CHUYÊN đề 10 HÌNH học lớp 6

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 6
Dạng 1: KHI NÀO THÌ XOY  YOZ  XOZ
Bài 1: Cho góc xOy  1300 , vẽ tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy . Tính số đo góc xOt biết :
2
a, xOt  yOt .
b, xOt  yOt  300 .
c, xOt  .yOt .
3
HD :
t
t

y

t

y

y
x

x

x

O

O

O
H3

H2

H1

a, Vi Ot nằm trong xOy , nên xOt  tOy  xOy .
Mà xOt  yOt  xOt  xOt  xOy  2.xOt  1300  xOt  650 .
b, Vì Ot nằm trong góc xOy , nên xOt  tOy  xOy  1300 .
Mà xOt  yOt  300  xOt 

1300  300
 800 .
2

c, Vì Ot nằm trong góc xOy , nên xOt  tOy  xOy  1300 .
(1)
2
3
3
Mà xOt  .yOt  yOt  .xOt , thay vào (1) ta được: xOt  .xOt  1300  xOt  520 .
3
2
2
Bài 2: Trên đường thẳng (d) từ trái sang phải lấy các điểm A, D, C, B và điểm O nằm ngoài đường thẳng (d),
Biết AOD  300 , DOC  400 , AOB  900 . Tính AOC, COB, DOB
HD :
O
30o

40o

(d)
A

D

C

B

Vì các điểm A, D, C, B được lấy theo thứ tự trên nên D nằm giữa A và C
Nên OD nằm giữa hai tia OA và OC. Khi đó ta có: AOD  DOC  AOC .
 AOC  300  400  700 . Tương tự điểm C nằm giữa A và B

Nên OC nằm giữa OA và OB. Khi đó ta có: AOC  COB  AOC .
 COB  900  700  200 . Tương tự điểm D nằm giữa A và B

Nên OD nằm giữa OA và OB. Khi đó ta có: AOD  DOB  AOB .
 DOB  900  300  600 .


Bài 3: Gọi Ot và Ot’ là hai tia nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy đi qua O,
Biết xOt  300 , yOt '  600 . Tính số đó yOt , tOt '
HD:
t'
t

600

300

O

x

y

Đường thẳng xy đi qua O nên Ox, Oy là hai tia đối nhau.
Khi đó: xOt  tOy  xOy  tOy  1800  300  1500 .





Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Oy mà: yOt '  yOt, 600  1500 .
Nên Ot’ nằm giữa hai tia Oy và Ot. Khi đó: yOt '  t ' Ot  yOt .
 t ' Ot  1500  600  900 .

Bài 4: Cho góc AOB và hai tia OC và OD nằm trong góc đó sao cho AOC  BOD  AOB .
Trong ba tia OA, OC, OD tia nào nằm giữa hai tia còn lại?
HD:
D

B

C

B
C

D

O

O

A

A
H2

H1

Ta xét 2 TH sau:
TH1: OC nằm giữa 2 tia OA và OD.

 AOC  AOD  AOB và AOC  COD  AOD .





Mà OD nằm giữa OA và OB  AOD  DOB  AOB  AOB  AOC  COD  DOB .

 AOB  COD  AOC  BOD  AOC  BOD  AOB . ( thỏa mãn yêu cầu đầu bài).
TH2: OD nằm giữa OA và OC

 AOD  AOC  AOB .

(1)

và AOC  AOD  DOC .

(2)

Từ (1) và OC nằm giữa OD và OB  BOD  BOC  COB .
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:



(3)



AOC  BOD  AOD  DOC  BOC  COD  AOD  DOC  COB  DOC  AOB  DOC  AOB .
Vô lý vì: AOC  BOD  AOB .


Bài 5: Cho góc xOy  1300 , ở trong góc đó vẽ hai tia Om và On sao cho xOm  yOn  1000 ,
a, Trong ba tia Ox, Om, On tia nào nằm giữa hai tia còn lại?
b, Tính mOn =?
HD:
y

m
y

n

n

m

x
x

O

O

H2

H1

a, Ta xét hai TH sau:
TH1: (H1) Tia On nằm giữa hai tia Ox và Om. Khi đó: xOn  xOm  xOy ,
Hay xOn  nOm  xOm

(1)

Vì xOn  xOm  xOy nên Om nằm giữa hai tia On và Oy, hay nOm  mOy  yOn ,



 

(2)



Cộng (1) và (2) theo vế ta được: xOm  yOn  xOn  nOm  nOm  mOy ,





Hay 1000  xOn  nOm  mOy  nOm  xOy  nOm  1300  nOm , (Vô lý)
Vậy Om sẽ nằm giữa hai tia Ox và On.
b, Tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oy nên: xOm  xOy  yOm ,

(1)

Và tia On nằm giữa hai tia Ox và Oy nên: yOn  xOy  xOn ,
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:

(2)











xOm  yOn  2.xOy  xOn  yOm  2.xOy  xOm  mOn  yOn  mOn  2.xOy  xOy  mOn

 1000  xOy  mOn  mOn  1300  1000  300 .

