Toán 10 chương 2+3 KNTT

Chương 2,3.

Th.S Lê Quang Hải

Kết nối tri thức và cuộc sống

-

✆ 0815.699451

-  www.toanc3.online

Trang 1


Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

Chương 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
A- KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:
()
trong đó a,b,c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x
và y là các ẩn số.
2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn như sau:
 Vẽ đường thẳng d: ax+by=c trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
 Lấy một điểm khơng thuộc d

 Tính và so sánh với c.
 Nếu thì nửa mặt phẳng bờ d chứa là miền nghiệm của bất phương trình.
Ngược lại nếu thì nửa mặt phẳng bờ d khơng chứa là miền nghiệm của
bất phương trình.
Chú ý: Trong quy tắc trên, khi người ta thường chọn là gốc tọa độ. Khi c =
0, ta chọn khác gốc tọa độ ( chẳng hạn (1; 0) hoặc (0; 1).
3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương
trình bậc nhất hai ẩn.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ
bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương
trình đó. Như vậy, miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của
các bất phương trình trong hệ.
 Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai
ẩn:
+ Bước 1. Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, ta xác định miền nghiệm
của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền cịn
lại.
+ Bước 2. Miền cịn lại khơng bị gạch là miền nghệm của hệ bất
phương trình đã cho.
4. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức F(x;y)= ax+by với (x;y) là
tọa độ các điểm thuộc miền đa giác lồi đạt được tại một đỉnh của đa giác.
+ Cách tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của biểu thức F(x;y)=ax+by với
(x;y) thỏa mãn một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
+ Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình hai ẩn và tìm
tọa độ các đỉnh.
Th.S Lê Quang Hải

- ✆ 0815.699451 -

 www.toanc3.online

Trang 2


Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

+ Bước 2. Giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất (nếu có) của F sẽ đạt được tại một
trong các đỉnh tìm được ở Bước 1. Do đó, ta chỉ cần tính giá trị của F tại các
đỉnh để xác định giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của F.
+ Bước 3. So sánh các giá trị thu được của F ở bước 2 và kết luận giá trị
lớn nhất hay nhỏ nhất của F.
B. VÍ DỤ
Ví dụ 1
Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn -3x + y < 4.
a) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên mặt phẳng tọa độ.
b) Từ đó suy ra miền nghiệm của bất phương trình -3x + y ≤ 4 và miền nghiệm
của bất phương trình -3x + y ≥ 4.
Lời giải
a) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình -3x + y < 4 trên mặt phẳng tọa
độ.
Bước 1. Vẽ đường thẳng d: -3x + y = 4 trên mặt phẳng tọa độ Oxy như sau:
• Xác định hai điểm thuộc đường thẳng d: -3x + y = 4.
Ta có đồ thị của đường thẳng d: -3x + y = 4 đi qua các điểm có tọa độ (0; 4) và
(-1; 1).
• Xác định 2 điểm đó trên hệ trục tọa độ Oxy và kẻ đường thẳng đi qua 2 điểm

đó, ta thu được đường thẳng d: -3x + y = 4.
Bước 2. Ta chọn O(0; 0) là điểm không thuộc đường thẳng d: -3x + y = 4 và
thay vào biểu thức -3x + y, ta có -3 . 0 + 0 = 0 < 4.
Do đó miền nghiệm của bất phương trình -3x + y < 4 là nửa mặt phẳng bờ d
chứa gốc tọa độ và bỏ đi đường thẳng d (miền khơng được gạch).
b) Khi đó miền nghiệm của bất phương trình -3x + y ≤ 4 là nửa mặt phẳng bờ d
chứa gốc tọa độ (miền khơng được gạch).
Miền nghiệm của bất phương trình -3x + y ≥ 4 là nửa mặt phẳng bờ d không
chứa gốc tọa độ (miền được gạch)

.
Ví dụ 2
Biểu diễn miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ
Th.S Lê Quang Hải

