Đề thi HSG trên máy tính cầm tay 2013 môn Toán khối 12 GDTX tỉnh Long An doc

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hóa, Sinh trên MTCT
LONG AN Môn: Toán khối 12, năm học 2012-2013
Ngày thi: 27/01/2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 90 phút (không kể phát đề)
Chú ý:
- Các giá trị phải tính ra số thập phân, lấy chính xác 5 chữ số thập phân không làm tròn.
- Thí sinh phải ghi tóm tắt cách giải hay công thức tính.
- Mỗi bài một điểm.
Bài 1. Cho hàm số
2 1
( )
1
x
y C
x



. Tính gần đúng tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho
tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A, B và OB = 2OA.

Bài 2. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2
( ) 2 5 7 3
f x x x
    .
Bài 3.Tính gần đúng các nghiệm của phương trình
2 2 2 2
2 5 2012 2 5 2014
1

2.2 2 .2 2
2
x x x x x x
     
   .
Bài 4. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình
2 2
3
( 1) 2 2 ( 1) 2 2
2013 3
x y y y x x
x y

      


 



Bài 5. Cho hàm số f(x) =
2
15
6
x x
 
. Tính giá trị gần đúng của tổng:
S= f(4) + f(5) + f(6) +…+ f(2013).
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A có độ dài cạnh huyền BC = 11cm và


0
78
ABC 
.
Từ đỉnh A của tam giác ABC vẽ đường phân giác trong AD và đường trung tuyến AM (D, M
lần lượt là chân đường phân giác và đường trung tuyến). Tính giá trị gần đúng của diện tích
tam giác ADM.

Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a, gọi (S) là mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABCD. Tính giá trị gần đúng của a biết thể tích của khối cầu (S) bằng
3
2014 .
cm


Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 4) và B(5; 2). Tìm giá trị gần đúng
của tọa độ điểm M trên đường thẳng d: x + y – 2 = 0 sao cho

0
60
BAM 
.

Bài 9. Cho hình chóp ABCDS. có đáy ABCD là hình thoi tâm O , hai mặt phẳng ( SAC ) và
(
SBD
) cùng vuông góc với mặt phẳng (
ABCD
). Biết
AC


2 3
cm,
BD

2cm, khoảng cách
từ điểm
O
đến mặt phẳng (
SAB
) bằng
1
7
cm. Tính giá trị gần đúng của thể tích khối chóp
ABCDS. .

Câu 10. Cho x, y là hai số thực dương. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 
2
3
5 1
2 5 2 1 .
y
P x
x
y
 
 
   

 
 
 
 
 

……………….Hết………………
Họ và tên thí sinh:……………………………………………………………… Số báo danh:……………….
Thí sinh không sử dụng tài liệu.
Giám thị không giải thích đề thi.
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hóa, Sinh trên MTCT
LONG AN Môn: Toán khối 12, năm học 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài Tóm tắt cách giải hay công thức tính Đáp số Điểm

1

Gọi
2
2 1 1
; '( )
1
( 1)
t
M t k f t
t
t

 
  

 

  

Do OB = 2OA
2
1
2 2
( 1)
2 2 2 2
;2 2 ; ;2 2
2 2
k
t
M M
   

   
  
  
   
   

0,29289
0,58578
M
M
x
y
 






1,70710
3,41421
M
M
x
y
 





1,0
2


Tập xác định:
7 7
;
3 3
D
 
 
 
 

2
3 28
'( ) 2 ; '( ) 0
21
7 3
7 15 2 21 7 15 2 21
; ;
3 3 3 3
28 15 7 3
21 3
x
f x f x x
x
f f
f
     

   
   
  
   
   
 
 
 
 
 

max 1,94494

min 9,04145
D
D
y
y
 
 

1,0
3



2 2
2 5 2014
2
2
1
2.2 2 2 0
4
2 5 2013
2 4052174 0
x x x
Pt
x x
x x
 
 
   
 

 
   
   


2014,00149
2012,00149
x
x



 


1,0
4



2 2
3
( 1) 2 2 ( 1) 2 2 (1)
2013 3 (2)
x y y y x x
x y

      



 



2 2
1 1
(1)
( 1) 1 ( 1) 1
1 1 2
y x
y x
y x y x
 
 
   
      

Thay vào (2) ta được :
3
3 2007 0 12,69316
x x x     

12,69316
x
 

1,0
5

f(x) =
2
15
6
x x
 
=
1 1
3( )
3 2
x x

 

f(4)= 3(1-
1
6
), f(5)= 3(
1 1
2 7

),… f(2013)= 3(
1 1
2010 2015
 )

nên S = f(4) +f(5) +f(6) +… + f(2013) =
3[1+
1 1 1 1
( )

2 5 2011 2015
     ]
6,84254
S


1,0
6


AB = 11cos78
0

; AC= 11sin78
0

Ta có BD =
0
0 0
11cos78
sin 78 cos78


2
3,99508
AMD
S cm



1
. . .
4
AMD
AMB
AMD
S MD MB BD
S MB MB
MB BD
S AB AC
MB




 

 

A
B
C
M
D

7

Gọi O là tâm hình vuông ABCD
 O là tâm mặt cầu (S)

3
3
2 4
;
2 3
4 2
2014
3 2
a
R V R
a


 
 

 
 

O
A
D
B
C
S

3
3. 1007
3,11765
a a


   
3,11765
a cm



8




2
2
( ;2 ) ; (4; 2); ( 1; 2)
. 6
cos
.
2 5. 2 2 5
5. 2 2 5 6 1,19156
M t t d AB AM t t
AB AM t
BAM
AB AM
t t
t t t t
       
 
 
     

 
 

1,19156
0,80844
M
M
x
y






1,0
9

Ta có SO

(ABCD)
S
ABCD
= 2
3

OB=1; OA=
3

Gọi K là hình chiếu của O lên AB.

Vẽ OI

SK.
2 2 2
1 1 1
OI OK OS
  nên SO =
3
17

V=
1
3
S
ABCD
.SO=
2
17

3
0,48507
V cm



O
D
A
C
B

S
K
I

1,0
10


Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

2
3
3
3 3
5 5 3 ( 5)
5 5
1 1 3
1 1
1 2
x x
y y
x x
y y
  
  
 

36 5
P 
;

5
min 36 5
1
x
P
y



 





80,498447
P


1,0
Ghi chú:
- Sai chữ số thập phân cuối cùng trừ 0,2 điểm.
- Sai chữ số thập phân thứ tư trở về trước cho 0,0 điểm kết quả. Chấm hướng giải đúng 0,2
điểm.
- Không nêu tóm tắt cách giải trừ 0,2 điểm.