Bài 6: Cho 3 góc AOB, BOC, COD theo thứ tự đó sao cho AOB  300 , BOC  600 , COD  900
a, Chứng minh rằng: hai tia OA và OD đối nhau
b, Lấy B’ thuộc tia đối của tia OB. Tính COB ', AOB '
HD:
a, Vì 3 góc AOB, BOC, COD Được vẽ thứ tự đó nến:

C

AOB  BOC  COD  AOD .
0

0

0

B

0

30  60  90  AOD  180 .
Vậy OA, OD đối nhau.
b, Vì OB và OB’ là hai tia đối nhau nên ta có:
BOC  COB '  BOB ' ,
0

0

O

0

60  COB '  180  COB '  120 .
Vì OB, OB’ là hai tia đối nhau.
OA và OD là hai tia đối nhau nên

600

900

D

B'

AOB  B ' OD  300 (đối đỉnh)
Và OA, OD là hai tia đối nhau  AOB '  B ' OD  AOD  AOB '  1500 .

300

A




Bài 7: Cho đường thẳng AOB và tia OC, Tính góc AOC , BOC biết:
a, AOC  BOC  900
b, 2. AOC  3BOC
HD:
C
C

A

O

B

O

A

B

H2

H1

Vì đường thẳng AOB => OC nằm giữa OA và OB và OA và OB là hai tia đối nhau.

AOC  COB  1800

(1)

1800  900
 1350  BOC  450 .
2
3
b, Ta có: 2. AOC  3.BOC  AOC  .BOC thay vào (1) ta được:
2
3
.BOC  BOC  1800  BOC  720  AOC  1080 .

2
a, Mà AOC  BOC  900  AOC 

Bài 8: Cho hai tia Ox, Oy đối nhau, trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox, vẽ các tia Oz, Ot
Sao cho xoz  400 , yot  600
a, Chứng minh rằng Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot
b, Tính zot

t

c, Tính zot biết xoz   , yot  

z

HD:
600

400

a, Vì Ox, Oy là hai tia đối nhau
=> Ot nằm giữa hai tia Ox, Oy

 xOt  tOy  xOy  xOt  1800  600  1200 .

O

x



y



Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox mà xOz  xOt, 400  1200 .
Nên Oz nằm giữa hai tia Ox, Ot .
b, Vì Oz nằm giữa Ox và Oy nên xOz  zOt  xOt  zOt  800 .
c, Nếu xOz   , yOt   , thì ta có 2 TH sau:
TH1:     1800 => Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot.

 xOt  tOy  1800  xOt  1800   .
Vì Oz nằm giữa Ox và Ot.

t

z

=> xOz  zOt  xOt  zOt  1800      .
a

x

y


TH2:     1800 => Ot nằm giữa hai tia Ox và Oz
Và Oz nằm giữa Ox và Oy => xOz  zOy  xOy    zOy  1800  zOy  1800   .
Mà zOy  1800      yOz  yOt => Oz nằm giữa Oy và Ot.





=> yOz  zOt  yOt  1800    zOt    zOt       1800 .
Bài 9: Từ điểm O trên đường thẳng a, lấy hai tia đối nhau, OM và ON, vẽ tia OA sao cho AON  1500 , Vẽ
tia OB nằm giữa OA và ON sao cho AOB  900 , Tính BON , AOM , MOB
HD:
AON =1500
B
A

O

M

N

Vì OB nằm giữa ON và OA

 NOB  BOA  NOA  NOB  900  1500  NOB  600 .
Và OM, ON là hai tia đối nhau:
NOA  AOM  NOM  1500  AOM  1800  AOM  300 .
Và OB nằm giữa hai tia OM, ON
 MOB  BON  1800  MOB  600  1800  MOB  1200 .
Bài 10: Trên tia Ox lấy hai điểm M và N sao cho OM=3cm, ON=7cm, điểm P nằm ngoài đường thẳng Ox,
vẽ các tia PO, PM, PN biết NPO  1200 , NPM  700 . Tính góc MPO
HD:
P

P

700

1200

a

a
N

O

M

O

M

Ta xét 2 TH sau:
TH1: O nằm giữa M và N, Khi đó: PO nằm giữa PN và PM.
=> NPO  OPM  NPM  1200  OPM  700 . TH này không xảy ra.
TH2: Điểm M nằm giữa hai điểm O và N, Khi đó OM nằm giữa PO và PN
=> OPM  MPN  OPN  OPM  700  1200  OPM  500 .

