Đề thi HSG THCS Lâm Đồng năm 2011 môn Toán pdf

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010-2011

Môn : TOÁN – THCS
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 1 trang) Ngày thi : 18/02/2011

Câu 1: (2,0 điểm ) Rút gọn
A 127 48 7 127 48 7
    .
Câu 2:(2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (3m
2
– 7m +5) x – 2011 (*) . Chứng minh hàm số (*)
luôn đồng biến trên R với mọi m.
Câu 3:( 2,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Trên đường
thẳng AB lấy điểm M sao cho A nằm giữa M và B . Từ M kẻ cát tuyến MCD
với đường tròn (O) và tiếp tuyến MT với đường tròn (O’) (T là tiếp điểm)
Chứng minh MC.MD = MT
2
.
Câu 4: (2,0 điểm ) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y – 1 = 0 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 3x
2
+ y
2
.
Câu 5: (1,5 điểm) Chứng minh tổng C = 1 + 2 + 2
2
+ … + 2
2011

chia hết cho 15 .
Câu 6: (1,5 điểm ) Phân tích đa thức x
3
– x
2
– 14x + 24 thành nhân tử .
Câu 7: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình
2
x y z 2
2xy z 4
  


 


Câu 8: (1,5 điểm ) Chứng minh D = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không phải là số chính phương
với mọi n
N*

.
Câu 9: (1,5 điểm ) Cho hai số dương a và b . Chứng minh
1 1 4
a b a b
 

.
Câu 10:(1,5 điểm ) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : 2x
2
– xy – y

2
– 8 = 0
Câu 11: (1,5 điểm ) Cho hình thang vuông ABCD (


0
A D 90
 
) , có DC = 2AB . Kẻ DH vuông
góc với AC (H
AC)

, gọi N là trung điểm của CH .
Chứng minh BN vuông góc với DN .
Câu 12: (1,5 điểm). Cho tam giác MNP cân tại M (

0
M 90

) . Gọi D là giao điểm các đường
phân giác trong của tam giác MNP . Biết DM =
2 5
cm , DN = 3 cm .
Tính độ dài đoạn MN .
HẾT

Họ và tên thí sinh :…………………………………………… Số báo danh : ………………………
Giám thị 1 :…………………………………………………… Ký tên : …………………………….
Giám thị 2 :…………………………………………………… Ký tên : …………………………….

(Thí sinh không được sử dụng máy tính )
SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010-2011

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN – THCS
Ngày thi 18/02/2011
Câu

Hư
ớng dẫn chấm

Đi
ểm

Câu 1
(2 điểm )
A 127 48 7 127 48 7
   
=
2 2
(8 3 7) (8 3 7)
  
=
|8 3 7 | | 8 3 7 |
  

8 3 7 8 3 7 (8>3 7)
6 7
   

 


0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 2
(2 điểm )
3m
2
– 7m + 5 = 3
2
7 5
m m
3 3
 
 
 
 


2
2
7 49 60
3 m
6 36 36
7 11

3 m 0 m
6 36
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
    
 
 
 
 
 

Vây f(x) đ
ồng biến tr
ên R v
ới mọi m


0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm
Câu 3
(2 điểm)


Chứng minh MC. MD = MA. MB
Chứng minh MT
2
= MA. MB
Suy ra MC.MD = MT
2














0,75 điểm
0,75 điểm
0,5 đi

ểm

Câu 4
(2 điểm )
3x + y – 1 = 0

y = 1 – 3x

2 2
2
2
2
B 3x (1 3x)
12x 6x 1
1 1
12 x
4 48
1 1 1
12 x
4 4 4
  
  
 
 
  
 
 
 
 
 

 
   
 
 

Vây GTNN của B là
1 1 1
khi x = và y =
4 4 4




0,5 điểm

0,5 điểm


0,5 điểm

0,5 điểm
Câu 5

C = 1 + 2 + 2
2

+ … + 2
2011

(1,5 điểm ) = (1 + 2 + 2
2
+ 2
3
) + (2
4
+ 2
5
+ 2
6
+ 2
7
) + …+ ( 2
2008
+ 2
2009
+2
2010
+ 2
2011
)
= (1 + 2 + 2
2
+ 2
3
)+ 2
4
(1 + 2 + 2
2

+ 2
3
)+ …+2
2008
(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
)
= 15 ( 1 + 2
4
+ …+ 2
2008
) chia hết cho 15
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 6
(1,5 điểm )
x
3
– x
2
– 14x +24
= x
3
+ 4x
2
– 5x
2

– 20x + 6x + 24
= (x + 4) (x
2
– 5x + 6 )
= (x + 4) (x – 2) (x – 3)

0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 7
(1,5 điểm )
2
2 2
2 2
x y z 2 z 2 x y
(2 x y) 2xy 4
2xy z 4 z 2xy 4 z 2 x y
(x 2) (y 2) 0

z 2 x y
x y 2

z 2
     
  
   
 
  
      
  


   


  

 



 



0,5 điểm


0,5 điểm

0,5 điểm
Câu 8
(1,5 điểm )
D = n(n + 1) (n + 2) (n + 3)
= (n
2
+ 3n) (n
2
+ 3n + 2 )
= (n
2

+ 3n)
2
+2 (n
2
+ 3n)

(n
2
+ 3n)
2
< D < (n
2
+ 3n)
2
+2 (n
2
+ 3n) +1

(n
2
+ 3n)
2
< D < (n
2
+ 3n +1)
2

Nên D không phải là số chính phương vì (n
2
+ 3n)

2
và (n
2
+ 3n +1)
2
là 2 số
chính phương liên tiếp


0,5 điểm


0,5 điểm

0,5 điểm
Câu 9
(1,5 điểm )
Ta có (a – b)
2

0



2 2
2
a b 2ab
(a b) 4ab
a b 4
( vì (a+b)ab >0 )

ab a b
1 1 4
a b a b
  
  

 

  


Dấu “ = ” xảy ra khi a = b ( thiếu câu này không trừ điểm)

0,5 điểm

0,5 điểm



0,5 điểm

Câu 10
(1,5 điểm)
2x
2
– xy – y
2
– 8 = 0

(2x + y) (x – y) = 8


2x y 8
x y 1
 


 

hoặc
2x y 4
x y 2
 


 



x 3
y 2





hoặc
x 2
y 0








0,5 điểm


0,5 điểm

0,5 điểm
Câu 11
(1,5 điểm )

Gọi M là trung điểm của DH
Chứng minh tứ giác ABNM là hình bình hành
AM// BN

(1)
Chứng minh MN
AD


Suy ra M là trực tâm của
ADN

AM DN
 
(2)
Từ (1) và (2)

BN DN
 







0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 đi
ểm

Câu 12
(1,5 điểm )

Qua M kẻ tia Mx vuông góc với MN cắt ND tại E , kẻ MF
ND


Chứng minh


1
D E

MD ME 2 5

   cm và EF =DF
ME
2
= EF .EN = EF .(2EF + DN )
2
2
(2 5) EF(2EF 3)
2EF 3EF 20 0
 
  

(EF 4)(2EF 5) 0
EF 2,5 (vì EF >0)
  
 

MN 2 11
 
cm

0,5 điểm





0,5 điểm

0,5 đi
ểm

(Nếu học sinh giải bằng cách khác đúng , giám khảo dựa theo biểu điểm để cho điểm tương ứng )