-

✆ 0815.699451

-  www.toanc3.online

Trang 3


Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

Lời giải:
Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Xét miền nghiệm của bất phương trình x ≥ -1.
Vẽ đường thẳng d1: x = -1 bằng cách vẽ một đường thẳng song song với trục
Oy tại một điểm có hồnh độ bằng -1.
Chọn điểm I(1; 1) ∉ d1 và thay vào biểu thức x, ta có 1 > -1.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ -1 là nửa mặt phẳng bờ d 1 có
chứa điểm I(1; 1).
• Xét miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0.
Đường thẳng d2: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.
Chọn điểm I(1; 1) ∉ d2 và thay vào biểu thức y, ta có 1 > 0.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d 2 có chứa
điểm I(1; 1).
• Xét miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 4.
Vẽ đường thẳng d3: x + y = 4 bằng cách vẽ một đường thẳng qua hai điểm (0;
4) và (4; 0).
Chọn điểm I(1; 1) Ï d3 và thay vào biểu thức x + y = 4, ta có 1 + 1 = 2 < 4.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 4 là nửa mặt phẳng bờ d 3 có
chứa điểm I(1; 1).
Khi đó miền nghiệm của hệ là miền khơng bị gạch như hình vẽ dưới đây.

Ví dụ 3:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y với (x;
y) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

Th.S Lê Quang Hải

- ✆ 0815.699451 -

 www.toanc3.online

Trang 4

Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

Lời giải:
Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:
• Vẽ đường thẳng d1: x + y = 6 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (6; 0)
và (0; 6).
Chọn điểm I(1; 1) ∉ d1 và thay vào biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 < 6.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 6 là nửa mặt phẳng bờ d 1 có
chứa điểm I(1; 1).
• Đường thẳng d2: x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy.
Chọn điểm I(1; 1) ∉d2 và thay vào biểu thức x ta được 1 > 0.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d 2 có chứa
điểm I(1; 1).
• Đường thẳng d3: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.
Chọn điểm I(1; 1)∉ d3 và thay vào biểu thức y ta được 1 > 0.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d 3 có chứa
điểm I(1; 1).
Khi đó miền nghiệm của hệ là miền khơng bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Ta thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác AOB với
A(6; 0), O(0; 0) và B(0; 6).
F(6; 0) = 2 . 6 + 3. 0 = 12;
F(0; 0) = 2 . 0 + 3 . 0 = 0;
F(0; 6) = 2 . 0 + 3 . 6 = 18.
Do đó giá trị lớn nhất của F(x; y) = 18 khi x = 0 và y = 6; giá trị nhỏ nhất của
F(x; y) = 0 khi x = 0 và y = 0.

Ví dụ 4.
Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 12 g hương liệu,
9 lít nước và 315 g đường để pha chế hai loại nước A và B. Để pha chế 1 lít
Th.S Lê Quang Hải

-

✆ 0815.699451

-  www.toanc3.online

Trang 5


Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

nước A cần 45 g đường, 1 lít nước và 0,5 g hương liệu; để pha chế 1 lít nước B
cần 15 g đường, 1 lít nước và 2 g hương liệu. Mỗi lít nước A nhận được 60
điểm thưởng, mỗi lít nước B nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao
nhiêu lít nước mỗi loại để đội chơi được số điểm thưởng là cao nhất?
Lời giải:
Gọi số lít nước A và B cần pha chế lần lượt là x lít và y lít (x ≥ 0; y ≥ 0).
Do 1 lít nước A cần 45 g đường, 1 lít nước và 0,5 g hương liệu nên x lít nước A
cần 45x g đường, x lít nước và 0,5x g hương liệu.
Do 1 lít nước B cần 15 g đường, 1 lít nước và 2 g hương liệu nên y lít nước A
cần 15y g đường, y lít nước và 2y g hương liệu.
Do có tối đa 12g hương liệu, 9 lít nước và 315 g đường nên 45x + 15y ≤ 315; x
+ y ≤ 9 và 0,5x + 2y ≤ 12.

