CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM LỚP10

HỆ THỐNG
BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ PHẦN ĐỘNG LỰC
HỌC CHẤT ĐIỂM
ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM
Bài 1: Cho hệ vật như hình vẽ, khối lượng các vật tương
ứng là m0, m1 và ,m2. Ròng rọc có khối lượng khơng đáng
kể, sợi dây nối giữa các vật không dãn, hệ số ma sát giữa
m1, m2 với mặt bàn là . Tính gia tốc của mỗi vật và lực
căng dây nối giữa vật m1 và m2.
Bài giải
Các lực tác dụng lên vật như hình vẽ.
Áp dụng định luật II Niu tơn cho mỗi vật, ta
được:
Đối với vật m0:

(1)

Đối với vật m1:
Đối với vật m2:
Giải hệ (1), (2) và (3) ta được:

(2)
(3)

Gia tốc :
Lực căng dây nối hai vật m1 và m2:

Bài 2: Cho hệ vật gồm hai vật m 1 và m2, được bố trí như
hình vẽ. Cho biết mặt phẳng nghiêng góc , rịng rọc
có khối lượng không đáng kể, sợi dây không dãn và hệ
số ma sát giữa m1 và mặt phẳng nghiêng là . Hỏi tỉ số

giữa

bằng bao nhiêu để vật m2:
a) đi xuống.
b) đi lên.
c) đứng yên.

Bài giải
a) Giả sử vật m1 đi lên; các lực tác dụng lên vật như
hình vẽ. Theo định luật II Niu tơn:

Khi đó:
b) Tương tự, khi m2 đi lên:

Khi đó:


c) Để hệ vật đứng yên khi:
Bài 3: Một vật có khối lượng m2 đặt trên một tấm ván dài có khối lượng m 1, cả hệ đặt
trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát, hệ số ma sát giữa vật m 2 và m1 là . Tác
dụng vào m2 một lực
nằm ngang, với t là thời gian và là một hằng số dương.
Tính gia tốc

của ván và

của vật.
Bài giải

Áp dụng định luật II Niu tơn cho mỗi vật.

Đối với vật m2:
Đối với vật m1:
Trong giai đoạn đầu
vật m2 không trượt so với
m1, tức là hai vật chuyển động cùng gia tốc:

Khi

lúc đó

tức là:

Khi đó:
và
Bài 4: Một vật A chuyển động từ đỉnh mặt phẳng nghiêng góc
so với phương nằm ngang, hình chiếu chuyển động của vật trên
mặt phẳng ngang có chiều dài l như hình vẽ. Hệ số ma sát giữa
vật và mặt phẳng nghiêng là . Hỏi góc nhận giá trị bằng bao
nhiêu để thời gian chuyển động của vật là nhỏ nhất. Tính thời
gian đó.
Bài giải
Các lực tác dụng lên vật như hình vẽ. Theo định luật II Niu tơn ta có:

Thời gian chuyển động của vật là:
Thời gian đạt giá trị nhỏ nhất khi:
nhất.
Tức là:
Thời gian chuyển động nhỏ nhất:

đạt giá trị lớn

Bài 5: Một vật được kéo trượt trên mặt phẳng ngiêng một
góc
so với mặt phẳng ngang bởi lực
tạo với mặt
phẳng nghiêng một góc

như hình vẽ. Hệ số ma sát giữa

vật và mặt phẳng nghiêng là . Hỏi
bằng bao nhiêu thì
lực kéo đạt giá trị nhỏ nhất để kéo được vật m lên mặt
phẳng nghiêng. Tính lực kéo khi đó.
Bài giải
Các lực tác dụng lên vật như hình vẽ.
Theo định luật II Niu tơn.

Suy ra:
Để lực kéo
nhất.

nhỏ nhất khi

đạt giá trị lớn

Tức là:
Giá trị lực kéo :
Bài 6: Một vật có khối lượng m đặt trên mặt phẳng ngang, hệ số
ma sát giữa m và mặt phẳng ngang là . Tác dụng lên vật một

lực
tạo với phương ngang một góc , với k là một hằng
số dương, t thời gian. Hãy tính:
a) Vận tốc của vật khi nó bắt đầu rời mặt phẳng ngang.
b) Quãng đường vật đi được trên mặt phẳng ngang.
Bài giải
Áp dụng định luật II Niu tơn cho vật.
Theo Oy:
Theo Ox:

(1)

(2)
Thời gian từ lúc bắt đầu chịu tác dụng của lực đến khi vật bắt
đầu chuyển động t0.