N


Bài 11: Trên đường thẳng a lấy các điểm M, N, P, Q Sao cho điểm P nằm giữa 2 điểm M và Q, điểm N nằm
giữa hai điểm M và P, từ điểm O nằm ngoài đường thẳng a kẻ OM, ON, OP, OQ biết

MON  200 , NOP  300 , MOQ  800 , Tính MOP, POQ
O

HD:
Vì N nằm giữa M và P => ON nằm giữa OM và OP

0
200 30

=> MON  NOP  MOP  MOP  500 .
Và P nằm giữa M và Q => OP nằm giữa OM và OQ
=> MOP  POQ  MOQ  POQ  300 .

a
M

N

P

Q

Bài 12: Cho AOB  1090 vẽ tia OC nằm giữa hai tia OA,OB sao cho BOC  3.COA , tính COA, BOC

B

HD:
Vì OC nằm giữa OA và OB

C

0

=> AOC  COB  AOB  109 .
Mà BOC  3.COA  AOC  3.COA  1090  COA  27,250 .
=> BOC  3.27,250  81,750

O

A

Bài 13: Trên đường thẳng (d) lấy theo thứ tự các điểm A, B, C, D và điểm O nằm ngoài đường thẳng (d)
biết AOB  400 , BOC  500 , AOD  1200 , Tính góc AOC , COD
HD:
O

Vì A, B, C, D được lấy theo thứ tự trên nên
OB nằm giữa OA và OC
=> AOC  AOB  BOC  900 .
Và OC nằm giữa 2 tia OA và OD
=> AOC  COD  AOD  COD  300 .

400 500

d
A

B

C

D

Bài 14: Cho góc AOB  1350 , C là 1 điểm nằm trong góc AOB , biết BOC  900 , Tính AOC
Gọi OD là tia đối của tia OC, So sánh 2 góc AOD, và BOD
HD:
Vì C nằm trong AOB  AOC  COB  AOB .
0

 AOC  45 .
Vì OD là tia đối của tia OC.

C
B

 COA  AOD  COD  AOD  1350 .
Và OC và OD là hai tia đối nhau  COB  BOD  COD  BOD  900 .





=> AOD  BOD, 1350  900 .

O

A


Bài 15: Cho tam giác ABC có ABC  1250 và BC = 3cm.

a, Trên tia đối của tia BC, xác định điểm M sao cho BM = 2cm, Tính MC.
b, Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia BA, có bờ là đường thẳng BC, vẽ tia BN sao cho góc ABN  800 .
Tính MBN  ?
HD:
A

A, Vì M thuộc tia đối của tia BC
Nên BM và BC là hai tia đối nhau
 MB  BC  MC  5cm .
B, Vì BC, BM là hai tia đối nhau.

N

800

=> CBA  ABM  CBM  ABM  550 .
Mà BN và BA cùng phía có bờ là BC.



0

0

Và ABN  ABM , 80  55

M

 => BA nằm giữa BM và BN.

C

B

2 cm

3cm

=> MBA  ABN  MBN  550  800  MBN  1350 .
Bài 16: Cho hai tia Ox và Oy là hai tía đối nhau, Trên cùng 1 nửa mp bờ chứa tia Ox vẽ các tia Ot, Oz sao
cho yOt  900 , xOz  400 , Trên nửa mp bờ xy, không chứa Oz vẽ tia Om sao cho xOm  1400
a/ Trong ba tia Oz, Ox, Ot tia nào nằm giữa hai tia còn lại?
b/ CMR: hai tia Oz và Om là hai tia đối nhau
t
c/ Trên hình vẽ có mấy cặp góc phụ nhau ?
HD :
z
a, Vì Ox, Oy là hai tia đối nhau,
Nên Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy,
400

=> xOt  tOy  xOy  xOt  900 .
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox có



O

x

y

1400



xOz  xOt , 400  900 , Nên Oz nằm giữa 2 tia Ox, Ot.
b, Vì Oz, Om là 2 tia nằm về hai phía đối nhau bờ Ox

m
0

=> Ox nằm giữa Oz, Om  zOx  xOm  zOm  zOm  180 , Nên Oz và Om là hai tia đối nhau.
c, Trên hình có xOz  zOt  900 => Là hai góc phụ nhau.
Mà mOy  xOz ( đối đỉnh) => mOy  zOt  900 là hai góc phụ nhau.
Bài 17: Cho tam giác ABC có BC=5cm, Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM=3cm,
a/ Tính độ dài BM,
b/ Biết BAM  800 , BAC  600 , Tính góc CAM
c/ Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK=1cm
HD:
A, Vì CB và CM là hai tia đối nhau,
Nên C nằm giữa 2 điểm B và M.
=> BC  CM  BM  BM  8cm .
B, Vì C nằm giữa 2 điểm B, M
Nên AC nằm giữa AB và AM.
0

A
600

B

=> BAC  CAM  BAM  CAM  20 .
C, Ta xét 2 TH sau:
TH1: K nằm giữa B và C => BK  KC  BC  BK  4cm .
TH2: K’ nằm giữa C và M => BC  CK '  BK '  BK'  6cm .

K

C

K'

M


Dạng 2: TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC
Bài 1: Cho góc bