gian cho đến khi bằng 0, vị trí dây
dẫn thẳng và vị trí khung dâykhơng thay đổi. Hãy xác định
xung của lực từ tác dụng lên khung.
Lời giải
a. Cảm ứng từ tại điểm cách dây dẫn một đoạn r: B =
Từ thông qua khung dây là:
d +a
µ Ib
µ Ib
a
Φ = ∫ 0 0 dr = 0 0 ln(1 + ) = Φ 0
2πr
2π
d
d

A

b
∆

D

C

µ0 I 0
2πr

dΦ
, trong khung có
dt

ec
dΦ dq
dΦ
=−
=
⇒ dq = −
lấy tích phân 2 vế ta được:
R
Rdt dt
R
Φ − Φ0
0 − Φ 0 Φ 0 µ0 I 0b
a
q=−
=−
=
=
ln(1 + )
R
R
R
2πR
d

dịng điện cảm ứng i =

c. Gọi ∆t là thời gian dòng điện giảm đều đến 0 thì:
t
); ec = −Φ ' ; trong khung có dịng điện cảm ứng
∆t
e
Φ' µ I b
a
i = c = − = 0 0 ln(1 + ) = hằng số
R
R 2πR∆t
d
I = I 0 (1 −

Lực tác dụng lên khung là tổng hợp hai lực tác dụng lên các cạnh AD và BC:
µb
µ0b
µ 0 ab
F = B1bi − B2 bi = 0 Ii −
Ii =
Ii
2πd
2π (d + a )
2πd (d + a )
Xung của lực tác dụng lên khung là:
∆t
µ 0 I 0 abi ∆t
µ 02 ab 2
I 02
t
a

X = ∫ Fdt =
I
(
1
−
)
dt
=
ln(1 + )
0
∫
2
2πd (d + a ) 0
∆t
4π d (d + a ) 2 R
d
0

10

B

d

b. Trong thời gian nhỏ dt trong khung có suất điện động ec = −

Bài 9: Một thanh có chiều dài L chuyển động với tốc
độ không đổi v dọc theo hai thanh ray dẫn điện nằm
ngang. Hệ thống này được đặt trong từ trường của
một dòng điện thẳng dài, song song với thanh ray

cách thanh ray một đoạn a, có cường độ dòng điện I
chạy qua. Cho v =5 m/s, a = 10 mm, L = 10 cm và I =
100 A.
a. Tính suất điện động cảm ứng trên thanh.

a

i
a
L

v


b. Tính cường độ dịng điện cảm ứng trong mạch. Biết rằng điện trở của thanh
là 0,4 Ω và điện trở của hai thanh ray và thanh ngang nối hai đầu thanh ray bên phải
là khơng đáng kể.
c. Tính tốc độ sinh nhiệt trong thanh.
d. Phải tác dụng lên thanh một lực bằng bao nhiêu để duy trì chuyển động của
nó.
e. Tính tốc độ cung cấp cơng từ bên ngồi lên thanh.
Lời giải
a. Suất điện động cảm ứng ξ = −

dΦ
dt

Ta đi tính dΦ = BdS = Bdrdx với r là khoảng cách từ phần tử dS tới dòng điện i và x là
µi
khoảng cách từ dS đến cạch nối hai đầu thanh ray, cịn B = 0

2πr
a+ L
a+L
a+L
µ i dr
µi
µ i a+L
= dx 0 ln(r ) = 0 ln
dx
Vậy dΦ = dx ∫ Bdr = dx ∫ 0
2
π
r
2
π
2
π
a
a
a
a
Do thanh L chuyển động với tốc độ khơng đổi v, nên:
µ i a+L
vdt
dx = vdt ⇒ dΦ = 0 ln
2π
a
µ iv a + L
dΦ
= − 0 ln

Vậy ξ = −
Thay số vào ta được độ lớn của ξ = 0,24 mV.
dt
2π
a
ξ
b. Dịng điện cảm ứng trong mạch có cường độ ic = = 0,6 mA.
R

c. Tốc độ sinh nhiệt trên thanh là:

dQ
= Ric2 = 0,1437.10 −6 W.
dt






d. Lực từ tác dụng lên dòng điện cảm ứng ic trên thanh là F = ic dr ∧ B


Vì dr vng góc với B nên suy ra
a+L
µ ii dr µ 0 iic a + L
µ 0 idr
⇒ F = ∫ dF = ∫ 0 c
=
ln

dF = ic drB = ic
2π r
2π
a
2πr
a
-9
Thay số vào ta được F=28,75.10 N.
Vậy để duy trì chuyển động cho thanh ta phải tác dụng lên thanh một ngoại lực bằng
lực từ tác dụng lên thanh F’ = 28,75.10-9 N.
e. Tốc độ cung cấp cơng từ bên ngồi chính là cơng suất của ngoại lực F’
dW Fdx
=
= F .v = 0,1437.10 −6 W .
dt
dt

Bài 10: Người ta đặt một vòng xuyến mảnh, đồng
chất và dẫn điện bán kính r vào trong một từ trường
đồng nhất và biến đổi theo thời gian theo cơng thức
B=Bocos ωt . Điện urtrở của vịng xuyến là R và hệ số
tự cảm L. Vecto B tạo với mặt phẳng vịng xuyến
góc α . Hãy tính momen trung bình của các lực tác
dụng lên vịng xuyến?
11

B

α

Lời giải:
Xét tại thời điểm t, từ thơng qua vịng xuyến: Φ = π r 2 . sin α .Bocos ωt
Suất điện động cảm ứng xuất hiện trong vòng xuyến là: e=- Φ ’ = π r 2 Bo ω .sin α .sin
ωt

Ta có thể coi như trong vịng xuyến có một nguồn có sđđ bằng e, điện trở trong bằng
0 đang cung cấp điện cho một mạch ngoài gồm điện trở thuần R nối tiếp với cuộn
thuần cảm L
Cường độ dòng điện cực đại qua mạch là: Io =
Độ lệch pha của i với e là ϕe / i :

sin ϕe / i =

Biểu thức dòng qua vòng xuyến là:

i=

Eo
R 2 + ω 2 L2
ωL

=

π r 2 Boω.sin α
R 2 + ω 2 L2

R 2 + ω 2 L2

π r 2 Boω.sin α

R 2 + ω 2 L2

. sin( ωt - ϕe / i )

Momen ngẫu lực từ trung bình tác dụng lên vịng xuyến trong một chu kì là:
1
MTB =
T
1
=
T

T

T

2
∫ iBπ r cosα .dt =
o

1
T

T

∫
o

π r 2 Boω
R +ω L

2

π r Bo ω
2 4

2

1
∫o 2 R 2 + ω 2 L2 cosα .sin α .sin ϕ dt + T

2 2

T

∫2

.Boπ r 2 cosα .sin α .sin(ωt − ϕ ).cosωt.dt

π 2 r 4 Bo 2ω

o

R 2 + ω 2 L2

cosα .sin α .sin(2ωt − ϕ ) dt

Bo2π 2 r 4ω 2 L sin α .cosα
=
2( R 2 + ω 2 L2 )

Bài 11: Một khung dây dẫn phẳng, hình vuông cạnh a, khối lượng m, không biến
dạng, điện trở R. Khung được ném ngang
từ độ cao h 0 với vận tốc v0 (Hình 4) trong
ur
vùng có từ trường với cảm ứng từ B có hướng khơng đổi, độ lớn phụ thuộc vào độ
cao h theo quy luật B = B0 + k .h , với k là hằng số, k > 0 .
ur

Lúc ném, mặt phẳng khung thẳng đứng vng góc với B
và khung khơng quay trong suốt q trình chuyển động.

u
r
B

a

u
u
r
v0

+

a. Tính tốc độ cực đại mà khung đạt được.

b. Khi khung đang chuyển động với tốc độ cực đại
và cạnh dưới của khung cách mặt đất một đoạn h 1 thì mối
hàn tại một đỉnh của khung bị bung ra (khung hở). Bỏ
qua mọi lực cản. Xác định hướng của vận tốc của khung ngay trước khi chạm đất.

Lời giải:
a. Tốc độ cực đại:
- Chiều dòng điện cảm ứng (hình vẽ).

Ic

- Biểu diễn đúng lực từ tác dụng lên 4 cạnh.
- Lực từ tổng hợp F có: phương thẳng đứng, hướng lên.
12

uu
r
F3

u
u
r
F1

u
r
B
+
uu
r
F2

uu
r
F4

F tăng theo vz đến lúc F = P khung sẽ chuyển động đều với vận tốc vzmax trên phương
thẳng đứng.
Khi khung CĐ đều, thế năng giảm, động năng không đổi, xét trong khoảng thời gian
∆t , độ giảm thế năng đúng bằng nhiệt lượng tỏa ra trên khung.
mgvz max ∆t = RI 2 ∆t
I=

Ec
R

=

a 2 ∆B a 2 k ∆z a 2 kvz
=
=
R∆t
R∆t
R
2

 ka 2 vz 
mgR
mgvzmax ∆t = 
÷ R∆t ⇒ vzmax = k 2 a 4
 R 

Trên phương ngang khung CĐ đều vx = v0
2

2
Tốc độ cực đại của khung khi đó: v = vzm
ax + v0
2

 mgR 
⇒ v =  2 4 ÷ + v02
k a 

b. Hướng vận tốc ngay trước khi chạm đất:
- Khi chạm đất, vận tốc theo phương thẳng đứng
2
v '2z = vzm
ax + 2 gh1

Góc hợp bởi vận tốc và phương ngang α là:
2

 mgR 
 2 4 ÷ + 2 gh1
'
vz
k a 
tan α = =
v0
v0

Bài 12: Hai dây dẫn dài, mỗi dây có điện trở
a
c

R=0,41 Ω được uốn thành hai đường ray nằm
v
F
trong mặt phẳng ngang như hình vẽ. Hai ray phía
i
bên phải cách nhau l1=0,6m và nằm trong từ
trường có cảm ứng từ B1=0,8T, hướng từ dưới
d
b
lên. Hai thanh ray bên trái cách nhau khoảng
l2=0,5m và nằm trong từ trường B 2=0,5T, hướng
từ trên xuống.
Hai thanh kim loại nhẵn ab điện trở r 1=0,41 Ω và
cd điện trở r2=0,16 Ω được đặt nằm trên các ray
như hình vẽ, mọi ma sát đều khơng đáng kể.
1. Tác dụng một lực kéo để ab chuyển động sang phải với vận tốc đều v 1=10m/s; khi
đó cd cũng chịu tác dụng một ngoại lực và chuyển động sang trái với vận tốc đều
v2=8m/s. Hãy tìm:
a. Độ lớn ngoại lực tác dụng lên cd, biết lực này nằm trong mặt phẳng ngang?
b. Hiệu điện thế giữa hai đầu c và d?
c. Cơng suất điện của mạch trên?
2. Nếu khơng có ngoại lực tác dụng vào cd thì nó sẽ chuyển động như thế nào?
2

t

c

Lời giải:
1. Sđđ cảm ứng xuất hiện trên hai thanh:

. Trên ab: e1 = l1v1B1 = 4,8 (V)
. Trên cd: e2 = l2v2B2 = 2V < e1

c

a
Ft

13

d

v2
ic
b


⇒ ic có chiều như hình vẽ.
e1 − e2
iC = 2 R +r + r = 2,5 (A)
1
2

a) Lực từ tác dụng lên cd: F2 = il2B2 = 0,625 (N) = Fk2 (Vì cd chuyển động đều)
b) ucd = -e2-ir2 = -2,4 (V)
c) Công suất điện của cả mạch là: P = i2Rtđ = 7 (W)
2/ Nếu khơng có ngoại lực tác dụng vào cd.
Ngay khi ab chuyển động thì có dịng điện chạy qua cd theo chiều d-c ⇒ có lực từ
tác dụng lên cd theo chiều hướng vào mạch điện, do đó cd sẽ chuyển động và lại xuất
hiện trên cd một suất điện động cảm ứng e2 có cực (+) nối với đầu c.

Xét tại thời điểm t, vận tốc của cd là v2, gia tốc là a.
e1 − e2

v1l1B1 − v2l2 B2
2 R +r1 + r2
vl B −v l B
⇒ Ft=ma=il2B2= 1 1 1 2 2 2 .l2B2
2 R +r1 + r2

i = 2 R +r + r =
1
2

⇒

m.( 2 R + r1 + r2 ) dv2
=v1l1B1 -l2B2v2
l2 B2
dt

Từ đó có thể tính qng đường mà thanh đi được sau khoảng thời gian ∆t =...
hoặc tính v2.
@ Chú ý: Giải phương trình vi phân bậc nhất.
x’ – kx = 0
dx
dx
= kx ⇒
= kdt ⇒
dt
x

x

t
x
dx
k (t − t )
∫x x = k t∫ dt ⇒ ln x0 = k(t-t0) ⇒ x = xo e 0
o
o

+ Trở lại bài toán:

m.( 2 R + r1 + r2 ) dv2
=v1l1B1 -l2B2v2
l2 B2
dt

Đặt :
Vậy:
⇒

B1l1v1- B2l2v2 = x ⇒ dx = -B2l2dv2
m.( 2 R + r1 + r2 ) dx
.
=x
l22 B22
dt

m.( 2 R + r1 + r2 )

)
l22 B22
− dx
⇒ dv2=
B2l2

(với k= -

B22l22
(Đặt k= )
m(2 R + r1 + r2 )

kt

x =xo e
(tại t=0 thì: v2=0 nên x0 = B1l1v1
kt
⇒ v = B1v1l1(1- e kt )
Do đó: x = B1l1v1. e
* Tính quãng đường:

m.( 2 R + r1 + r2 ) dv2
=v1l1B1 -l2B2v2
l2 B2
dt
m.( 2 R + r1 + r2 )
⇒
dv2 = v1l1B1dt -l2B2v2dt = v1l1B1dt -l2Bds
l2 B2
m.( 2 R + r1 + r2 )

Tích phân hai vế được:
.v2 = v1l1B1.t -l2B.s ⇒ s = ....
l2 B2

Từ :

Bài 13: Cho hệ như hình vẽ, đĩa
bằng đồng bán kính r có trục quay qua tâm đĩa và
ur
nằm ngang, từ trường đều có B vng góc với mặt đĩa, điện trở R tiếp xúc vành đĩa
bằng chổi quét kim loại, vật m treo bằng dây mảnh cách điện quấn quanh đĩa và dây
không trượt trên vành đĩa. Thả cho m chuyển động, hãy tính vận tốc quay cuối cùng
của đĩa? Bỏ qua mọi ma sát.
14


Lời giải:
Gọi momen quán tính của đĩa đối với trục quay là
I
Xét tại thời điểm t khi vật m rơi được quãng
đường S, nó có vận tốc là v, đĩa có vận tốc góc ω
=v/r. Sau thời gian rất nhỏ dt, một bán kính đĩa
qt được góc d ϕ = ω dt và bán kính đĩa quét một
diện tích: dS =

1
1
r. ω dt.R = r2 ω dt. Suất điện
2
2

ur
B

R

m

động cảm ứng xuất hiện trên bán kính đĩa là: e=
B.dS
1
= Br2 ω
dt
2

Dịng điện xuất hiện trong mạch và trên bán kính
đó là: i=

e Br 2ω
=
.
R
2R

Bán kính đĩa chịu tác dụng của lực từ đặt vào trung điểm, cản trở chuyển động quay
B 2 r 3ω
của đĩa và có độ lớn: Ft = Bi.r =
2R

(1)

Gọi lực căng dây khi đó là T, gia tốc của m là a. Áp dụng định luật II Niuton cho vật
m và cho chuyển động quay của đĩa ta có:
Mg – T = ma
(2)
Tr - M(Ft) = I.

a
r

r
a
= I.
2
r
B 2 r 4ω
mgr −
4R
a=
I
mr +
r

⇒ Tr – Ft.

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

(3)

Khi đĩa quay ổn định, vận tốc cuối cùng của đĩa ứng với a=0:

ω =....

@ Giải lại bài toán nếu áp lực của chổi quét vào vành đĩa là F, hệ số ma sát k.
Mg – T = ma
(2)
Tr - M(Ft)- kF.r = I.
Từ (1), (2) và (3) suy ra:

a
r

r
a
- kF.r = I.
2
r
2 4
Brω
mgr −
− kF .r
4
R
a=
I
mr +
r

⇒ Tr – Ft.

(3)

@ Nếu điện trở R gắn vào đĩa thì khơng xuất hiện dịng điện qua R do đó m rơi
xuống nhanh dần đều.
Bài 14: Trong một từ trường đồng nhất có cảm ứng từ biến đổi theo thời gian bởi
B=Bocos ω t (T). Một mẩu đồng có khối lượng riêng D, khối lượng M, điện trở suất ρ
được kéo thành một dây dẫn dài L, tiết diện đồng đều, sau đó làm thành vịng kín đặt
trong từ trường. Có thể nhận được dịng điện cực đại khả dĩ trong dây dẫn đó bằng
bao nhiêu?
15


Lời giải:
mD
⇒
Diện tích tiết diện dây là: S =
L

điện trở dây: R= ρ

L
DL2
ρ
=
S
M

Gọi diện tích vịng dây là SV thì suất điện động xuất hiện trong khung là lớn nhất khi
khung được đặt vng góc với các đường sức từ và có độ lớn là: e= SV .
Bosin( ω t)

Dịng điện trong khung có giá trị cực đại: Io=

dB
= -SV. ω
dt

Eo
S ωB
= V o
R
R

Vậy Io sẽ có giá trị lớn nhất có thể nếu khung được uốn thành vịng trịn để S Vmax= π
.

L2
4π 2

→

ω Bo M

Iomax= 4πρ D

Bài 15 : Xét một con lắc đơn có khối lượng vật nặng
là m, chiều dài dây treo là l, thực hiện dao động nhỏ
với biên độ góc α1 trong từ trường đều nằm ngang,
từ trường vng góc với mặt phẳng dao động của
con lắc. Ngay tại thời điểm con lắc qua vị trí cân
bằng, ta đặt nhanh vào hai đầu dây treo con lắc một

tụ điện bằng dây dẫn mảnh, giả sử ngay khi mắc tụ,
tụ kịp tích điện hồn tồn. Góc lệch cực đại của dây
treo con lắc sau khi mắc tụ là α 2 . Xác định điện
dung C của tụ điện?
Lời giải
v
Ngay tại thời điểm con lắc qua vị trí cân bằng, vận tốc góc của dây treo là: ω = max =
l

g
α1
l
1
2

Sau thời gian rất nhỏ dt, dây treo quét góc: d α = ω dt và qt một diện tích: ds= l2.
ω dt

Từ thơng qua mạch biến thiên lượng: d Φ = Bds = B.
Suất điện động trên dây là: e=

1 2
l . ω dt
2

dΦ
Bl 2 g .α1
=
dt
2 l

Hiệu điện thế tụ lúc đó là: U=e=

Bl 2 g .α1
2 l

(1)

* Khi dây lên cao dần, vận tốc giảm dần, suất điện động trên dây giảm dần và hiệu
điện thế tụ giảm dần. Khi con lắc lên cao nhất, vận tốc dây bằng 0, suất điện động
trên dây bằng hiệu điện thế tụ bằng 0.
Vậy từ VTCB đến vị trí góc lệch cực đại α 2 năng lượng tụ giảm dần chuyển thành
16


nhiệt tỏa ra trên dây dẫn. Theo bảo toàn năng lượng ta có:
1
1
1
1
mgl α12 = Q+ mgl α 22 = mgl α 22 + CU2
2
2
2
2
2
2
4m(α1 − α 2 )
Từ (1) và (2) suy ra: C=
B 2l 2α12

(2)

Bài 16 : Mét thanh dẫn điện có chiều

dài l, khối lợng m, điện trở R, trợt xuống
B
M
không ma sát trên hai thanh ray điện
l
trở không đáng kể nh trên hình vẽ bên.
Đầu dới của hai thanh đợc nối vào nhau.
O
Mặt phẳng của hai thanh ray hợp với
M
mặt phẳng ngang một góc . Hệ thông

O
đặt trong một từ trờng đều có các đờng sức từ thẳng đứng, có chiều hớng
lên, cảm ứng từ có ®é lín lµ B.
a. Chøng minh r»ng ci cïng thanh vật dẫn sẽ đạt tới tốc độ
mgR sin
không đổi mà giá trị của nó bằng: v = 2 2
B l cos 2 θ
b. Chøng minh r»ng tèc ®é sinh nhiệt trên thanh đúng bằng
tốc độ giảm thế năng hấp dẫn của nó.
Lời giải
a. Từ thông gửi qua bề mặt đợc tạo bởi khung MOOMM là:

= BS = BS cosθ = B.MM '.OM cosθ = Blx cosθ


St ®iƯn ®éng cảm ứng xuất hiện trên
N
thanh MM là:
=


FB

d
dx
= Bl cos = Bvl cos
dt
dt

Dòng điện cảm ứng ic trong mạch kín là:
Bvl cos
ic =

R

=

R


P


B

Dòng điện cảm ứng ic đợc đặt trong từ trờng B nên chịu tác dơng
cđa lùc ®iƯn tõ:
 

B 2 l 2 v cosθ
FB = ic l ì B có độ lớn FB = ic lB sin α = ic lB =
R

  

Nh vậy thanh dây dẫn chịu tác dụng của 3 lực P, FB , N . Hợp lực tác
dụng lên phơng chuyển động của thanh dây dẫn là:
B 2 l 2 v cos 2 θ
F = Pt − FBt = mg sin
R

Ta thấy ban đầu thanh dây dẫn MM chuyển động nhanh dần, tức
là v tăng theo thời gian t và F giảm dần đến không.
Gọi vmax là giá trị lớn nhất của v đạt đợc ứng với lúc F = 0
17


Tõ biĨu thøc cđa F ta cã:

B 2 l 2 v max cos 2 θ
mgR sin θ

⇒ v max = 2 2
0= 0 = mg sin θ −
(§PCM)
R
B l cos 2 θ

Khi v = vmax th× F = 0 khi đó thanh dây dẫn MM chuyển động
thẳng đều, nên
v = vmax = const
b. Xét trờng hợp khi thanh chuyển động thẳng đều v = v max =
const khi đó F = 0
nªn:
dx B 2 l 2 v cos 2 θ dx với dxsin = dh là vi phân độ cao
mg sin
=
dt

R

dt

dh
là tốc độ giảm thế năng hấp
dt
2
dx
B 2 l 2 v max
cos 2 θ
= v max nªn vÕ phải của biểu thức là
dẫn của thanh, vì

dt
R

Vế trái của biểu thức trên là mg

Mặt khác ta có tốc độ sinh nhiệt trên thanh là:
2
2
cos 2
dQ
2 B 2 l 2 v max
ξ 
2
dt

= Ric = R  =
=
R
R

R

VËy tốc độ sinh nhiệt trên thanh MM đúng bằng tốc độ giảm thế
năng hấp dẫn của thanh đó.
Bi 17 : Một đoạn dây dẫn thẳng chiều dài 2L được uốn thành một
góc xOy = 2β, đặt trong mặt phẳng nằm ngang. Một đoạn dây dẫn
MN trượt trên Ox, Oy và ln tiếp xúc với Ox, Oy. Trong q trình
trượt, MN ln ln vng góc với đường phân giác của góc xOy,
vận tốc trượt giữ khơng đổi và bằng v. Tồn bộ hệ thồng được đặt
trong một từ trường đều có véc tơ cảm ứng từ B vng góc với mặt

phẳng xOy. Giả sử ban đầu đoạn dây MN chuyển động từ O. Các
dây dẫn trong mạch được làm từ cùng một chất, đều cùng tiết diện
và có điện trở trên mỗi đơn vị dài là r. Xác định :
a. Cường độ dòng điện chạy qua MN.
b. Nhiệt lượng tỏa ra trong tồn mạch khi MN đi hết Ox.
Lêi gi¶i
Gọi H là trung điểm của MN, tại thời điểm t
ta có : OH = vt ; MN = 2OH.tanβ = 2vt tanβ
OH

O
β

M

B H

N
y

x

O
β

vt

Có OM = ON = cos β = cos β
Suất điện động cảm ứng xuất hiện trên đoạn dây dẫn
MN:

M
x

ξ = B.MN.v = 2Bv2t.tanβ
Điện trở toàn mạch :
18

B H

N
y


1 + sin β
)
cos β
ξ
Bv sin β
a. Cường độ dòng điện trong mạch là: I = R = r (1 + sin β )
R = r (OM + ON + MN ) = 2rvt (

b. Nhiệt lượng tỏa ra trên toàn mạch:
t0

Q = ∫ dQ = ∫ I 2 Rdt =
0

Q=

t

B 2 v 2 sin 2 β 0
1 + sin β
2rvt (
)dt
2
2 ∫
cos β
r (1 + sin β ) 0

B 2 v 3 sin 2 β
t 02 với to = Lcosβ /v
r (1 + sin β ) cos β

=> Q =

B 2 vL2 sin 2 β cos β
r (1 + sin β )

Bài 18: Một khung dây dẫn hình vng cạnh a, có khối lượng m và điện trở R, ban
đầu nằm trong mặt phẳng thẳng đứng xOz (các cạnh song song với trục Ox và Oz),
trong một từ trường có véc tơ cảm ứng từ B hướng theo trục Oy vng góc với mặt
phẳng xOz và có độ lớn biến thiên theo tọa độ z (trục Oz hướng thẳng đứng xuống
dưới) theo quy luật B = Bo + kz, (Bo và k là các hằng số). Truyền cho khung một vận
tốc ban đầu vo theo phương ngang Ox và khung chuyển động trong mặt phẳng xOz.
Người ta thấy sau một thời gian khung đạt được vận tốc không đổi bằng v. Hãy tính
vo.
Lêi gi¶i
Ở thời điểm t khi tâm O của khung có tọa độ z, từ thơng

gửi qua khung bằng:
Φ = a2B = a2(Bo + kz)
Suất điện động cảm ứng trong khung (do vị trí của
khung
tức tọa độ tâm G của khung biến đổi theo thời gian) là:
ξ =−

dΦ
dz
= −a 2 k
= −a 2 kv z với vz là thành phần của vận
dt
dt

O
β

M

B H

x

N
y

tốc v của khung theo phương Oz.
Dịng điện cảm ứng xuất hiện trong khung có cường độ
I=

ξ a 2 kv z
=
và có chiều như hình vẽ (khi khung chuyển động xuống dưới thì B tăng
R
R

nên dịng điện cảm ứng sinh ra Bc có chiều chống lại sự tăng tức là hướng ra ngoài =>
áp dụng quy tắc cái đinh ốc ta xác định được chiều dòng điện cảm ứng)
Xét các lực điện từ tác dụng lên khung ta thấy các lực F 2 và F4 tác dụng lên các cạnh
NP và QM triệt tiêu nhau còn các lực F1 và F3 ngược hướng nhau nên hợp lực điện từ
tác dụng lên khung có độ lớn là:
F = F3 – F1 = (B3 – B1)Ia = k ( z 3 − z1 )

a 3 kv z k 2 a 4 v z
=
( do z3 – z1) = a ).
R
R

Lực F có hướng lên trên.
Theo định luật II Newton ta có:
P – F = 0 (tại thời điểm khung có vận tốc khơng đổi v)
19


=> mg =

k 2a 4vz
R

=> v z =

mgR
k 2a4

Độ lớn của vận tốc là: v = v0 + v z => v = v02 + v z2
Bài 19:NDọc trên hai thanh kim loại đặt song song nằm ngang,
khoảng cách giữa chúng là l, có một thanh trượt MN, khối lượng
mRcó thể trượt
không ma sát. Các thanh được nối với một điện trở
vo
B
R và đặt trong một từ trường đều có véc tơ cảm ứng từ B thẳng
M
đứng vng
góc với mặt phẳng khung. Biết đoạn dây MN trượt
với vận tốc đầu vo như hình vẽ. Tìm biểu thức cường độ dịng điện
I chạy qua R.
Lêi gi¶i
MN chuyển động trong từ trường, cắt các đường cảm ứng từ, nên hai đầu của
thanh xuất hiện một suất điện động cảm ứng EC = Blv, do đó có dịng điện đi qua R
đồng thời xuất hiện lực từ F = iBl cản trở chuyển động nên vận tốc của MN giảm về
tới 0.
Có I =

EC Bvl
B 2l 2 v
=
=> F =
R

R
R

N
B
R

Theo định luật II Newton
2 2

F
2 2

F
dv
B l v
dv
B l
⇔
=−
=−
dt
=>
m
dt
mR
v
mR
v
t

dv
B 2l 2
B 2l 2t
v
Lấy tích phân hai vế : ∫ v = − mR ∫ dt ⇔ln v v0 = − mR
v0
0
a=−

vo
i
M

B 2l 2t
)
mR
Blv0
Blv
B 2l 2t
I
=
=
I
exp(
−
) với I 0 =
=>
0
R
R

mR

=> v = v0 exp(−

Bài 20: Một thanh kim loại có chiều dài l nằm ngang, có thể quay
quanh
trụcωthẳng đứng đi qua một đầu. Đầu kia của thanh được tựa
B
trên một
vòng dây dẫn nằm ngang có bán kính l. Vịng dây được nối
o l
với trục quay (dẫn điện) qua một điện trở thuần R. Hệ được đặt
trong một từ trường đều hướng thẳng đứng xuống dưới. Hỏi lực cần
R
thiết (nhỏ
nhất) phải tác dụng vào thanh để nó quay với vận tốc góc
khơng đổi ω. Bỏ qua điện trở của vòng, trục quay, các dây nối và ma
sát. Áp dụng số: B = 0,8T, l = 0,5m, ω = 10rad/s.
Công A = Fs
Công dA= M.dα
M = f.d, f min khi d max
Sdđ
R  Q tỏa
Lêi gi¶i
Xét khi thanh quay được một góc nhỏ dα, diện tích nó quét được là: dS =
20

l2
dα
2

Suất điện động cảm ứng xuất hiện trên thanh:
e=−

dΦ
dS
Bl 2 dα
Bl 2ω
= −B
=−
=−
dt
dt
2 dt
2

Nhiệt lượng tỏa ra trong thời gian dt:
e2
B 2l 4ω 2
dQ = eIdt = dt =
dt
R
4R
Công của momen:
dA = Mc dα=Mωdt
BTNL: dA = dQ
B 2l 4ω
Suy ra M =
4R

Để thanh quay đều thì mơmen lực tác dụng lên thanh phải bằng mômen cản:
M = Mc
Lực cần thiết tác dụng lên thanh là nhỏ nhất khi lực đó được đặt vào đầu A của
thanh (OA = l ):
Fmin =

M B 2 l 3ω 0,2
=
=
l
4R
R

Bµi 21: Mét thanh kim loại mảnh, cứng, có khối lợng nhỏ không
đáng kể, ở đầu có gắn một quả cầu kim loại nhỏ (coi nh chất
điểm) có khối lợng bằng m. Thanh có thể dao động quanh trục O
nằm ngang nh một con lắc. Quả cầu tiếp xúc với một sợi dây dẫn K
- L đợc uốn thành một cung tròn có bán kính b. Tâm của sợi dây
này gắn với điểm treo O qua một tụ điện có
O
điện dung C. Tất cả cơ cấu này đợc đặt


trong một từ trờng đều B vuông góc với mặt
B
b
phẳng dao động của thanh. Tại thời điểm
C
ban đầu ngời ta truyền cho quả cầu (từ vị
trí cân bằng) vận tốc nằm trong mặt

L
K
phẳng hình vẽ và vuông góc với thanh. Bỏ
qua ma sát và điện trở của thanh, của dây
VO
dẫn K-L và điện trở ở các chỗ tiếp xúc.
a. Chứng minh quả cầu dao động điều hoà. Tìm chu kì dao
động.
b. Tính năng lợng dao động của quả cầu.
Lời giải
a)Xét tại thời điểm t, thanh kim loại hợp với phơng thẳng
đứng góc . Chọn chiều dơng của dòng điện trong mạch nh hình
vẽ.
O
Từ thông gửi qua mạch điện là:

1
= b 2 B
2

b

21

K



B

C

(
+
)

L


g


g


Suất
E=

điện

động

d 1 2
= b B
dt
2

cảm

ứng

suất

hiện

trong

mạch

điện:

1
2

Khi đó, tụ điện có ®iÖn tÝch: q = CE = b 2 BCα ′ .
dq 1 2
= b BCα ′′ .
dt 2
1
Lùc tõ t¸c dụng lên thanh kim loại là: FB = ibB = b 3 B 2 Cα ′′ .
2
r
1
M B = − FB . = − b 4 B 2Cα ′′
M« men của lực từ tác dụng lên thanh là:
2
4
Mô men của trọng lực tác dụng lên thanh: M G = mgb sin α
Víi c¸c gãc lƯch nhá cđa thanh: sin α ≈ α , do ®ã: M G = −mgbα

Cêng ®é dòng điện trong mạch: i =

Mô men quán tính của quả cầu đối với trục quay đi qua O: I O=mb2.
1
⇒ − mgbα − b 4 B 2 Cα ′′ = mb 2α ′′
4

M G + M B = I Oα ′′

Cã:

mgb
α =0
1
mb 2 + b 4 B 2 C
4
mgb
ω2 =
1
Đặt
,
mb 2 + b 4 B 2 C
4
2
+ = 0
+

ta viết lại phơng trình trên nh

sau:

Đó là phơng trình vi phân mô tả dao động điều hoà. Vy quả cầu
dao động điều hoà với chu kì T =

2
.


b) Giả sử phơng trình dao động của quả cầu có dạng:

= Acos( t + ϕ )
→ α ′ = − Aω sin ( ωt + )

Tại

thời

điểm

ban

đầu:

( 0 ) = 0, ( 0 ) =

π

ϕ
=
 A cos ϕ = 0



2
⇒
→
V0
 Aω sin ϕ = b > 0  A = V0

bω

Vëy ph¬ng trình dao động của thanh là:

=

V0
>0
b

V0


cos t +
b
2


c) Năng lợng của dao động bằng động năng ban đầu của
thanh:

E=

1
mV02
2

Bi 22: Một đĩa phẳng bằng đồng có bán kính r = 10cm,
khối lượng m = 0,4kg được đặt vng góc với một từ trường
đều có cảm ứng từ B = 0,25T. Đĩa có thể quay tự do, khơng
22

b

K

×

u
r
B

a

I

E


ma sát quanh trục đi qua tâm và vng góc với mặt phẳng
của đĩa. Hai đầu ab của một bán kính có đặt các tiếp điểm
trượt (tiếp xúc với trục và mép đĩa) để cho dòng điện chạy

qua. Người ta nối hai tiếp điểm với nguồn điện áp một chiều
để cho dòng điện I = 5A chạy qua đĩa.
a. Hỏi sau bao lâu kể từ khi bắt đầu có dịng điện chạy qua, đĩa đạt tốc độ
5vòng/s.
M =Iγ
ω = γt
b. Giả sử bánh xe quay nhanh dần đều tới tốc độ 5vịng/s rồi quay đều với tốc độ
đó. Hãy tìm cơng suất của động cơ.
c. Thiết bị trên có thể hoạt động như một máy phát điện. Giả sử ta khơng mắc
nguồn điện mà thay vào đó một điện trở R = 1Ω. Khi bánh xe quay trong từ trường,
trong mạch xuất hiện suất điện động cảm ứng. Hỏi phải tác dụng vào bánh xe một
mômen quay bằng bao nhiêu để đĩa quay đều với tốc độ 5vịng/s. Tính cơng suất của
máy trong trường hợp này.
Lêi gi¶i
a. Khi đĩa đặt trong từ trường và có dịng điện chạy dọc theo bán kính sẽ chịu tác dụng
của lực từ F = BIr làm đĩa quay ngược chiều kim đồng hồ.
r BIr 2
Mômen lực từ tác dụng lên đĩa: M = F =
.
2
2

- Phương trình ĐLH viết cho chuyển động quay của đĩa:
t

t

1 2 d ω BIr 2
m
M = mr ×

=
⇒ ∫ dt = ∫
dω
2
dt
2
BI
0
0
⇒ t=

mω
= 8, 4s.
BI

b. Khi đĩa quay đều. Cơng lực từ thực hiện khi đĩa quay góc dϕ :
r
BIr 2
dA = Fds = F d ϕ =
d ϕ = Idφ .
2
2

Trong đó
dφ =

Br 2
d ϕ là từ thơng mà bán kính ab quét được khi bánh xe quay góc dϕ .
2

ω = dϕ/dt  dt = dϕ/ω
- Cơng suất:

P=

dA dA
dA BIr 2
=
=ω
=
ω = 0, 2355W
dϕ
dt
dϕ
2
ω

23


c. Khi bánh xe quay, bán kính cắt các đường cảm ứng từ nên giữa trục và một điểm
trên vành sẽ có một hiệu điện thế. Nếu ta nối điện trở với trục và vành bánh xe qua
tiếp điểm trượt ta có một mạch điện kín và trong mạch có dịng điện. Dịng điện này
chính là dịng các e chuyển động định hướng trong bánh xe dọc theo bán kính dưới tác
dụng của lực từ.
r2
r2
- Trong thời gian dt, bán kính quét diện tích: ds = d ϕ = ωdt.
2
2

2
d φ Br
=
ω.
Suất điện động cảm ứng: εC =
dt
2
ε
Br 2
ω = 0,04A
Dòng điện cảm ứng: I = C =
R
2R

Khi dòng điện cảm ứng chạy dọc theo bán kính sẽ làm xuất hiện lực từ tác dụng lên
đĩa. Theo định luật Lentz, lực từ sẽ cản trở chuyển động quay của bánh xe. Muốn bánh
xe quay đều, phải tác dụng lên bánh xe một mơmen có độ lớn:
M =F

r BIr 2
=
= 5.10−5 ( Nm )
2
2

- Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R: P = I2R = 1,6.10-3W.
Bài 23: Một hình trụ trịn (C) dài l , bán kính R (R<< l), làm bằng vật
liệu có điện trở suất phụ thuộc vào khoảng cách tới trục theo công thức

u

r
B

−1


r2 
ρ = ρ0 1 − 2 ÷ , trong đó ρ0 là hằng số. Đặt vào hai đầu hình trụ một
 2R 

hiệu điện thế khơng đổi U.
a. Tìm cường độ dịng điện chạy qua hình trụ.
b. Tìm cảm ứng từ tại điểm M cách trục hình trụ đoạn x.
c. Ngắt hình trụ khỏi nguồn, sau đó đưa vào trong một từ trường đồng nhất
hướng dọc theo trục của hình trụ và biến đổi theo thời gian theo quy luật B = kt. Xác
định cường độ dòng điện cảm ứng xuất hiện trong hình trụ.
Lêi gi¶i
a. Chia khối trụ thành những ống hình trụ cùng trục với khối trụ và có bề dày dr. Xét
một ống trụ có bán kính r, điện trở của ống trụ là:
dR = ρ ( r )

ρ 0l
l
=
2
dS
r
1 2 ữì 2 rdr
2R

- Cng độ dòng điện chạy qua mỗi ống:
dI =

U 2π U
=
dR ρ0l


r2 
1
−
rdr

2 ÷
 2R 

24


- Cường độ dịng điện chạy qua khối trụ có bán kính r < R là:
r
2π U 
r2 
π Ur 2 
r2 
Ir =
1 −
÷rdr =
1 −
÷

ρ 0l ∫0  2 R 2 
ρ 0l  4 R 2 

(1)

- Khi r = R ta tìm được dịng điện tồn phần chạy qua khối trụ: I =

3π UR 2
4 ρ 0l

b. Do tính đối xứng trụ nên các đường cảm ứng từ do dòng điện chạy qua khối trụ
gây ra sẽ là những đường tròn đồng tâm, tâm của các đường tròn nằm trên trục khối
trụ.
- Chọn đường tròn, bán kính r, có tâm trên trục khối trụ. Áp dụng định lý Ampere có:
ur r

Đ
∫ Bdl = µ ∑ I
0

(c)

- Trường hợp x < R : B.2π x = µ0 I x = à0

Ux 2
x2
1


ữ

0l 4 R 2

Ux
x2
B = à0
1
ữ
2 ρ 0l  4 R 2 

- Trường hợp x > R:
B.2π x = µ0 I = µ0

3µ UR 2
3π UR 2
⇒B= 0
4 ρ 0l
8 ρ0lx

c. Từ thông gửi qua diện tích mỗi ống trụ: φ = kt.π r 2
2
- Suất điện động cảm ứng xuất hiện trong mỗi ống có độ lớn: ε = −φ ' ( t ) = kπ r
- Cường độ dòng điện cảm ứng xuất hiện trong mỗi ống trụ là:
dI =

ε 2k π 2 r 3 
r2 
=
1
−


÷dr
dR
ρ 0l  2 R 2 

- Cường độ dịng điện cảm ứng tồn phần trong khối trụ là:
R
2 kπ 2 3 
r2 
I=
r 1 −
÷dr
ρ 0l ∫0  2 R 2 

Thực hiện phép tính tích phân tìm được: I =

kπ 2 R 4
3ρ 0l

Bài 24: Một thanh kim loại OA khối lượng m, chiều dài a có thể quay tự do quanh
trục thẳng đứng Oz. Đầu A của thanh tựa trên một vòng kim loại hình trịn, tâm O,
bán kính a, đặt cố định nằm ngang. Đầu O của thanh và một điểm của vòng kim loại
được nối với điện trở thuần R, tụ điện C, khoá K và nguồn điện E tạo thành mạch
điện như hình vẽ. Hệ thống được đặt trong một từ trường đều, khơng đổi có véc tơ
25