Thời điểm vật rời mặt phẳng ngang, ứng với
Vận tốc của vật khi vật rời mặt phẳng ngang:

Tích phân 2 vế:
Quãng đường vật đi được trên mặt phẳng ngang:


Tích phân 2 vế:

Bài 7: Một vật nằm trên mặt phẳng nằm ngang, hệ số ma sát
giữa vật và mặt phẳng ngang là . Tác dụng vào vật một lực
có độ lớn không đổi và vật bắt đầu chuyển động, đồng thời
hướng của lực
tạo với phương ngang một góc

như
hình vẽ, với k là một hằng số và s là quãng đường vật đi được.
Tìm vận tốc của vật như một hàm của s.
Bài giải
Theo định luật II Niu tơn.
Theo Oy:
Theo trục Ox:

Tích phân 2 vế:
Ta được:
Bài 8: Một động cơ điện gắn với đế được
đặt trên mặt phẳng nằm ngang có tổng khối
lượng m. Dùng động cơ này kéo vật có khối
lượng 2m bằng một sợi dây khơng dãn và
khơng có khối lượng chiều dài l. Trong q
trình kéo cả động cơ và vật đều trượt trên
mặt phẳng nằm ngang, hệ số ma sát giữa động cơ, vật và mặt phẳng ngang là
sau bao lâu hai vật va chạm với nhau. Biết gia tốc của vật 2m là
Bài giải
Gọi
lần lượt là gia tốc
của động cơ và vật 2m; t là
thời gian từ lúc hai vật bặt đầu
chuyển động đến khi va chạm
với nhau. Theo định luật II
Niu tơn
Đối với động cơ:
(1)
Trong thời gian t động cơ chuyển động được quãng đường là:
Đối với vật 2m:

(2)

.

. Hỏi


Trong thời gian t động cơ chuyển động được quãng đường là:
Khi động cơ và vật chạm vào nhau:

(3)

Giải hệ (1), (2) và (3) ta được:
.
Bài 9: Tính gia tốc chuyển động của vật 2, được bố trí
như hình vẽ. Trong đó
là góc tạo bởi giữa mặt phăng
nghiêng và mặt phẳng nằm ngang; và tỉ số
. Bỏ
qua mọi ma sát, sợi dây khơng dãn và rịng rọc có khối
lượng khơng đáng kể.
Bài giải
Các lực tác dụng lên mỗi vật như hình vẽ.
Áp dụng định luật II Niu tơn cho mỗi vật.
Đối với vật m1:

(1)

Đối với vật m2:
(2)

Do rịng rịng có khối lượng khơng đáng
kể:
(3)
Vì rịng rọc động:
(4)
Giải hệ phương trình (1), (2), (3) và (4) ta
được:

Nếu
thì:
Bài 10: Một cơ hệ được bố trí như hình vẽ bên. Trong đó thanh có chiều
dài l , khối lượng M; quả cầu m < M được kẹp vào sợi dây khơng dãn và
có thể trượt trên sợi dây. Ban đầu quả cầu m ở ngang với đầu dưới của
thanh và bắt đầu buông nhẹ, cho hệ chuyển động với gia tốc không đổi.
Sau thời gian t0 quả cầu ở ngang đầu trên của thanh. Tính lực ma sát giữa
sợi dây và quả cầu.
Bài giải
Các lực tác dụng lên mỗi vật như hình vẽ.
Gọi
lần lượt là gia tốc của vật M và m.
Áp dụng định luật II Niu tơn cho mỗi vật.
Đối với thanh:
(1)
Đối với quả cầu:
(2)
Chọn hệ quy chiếu gắn với quả cầu:


(3)
Theo đề bài:

(4)
Giải hệ phương trình (1), (2), (3) và (4) ta được:

Bài 11: Một cơ hệ gồm vật nhỏ 1 có khối lượng m và thanh 2 có chiều
dài l, khối lượng M được bố trí như hình vẽ. Ban đầu vật m được giữ ở
ngang bằng với đầu dưới của thanh M, sau đó bng nhẹ. Hỏi sau bao
lâu vật nhỏ m ở ngang với đầu trên của thanh M. Bỏ qua mọi ma sát,
khối lượng ròng rọc và sợi dây không dãn. Cho biết khối lượng m lớn
gấp

lần khối lượng M

.
Bài giải

Các lực tác dụng lên mỗi vật như hình vẽ.
Gọi
lần lượt là gia tốc của thanh và gia tốc của vật nhỏ.
Theo định luật II Niu tơn.
Vật M:

(1)

Vật m:
(2)
Do bỏ qua khối lượng ròng rọc:

(3)

Do ròng rọc động:

(4)
Giải hệ phương trình: (1), (2), (3) và (4) ta được kết quả:

Và
Chọn hệ quy chiếu gắn với m, gia tốc của M so với m:

Thời gian để m đi từ đầu dưới đến đầu trên của thanh là:

Bài 12: Cho cơ hệ như hình vẽ. Trong đó vật 1 có khối lượng m 1 gắn
với rịng rọc động, vật 2 có khối lượng m 2. Biết rằng khối lượng vật 1
gấp lần khối lượng vật 2. Bỏ qua mọi ma sát, khối lượng rịng rọc
và sợi dây khơng dãn. Ban đầu vật 2 ở sát mặt đất, vật 1 cách mặt đất
một khoảng h. Thả cho hệ chuyển động. Tìm độ cao lớn nhất mà vật
m2 đạt tới so với mặt đất.
Bài giải
Gọi
lần lượt là gia tốc của vật 1 và vật 2.
Theo định luật II Niu tơn.
Vật m1:

(1)

Vật m:

(2)

Do bỏ qua khối lượng ròng rọc:

(3)

Do rịng rọc động:
(4)
Giải hệ phương trình: (1), (2), (3) và (4) ta được kết quả:

Và:
Khi vật m1 chạm đất vận tốc của vật m2:

Ngay sau đó vật m2 chuyển động ném thẳng đứng lên cao, và độ cao đạt thêm được là:

Độ cao lớn nhất vật đạt được là:
Bài 13: Cho cơ hệ nhe hình vẽ. Nêm có khối lượng M, góc
đặt trên mặt phẳng ngang; khối này mang vật có khối
lượng m. Bỏ qua mọi ma sát, dây nối khơng dãn. Tính gia
tốc của nêm.
Bài giải
Các lực tác dụng lên vật và nêm như hình vẽ.
Áp dụng định luật II Niu tơn đối với nêm:
Đối với vật m. Gọi

(1)
là gia tốc m đối với nêm M;

Theo công thức công gia tốc:
Theo Ox nằm ngang:

.
(2)

Theo trục Oy thẳng đứng hướng lên:

(3)
Áp dụng định luật II Niu tơn đối với m:
Theo Ox:
Theo Oy:

(4)
(5)

Do sợi dây không dãn:
(6)
Giải hệ phương trinh (1), (2), (3), (4), (5) và (6) ta được:

Bài 14: Một con lắc gồm một sợi dây dài l không dãn, một đầu cố định, một đầu treo
vật nặng có khối lượng m, gia tốc rơi tự do g. Kéo con lắc lệch với phương thẳng đứng
một góc 900 bng nhẹ. Hãy tính:
a) Gia tốc tồn phần của vật theo góc lệch so với phương thẳng đứng.
b) Tính lực căng của sợi dây khi vận tốc của vật theo phương thẳng đứng đạt
giá trị cực đại.
c) Góc tạo bởi giữa sợi dây và phương thẳng đứng bằng bao nhiêu khi gia tốc
của vật theo phương thẳng đứng bằng không.
Bài giải


a)

Theo

định

luật

II

Niu

Tích phân 2 vế:
Theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động của vật:

tơn

ta

có:

(1)

(2)
Từ (1) và (2) suy ra gia tốc toàn phần của vật:
b) Vận tốc của vật theo phương thẳng đứng:
đạt cực đại khi:
Lực căng dây:
c) Gia tốc toàn phần của vật:

Bài 15: Một người đi xe đạp trên đường đua, quỹ đạo là đường tròn nằm trên mặt
phẳng nằm ngang với bán kính đường đua lớn nhất là R. Hỏi phải đi trên đường đua có
bán kính r bằng bao nhiêu thì người này đạt được vận tốc lớn nhất. Tính vận tốc lớn
nhất này? Cho biết hệ số ma sát giữa bánh xe và đường đua phụ thuộc vào bán kính
đường đua theo cơng thức:

, với

là một hằng số dương.
Bài giải

Theo định luật II Niu tơn:

Để vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi:
Bài 16: Cho cơ hệ như hình vẽ.
ma sát giữa vật m1 và m2 là
trượt lên nhau.

, bàn nhẵn, hệ số

. Tính tỉ số

để chúng không
Bài giải

Do m1 không trượt trên m2 nên:
Lực căng dây:
(1)
- Giả sử m1 có xu hướng trượt ra trước m2:
Ta có:

(2)

Do m1 có xu hướng trượt lên trước m2 nên:
Từ (1); (2), (3) ta được:

(*)

(3)


- Giả sử m2 có xu hướng trượt ra trước m1:
Ta có:

(4)

Do m2 có xu hướng trượt lên trước m1 nên:
Từ (1); (4), (5) ta được:

(5)

(**)

Vậy để chứng không trượt lên nhau khi:
Bài 17: Cho hệ cơ học như hình vẽ. Hai vật m 2 và m3 được
đặt trên mặt bàn nằm ngang. Bng tay khỏi m 1 thì hệ ba
vật m1, m2 và m3 chuyển động, làm cho phương của dây
treo bị lệch một góc 300 so với phương thẳng đứng. Cho
biết m3 = 2m2 = 0,4kg và bỏ qua ma sát, lấy g = 10m/s 2.
Hãy tính khối lượng của m1 và gia tốc của các vật.
Bài giải
Tính khối lượng m1: m1 tham gia hai chuyển động: theo
phương ngang với gia tốc a2 (gia tốc vật m2); theo phương sợi dây a3.
Theo công thức cộng gia tốc:

.

Đối với m1:

(1)

Đối với vật m2:

(2)

Đối với vật m3:

(3)

Từ (2) và (3) suy ra:
Theo đề bài

.

tạo với phương thẳng đứng một góc 300 nên:

Thay vào (1) và (2), ta được:

.

Tính gia tốc: Thay m1 vào (1) suy ra:
m/s
Bài 18: Một vật A có khối lượng m1 = 1kg đặt trên mặt vật B, khối lượng m 2 = 2kg; vật
B đặt trên mặt phẳng ngang. Hệ số ma sát giữa A và B là
; giữa B và mặt phẳng ngang không đáng kể.
a) Phải tác dụng lên vật A một lực theo phương ngang tối
thiểu F0 bằng bao nhiêu để nó có thể bắt đầu trượt trên B.

b) Vận tốc cảu A bằng bao nhiêu vào lúc nó rời khỏi B
nếu bây giờ lực kéo là 2F0, vật B có chiều dài l = 1m.
Bài giải
Đối với vật A:

(1)


Đối với vật B:

(2)

Để vật A bắt đầu trượt trên vật B:
Hay: F0 = 1,5N.
Nếu F = 2F0. Chọn hệ quy chiếu gắn với vật B; gia tốc của vật A so với vật B:

Vận tốc của vật A khi rời B:
m/s.
Bài 19: Cho hệ cơ học gồm vật m đặt chồng lên vật M và cả hệ thống được đặt trên
mặt phẳng ngang. Hệ số ma sát giữa m và M là
Tìm độ lớn của lực F nằm ngang:
a) Đặt lên m để m trượt trên M
b) Đặt lên M để M trượt khỏi m.

, giữa M và mặt phẳng ngang là

.

Bài giải
a) Trường hợp F đặt lên m:

Đối với vật m:

(1)

Đối với vật M:
(2)
Chiếu (1) và (2) lên các trục tọa độ, ta được:
Vật m:

;

Vật M:
Để vật m trượt trên M:
Nhận xét: Các khả năng xảy ra: a1 > 0; a2 > 0; F > 0…
b) Trường hợp F đặt lên M:
Đối với vật m:

(3)

Đối với vật M:
Chiếu (1) và (2) lên các trục tọa độ, ta được:
Vật m:

(4)

;

Vật M:
Để vật M trượt trên m:
Nhận xét: Các khả năng xảy ra.

Bài 20: Cho hệ cơ học gồm vật m đặt chồng lên vật M và cả hệ thống được đặt trên
mặt phẳng ngang. Hệ số ma sát giữa m và M là

giữa M và mặt phẳng ngang là

.


Tác dụng vào M một lực F hợp với phương ngang một góc
chếch lên. Khi
đổi, xác định giá trị nhỏ nhất của F để M có thể trượt khỏi m, tính
lúc này.
Bài giải
Đối với vật m:

(1)

Đối với vật M:
Suy

ra:

Để M trượt trên m:
F đạt cực tiểu khi

cực tiểu; hay:

Cuối cùng ta được:
Bài 21: Một chiếc nêm có khối lượng M, có góc nghiêng
, và có thể chuyển động khơng ma sát trên mặt phẳng

nằm ngang.
a) Phải kéo dây theo phương ngang một lực F bằng
bao nhiêu để vật m chuyển động lên trên theo mặt nêm?
Khi ấy m và nêm M chuyển động với gia tốc nào? Bỏ qua
ma sát, khối lượng của dây và ròng rọc.
b) Xét trường hợp m đứng yên trên nêm M.
Bài giải
Chọn Oxy; Ox nằm ngang cùng chiều F; Oy thẳng đứng hướng lên.
Gọi

là gia tốc nêm;

gia tốc m;

Ta có:

là gia tốc của m so với nêm.
(1)

Đối với m:
Đối với M:
Giải hệ (1), (2) và (3), ta được:

(2)
(3)

Và:

Muốn cho vật m dịch chuyển lên trên thì phải có hai điều kiện sau:

thay


Cuối cùng, ta được:
Nếu:
vật m đứng yên so với nêm và cả hai vật cùng
chuyển động.
Bài 22: Trong cách bố trí ở hình bên, cho biết nêm khối
lượng M của hình nêm và khối lượng m của vật m; hệ số
ma sát giữa m và M và giữa M và mặt phăng ngang là .
Bỏ qua khối lượng ròng rọc và dây. Hãy xác định gia tốc
vật m đối với mặt phẳng ngang, trên đó có hình nêm
chuyển động.
Bài giải
Gọi là gia tốc m đối với đất; là gia tốc nêm.
Chọn Oxy; Ox nằm ngang cùng chiều F; Oy thẳng đứng hướng lên.
Đối với m:

(1)

Đơi với M:
Ta có:

(2)
(3)

Giải hệ (1), (2) và (3) ta được:
Bài 23: Cho hệ như hình vẽ. Tính gia tốc của vật m đối
với nêm M và nêm M đối với đất trong các trường hợp
sau:

a) Hệ số ma sát giữa M và mặt phẳng ngang là ,
m trượt không ma sát trên M.
b) Hệ số ma sát giữa m và M là , mặt phẳng
ngang nhẵn.
c) Bỏ qua mọi ma sát. Tính vận tốc của nêm ở thời điểm vật tới chân nêm, biết
độ cao của nêm là h.
Bài giải
Gọi

là gia tốc m;

là gia tốc của M so với nêm;

Ta có:
a) Hệ số ma sát giữa M và mặt phẳng ngang là
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Đối với vật m:

là gia tốc của m so với M.

, m trượt không ma sát trên M.


Chiếu lên các trục tọa độ:
Với:
Đối với vật M:

(1)

(2)

(3)
Từ (1), (2) và (3), ta được:
Thế vào (2) tính được
.
b) Hệ số ma sát giữa m và M là
ngang nhẵn.

(*)
, mặt phẳng

Đối với vật m:
Chiếu lên các trục tọa độ:
Với:

(4)

(5)

Đối với vật M:

(6)

Từ (4), (5) và (6), ta được:
(**)
c) Tính vận tốc của nêm ở thời điểm vật tới chân nêm, biết độ cao của nêm là h.
Từ (*) và (**) ta dễ dàng suy ra gia tốc
bằng cách cho

và

.
; (7)
(8)

Thời gian để vật đi hết chiều dài của nêm:

Vận tốc nêm khi đó:

(9)

Từ (7), (8) và (9) ta được:
Bài 24: Cho hệ như hình vẽ, biết hệ số ma sát giữa m và M là
.


a) Tính gia tốc

của nêm để m đi hết chiều dài l của nêm trong khoảng thời

gian t.
b) Xác định gia tốc

để vật m đi lên.
Bài giải

a) Tính gia tốc
của nêm để m đi hết chiều dài l của
nêm trong khoảng thời gian t.
Trường hợp 1:

hướng sang trái:
Chọn hệ quy chiếu gắn với nêm.

Suy ra:

Ta

Với

có:

tùy ý.

Trường hợp 2:

hướng sang phải:

Suy ra:

Cuối cùng:
Với

nêm chưa chuyển động thì vật đã trượt xuống dưới.

b) Xác định gia tốc

để vật m đi lên.

Để vật trượt lên thì

phải có hướng sang trái

Suy ra:


Với điều kiện:
Bài 25: Cho hai miếng gỗ có khối lượng m 1 và m2 đặt
chồng lên nhau trượt trên mặt phẳng nghiêng. Hệ số ma sát
giữa chúng là , giữa m1 và mặt phẳng nghiêng là
.
Trong quá trình trượt, một miếng gỗ có thể chuyển động
nhanh hơn miếng kia hay khơng? Tìm điều điện để hai vật
cùng chuyển động như một.
Bài giải
Chọn chiều dương là chiều xuống dưới. Gọi các gia tốc
(miếng gỗ dưới chuyển động nhanh hơn).
Vật m1 chịu tác dụng của các lực:

và

. Giả thiết a1 > a2

; lực ma sát:
.

Hai lực

đều hướng lên trên. Ta có phương trình:

Suy ra:

.

(1)

Vật m2 chịu tác dụng của các lực:
; lực ma sát:
(hướng
xuống, vì m1 chuyển động nhanh hơn nên lực ma sát kéo vật m 2 đi). Ta có phương
trình:
Suy ra:
, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy miếng gỗ dưới không thể
chuyển động nhanh hơn miếng gỗ trên.
Nếu giả thiết a2 > a1 thì có các phương trình:

nếu

hay

+
, vật m2 có thể chuyển động nhanh hơn vật m1 nếu ma sát giữa hai miếng gỗ
nhỏ hơn ma sát giữa vật m1 và mặt phẳng nghiêng.
+
thì
thì hai vật cùng trượt như một.
Bài 26: Treo vào hai đầu một sợi dây khơng dãn khơng có khối lượng hai vật nặng m 1
và m2 , sợi dây được vắt qua một ròng rọc cố định. Giữa sợi dây và rịng rọc có ma sát.
Khi tỉ số
thì sợi dây bắt đầu trượt. Hãy tính:
a) Hệ số ma sát giữa sợi dây và rịng rọc.

b) Tính gia tốc của mỗi vật khi

.

Bài giải
a) Gọi dl là chiều dài phần dây tiếp xúc với ròng rọc, góc ở tâm là dθ


Phần dây chịu tác dụng của lực căng
và phản lực

của rịng rọc tác dụng lên phần dây đó. Do rịng

rọc cân bằng:
Theo phương tiếp tuyến với ròng rọc:
(1)
Theo phương phản lực

:
(2)

(Do

rất nhỏ và

)

Thay (2) vào (1):
vì
b) Khi

. Phương trình định luật II viết cho mỗi vật.
và

(3)

Giải hệ phương trình (3) kết hợp với điều kiện
, ta được:
Bài 27: Một chiếc xuồng máy đi chuyển dọc theo một hồ nước với vận tốc v0, thì tắt
máy chuyển động chậm dần và dừng lại. Biết lực cản tác dụng lên thuyền máy
, k = const. Hãy tìm:
a) Thời gian kể từ lúc tắt máy đến khi xuồng dừng hẳn.
b) Quãng đường xuồng đi được kể từ khi tắt máy đến khi dừng hẳn.
c) Tốc độ trung bình của xuồng máy kể từ khi tắt máy đến khi vận tốc giảm
lần.
Bài giải
a) Thời gian kể từ lúc tắt máy đến khi xuồng dừng hẳn. Theo định luật II Niu tơn:

Khi xuồng dừng lại
.
b) Quãng đường từ lúc xuồng bắt đầu tắt máy đến khi dừng hẳn là:
Từ cơng thức:
c) Tốc độ trung bình của xuồng máy kể từ khi tắt máy đến khi vận tốc giảm
Thời gian xuồng đi đượclà:
Từ
Quãng đường xuồng đi được là:

lần là:

Tốc độ trung bình:
Bài 28: Sau khi xuyên qua tâm ván có bề dày h, tốcđộ của viên đạn thay đổi từ v0 đến
v. Tìm thời gian chuyển động của viên đạn qua tấm ván, giả sử lực cản của tấm ván tác
dụng lên viên đạn tỉ lệ với bình phương vận tốc.
Bài giải
Theo định luật II Niu tơn:

Ta cũng có thể viết:

Cuối cùng ta được:
Bài 29: Một vật trượt trên một mặt phẳng nghiêng dài hợp với phương ngang một góc
α. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng phụ thuộc và quãng đường đi được của
vật
. Tìm thời gian từ lúc bắt đầu trượt đến khi dừng hẳn và tốc độ lớn nhất mà
vật đạt được trong quá trình chuyển động.
Bài giải
Phương trình định luật II Niu tơn:
Theo phương Oy vng góc với mặt phẳng nghiêng:
(1)
Theo phương Ox:
Thay

(2)
(1)

và

(2):
(3)

Tích phân 2 vế (3):
Khi vật dừng lại:
Vận tốc của vật đạt cực đại:
Tốc độ cực đại của vật là:


Bài 30: Một vật có khối lượng m được ném thẳng đứng lên cao với tốc độ ban đầu v0,
lực cản của khơng khí tỉ lệ với bình phương vận tốc
. Hãy tính:
a) Độ cao lớn nhất mà vật đạt được.
b) Tốc độ của vật khi vật quay về vị trí ném vật ban đầu.
Bài giải
Ta có:

Khi vật rơi xuống:
Bài 31: Một vật m đang đứng yên trên một mặt phẳng nằm ngang thì chịu tác dụng của
một lực có độ lớn khơng đổi và có hướng nằm trong mặt phẳng đó và quay với tốc
độ góc khơng đổi. Hãy tính:
a) Tốc độ của vật theo thời gian.
b) Quãng đương vật đi được giữa hai điểm mà tốc độ của vật bằng khơng và tốc
độ trung bình của vật trong thời gian đó.
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, Ox trùng với hướng của
tại thời điểm t = 0.
Tại thời điểm t bất kì, véctơ lực hợp với Ox một góc
.
Theo định luật II Niu tơn:
Theo

Ox:

Theo Oy:

Tốc độ của vật ở thời điểm t:
Thời gian nhỏ nhất giữa hai lần tốc độ của vật bằng 0:
Quãng đương vật đi được giữa hai điểm mà tốc độ của vật bằng khơng:

Tốc độ trung bình của vật:
Bài 32: Một vật nhỏ được đặt trên mặt phăng nghiêng góc α so với mặt phẳng nằm
ngang. Truyền cho vật một vận tốc độ ban đầu v0 có phương ban đầu tạo với Ox góc


. Tốc độ của vật phụ thuộc vào góc
( là góc
tạo bởi hướng của véc tơ vận tốc với Ox như hình vẽ) như
thế nào nếu hệ số ma sát giữa vật và mặt phăng nghiêng
.
Bài giải
Hình chiếu của trọng lực theo Ox, Oy:
Lực ma sát tác dụng lên vật:
Hình chiếu của phương trình định luật II Niu tơn theo
phương tiếp tuyến với quỹ đạo:
và theo phương Ox:
Tức là theo Ox và phương tiếp tuyến :
, tức là vận tốc của vật theo
phương tiếp tuyến với với quỹ đạo v và phương Ox là vx sai khác một hằng số C, tức
là:
Đồng thời:
Tại
Khi

.
Bài 33: Một vật nhỏ được đặt trên đỉnh một quả cầu bán kính R. Truyền cho quả cầu
một gia tốc không đổi theo phương ngang, vật nhỏ bắt đầu trượt xuống. Hãy tính:
a) Vận tốc của vật so với quả cầu khi vật bắt đầu rời quả cầu và vị trí quả vật rời
quả cầu.
b) Thời gian từ lúc vật bắt đầu trượt đến khi rời quả cầu.
Bài giải
Chọn hệ quy chiếu gắn với quả cầu. Theo định luật II Niu
tơn ta có:
Chiếu theo phương bán kính nối tâm quả cầu và vật:

Khi vật bắt đầu rời quả cầu
Khi đó ta được:
(1)
Chiếu theo phương tiếp tuyến với quả cầu:
(2)


Tích phấn hai vế của phương trình (2):
(3)
Giải hệ (1) và (3) ta đươc:
, với
.
Chú ý: Để có cơng thức (3) ta có thể dùng định luật bảo tồn cơ năng trong hệ quy
chiếu gắn với quả cầu:

Thời gian trượt của vật trên quả cầu:
Từ:

Vận tốc của quả cầu tại thời điểm t0:

Vận tốc của quả cầu so với đất là:
Bài 34: Một đứa trẻ quay đều trên đầu một hon đá, khối
lượng m nhờ sợi dây dài l. Nắm tay chuyển động trên đường
trịn bán kính l, hình vẽ. Hãy xác định bán kính của đường
trịn chuyển động của hịn đá, nếu lực cản của khơng khí tỉ lệ
với bình phương vận tốc
hịn đá.

. Bỏ qua trọng lượng của
Bài giải

Từ hình vẽ, ta có:

(1)
(2)
(3)

Từ (1) và (2) suy ra:

(4)

Từ (3) và (4), suy ra:
Giải phương trình ta được:
Bài 35: Một hạt xâu qua một vành cứng, cố định, bán kính R. Mặt phẳng của vành
nằm ngang. Tại một thời điểm nào đó, người ta truyền cho hạt vận tốc
theo phương
tiếp tuyến. Hãy xác định lực do vành tác dụng lên hạt tại hai thời điểm: ngay sau khi
bắt đầu chuyển động và ngay trước khi dừng lại. Biết hệ số ma sát giữa vành và hạt là
.

Bài giải
Trong quá trình chuyển động, phản lực N của vành lên hạt có hai thành phần: một
thành phần cân bằng với trọng lực và một thành phần hướng vào tâm vành. Khi hạt có
vận tốc , phản lực N bằng:

Lực mà vành tác dụng lên hạt:
Khi bắt đầu chuyển động
Ngay trước khi dừng lại:
.
Xét khi vật có vận tốc v, theo định luật II Niu tơn:

Đặt

rồi lấy tích phân 2 vế ta thu được kết quả:

Bài 36: Ba vật 1, 2, 3 khối lượng lần lượt là m 1, m2, m3 xếp
chồng lên nhau thành một khối như hình vẽ. Mặt ngang A là
mặt tiếp xúc giữa 1 và 2 có hệ số ma sát nghỉ là
. Mạt
phẳng B nghiêng góc là mặt tiếp xúc giữa 2 và 3 có hệ số
ma sát nghỉ
.
a) Vật A được kéo sáng phải sao cho gia tốc của nó tăng dần. Trên mặt nào sẽ
xảy ra chuyển động tương đối giữa các vật trước.
b) Giải lại câu a trong trường hợp kéo vật 3 sang trái.
c) Nếu
thì trị số góc
bằng bao nhiêu để xảy ra trượt trên
mặt B trước khi kéo vật 3 sang trái và để xảy ra trượt trên trên mặt A trước khi kéo vật

3 sang trái?
Bài giải
a) Xét 3 vật đứng yên twong đối với nhau, có cùng gia tốc a
hướng sang phải. Đầu tiên có thể tính được lực ma sát tĩnh trên
A:
.
Đối với vật 2: phân tích lực như hình vẽ. Từ định luật II Niu
tơn:
Theo phương vng góc:
Từ đó ta được:

Do đó:


b) Đối với vật 1, gia tốc tối đa là

do đó:

Cho nên:
Vì khi

trên mặt A phát sinh chuyển động tương đối.

Đối với vật 2,

thay vào công thức trên ta được:

Do đóvới

.

thì trên mặt B có sự chuyển động tương đối.

Nếu

tức là

Nếu

tức thì

c) Thay góc
động trước.

bằng góc

d) Nếu

thì chuyển động trên mặt A trước.
thì mặt B chuyển động trước.
thì

thì trêm mặt A có sự chuyển

thì khi thay vaaof các bất đẳng thức trên, có:

Do đó tính được trị số tối thiểu của

. Với goc nghiêng này khơng lớn hơn

góc ma sát. Trong trường hợp sau ta có điều kiện

ứng với trị số

.
Do đó:
.
Bài 37: Trong một thí nghiệm điển hình về quán tính, thầy giáo đặt một chiếc cốc thủy
tinh ở ngay méo bàn, trên tờ giấy, sau đó giật mạnh tờ giấy theo phương ngang. Cả lớp
lo sợ chiếc cốc sẽ rơi xuống và vỡ tan ra. Nhưng không! Tờ giấy nằm n ở vị trí cũ.
Trong bài tốn này, ta sẽ tính tốn xem thầy giáo phải thực hiện thí nghiệm như thế
nào và mọi việc đã diễn biến ra sao. Giả thiết rằng khối lượng của cốc là 50g, hệ số ma
sát trượt giữa giấy và thủy tinh là 0,4, giữa giấy và bàn gỗ là 0,2. Ta sẽ bỏ qua khối
lượng rất nhỏ của tờ giấy và lấy g = 10m/s2.
a) Tờ giấy chuyển động từ trạng thái nghỉ nên rõ ràng là nó chuyển động có gia
tốc. Giả sử gia tốc đó khơng đổi. Em hãy tìm gia tốc tối thiểu của tờ giấy để cái cốc
“trượt trên tờ giấy”. Khi đó lực do thầy giáo tác dụng lên tờ giấy là bao nhiêu?
b) Giả thiết rằng quãng đường di chuyển của tờ giấy là 5cm (bằng đường kính
của cái cốc thơng thường). Em hãy tính cem thầy giáo phải kéo tờ giấy một lực bào
nhiêu để cái cốc dịch chuyển không quá 2mm trên mặt bàn. Thời gian chuyển động
của cái cốc khi đó là bao nhiêu?
c) Để tăng thêm phần hấp dẫn cho thí nghiệm, thầy giáo đổ thêm nước vào cốc.
Khi đó thì các kết quả trên thay đổi thế nào?
Bài giải


Mơ hình cốc (2) trên tờ giấy (1) như hình
vẽ.
Trong hệ qua chiếu chuyển động có gia tốc
với mốc là tờ giấy, các lực tác dụng lên cốc

(2) gồm: trọng lực

; phản lực

; lực ma

sát với tờ giấy
và lực quán tính
Áp dụng định luật II Niu tơn ta có:

.

Theo phương thẳng đứng:
Theo phương ngang:

Trong hệ quy chiếu phịng thí nghiệm, các lực tác dụng lên tờ giấy (1) gồm: áp lực của
cốc lê tờ giấy

; phản lực của mặt bàn lên tờ giấy

; lực ma sát với bàn

; và trognj lực của tờ giấy

; lực kéo

; lực ma sát với cốc

.

Áp dụng định luật II Niu tơn ta có:
Theo phương thẳng đứng:
Theo phương ngang:
Bỏ qua khối lượng của tờ giấy, ta được:
a) Cái cốc “trượt trên tờ giấy” do tác dụng của lực qn tính trong hệ quy chiếu có gia
tốc. Để điều này xảy ra thì:
m/s2
Lực kéo của tờ giấy:
b) Tờ giấy dịch chuyển 50mm còn cái cốc dịch chuyển 2mm, suy ra trong hệ quy chiếu
phi quán tính có mốc là tờ giấy, cái cốc dịch chuyển 48mm. Thời gian di chuyển của 2
vật là như nhau nên:
m/s2.
Thời gian chuyển động của các vật:

.

Lực kéo của tờ giấy
không phụ thuộc vào gia tốc của tờ giấy. Trong thực tế,
một tờ giấy A4 thơng thường có khối lượng 5g. Nếu thay giá trị này vào biểu thức của
ở trên (trước khi bỏ qua khối lượng của tờ giấy) thì ta thu được lực kéo trong hai
trường hợp trên kha khác biệt:
. Tuy nhiên, nếu so sánh hai
lực này vơi lực thường ngày mà tay người thực hiện thìh đều q nhỏ. Vì thế, trong thí
nghiệm này, lực kéo tác dụng lên tờ giấy đóng vai trị khơng quan trọng, vấn đề ở chỗ
nó được kéo “nhanh” (có gia tốc lớn) đến mức nào. Ta nên để ý thêm rằng gia tốc của
tờ giấy cũng chính là gia tốc của tay người kéo, tức là người kéo không chỉ tờ giấy mà
“kéo cả tay minh” nữa nên lực thực sự mà cơ bắp phải sinh ra lớn hơn tính tốn trên rất
nhiều và khi làm thí nghiệm thật, người làm thường cố hết sức kéo tờ giấy nhanh nhất
(thực ra là kéo chính tay của mình mạnh nhất) có thể. Mơ hình đặt ra trong bài tốn

này cịn thơ nên các kết quả ở trên chỉ giúp ta có những hình dung nhất định về thí
nghiệm. Việc giải bài tốn này cịn giúp ta làm sáng tỏ nhiều vấn đề như: điều kiện
chuyển động trượt của một vật, xét chuyển động tương đối của các vật trong hệ quy
chiếu khơng qn tính…
c) Việc đổ nước vào cốc tương đương với việc khối lượng cốc tăng. Điều này không
ảnh hưởng đến các gia tốc và thời gian tính ở trên. Lực kéo tờ giấy với giả sử bỏ qua
khối lượng tờ giấy cũng không đổi (và lực kéo thực sự mà tay người cần sinh ra cũng
thế). Nếu bạn thực hiện thí nghiệm này, bạn sẽ khơng nhận ra sự khác biệt giữa hai
trường hợp: cốc có nước và khơng có nước.