CHUYÊN ĐỀ HSG: CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN CƠ NHIỆT

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH HÀ GIANG

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ GIANG

CHUYÊN ĐỀ: CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN CƠ NHIỆT
Tác giả : Nguyễn Toàn Thắng
Trường THPT Chuyên Hà Giang
Bài tập cơ nhiệt là bài tập trong phần nhiệt nhưng trong bài giải lại kết hợp
cả phần cơ học. Là loại bài tập hay và khó của chương trình Vật lí lớp 10. Loại bài
tập này thường có mặt trong đề thi học sinh giỏi các cấp, Olympic khu vực,
Olympic quốc tế...
I. Kiến thức bổ trợ
1) Khí lí tưởng: Chất khí được coi là khí lí tưởng khi có thể bỏ qua tương tác
giữa các phân tử khí chỉ kể đến các tương tác này khi chúng va chạm với nhau
hoặc với thành bình. ( hoặc khí lí tưởng là khí tn theo đúng định luật BôilơMariốt và Sáclơ)
2) Thông số xác định trạng thái
- Một vật hoặc một nhóm vật, bao gồm một số hạt rất lớn hạt (nguyên tử hoặc
phân tử) gọi là một hệ vĩ mô.
- Trạng thái của một hệ vĩ mô được đặc trưng bởi một số đại lượng vật lí gọi là
các thơng số trạng thái. Ví dụ: áp suất p, thể tích V và nhiệt độ tuyệt đối T là các
thông số trạng thái của một lượng khí nào đó.
- Phân biệt hai loại thơng số:
+ Thơng số ngồi: xác định bởi các vật bao quanh hệ; như thể tích V của một
lượng khí là thơng số ngồi, nó phụ thuộc kích thước bình chứa khí;
+ Thơng số trong: đặc trưng cho chính hệ xét, như áp suất p, nhiệt độ T của một
lượng khí.
3) Đạo hàm, vi phân, tích phân
a) Đạo hàm tại một điểm: Cho hàm số
x0   a; b 

. Nếu tồn tại giới hạn ( hữu hạn)

là đạo hàm của hàm số

y  f  x

y  f  x

lim

xác định trên khoảng (a; b) và

f  x   f  x0 

x  x0

x  x0

tại điểm x0 và kí hiệu

f '  x0   lim

x  x0

f  x   f  x0 
x  x0

thì giới hạn đó được gọi

f  x0 
'

( hoặc

y '  x0 

), tức là


b) Vi phân: Cho hàm số

x   a; b 
y  f  x

y  f  x

xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại

f ' x dx
. Giả sử dx là số gia của x. Ta gọi tích   là vi phân của hàm số
df x
tại x với số gia dx , kí hiệu là   hoặc dy, tức là:

c) Tích phân: Cho

f  x

dy  df  x   f '  x  dx

là hàm số liên tục trên

y

đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của  
trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích
phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;
f x

y  f  x

b

b] ) của hàm số

f  x

 f ( x) dx

, ký hiệu: a
b

Ta còn ký hiệu:

F ( x ) a  F (b )  F ( a )
b

f ( x)dx F ( x)

O

b

a

F (b)  F (a)

xa

xb

Hình 1

Vậy: a
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b]
b

 f ( x) dx

thì a
là diện tích S của hình thang cong ( hình 1)
giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng
x = a; x = b.
b

 f ( x) dx

Vậy: S = a
4) Định lí về động năng
Wđ2 – Wđ1 = A với A là công của ngoại lực
II- Kiến thức cơ bản
1. Các đẳng quá trình .
+ Quá trình đẳng nhiệt: T = const, pV = const

+ Q trình đẳng tích: V = const ,

p
 const
T

V
 const
T

+ Quá trình đẳng áp : p = const,
2. Phương trình trạng thái khí lí tưởng ( phương trình Clappêrơn ) :
pV
 const
T

p1V1 p2V2

T
T2
1
hay

( áp dụng cho lượng khí có khối lượng khơng đổi)
3. Phương trình Clappêrơn - Menđêlêép (phương trình C -M ):

x


pV  nRT 

m
RT

( áp dụng cho lượng khí có khối lượng thay đổi )

trong đó: n: số mol của khí (g/mol); m: khối lượng khí (g);  : khối lượng mol
của chất khí; p: áp suất của khí ( Pa) ; V: thể tích của khí ( m3 ), T: nhiệt độ tuyệt
đối (K)
R: hằng số của các khí, R = 8,31J/mol.K
4. Nguyên lý I của nhiệt động lực học ( NĐLH ):
4.1. Nội dung: Độ biến thiên nội năng của hệ bằng tổng đại số nhiệt lượng và
công mà hệ nhận được.
U  Q  A
4.2. Biểu thức:
trong đó: U : độ biến thiên nội năng của hệ; Q, A: là các giá trị đại số
4.3. Quy ước:
+ Q > 0; A > 0: hệ nhận nhiệt lượng, nhận công .
+ Q < 0; A < 0: hệ nhả nhiệt lượng, sinh công .
- Nếu xét trong một q trình vơ cùng nhỏ thì : dU =  Q +  A
5. Áp dụng nguyên lý I NĐLH đối với các q trình biến đổi trạng thái của
khí lí tưởng:
U  nCV (T2  T1 ) 

5.1. Biểu thức của độ biến thiên nội năng:
CV: nhiệt dung mol đẳng tích của chất cấu tạo nên vật
5.2. Cơng thực hiện trong một quá trình biến đổi.

m
CV (T2  T1 )



'
+ Cơng ngun tố thực hiện trong một q trình biến đổi nhỏ: A  pdV

A' 

V2

 pdV

p M
Vậy :
+ Cơng xác định theo đồ thị p -V ( hình 2):
Cơng có giá trị bằng diện tích phần gạch chéo
N
trên đồ thị ( hình thang cong MNPQ) giới hạn
'
Hình 2
bởi đường biểu diễn q trình biến đổi và trục
A

S
MNPQ
'
hồnh OV, V= V1; V = V2. Dấu của A là dương
Q
P
V
nếu chiều từ M đến N là chiều kim đồng hồ trên O

V2
V1
chu vi hình thang cong.
+ Cơng trong q trình đẳng nhiệt:
Xét một lượng khí lí tưởng có nhiệt độ khơng đổi T và biến đổi theo q trình cân
bằng từ trạng thái có áp suất p1, thể tích V1 đến trạng thái có áp suất p2, thể tích V2.
V1

'

Lượng khí này khơng tăng nhiệt độ, nhưng sinh cơng A :

A' 

V2

 pdV

V1


'
Để tính A phải thay p dưới dấu tích phân bằng biểu thức của nó tính theo V. Biết
pV  p1V1  p2V2
rằng khí lí tưởng tuân theo đúng định luật Bôi-lơ - Ma-ri-ốt:

pV
p 1 1
V

V2

A'  p1V1 

V
dV
 p1V1 ln 2
V
V1

A'  p2V2 ln

V2
V1

V
ta có:
. Vậy:
hay
+ Công thực hiện trong quá trình đoạn nhiệt:
Quá trình đoạn nhiệt: Là quá trình biến đổi trạng thái của khí trong đó khí
khơng nhận nhiệt và cũng không nhả nhiệt cho các vật xung quanh ( tức là không
trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài ): Q = 0 ; và ta có: A = U
Theo nguyên lí I NĐLH ta có:
A' = - A = - U = - nCV ( T2 - T1 ) = nCV ( T1 - T2 ) (a)
1

i
R
CV  R 

2
  1 , p1V1 = nRT1, p2V2 = nRT2
với n là số mol khí, biết:
pV  p V
A'  1 1 2 2
 1
Công A có thể viết lại như sau:
(b)
A' 

p1V1  T2 
1  
  1  T1 

hoặc nếu tính theo nhiệt độ:
(c)
Chú ý: Ba công thức (a), (b), (c) có thể dùng trong quá trình đoạn nhiệt bất kì, có
thể khơng cân bằng. Nếu q trình đoạn nhiệt cân bằng thì cơng A' cịn được tính
như sau:
 1
p1V1   V1  
1    
A 
  1   V2  


'

5.3. Áp dụng nguyên lí I NĐLH đối với các quá trình
biến đổi trạng thái của khí lí tưởng:

5.3.1. Q trình đẳng tích: ( hình 3 )
V = const  A = 0; Q = U
Trong q trình đẳng tích, nhiệt lượng mà khí nhận
được
chỉ dùng làm tăng nội năng của khí
5.3.2. Q trình đẳng áp : ( hình 4 )
p = const  A = - A' = - p.V = - p( V2 - V1)
 Q = U + A' ( A' là công mà khí sinh ra)
Trong q trình đẳng áp, một phần nhiệt lượng mà khí
nhận vào được dùng để làm tăng nội năng của khí, phần
cịn lại biến thành cơng mà khí sinh ra.

Hình 3

Hình 4


5.3.3. Quá trình đẳng nhiệt : ( hình 5)
T = const ; U = 0  Q = U - A = - A ,
thay - A = A'
Vậy: Q = A'
Trong q trình đẳng nhiệt, tồn bộ nhiệt lượng mà
khí nhận được chuyển hết sang cơng mà khí sinh ra.
5.3.4. Q trình đoạn nhiệt: Khí khơng trao đổi nhiệt
lượng
Hình 5
với mơi trường bên ngồi: Q = 0. Vậy: A = U
5.3.5. Chu trình: ( hình 6 ) là một quá trình mà trạng thái
cuối trùng với trạng thái đầu. Chu trình cân bằng có thể được biểu diễn trên đồ thị
p - V bằng một đường cong khép kín. Sau khi thực hiện chu trình, khí trở về trạng

thái ban đầu I
Theo nguyên lí I NĐLH: U  Q  A  Q  A ' = 0 và
tổng đại số nhiệt lượng nhận được Q = tổng đại số
cơng sinh ra.
* Chu trình Các - nơ: để thuận lợi trong việc vận dụng
nguyên lí I và II NĐLH, người ta khảo sát một chu trình
biến đổi đặc biệt gọi là chu trình Các-nơ.
Hình 6
Chu trình Các-nơ là một chu trình gồm có hai quá trình
đẳng nhiệt xen kẽ với hai quá trình đoạn nhiệt.
6. Khái niệm về nhiệt dung, nhiệt dung riêng.
6.1. Nhiệt dung của một vật: Là đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt lượng cần
cung cấp cho vật để nhiệt độ của nó tăng thêm 10.
6.2. Nhiệt dung riêng của một chất bất kỳ là đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt
lượng cần truyền cho một đơn vị khối lượng chất nói chung và một đơn vị khối
lượng khí nói riêng đó để làm tăng nhiệt độ của nó thêm 10:
C

dQ
dT

6.3. Nhiệt dung mol của một chất bất kỳ là đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt
lượng cần truyền cho 1mol chất nói chung và một mol khí nói riêng để nhiệt độ của
C

dQ
dT

nó tăng lên 10.
6.4. Nhiệt dung mol đẳng tích và đẳng áp.

+ Nhiệt dung mol đẳng tích: Là nhiệt lượng cần cung cấp cho một mol chất khí để
 dQ 
CV  
  const
dT

V
nhiệt độ tăng lên 1 độ trong điều kiện thể tích khơng đổi:

Theo nguyên lý I ta có:
Vậy:

CV 

Q  dU  A  dU

dU i
dT i
 .R.
 .R
dT 2 dT 2

( i là số bậc tự do )

Hình 6


+ Nhiệt dung mol đẳng áp : Là nhiệt lượng cần cung cấp cho một mol chất khí để
 dQ 
CP  

  const
dT

P
nhiệt độ tăng lên 1 độ trong điều kiện áp suất không đổi:

Ta có:

Q  dU  A

vậy

CP 

dU  A dU A i
dV


 R p
dT
dT dT 2
dT

dV R
i2

CP 
.R
dT
p

2
Theo phương trình C -M, ta có:
. Vậy :

6.5. Mối quan hệ giữa nhiệt dung riêng đẳng tích và đẳng áp:
Theo nguyên lý I NĐLH cho 1mol khí q trình đẳng áp ta có : dU
 Q = Cp.dT; dU = Cv.dT;  A = pdV
Thay vào (1) ta có: Cp = Cv +

dV
p. dT

 Q  A

(1)

(2)
dV
p. dT

Mặt khác ta có: pV= RT hay pdV = RdT . Vậy :
=R
Từ (1) ta có: Cp = Cv + R hay Cp - CV = R : hệ thức May - e giữa Cp và CV
( Nếu khí tuân theo đúng phương trình C - M thì có nhiệt dung mol tuân theo hệ
thức
May - e )
+ Hằng số Poat -xong:



Cp
CV =

i2
i

Với khí đơn nguyên tử, i = 3 thì

;

5
 
3

Với khí lưỡng ngun tử, i = 5 thì
 

 

7
5

8
6

Với khí đa ngun tử, i = 6 thì
7. Mối quan hệ giữa các thơng số trạng thái trong quá trình đoạn nhiệt.
Có -  A = - dU hay pdV + nCVdT = 0  n

dV

RT V

dT
CV T

+

+ nCV dT = 0
dV
RV

=0

Lấy tích phân hai vế ta có:


CV

dT
T


+R

dV
V

 ln T     1 ln V
= const hay CV ln T  R ln V = const
= const


 1
pV  const
hay T .V  const

8. Nguyên lý thứ II của nhiệt động lực học.
8.1. Động cơ nhiệt: là thiết bị biến đổi nhiệt lượng sang công.
8.2. Nội dung nguyên lý:


- Cách phát biểu thứ nhất: Nhiệt không tự nó truyền từ một vật sang vật nóng hơn.
- Cách phát biểu thứ hai: Không thể thực hiện được động cơ vĩnh cửu loại hai ( nói
một cách khác, động cơ nhiệt khơng thể biến đổi tồn bộ nhiệt lượng nhận được
thành ra công)
H

A Q1  Q2

Q1
Q1

8.3. Hiệu suất của động cơ nhiệt:
trong đó: Q1: nhiệt lượng nhận từ nguồn nóng; Q2: nhiệt lượng tác nhân truyền
cho nguồn lạnh.
H max 

T1  T2
T1 : hiệu suất của chu trình Các-nơ

- Với động cơ nhiệt lý tưởng:

trong đó: T1: nhiệt độ nguồn nóng, T2: nhiệt độ nguồn lạnh.
II- Phương pháp giải:
1. Phân tích hiện tượng bài tốn.
2. Tìm quy luật biến đổi trạng thái của lượng khí cần xét.
3. Kết hợp với các kiến thức có liên quan để thành lập hệ phương trình đủ.
*Chú ý:
- Phân tích kỹ hiện tượng bài toán và sử dụng các kiến thức trên kết hợp với
các kiến thức cơ học có liên quan để giải bài toán.
- Khi sử dụng nguyên lý I NĐLH cần chỉ rõ loại khí (đơn nguyên tử hay
lưỡng nguyên tử), quá trình trao đổi nhiệt (nhận nhiệt, nhả nhiệt hoặc không trao
đổi nhiệt) để sử dụng đúng kiến thức cho từng dạng bài tập.
III - Các dạng bài tập cụ thê
Bài 1. ( Trích Bồi dưỡng HSG Vật lí THPT - Nhiệt học và Vật lí phân tử )
Cho một hình trụ gồm hai phần tiết diện khác nhau
đặt thẳng đứng như (hình 7). Giữa hai pít-tơng khối lượng
m1
m1, m2 có một khối khơng khí khối lượng m, tiết diện các
pít-tơng là S1, S2. Các pít-tơng nối với nhau bằng một thanh
cứng, nhẹ dài
l và nằm ở vị trí cách đều mức phân chia hình trụ thành
hai phần đường kính khác nhau. Khi nhiệt độ trong hình trụ
m2
tăng một lượng T thì các pít- tơng xê dịch một khoảng bằng
Hình 7
bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải:
- Ban đầu pít-tơng nằm cân bằng là do hợp lực (trọng lực của pít-tơng, áp lực do
khí bên trong và bên ngồi pít-tơng gây ra).
- Khi nhiệt độ tăng thì áp suất khí trong hình trụ tăng do S 1> S2 nên pít-tơng sẽ
dịch chuyển lên trên một đoạn l, nó dừng lại khi có cân bằng lực.

- Gọi p, p0 là áp suất không khí bên trong và bên ngồi 2 pít- tơng


Khi 2 pít- tơng cân bằng ta có : (m1 + m2)g + p0(S1 - S2) = p(S1 - S2)
(m1  m2 ) g  p0 ( S1  S 2) )

S1  S 2
Suy ra p =
- Khi nhiệt độ tăng thêm T, áp suất trong pít-tơng tăng làm nó dịch lên phía trên
một đoạn l.
Khi cân bằng áp suất bên trong lại bằng p nên quá trình coi là đẳng áp :

V V1 V l ( S1  S 2 )
 

T T1 T
T
m
V mR
mRT
RT  
 l 
T p
( S1  S2 )  p
Mặt khác : pV = 
mRT
l 
  (m1  m2 ) g  p0 ( S1  S 2 )

Cuối cùng ta có :

Bài 2. ( Trích Bồi dưỡng HSG Vật lí THPT - Nhiệt học và Vật lí phân tử )
Một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử được giữ trong một xilanh cách nhiệt
nằm ngang và một pít-tơng P cũng cách nhiệt như hình 8. Pít-tơng P gắn vào đầu
một lò xo L, lò xo L nằm dọc theo trục của xilanh, đầu kia của lò xo L gắn vào cuối
của xilanh. Trong xilanh ngồi phần chứa khí là chân khơng. Ban đầu giữ cho píttơng P ở vị trí lị xo khơng bị biến dạng, khi đó khí trong xilanh có áp suất p 1 = 7
kPa và nhiệt độ T1= 308K.
P
Thả cho pít-tơng chuyển động thì thấy
L
khí giãn ra, đến trạng thái cân bằng cuối
p1, T1
cùng thì thể tích của khí gấp đơi thể tích ban
đầu. Tìm nhiệt độ T2 và áp suất khí p2 khi
đó.
Hình 8

Hướng dẫn giải:
- Pít-tơng và xilanh đều cách nhiệt, nên sự biến đổi trạng thái khí là đoạn nhiệt. Vì
có sự chênh lệch áp suất giữa lượng khí đang xét và chân không trong xi lanh nên
gây ra hiện tượng giãn nở khí. Do đó pít-tơng P bị đẩy sang phải.
- Gọi tiết diện của pít-tơng là S
- Theo ngun lý I của NĐLH : Q = 0 ( là quá trình giãn khí đoạn nhiệt, khơng
3
2

thuận nghịch)  U   A (*) ( khí sinh cơng) , mà U = Cv. T=
R(T2- T1)
Cơng mà khí sinh ra làm nén lị xo một đoạn x đúng bằng công của lực đàn hồi nên
có:
1

A=2

kx2


- Mặt khác khi pít- tơng ở trạng thái cân bằng ta có: p 2S = kx và V2 = 2x.S

 x=
Từ đó

V2
2S
1
:A=2

Thay A =

2

1
2

1
2

kx =
.k.x.x = .p2S.x
( vì p2V2 = nRT2, n= 1mol)
1
4

1
=2

.p2S

V2
. 2S

1
=4

.p2.V2

1
=4

RT2

RT2 vào (*) ta có:
3
2

R(T2- T1) =

1
-4

RT2  T2 =

Theo phương trình trạng thái khí lí tưởng ta có:
 p2 

6
7

T1 = 264K

p1V1 p2V2

T1
T2

p1 T2 7.6
. 
 3kPa
2 T1 2.7

Bài 3. ( Trích Tuyển tập Olympic 30-4 lần thứ XVI năm 2010)
Một xilanh cách nhiệt chứa 1 mol khí H 2 và 1 mol khí He ngăn cách với nhau
bằng một vách ngăn AB. Một pit-tông P cách
nhiệt và di động làm thay đổi thể tích của khí
chứa trong xilanh. ( như hình 9 )
Vách ngăn di động, dẫn nhiệt lí tưởng, có nhiệt
dung khơng đáng kể. Thể tích ban đầu của khí
H2 và khí He bằng nhau và bằng V0. Nhiệt độ
ban đầu của hai khí cũng bằng nhau và bằng T 0.
Hình 9
Nén pít-tơng rất chậm để thực hiện quá trình
thuận nghịch giảm thể tích khí trong xilanh từ 2V0 đến V0.

1) Áp suất của khí biến đổi như thế nào?
2) Tính cơng nén khí?
Hướng dẫn giải:
1) Xét trong q trình đó thể tích V của hai mol khí biến đổi nhỏ dV.
Cơng sinh ra là: dA = pdV, nhiệt nhận được : dQ = 0
Theo nguyên lí I NĐLH: dU = - dA
(1)





3 
5
dU  CVH  CVHe dT   R  R dT  4RdT
2
2 
2
Mặt khác:

Theo phương trình C - M: pV = 2RT ( n = 2mol)
dA = pdV
Do đó: dU = 4RdT = 2d( pV ) = 2pdV + 2Vdp
2pdV + 2Vdp = -pdV
(2)
3
dp 3 dV
 3 pdV  2Vdp  0 

 0  pV 2  const

p
2
V
Từ (1)

(3)


2RT0
Khi thể tích biến đổi từ V0 = 2V đến V1 = V thì áp suất biến đổi từ p0 = V0 đến
3

p1:

3
 V0  2
p1  p0    p0 .2 2  2,83 p0
 V1 

2) Tính cơng nén khí: ta có: A' = - A = U = 4R T với T = T1 - T0
3

1

1
 V0  2
T1  T0    T0 .2 2  1, 414T0
 V1 

nên A' = 4R. 0,414T0 = 1,66RT0

* Nhận xét : Sự biến đổi trạng thái của khí trong ba bài tập trên có liên quan đến
các hiện tượng cơ học, cần phải phân tích kỹ hiện tượng của bài toán và sử dụng
các kiến thức như phương trình trạng thái khí lí tưởng, phương trình C-M, các
nguyên lí của NĐLH kết hợp với kiến thức cơ học có liên quan để giải bài toán.
Bài 4. (Trích trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu- An Giang
đề đề nghị thi HSG ĐBSCL - Năm học 2008 – 2009)
B
Trong một xy lanh thẳng đứng, thành cách nhiệt có hai pith
tông: pit-tông A nhẹ (trọng lượng có thể bỏ qua) và dẫn nhiệt, pitA
tơng B nặng và cách nhiệt (hình 10). Hai pit-tông và đáy xylanh tạo h
thành hai ngăn, mỗi ngăn chứa 1 mol khí lí tưởng lưỡng nguyên tử
và có chiều cao h = 0,5m. Ban đầu hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt.
Hình 10
Làm cho khí nóng lên thật chậm bằng cách cho khí (qua đáy dưới) một nhiệt lượng
Q = 100J. Pit-tông A có ma sát với thành bình và khơng chuyển động, pit-tơng B
chuyển động khơng ma sát với thành bình. Tính lực ma sát tác dụng lên pit-tông A.
Hướng dẫn giải
 Gọi:
· nhiệt độ ban đầu, nhiệt độ sau cùng của hệ là T0 và T1
· p0 là áp suất ban đầu của hệ
 Xét ngăn trên :
· Khí tăng nhiệt độ đẳng áp từ T0 đến T1, thể tích của nó tăng từ V0 đến V1 :
V1 

V0
T1
T0
 A

p0V0

 T1  T0   R  T1  T0 
T0

0 1
0
· Công A khí sinh ra :
 Xét ngăn dưới: Khí nóng đẳng tích từ T0 đến T1 áp suất tăng từ p0 đến p1:

A  P V V
p1 

Áp dụng nguyên lý I cho hệ:

T1
p0
T0

U  Q  A  Q  R  T1  T0 


 5R  T1  T 0   Q  R  T1  T0   6R  T1  T0   Q

 Lực ma sát F tác dụng lên pit-tông A là:

F   p1  p0  S

p0 V0
R
 T1  T0    T1  T0 
T0 h

h
Q 100
F

 33,3( N )
6h 6.0,5

F

Bài 5. (Trích Đề thi HSG trường THPT Hậu Lộc 3 – Thanh Hóa năm học 2008 –
2009)
Một xi lanh nằm ngang chứa đầy khí lí tưởng được ngăn đơi bằng một pit tông có
thể chuyển động qua lại không ma sát. Khi cân bằng pit tơng ở chính giữa xi lanh.
Đưa pit tơng dịch ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ. Coi quá trình là đẳng nhiệt
1.Chứng minh pittơng dao động điều hồ.
2.Lập biểu thức tính chu kì dao động theo các
thông số khác nhau khi tiến hành thí nghiệm.
P - P2
P+ P1
Hình 11
Hướng dẫn giải
1) Chứng minh pit tơng dao động điều hồ
Chọn trục ox nằm ngang, gốc O tại VTCB của pit tông, chiều dương hướng từ trái
qua phải.
- Khi pit tông cân bằng P1 = P2 = P.................................................
- Khi pit tông dịch sang phải một đoạn x ( phần khí bên trái có P 1, V1; phần khí bên
phải có P2, V2)
F = P1S1 – P2S2 = (P -P1)S - (P +P2)S  F = -(P1+P2)S (1)......
Vì quá trình đẳng nhiệt nên P1V1 = P2V2
 (P -P1)( V + Sx) = (P +P1)( V - Sx) ........................................

 (P1+ P2)V – (P1- P2)Sx  2PSx ( vì (P1- P2)Sx rất nhỏ)
 (P1+ P2)V = 2PSx  (P1+ P2) =

2 PSx
V

(2)

2

2 PS
x
Thay (2) vào (1) ta có F = - V
(lực hồi phục)
2
2 PS
x
2
’’
mV
- Phương trình dao động x = = -  .x

Với 2 =

2 PS 2
mV vậy pit tơng dao động điều hồ.


2. Biểu thúc tính chu kì:
a) Nếu bài tốn cho biết m là khối lượng pit tông; P là áp suất khí khi cân bằng; v

là thể tích của nửa xi lanh, S là tiết diện xi lanh thì ta có.
mV
2
T = 2 2PS

b) Nếu cho m, V, S như trên, n là số mol, T là nhiệt độ
mV 2
2
T = 2 2nRPS T

Vì PV = nRT
c) Nếu bài cho m, V, d là chiều dài xi lanh
md 2
T = 2 2 PV

Bài 6. (Trích đề thi HSG các trường Duyên Hải Bắc Bộ năm 2009 )
Một xylanh cách nhiệt kín hai đầu đặt nằm ngang, bên trong có pittơng. Bên trái
pittơng chứa một mol khí hyđrơ, bên phải là chân khơng, lị xo
một đầu gắn với pittơng, đầu kia gắn vào thành của xylanh
như (hình vẽ 12). Lúc đầu giữ pitơng để lị xo khơng biến
dạng, khí hyđrơ có thể tích V1, áp suất p1, nhiệt độ T1. Thả
pittơng nó chuyển động tự do và sau đó dừng lại, lúc này thể
Hình 12
tích của hyđrơ là V2 =2V1. Xác định T2 và p2 lúc này. Bỏ qua
nhiệt dung riêng của xylanh và pittông.
Hướng dẫn giải
1
2

Do xylanh cách nhiệt : Q=0 nên  U = A = - kx2 (1)

Trong đó  U =5/2 R (T2 -T1) (2)
- Lò xo bị nén một đoạn x : Các lực tác dụng lên pitông :
- lực đàn hồi F1= Kx
- Áp lực của khí trong xy lanh tác dụng lên pittơng : F2 =P2 .S
- Phương trình trạng thái cho một mol khí hydrơ:
P2V2 =R.T2 và V2=2V1 =2S.x
RT 2

- Suy ra F2 = 2 x
-

R.T2
1
Pittông đứng yên :F1=F2  kx = 2 x hay 2
10
Thay (2) ,(3) vào (1) được : T2 = 11 T1

2

kx =

R.T2
4

(3)


- Phương trình cho 2 trạng thái : P1 .V1 =R.T1 và P2.V2 =P2.2V1=RT2
5
= 11 P1

Suy ra : P2
.
Bài 7. (Trích đề thi HSG Trường THPT Hồng Lam Hà Tĩnh -Năm học 2010- 2011)
Người ta nối hai pít-tơng của hai xilanh giống nhau bằng
một thanh
cứng sao cho thể tích dưới hai pít-tơng bằng nhau (hình 13).
Dưới hai
pít-tơng có hai lượng khí lý tưởng như nhau ở nhiệt độ t 0 =
27OC, áp
1
2
suất p0. Đun nóng xilanh (1) lên tới nhiệt độ t 1 = 77OC đồng
thời làm
O
lạnh xi lanh (2) xuống nhiệt độ t 2 = 0 C. Bỏ qua trọng lượng
của
píttơng và thanh nối, coi ma sát khơng đáng kể, áp suất của khí
quyển pa =
Hình 13
5
10 Pa.
a. Tính áp suất khí trong hai xilanh?
b. Xác định sự thay đổi thể tích tương đối của khí trong mỗi xi lanh?
Hướng dẫn giải
a, Áp xuất của khí trong 2 xilanh
Xilanh (1): TT(1): p0, V0, T0 = (27 + 273) K = 300K.
TT(2): p1 = ?, V1 , T1 = (77 + 273)K = 350K.
p 0V0 p1V1


T
T1 (1)
0
PTTT:

p
1
T

Xilanh (2): TT(1): p0, V0, T0 = (27 + 273) K = 300K.
TT(2): p2 = ?, V2 , T2 = (0 + 273)K = 273K.

1

a

2
T

2

p0V0 p2V2

T
T2 (2)
0
PTTT:

Pít-tơng cân bằng ở cả hai trạng thái ta có:
2p0 = 2pa => p0 = pa ; 2p0 = p1 + p2 ; V1 = V2 (3)

Từ (1), (2), (3) =>

p1 

2T1
p a 1,1236.10 5 Pa
T1  T2
;

p2 

2T2
p a 0,8764.10 5 Pa
T1  T2

V V1  V0

V
V0 (4)
b, Sự thay đổi thể tích tương đối của khí trong mỗi xilanh: x = 0
T1  T2  2T0
 0,03833
2
T
0
Từ (1), (2), (3) và (4) => x =
.


Bài 8.

Một xi lanh kín được chia làm hai phần bằng nhau bởi một pít tơng cách nhiệt. Mỗi
l  30cm
phần có chiều dài 0
, chứa một lượng khí giống nhau ở 270C. Nung nóng
một phần thêm 100 và làm lạnh phần kia đi 100. Hỏi pít tơng dịch chuyển một đoạn
bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Khi pít tơng đứng n, áp suất của khí ở hai bên pít tơng bằng nhau. Áp dụng
phương trình trạng thái cho khí trong mỗi phần của xi lanh ta có:
p0V0 pV1

T
T1
Phần bị nung nóng: 0
p0V0 pV2

T
T2
0
Phần bị làm lạnh:


V1 V2

T1 T2

Gọi khoảng dịch chuyển của pít tơng là x ta có:
l0  x l0  x

T1

T2

x

l0  T1  T2 
20

.30  1cm
T1  T2
600

Bài 9. (Trích đề học sinh giỏi lớp 12 vòng 2 năm học 2010 – 2011 – Tỉnh Đồng Nai)
Một ống hình trụ, thành cách nhiệt, miệng hở, chiều cao L
được đặt thẳng đứng. Trong ống có một cột thuỷ ngân chiều
cao a. Dưới cột thuỷ ngân có chứa n mol khí lí tưởng đơn
a
nguyên tử, chiều cao h , ở nhiệt độ T0 (hình vẽ). Áp suất khí
L
quyển là P0 mmHg. Người ta truyền nhiệt cho khí sao cho cột
thuỷ ngân chuyển động rất chậm và cuối cùng chảy hoàn toàn
h
ra khỏi ống. Bỏ qua ma sát giữa thuỷ ngân và thành ống và
xem sự trao đổi nhiệt giữa khí và thuỷ ngân là không đáng kể.
a) Ở nhiệt độ nào thì thuỷ ngân bắt đầu trào ra khỏi ống?
Hình 13
Tính nhiệt lượng đã cung cấp cho khí đến lúc này
b) Hãy cho biết sự biến thiên nhiệt độ của khối khí trong q trình thủy ngân
tràn ra khỏi ống
Hướng dẫn giải
a, Do cột thủy ngân chuyển động rất chậm nên q trình dãn nở của khí

được xem là đẳng áp.


Nhiệt độ của khí lúc thuỷ ngân bắt đầu trào ra khỏi ống được tính bởi
T1  T0

V1
La
 T0
V0
h

Nhiệt lượng đã truyền cho khí lúc này là
Q1  n(C V  R)(T1  T0 )  n

Hay :

Q1 

5nR(L  a  h)T0
2h

5R
(T1  T0 )
2

b, Đặt P0 = H. Lúc đầu áp suất khí là p0 = (H + a) (mmHg),
Gọi S là tiết diện của ống ; x là chiều cao cột thuỷ ngân còn lại trong ống, ta
có:
(L-a) S (H + a) =

(L-x) S (H + x) = nRT

 T  T1

nRT1

(L  x)(H  x)
(L  x)(H  x)
 T0
(L  a)(H  a)
h(H  a)

(1)
T là một tam thức bậc hai theo x và đạt cực đại khi :
x1 

L  H L  P0

2
2

(L  H) 2
(L  H) 2
Tm  T1
 T0
4(L  a)(H  a)
4h(H  a)
Và nhiệt độ ứng với giá trị x trên là:

Khi thuỷ ngân chảy hết khỏi ống thì nhiệt độ của khí là

T2  T0

L.H
h(H  a)

dT  T0

L  H  2x
dx
h(H  a)

Từ ( 1 ) ta có :
Biện luận: Có 3 khả năng sau:
1. Nếu P0 = H > L thì L – H – 2x luôn âm với mọi x nên dT luôn dương,
nhiệt độ luôn tăng.
2. Nếu (L – H – 2a) > 0 ( hay P0 = H < L – 2a ) thì (L – H – 2x ) ln
dương, dT luôn âm, nhiệt độ luôn giảm.
3. Nếu hoặc (L – 2a) < H < L thì trong quá trình thuỷ ngân chảy khỏi ống, nhiệt
độ tăng từ T1 đến Tm, sau đó giảm đến T2 theo hàm số bậc hai ( 1 )
Bài 10. (Trích đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 12 THPT – Tỉnh Bình Thuận năm
2011 – 2012)
Một pittông nặng có thể chuyển động không ma sát trong một xi
lanh kín đứng thẳng (như hình vẽ). Phía trên pittơng có 1 mol khí,

Hình 14


phía dưới cùng có 1 mol khí của cùng một chất khí lý tưởng. Ở nhiệt độ tuyệt đối T
V1
V1/

/
chung cho cả xi lanh; tỉ số các thể tích khí là V2 = n > Tính tỉ số x = V2 khi nhiệt
/

độ có giá trị T > T. Dãn nở của xi lanh không đáng kể. Áp dụng bằng số n = 2, T
= 2T, tính x.

/

Hướng dẫn giải
Gọi:
- V 1 , p 1 là thể tích và áp suất nửa trên xi lanh; V 2 , p 2 là thể tích và áp suất
của nửa dưới xi lanh ở trạng thái có nhiệt độ tuyệt đối T.
/
1

/
1

/
2

/
2

- V , p , V , p là các đại lượng tương ứng của hai nửa xi lanh khi ở nhiệt
V1/
/
/
độ T . ( với x = V2 là đại lượng cần tìm)

- Ta lập được các phương trình sau đây:
/
2

/
1

p - p = p - p = áp suất do trọng lượng tạo ra
2

1

/
1

/
2

V1 + V2 = V + V
p 1 V 1 = p 2 V 2 = RT
/

/

/

/

p 1 V 1 = p 2 V 2 = RT

(1)

(2)
(3)
/

(4)

p2
p 2/
/
Từ (3) và (4) cho ta: p1 = n; p1 = x.
/

Từ (1)  p 1 (n – 1) = p 1 (x - 1)
Từ (2)  V (1 +

1
n

 n2 

T n

1



/

1

(5)
1
x

) = V (1 +
)
(6)
Nhân (5) với (6) vế theo vế và sử dụng phương trình (3) và (4) ta có:
1

1



Đặt a =

=T
T
T/

/

 x2 

 x

 n2 


 n

1



2

ta có phương trình: x - ax - 1 = 0

a  a2  4
2
Nghiệm phương trình trên cho ta: x =

Thay số ta có: a =

T
T/

 n2 

 n

1



= 0,75 

0,75  0,75 2  4

2
x =
= 1,44.


Bài 11. (Trích đề thi HSG lớp 11 cấp tỉnh - tỉnh Hà Tĩnh năm học 2010 – 2011)
Một bình kín hình trụ đặt thẳng đứng được chia thành hai phần bằng một
pittông cách nhiệt, ngăn trên và ngăn dưới chứa cùng một lượng khí như nhau của
một chất khí. Nếu nhiệt độ hai ngăn đều bằng T 1 = 400 K thì áp suất ngăn dưới P 2
gấp đơi áp suất ngăn trên P1. Nếu nhiệt độ ngăn trên khơng đổi T1, thì nhiệt độ T2
của ngăn dưới bằng bao nhiêu để thể tích hai ngăn bằng nhau?
Hướng dẫn giải
Gọi áp suất gây bởi pittông là P0 = P/S
Ta có: P1 + P0 = P2 = 2P1  P0 = P1
P1V1 = P2V2 = 2P1V2  V1 = 2V2
Gọi thể bình là V, ta có: V1 = 2V/3; V2 = V/3; V1’ = V2’ = V/2
Với ngăn trên: P1V1 = P1’V1’ P1’ = 4P1/3
Với ngăn dưới: P2V2/T1 = P2’ V2’/T2  T2 = 3P2’T1/2P2
Do P2’ = P1’ + P0 = 7P1/3
Suy ra: T2 = 700K

Hình 15

Bài 12. (Trích đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc – Năm 2011 – 2012)
Trong một xilanh đặt thẳng đứng có một pittông mỏng, nhẹ, linh động và
cách nhiệt. Bên dưới pittông là một mol khí Heli (coi là khí lí tưởng) ở nhiệt độ
to  27 o C
. Bên trên pittông là một chất lỏng, phía trên chất lỏng là khơng khí (Hình
3). Ban đầu thể tích khí Heli, chất lỏng và khơng khí trong xilanh bằng nhau và
V  1lit , áp suất do cột chất lỏng trong xilanh gây ra bằng p . Áp suất khí

bằng o
o
5
2
quyển là po  10 N / m . Hỏi phải nung nóng khí (qua đáy xilanh) bằng một nhiệt
lượng tối thiểu bao nhiêu để khí dãn nở, pittông đi lên đều và đẩy hết chất lỏng ra
khỏi xilanh?
Hướng dẫn giải
*) Giai đoạn 1: Từ đầu cho đến khi chất lỏng chạm miệng xilanh.
- Vì pittơng đi lên đều nên quá trình này là đẳng áp, áp suất khí ln bằng áp suất
khí quyển. Ở cuối giai đoạn này nhiệt độ khí là T1, thể tích khí là V1=2Vo (Vo là thể
tích khí ban đầu).
- Áp dụng định luật GayLuysac cho khối khí Heli ta có:
Vo V1 2Vo
 
 T1  2To  600 K
To T1 T1
.

- Nhiệt lượng khí nhận vào trong giai đoạn này là:

Q1  U  A

.


- Với

U  nCV T 

3
R(T1  To )  3739, 5( J )
2

5
3
 Q1  3939,5( J )
Và A  p1V  2 po (V1  Vo )  2 poVo  2.10 .10  200( J )
*) Giai đoạn 2: Từ khi chất lỏng bắt đầu chảy ra cho đến khi chất lỏng chảy
hết.
Gọi S là diện tích pittông, H và 2H lần lượt là độ cao ban đầu của chất lỏng và của
khối khí, x là độ cao của pittơng so với đáy xilanh ở vị trí cân bằng mới của pittông
được nâng lên. Ban đầu, áp suất cột chất lỏng có độ cao H bằng p o . Do đó tại trạng

3H  x
po
H

thái cân bằng mới cột chất lỏng có độ cao 3H - x, sẽ có áp suất bằng
Dễ thấy rằng áp suất của khí p x ở trạng thái cân bằng mới bằng tổng áp suất khí
px  po 

3H  x
4H  x
po 
po
H
H

quyển po và áp suất của cột chất lỏng nên:

(1).
Theo phương trình Mendeleev - Clapeyron viết cho trạng thái cân bằng ban đầu và
px .S .x 2 po .S .2 H

T
T1
x
trạng thái cân bằng mới, ta được:

Sau khi thay biểu thức của px vào ta tìm được nhiệt độ của khí ở trạng thái cân
(4 H  x ).x
.T1
4H 2

Tx 

bằng mới là:
Độ biến thiên nội năng trong quá trình pittơng nâng lên đến độ cao x bằng:
2

3( x  2 H )
 x  2H 
U  nCV (Tx  T1 )   
RT1
 CV T1  
8H 2
 2H 
(2).
2

Cơng mà khí thực hiện trong q trình trên (áp suất biến thiên tún tính từ 2p o đến
px) là:

A

2 Po  px
(6 H  x)( x  2 H )
( xS  2 HS ) 
po S
2
2H

Vì trong trạng thái ban đầu:
Nên ta được:

A

2 po .2 HS  RT1

(6 H  x)( x  2 H )
.RT1
8H 2

Q2  U  A

Theo Nguyên lý I NĐH:
Kết
hợp
(2)
và

Q2  ( x 2  5 Hx  6 H 2 ).

(3),

Q

(3)
ta

Q0
được:

RT1
2H 2

Vẽ đồ thị của Q theo x. Từ đồ thị ta thấy để đạt đến
trạng thái cân bằng khi x = 2,5H, ta cần cung cấp
Q2 max 

RT1
 623, 25( J )
8

O

2H 2,5H 3H

x

Hình 16

một nhiệt lượng
Sau khi đạt tới trạng thái cân bằng x=2,5H, khí sẽ tỏa nhiệt, tự phát giãn nở và đẩy
hết chất lỏng ra ngồi bình.


Vậy nhiệt lượng tối thiểu cần cung cấp là
Qmin  Q2 max  Q1  623, 25  3939,5  4562,75( J )

.
Bài 13. ( Trích Bồi dưỡng HSG Vật lí THPT - Nhiệt học và Vật lí phân tử )
Xi lanh có tiết diện S = 100cm 2 cùng với pít-tơng P và vách ngăn V làm bằng chất
cách nhiệt như (hình 17). Nắp K của cách mở khi
áp suất bên phải lớn hơn áp suất bên trái. Ban đầu
V
P
l=
K
phần bên trái của vách ngăn có chiều dài
1,12m chứa m1 = 12g khí Hêli, phần bên phải
p0
chứa cũng có chiều dài 1,12m chứa m 2 = 2g khí
Hêli, nhiệt độ của cả hai bên đều bằng T 0 = 273K.
Hình 17
Ấn từ từ pít-tơng sang trái, ngừng một chút khi
nắp mở và đẩy pít-tơng tới sát vách V. Tìm cơng đã thực hiện. Cho biết áp suất
khơng khí bên ngồi p0 = 105 N/m2. Nhiệt dung riêng đẳng tích và đẳng áp của Hêli
bằng: CV = 3,15.103J/Kg.K và Cp = 5,25.103J/Kg.K
Đ/s: 3674J
TÀI LIỆU THAM KHẢO

[ 1 ]. Ban tổ chức kì thi , Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ XIII ,
NXB ĐH Sư Phạm , năm 2007
[ 2 ]. Ban tổ chức kì thi , Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ XVI
NXB ĐH Sư Phạm , năm 2010
[ 3 ]. Bùi Quang Hân - Trần Văn Bồi - Phạm Ngọc Tiến- Nguyễn Thành Tương
Giải tốn Vật lí 10 - Dùng cho học sinh các lớp chuyên tập 2,
NXB Giáo Dục, năm 1998
[ 4 ]. Kỷ yếu trại hè Hùng Vương năm 2009, 2010
[ 5 ]. Lê Văn Thông- Nguyễn Văn Thoại , Giải tốn chun đề Vật lí 10 Dùng cho HSG, trường chuyên, năng khiếu quốc gia, lớp chuyên, Ban KHTN
,
NXB ĐHQG TP. Hồ Chí Minh, năm 2006
[ 6 ]. Nguyễn Thế Khôi - Phạm Quý Tư , SGK Vật lí 10 Nâng cao ,
NXB Giáo Dục, năm 2006
[ 7 ]. Phạm Quý Tư , Bồi dưỡng HSG Vật lí THPT - Nhiệt học và Vật lí phân tử ,
NXB Giáo Dục, năm 2009
[ 8 ]. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đại số và giải tích 11, NXB Giáo Dục Việt Nam,
năm 2010
[ 9]. Vũ Thanh Khiết , Các bài tốn vật lí chọn lọc THPT - Cơ nhiệt ,
NXB Giáo Dục, năm 2002
[ 10 ]. Vũ Thanh Khiết - Vũ Đình Túy ( Sưu tầm và giới thiệu ) , Các đề thi HSG
Vật lí, NXB Giáo Dục, năm 2008
Người viết


Nguyễn toàn Thắng
THPT Chuyên Hà Giang
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH LÀO CAI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI

CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN CƠ NHIỆT
Tác giả (Nhóm tác giả): Tổ Vật lý
Trường THPT Chuyên Lào Cai

A. Cơ sở lý thuyết.
I. Lý thuyết về nhiệt và nhiệt động lực học
* Khí lý tưởng: Chất khí được coi là khí lý tưởng khi có thể bỏ qua tương tác giữa
các phân tử khí chỉ kể đến các tương tác này khi chúng va cham với nhau hoặc với
thành bình.(tn theo đúng định luật Bơilơ- Mariot và Saclơ)
1. Các đẳng quá trình .
+ Quá trình đẳng nhiệt: T = Const: Pttt: p.V = const
+ Quá trình đẳng tích: V = Const: Pttt:
+ Q trình đẳng áp : p = Const: Pttt:

= const
= const

2. Phương trình trạng thái KLT:
3. Phương trình Mendeleep_ Craperon: pV = nRT.
4. Nguyên lý thứ nhất của NĐLH: Q = A+ U
Q > 0; A > 0; U > 0: Khi khí nhận nhiệt, thực hiện cơng và nội năng của khí tăng.
Q < 0; A < 0; U < 0: Khi khí nhả nhiệt,nhận cơng và nội năng của khí giảm.
U: Nội năng và U = n.Cv.T vậy U = n.Cv.T
5. áp dụng nguyên lý I cho các quá trình biến đổi của KLT:
b/ Q trình đẳng tích: V= Const suy ra: A = 0; vậy: Q= U
c/ Quá trình đẳng áp : p= Const suy ra: A = p. V; vậy: Q= A+ U
d/ Quá trình đẳng nhiệt: T= const ; Q = A+ U
e/ Q trình đoạn nhiệt: Khí khơng trao đổi nhiệt lượng với mơi trường bên ngồi:
Q=0
Vậy: A + U = 0

6. Khái niệm về nhiệt dung, nhiệt dung riêng.
a/ Nhiệt dung của một vật: Là đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt lượng cần
cung cấp cho vật để nhiệt độ của nó tăng thêm 10.


b/ Nhiệt dung riêng của một chất bất kỳ là đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt
lượng cần truyền cho một đơn vị khối lượng chất nói chung và một đơn vị khối
lượng khí nói riêng đó để làm tăng nhiệt độ của nó thêm 10.
c=
c/ Nhiệt dung kmol của một chất bất kỳ là đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt
lượng cần truyền cho 1kmol chất nói chung và một kmol khí nói riêng để nhiệt độ
của nó tăng lên 10.
C=
d/ Nhiệt dung kmol đẳng tích và đẳng áp.
+ Nhiệt dung kmol đẳng tích: Là nhiệt lượng cần cung cấp cho một kmol chất khí
để nhiệt độ tăng lên 1 độ trong điều kiện thể tích khơng đổi: CV =
Theo ngun lý I ta có: dQ = dU+ dA = dU

V= const

Vậy CV =
=
+ Nhiệt dung kmol đẳng áp : Là nhiệt lượng cần cung cấp cho một kmol chất khí
để nhiệt độ tăng lên 1 độ trong điều kiện áp suất không đổi: Cp =
Ta

có:

dQ

Theo M-C ta có:

=

dU+

dA

vậy

Cp

p = const

=

=

Vậy Cp =
e/ Mối quan hệ giữa nhiệt dung riêng đẳng tích và đẳng áp:
Theo ngun lý 1 cho 1mol khí q trình đẳng áp ta có : dQ = dU + dA (1)
dQ = Cp.dT; dU = CV.dT; dA = pdV
Thay vào (1) ta có: Cp = Cv + p

(2)

Mắt khác ta có: pV= RT vậy pdV = RdT vậy p
Vậy từ (1) ta có: Cp = Cv + R.

=R

+ Hằng số Poatxong:  =
=
7/ Cơng thực hiện trong một q trình biến đổi.
+ Cơng ngun tố thực hiện trong một q trình biến đổi nhỏ: dA = pdV
Vậy A =
+ Công xác định theo đồ thị pOV: Công có giá trị bằng diện tích phần hình phẳng
giới hạn bởi đường biểu diễn q trình biến đổi và trục hồnh
p OV.
M
N
A=
SMNPQ
O Q

P

V


+ Cơng trong q trình đẳng nhiệt:
dA

=

pdV->

A

=

= p1V1
= p2V2
+ Q trình đoạn nhiệt: Là quá trình biến đổi trạng thái khí trong đó khí khơng
trao đổi nhiệt lượng với mơi trường bên ngoài: Q = 0 ; và ta có: A = U
+ Cơng thực hiện trong q trình đoạn nhiệt:
Ta có dA = - dU vậy A =
T1) = nCVT1(1-

= -n

=-n

(T2 -

)

Mắt khác có  =
Vậy A = n
(1)
8. Mối quan hệ giữa các thông số trạng thái trong quá trình đoạn nhiệt.
Có dA = - dU hay pdV + nCVdT = 0  n RT

+ nCV dT = 0

CV

+

=0

Lấy tích phân hai vế ta có:
CV
+R
= 0 hay lnT + lnV-1 = 0 hay T.V-1 = const
const
II. Lý thuyết về động học và động lực học
1. Định luật II Newton: F = ma
2. điều kiện cân bằng của chất điểm: = 0
3. Các lực cơ học: - Trọng lực : P = mg
- Lực ma sát: Fms=  N
- Lực đàn hồi: F = K. l

pV =


4. Khối tâm vật rắn : là một điểm được coi là mang toàn bộ khối lượng của vật.
n

n

 mi xi

Công thức xác định khối tâm vật rắn :

xG  i 1

M

n

 mi yi

;

yG  i 1

M

 mi zi

;

zG  i 1

M

1

 xG  P xdp

 1 
1

rG   r dp   yG  ydp
P
P

1

z


zdp
G

P

Nếu vật rắn phân bố liên tục
HỆ THỐNG BÀI TẬP
Bài 1.
Một bình có thể tích V chứa một mol KLT và có một cài van bảo hiểm là
một xilanh(có kích thước rất nhỏ so với bình) trong có một pittơng diện tích S, giữ
bằng lị xo có độ cứng k. Khi nhiệt độ khí là T 1 thì pittơng ở cách lỗ thốt khí một
đoạn L. Nhiệt độ của khí tăng tới giá trị T2 nào thì khí thốt ra ngồi?
HD: Khi nhiệt độ trong bình tăng thì áp suất khí trong bình cũng tăng theo tác
dụng lực vào pittông, đẩy pittông sang phải, đồng thời pittơng cịn chịu tác dụng
của lực đần hồi. Khí thốt ra khi pittơng đến cửa thốt khí nghĩa là áp lực do sự
tăng áp suất gây ra thắng lực đàn hồi làm pittông đi được quãng đường S.
KT sử dụng: Điều kiện về lực để pittông dịch chuyển được, ph M-C cho sự biến
đổi trạng thái khí trong pittơng.
Giải:
Vì thể tích của xilanh rất nhỏ có thể bỏ qua nên
L
coi sự biến đổi trạng thái khí trong bình là đẳng
tích.
Để khí thốt ra ngồi (p2- p1)S  k.L
p2- p1 k.L/S
(1)
p1: áp suất ban đầu; p2: áp suất khí khi tăng nhiệt độ.
Dấu “ = ” xảy ra khi khí bắt đầu thốt ra ngồi.
Mặt khác theo pt M-C ta có: p2 = RT2/V; p1 = RT1/V

(2)
Từ (1) và (2) suy ra: T2 - T1  k.L.V/SR T2  T1+ k.L.V/SR
Bài 2.
Một mol khí lý tưởng đơn nguyên tử được giữ trong một xilanh cách nhiệt
nằm ngang và một pittông P cũng cách nhiệt. Pittông P gắn vào đầu một lò xo L, lò
xo L nằm dọc theo trục của xilanh, đầu kia của lò xo L gắn vào cuối của xilanh.
Trong xilanh ngồi phần chứa khí là chân không. Ban đầu giữ cho pittông P ở vị


trí lị xo khơng bị biến dạng, khi đó khí trong xilanh có áp suất p 1 = 7kPa và nhiệt
độ T1= 308K.
Thả cho pittơng chuyển động thì thấy
P
khí giãn ra, đến trạng thái cân bằng cuối
L
cùng thì thể tích của khí gấp đơi thể tích ban
p1, T1
đầu. Tìm nhiệt độ T2 và áp suất khí p2 khi
đó.
Giải:
Vì xilanh và pittông đều cách nhiệt nên sự biến đổi trạng thái khí trong xi lanh là
đoạn nhiệt.
TT đầu : p1 = 7kPa, T1 = 308K, V1= V0
TT sau : p2 = ? , T1 = ? , V1= 2V0
Gọi tiết diện của pittông là S và chiều dài phần xikanh chứa khí ban đầu là h.
Do nhiệt độ tăng nên nội năng của khí biến đổi một lượng:
U = Cv. T=
R(T2- T1)
Cơng mà khí sinh ra làm nén lị xo một đoạn x đúng bằng công của lực đàn hồi nên
có:

A=

kx2

Theo nguyên lý I của NĐLH ta có: U = -A (1) 
R(T2- T1) =
Mặt khác khi pittông ở trạng thái cânbằng ta có: p2S = kx
Và V2 = 2x.S vật x = V2/2S
Từ đó có A =

kx2 =

Thay vào (1) ta có:

.k.x.x =
R(T2- T1) =

.p2S.x=

.p2S .

RT2 vậy T2 =

=

.p2.V2 =

kx2

RT2

T1 = 264K

Theo pttt ta có:
Vậy p2 = p1= 3kPa.
2l
Bài 3. Một bình hình trụ trịn nằm ngang, dài 2l. Một
pitong mỏng khơng dẫn nhiệt ngăn bình thành hai
phần bằng nhau. Mỗi phần chứa n mol KLT ở nhiệt
k
k
độ T. Hai lị xo chưa biến dạng nối pitong với hai đầu
bình đều có độ cứng k. Phần khí bên phải hấp thụ
n,T
n,T
một nhiệt lượng Q làm cho pitong dịch chuyển sang
trái một khoảng x = l/2. Hãy tính nhiệt lượng Q’ được
truyền cho phần khí bên trái.
HD: Nếu nhiệt lượng phần khí bên phải được cấp là Q mà nhiệt lượng phần khí
bên trái được truyền là Q’. Vậy tổng nhiệt lượng mà hệ hấp thụ là Q – Q’ = A + U
Với U: Tổng độ biến thiên nội năng của hệ= n. R.T.
A là cơng mà khí thực hiện đúng bằng độ dự trữ thế năng của lò xo= 2. .


KT: công của lực đàn hồi+ điều kiện cân bằng của pitong+ nguyên lý I của NDLH
Giải.
Khi phần khí bên phải hấp thụ một nhiệt lượng thì pitong từ vị trí ở giữa, ban đầu
di chuyển khoảng cách y. Gọi áp suất bình phải lúc đó là p 2, và áp suất bình bên
trái khi đó là p1.

Pitong cân bằng khi: (p2-p1)S – 2ky = 0. (1)
Xét sự dịch chuyển nhỏ của pitong : y, khi đó tổng công mà hệ thực hiện:
W= p2yS- p1yS (bên phải sinh công, bên trái nhận công).
Hay (p2 - p1)yS = 2ky (2)
Như vậy cơng mà khí thực hiện đúng bằng thế năng dự trữ của lị xo.
Khi x = l/s thì W= 2. . (3)
Nếu nhiệt lượng phần khí bên phải được cấp là Q mà nhiệt lượng phần khí bên trái
được truyền là Q’. Vậy tổng nhiệt lượng mà hệ hấp thụ là Q – Q’ = A + U
Với U : tổng độ biến thiên nội năng của hai phần khí và U = n. R.T.
Vì khí bên trái biến đổi đẳng nhiệt nên T: Độ tăng nhiệt độ của phần khí bên phải
Từ phương trình trạng thía KLT ta có: Áp suất khí bên phải: P = của phần bên
trái : p’ =
Ta có: p = p’ + Fdh/S hay = + suy ra T= 2T+
Vậy Q’ = Q – 3nRT Bài 4. Trong một bình hình trụ thẳng đứng, thành xung
quanh cách nhiệt, có hai pittơng: pít tơng A nhẹ ( trọng
lượng có thể bỏ qua ) và dẫn nhiệt, pít tơng B nặng và cách
nhiệt. Hai pít tơng tạo thành hai ngăn trong bình ( xem
hình vẽ 0. Mỗi ngăn chứa một mol khí lý tưởng lưỡng
nguyên tử và có chiều cao là h = 0,5m. Ban đầu hệ ở trạng
h
thái cân bằng nhiệt. Làm cho khí trong bình nóng lên thật
chậm bằng cách truyền cho khí ( qua đáy dưới ) một nhiệt
h
lượng Q = 100J. Pít tơng A có ma sát với thành bình và
khơng chuyển động, pít tơng B chuyển động khơng có ma
sát với thành bình.
Tính lực ma sát tác dụng lên pít tơng A.
Biết rằng nội năng U của một mol khí lý tưởng lưỡng nguyên tử lý tưởng phụ
thuộc vào nhiệt độ T của khí theo cơng thức ( R là hằng số lý tưởng )
HD: Khí phía trên biến đổi đẳng áp, khí phía dưới biến đổi đẳng tích, vì pitong A

đứng yên nên Fms+ pB= pA từ đó tìm được Fms.
Giải: Gọi nhiệt độ ban đầu của hệ là T0, nhiệt độ sau cùng là T.
Áp suất khí trong hai ngăn ban đầu p0.
Áp suất cuối cùng của ngăn dưới: p1= po. , thể tích cuối cùng của ngăn trên:V1= Vo.
Độ tăng thể tích ngăn trên: V = Vo.( – 1)

B
A