Khi đó ta có hệ bất phương trình

Với số điểm thưởng đội chơi nhận được là F(x; y) = 60x + 80y (điểm).
Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:
• Đường thẳng d1: x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy.
Chọn điểm I(1; 1)∉ d1 và thay bảo biểu thức x ta được 1 > 0.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d 1 chứa
điểm I(1; 1).
• Đường thẳng d2: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.
Chọn điểm I(1; 1) ∉ d2 và thay bảo biểu thức y ta được 1 > 0.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d 2 chứa
điểm I(1; 1).
• Vẽ đường thẳng d3: 0,5x + 2y = 12 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm
(0; 6) và (4; 5).
Chọn điểm I(1; 1)∉ d3 và thay bảo biểu thức 0,5x + 2y ta được 0,5 . 1 + 2 . 1 =
2,5 < 12.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình 0,5x + 2y ≤ 12 là nửa mặt phẳng bờ
d3 chứa điểm I(1; 1).
• Vẽ đường thẳng d4: x + y = 9 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (3; 6)
và (4; 5).
Chọn điểm I(1; 1) ∉ d4 và thay bảo biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 < 9.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 9 là nửa mặt phẳng bờ
d4 chứa điểm I(1; 1).
Th.S Lê Quang Hải

- ✆ 0815.699451 -

 www.toanc3.online

Trang 6

Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

• Vẽ đường thẳng d5: 45x + 15y = 315 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai
điểm (5; 6) và (7; 0).
Chọn điểm I(1; 1) ∉ d4 và thay bảo biểu thức 45x + 15y ta được 45 . 1 + 15. 1
= 60 < 315.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình 45x + 15y ≤ 315 là nửa mặt phẳng bờ
d5 chứa điểm I(1; 1).
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền khơng bị gạch như hình
vẽ dưới đây

Miền nghiệm của hệ là miền ngũ giác ABCDO với A(0; 6), B(4; 5), C(6; 3),
D(7; 0) và O(0; 0).
Ta có F(0; 6) = 60 . 0 + 80 . 6 = 480;
F(4;5) = 60.4 + 80.5 = 640;
F(6; 3) = 60 . 6 + 80 . 3 = 600;
F(7; 0) = 60 . 7 + 80 . 0 = 420;
F(0; 0) = 0.
Giá trị lớn nhất là F(4; 5) = 640.
Vậy cần pha 4 lít nước loại A và 5 lít nước loại B để số điểm thưởng nhận được
là lớn nhất.
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1. Cho bất phương trình x  2y  4
a. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên mặt phẳng tọa độ.
b. Miền nghiệm có chứa bao nhiêu điểm (x;y) với x,y là số nguyên âm?
2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

x  0

y  0
x y 4

Th.S Lê Quang Hải

-

✆ 0815.699451

-  www.toanc3.online

Trang 7


Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

3. Một phân xưởng có hai máy chuyên dụng M1 và M2 để sản xuất hai loại sản
phẩm A và B theo đơn đặt hàng. Nếu sản xuất được một tấn sản phẩm loại A thì
phân xưởng nhận được số tiền lãi là 2 triệu đồng. Nếu sản xuất được một tấn
sản phẩm loại B thì phân xưởng nhận được số tiền lãi là 1,6 triệu đồng. Muốn
sản xuất một tấn sản phẩm loại A, người ta phải sử dụng máy M 1 trong 3 giờ và
máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại B, người ta phải sử
dụng máy M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để
sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy M 1 làm việc không quá 6 giờ một
ngày và máy M2 làm việc không quá 4 giờ một ngày. Hỏi số tiền lãi lớn nhất mà
phân xưởng này có thể thu được một ngày là bao nhiêu?

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc
nhất hai ẩn?
2
A. 2x  3y  2.
B. xy  x  2.
3
C. 3x  4y  2.
D. x  y  2.
2. Trong các hệ bất phương trình sau, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn?
x y  4
2x  3y  4
.
.


3
x

y

2
x

y

1
A. 
B. 

x  0
x y 3


.
.
y  0
y  1
 x  y  y2
 x  y  xy
C. 
D. 
3. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình 2x  3y  6?
A. (3;2).
B. (-3;2).
C. (2;1).
D. (1;2).

4. Điểm nào dưới đây không thuộc miền nghiệm của bất phương trình
2x  3y  13?
A. (1;-5).
B. (2;-4)
C. (3;-3)
D. (8;1).
x

2
y

5

5. Cho bất phương trình
. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d : x  2y  5 chứa
gốc tọa độ.
B. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d : x  2y  5 không
chứa gốc tọa độ.
C. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d : x  2y  5 chứa
gốc tọa độ.
D. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d : x  2y  5 chứa
gốc tọa độ.
Th.S Lê Quang Hải

- ✆ 0815.699451 -

 www.toanc3.online

Trang 8


Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

x 0

x y 2
y  0
6. Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
là
A. Một nửa mặt phẳng.

B. Miền tam giác.
C. Miền tứ giác.
D. Miền ngũ giác.
x y 1

3  y  3
3  x  3
7. Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
là
A. Miền tam giác.
B. Miền tứ giác.
C. Miền ngũ giác.
D. Miền lục giác.
8. Giá trị lớn nhất của biểu thức F(x;y) = 3x + y với (x;y) thuộc miền nghiệm
 x  1

x y 2
y  0
của hệ bất phương trình 
là
A. -3.
B. 6.
C. 5.
D. 8.
9. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x;y) = x + 5y với
2  y  2

x y 4
y  x  4
(x;y) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình 

là
A. -20.
B. -4.
C. 28.
D. 16.
10. Một hợp tác xã chăn nuôi dự định trộn hai loại thức ăn gia súc X và Y để tạo
thành thức ăn hỗn hợp cho gia súc. Giá một bao loại X là 250 nghìn đồng, giá
một bao loại Y là 200 nghìn đồng. Mỗi bao loại X chứa 2 đơn vị chất dinh
dưỡng A, 2 đơn vị chất dinh dưỡng B và 2 đơn vị chất dinh dưỡng C. Mỗi bao
loại Y chứa 1 đơn vị chất dinh dưỡng A, 9 đơn vị chất dinh dưỡng B và 3 đơn vị
chất dinh dưỡng C. Tìm chi phí nhỏ nhất để mua hai loại thức ăn gia súc X và Y
sao cho hỗn hợp thu được chứa tối thiểu 12 đơn vị chất dinh dưỡng A, 36 đơn vị
chất dinh dưỡng B và 24 đơn vị chất dinh dưỡng C.
A. 1,95 triệu đồng.
B. 4,5 triệu đồng.
C. 1,85 triệu đồng
D. 1,7 triệu đồng.

CHƯƠNG 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Bài 5. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 00 ĐẾN 1800.

Th.S Lê Quang Hải

-

✆ 0815.699451

-  www.toanc3.online

Trang 9

Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa

·
Lấy M trên nửa đường tròn đơn vị tâm O. Xét góc nhọn  = xOM . Giả sử
M(x; y).
sin = y (tung độ)
y
cos = x (hoành độ)
M
y
y  tungđộ


x1
x hoà
nhđộ
-1
O
x
tan = 
(x  0)
x  hoà
nhđộ



y  tungđộ
cot =
(y  0)
Chú ý:– Nếu  tù thì cos < 0, tan < 0, cot < 0.
– tan chỉ xác định khi   900, cot chỉ xác định khi   00 và   1800.
2. Tính chất
 Góc phụ nhau
 Góc bù nhau
sin(900   )  cos 
sin(1800   )  sin 
cos(900   )  sin 

cos(1800   )   cos 

tan(900   )  cot 

tan(1800   )   tan 

cot(900   )  tan 
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
00
sin

0

cos

1

tan

0

cot



300

450

600

1
2
3
2
3
3

2
2
2
2

3
2
1

2

1

3

1

4. Các hệ thức cơ bản
sin 
tan  
(cos   0)
cos 
cos 
cot  
(sin   0)
sin 
tan  .cot   1 (sin  .cos   0)
Th.S Lê Quang Hải

cot(1800   )   cot 

- ✆ 0815.699451 -

900

1800

1

0

0

–1

3



0

3
3

0



sin 2   cos 2   1
1
1  tan 2  
(cos   0)
cos 2 
1
1  cot 2  
(sin   0)
sin 2 
 www.toanc3.online

Trang 10


Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

Chú ý: 0  sin   1;  1  cos   1 .
B. VÍ DỤ
Ví dụ 1.
Khơng sử dụng máy tính, tính giá trị của các biểu thức sau:
A  sin 450 cos1350  cos600 sin1500  cos300 sin1200 ;
B  tan1350  cot 600.cot 300  tan 600.tan150 0
Giải
A  sin 450 cos1350  cos600 sin1500  cos300 sin1200
2
sin 450 
  cos1350
0
0
0
2
Ta có:
(vì 135  180  45 )
1
cos600  sin 300  sin1500 
0
0
0
0

0
0
2 (vì 30  90  60 ,150  180  30 )

cos300  sin 600  sin1200 
A

3
0
0
0
0
0
0
2 (vì 30  90  60 ,120  180  60 )

2 
2 1 1
3 3
. 
.
 1.
 . 
2  2  2 2 2 2
-

Từ đó suy ra
B  tan1350  cot 600.cot 300  tan 600.tan1500
Ta có:
tan1350  tan 1800  450   tan450  1



tan150  tan 180  30    tan30  
0

B  1 

0

0

0

1
3

1
 1 
. 3  3. 
 1
3
3



Ví dụ 2.

cos  

3
4

Cho góc  , 0    180 thỏa mãn
a) Tính tan .
b) Tính giá trị của biểu thức P  tan  2cot
Giải
1
3
 tan2   1
cos  
2
4 nên  là góc tù nên tan  0 mà cos 
a) Do
0

nên

tan  

0

1
7
 1 
.
2
3
cos 

Th.S Lê Quang Hải

-

✆ 0815.699451

-  www.toanc3.online

Trang 11


Chương 2,3.

b) Do

Kết nối tri thức và cuộc sống

tan .cot  1,tan  

3
7
cot  
7
3 nên

 3 
7
25 7
 2 
 

3
21
7

Vậy
.
Nhận xét: khi tính các giá trị lượng giác cần chú ý trường hợp góc  là góc tù thì
các giá trị lượng giác cos ,tan ,cot mang dấu âm.
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
0
0
0
0
a) sin120  cos 60  2sin 90  sin150
P

0
0
0
b) cos150  cos 60  sin180
2
0
2
0
2
0
c) 3  sin 90  2cos 60  3tan 45
2
0

2
0
2 0
2
0
d) cos 12  cos 78  cos 1  cos 89
2 0
2
0
2
0
2
0
e) sin 3  sin 15  sin 75  sin 87
Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) P  x   sin x  cos x khi x bằng 00; 450; 600.

b) Q  x   2sin x  cos 2 x khi x bằng 450; 300.
Baøi 3. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác
còn lại:
1
1
cos   
sin  
3
4 ,  là góc nhọn.
a)
b)
c) tan   2 2
Bài 4. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức:

1
tan x  3cot x  1
sin x  , 900  x  1800
A
3
tan x  cot x .
a)
. Tính
sin   cos 
B 3
sin   3cos3   2sin 
b) tan   2 . Tính
Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau:
2
a) (sin x  cos x)  1  2sin x.cos x
4
4
2
2
b) sin x  cos x  1  2sin x.cos x
2
2
2
2
c) tan x  sin x  tan x.sin x
6
6
2
2
d) sin x  cos x  1  3sin x.cos x

e) sin x.cos x(1  tan x)(1  cot x)  1  2sin x.cos x

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
0
0
1. Giá trị của sin 60  cos30 bằng

Th.S Lê Quang Hải

- ✆ 0815.699451 -

 www.toanc3.online

Trang 12


Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

3
.
A. 2

B. 3.
0
0
2. Giá trị của tan 30  cot 30 bằng
4
1 3

.
.
A. 3
B. 3
3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
3
sin1500   .
2
A.
1
1500   .
3
C. tan

3
.
C. 3

C.

B.

D. 1.

2
.
3

D. 2.

cos1500 

3
.
2

0
D. cot150  3.

4. Cho  và  là hai góc khác nhau và bù nhau, Khẳng định nào sau đây là
sai?
A. sin   sin  .
B. cos    cos  .
C. tan    tan  .
D. cot   cot  .
5. Khẳng định nào sau đây là sai?
0
0
A. sin(180   )   sin  .
B. cos(180  )  cos  .
0
0
tan(180


)

tan

.

cot(180
  )   cot  .
C.
D.
6. Cho góc  tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
A. sin   0 .
B. cos  0 .
C. tan   0.
D. cot   0.
7. Khẳng định nào sau đây là sai?
0
0
0
0
A. cos60  sin 30 .
B. cos60  sin120 .
0
0
C. cos30  sin120 .
8. Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. sin450 + sin450 = 2 .
C. sin600 + cos1500 = 0.

0
0
D. sin 60   cos120 .

B. sin300 + cos600 = 1.
D. sin1200 + cos300 = 0.

0
9. Cho ABC vng tại A, góc B bằng 30 . Khẳng định nào sau đây là sai?
1
3
cos B 
.
sin C 
.
3
2
A.
B.
1
1
cos C  .
sin B  .
2
2
C.
D.
10. Khẳng định nào sau đây là đúng?
0
0
A. sin    sin(180   ).
B. cos    cos(180   ).
0
C. tan   tan(180   ).

Th.S Lê Quang Hải

-

✆ 0815.699451

0
D. cot   cot(180   ).

-  www.toanc3.online

Trang 13


Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

11. Khẳng định nào sau đây là sai?
0
0
A. cos75  cos50 .
0
0
C. tan 45  tan 60 .
12. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
0
0
A. sin 90  sin100 .

0
0

B. sin80  sin 50 .
0
0
D. cos30  sin 60 .
0
0
B. cos95  cos100 .
0
0
D. cos145  cos125 .

0
0
C. tan85  tan125 .
13. Hai góc nhọn  và  phụ nhau, Khẳng định nào sau đây là sai?
A. sin   cos  .
B. tan   cot  .
1
cot  
.
cot

C.
D. cos    sin  .
14. Khẳng định nào sau đây là đúng?

sin 2   cos2  1.
2
2
2

A. sin   cos   1.
B.
2
2
2
2
C. sin   cos  1.
D. sin 2  cos 2  1.

15. Cho biết sin   cos  a . Giá trị của sin  .cos  bằng
2
A. sin  .cos   a .
B. sin  .cos  2a.
1  a2
a 2  11
sin  .cos  
.
sin  .cos 
.
2
2
C.
D.
2
cot   3tan 
cos   
E
3 . Giá trị của biểu thức
2cot   tan  bằng
16. Cho biết

19
19
25
25
 .
.
.
 .
A. 13
B. 13
C. 13
D. 13
2
17. Cho biết cot   5 . Giá trị của E = 2cos   5sin  cos   1 bằng
10
100
50
101
.
.
.
.
A. 26
B. 26
C. 26
D. 26
18. Đẳng thức nào sau đây là sai?
2
2
A. (cos x  sin x)  (cos x  sin x)  2, x.

2
2
2
2
0
B. tan x  sin x  tan x sin x, x  90 .
4
4
2
2
C. sin x  cos x  1  2sin x cos x, x.
6
6
2
2
D. sin x  cos x  1  3sin x cos x, x.

Th.S Lê Quang Hải

- ✆ 0815.699451 -

 www.toanc3.online

Trang 14


Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

BÀI 6. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Quy ước: Với tam giác ABC, ta thường sử dụng các kí hiệu sau:
a,b,c
: Độ dài các cạnh BC, CA, AB
ha, hb, hc
: Độ dài các đường cao kẻ từ A, B, C.
abc
p
2
: Nửa chu vi của tam giác.
S
: Diện tích của tam giác.
R, r
: Bán kính đường trịn ngoại tiếp, bán kính đường trịn nội tiếp.
ma, mb, mc
: Độ dài đường trung tuyến kẻ từ A, B, C.
Định lí cosin. Trong tam giác ABC, có
a 2  b 2  c 2  2bc cos A
b 2  a 2  c 2  2ac cos B
c 2  a 2  b 2  2ab cos C
Nhận xét: Định lí cosin giúp ta giải tam giác khi biết ba canh của tam giác hoặc
biết hai cạnh và một góc của tam giác
Th.S Lê Quang Hải

-

✆ 0815.699451

-  www.toanc3.online

Trang 15


Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

Hệ quả:
2(b 2  c 2 )  a 2
2(a 2  c 2 )  b 2
2(a 2  b 2 )  c 2
2
2
2
ma 
mb 
mc 
4
4
4
;
;
Định lí sin. Trong tam giác ABC, có
a
b
c


 2 R.

sin A sin B sin C
Nhận xét: Định lí sin giúp ta giải tam giác khi biết hai góc và một cạnh của tam
giác
Các cơng thức tính diện tích:
1
1
1
1
1
1
abc
S  a.ha  b.hb  c.hc  bc sin A  ac sin B  ab sin C 
2
2
2
2
2
2
4 R  p.r
p  p  a  p  b  p  c
=
Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)
Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao.
A
BC 2  AB 2  AC 2 (định lí Pi–ta–go)

AB 2  BC.BH ,

AC 2  BC.CH
1

1
1


2
2
AH
AB
AC 2

B

H

C

AH  BH .CH ,
AH .BC  AB. AC
b  a.sin B  a.cos C  c tan B  c cot C ;
c  a.sin C  a.cos B  b tan C  b cot C
2

B. VÍ DỤ
Ví dụ 1.
Cho tam giác ABC có a  19, b  6, c  15 .
a) Tính cos A.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường cao hc.
d) Tính độ dài bán kính đường trong nội tiếp tam giác.
Giải

a) Từ định lí cosin ta có
b 2  c 2  a 2 62  152  192
5
cos A 


2bc
2.6.15
9
2

5
2 14
 5
cos A    sin A  1  cos 2 A  1     
9
9
 9
b) do
1
1
2 14
S  bc sin A  .6.15.
 10 14
2
2
9
nên diện tích tam giác là
(đvdt)
Th.S Lê Quang Hải

- ✆ 0815.699451 -

 www.toanc3.online

Trang 16


Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

1
2S 2.10 14 4 14
S  c.hc  hc 


2
c
15
3
c) Ta có
abc
4 S 4.10 14 4 14
S
R


4
R

abc
19.6.15
171
d) Ta có
Ví dụ 2.
0
0
Cho tam giác ABC có A  45 , C  30 và c = 12.
a) Tính độ dài các cạnh cịn lại của tam giác.
b) Tính độ dài bán kính đường trong ngoại tiếp của tam giác.
c) Tính diện tích tam giác.
d) tính độ dài các đường cao của tam giác
Giải
B  1800   A  C   180 0   450  300   1050
a) Theo bài ra,
c
12

 24
sin C sin 300
a
b
c


 2 R  24
Từ định lí sin ta có sin A sin B sin C
Nên
a  24.sin A  24.sin 450  12 2
b  24.sin B  24.sin1050  6 6  6 2  23

b) Độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp
2 R  24  R  12
abc 12 2.23.12
S

 69 2
4
R
4.12
c) diện tích tam giác
(đvdt)
d) Độ dài các đường cao
1
1
1
S  a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2
2S 2.69 2 23
ha 


a
2
12 2

2 S 2.69 2

6 2

b
23
2 S 2.69 2 23 2
hb 


c
12
2
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố
cho trước.
hb 

Th.S Lê Quang Hải

-

✆ 0815.699451

-  www.toanc3.online

Trang 17


Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1. Cho tứ giác lồi ABCD, gọi  là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD.

1
S  AC.BD.sin 
2
a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức:
b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vng góc.
2. Giải tam giác ABC, biết:
0 µ
0
0 µ
0
µ
µ
a) c  14; A  60 ; B  40
b) b  4,5; A  30 ; C  75
0 µ
0
0 µ
0
µ
µ
c) c  35; A  40 ; C  120
d) a  137,5; B  83 ; C  57
3. Giải tam giác ABC, biết:
0
0
µ
µ
a) a  6,3; b  6,3; C  54
b) b  32; c  45; A  87
0

0
µ
µ
c) a  7; b  23; C  130
d) b  14; c  10; A  145
4. Giải tam giác ABC, biết:
a) a  14; b  18; c  20
b) a  6; b  7,3; c  4,8

c) a  4; b  5; c  7
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b + c = 2a. Khẳng định nào sau đây là
đúng ?
A. cosB + cosC = 2cosA.
B. sinB + sinC = 2sinA.
1
sin A
C. sinB + sinC = 2
.
D. sinB + cosC = 2sinA.
2. Cho tam giác ABC. Đẳng thức nào sai?
BC
A
cos
 sin
2
2 .
A. sin ( A+ B – 2C ) = sin 3C. B.
A  B  2C
C

cos
 sin
2
2.
C. sin( A+ B) = sinC.
D.
2
2
2
3. Gọi S = ma + mb + mc là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam
giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
3
A. S = 4 (a2 + b2 + c2).
B. S = a2 + b2 + c2.
3
C. S = 2 (a2 + b2 + c2).
D. S = 3(a2 + b2 + c2).
4. Độ dài trung tuyến mc ứng với cạnh c của ABC bằng
b2  a 2 c 2
mc 
 .
2
4
A.

Th.S Lê Quang Hải

b2  a 2 c 2
mc 
 .

2
4
B.

- ✆ 0815.699451 -

 www.toanc3.online

Trang 18


Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

b2  a 2  c2
1  2
2
2

m

.
mc 
2b  a  c .
c
4
2
C.
D.

5. Tam giác ABC có cosB bằng
b2  c2  a 2
cos B 
.
2
2bc
A.
B. cos B  1  sin B .
a2  c2  b2
cos B 
2ac
C. cos B = cos( A + C).
D.
.
2
2
2
6. Cho tam giác ABC có a + b – c > 0 . Khi đó :
A. Góc C > 900.
B. Góc C < 900.
C. Góc C = 900.
D. Khơng thể kết luận được gì về góc C.
µ
µ = 440 33 ' ; C
7. Cho ABC với a = 17,4; B
= 640 . Cạnh b bằng
A. 16,5.
B. 12,9.
C. 15,6.
D. 22,1.

µ
µ
8. Tam giác ABC có A = 680 12 ', B = 340 44 ', A B = 117. Cạnh AC bằng
A. 68.
B. 168.
C. 118.
D. 200.
9. Cho tam giác ABC, biết a = 13, b = 14, c = 15. Góc B bằng
A. 590 49 '.
B. 530 7 '.
C. 590 29 '.
D. 620 22 '.
10.Cho tam giác ABC, biết a = 24; b = 13; c = 15. Góc A bằng
A. 330 34 '.
B. 1170 49 '. C. 280 37 '.
D. 580 24 '.
µ = 600 . Độ dài cạnh b bằng
11.Tam giác ABC có a = 8, c = 3, B

A. 49.

97 .

B.

C. 7.

D.

61 .

µ
µ = 560 13 ' ; C
12.Tam giác ABC có a = 16,8; B
= 710 . Cạnh c bằng
A. 29,9.
B. 14,1.
C. 17,5.
D. 19,9.
13.Cho tam giác ABC thoả mãn : b2 + c2 – a2 = 3bc . Khi đó
A. A = 300.
B. A= 450.
C. A = 600.
D. A = 750. uuu
r
uuu
r
14.Cho tam giác đều ABC với trọng tâm G. Góc giữa hai vectơ GA và GB bằng
A. 300.
B. 600.
C. 900.
D. 1200.
15.Một tam giác có ba cạnh là 13, 14, 15. Diện tích tam giác bằng
A. 84.
B. 84 .
C. 42.
D. 168 .
16.Cho tam giác ABC có a = 4; b = 6; c = 8. Khi đó diện tích của tam giác bằng
2
15

A. 9 15 .
B. 3 15 .
C. 105.
D. 3
.
17.Một tam giác có ba cạnh là 26, 28, 30. Bán kính đường tròn nội tiếp bằng
A. 16.
B. 8.
C. 4.
D. 4 2 .
18.Một tam giác có ba cạnh là 52, 56, 60. Bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng
65
65
.
A. 8 .
B. 40.
C. 32,5.
D. 4
Th.S Lê Quang Hải

-

✆ 0815.699451

-  www.toanc3.online

Trang 19


Chương 2,3.

Kết nối tri thức và cuộc sống

19.Tam giác với ba cạnh là 6; 8; 10 có diện tích bằng
A. 24.
B. 20 2 .
C. 48.
D. 30.
20.Tam giác với ba cạnh là 3; 4; 5 có bán kính đường trịn nội tiếp tam giác bằng
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 2.

Th.S Lê Quang Hải

- ✆ 0815.699451 -

 www.toanc3.online

Trang 20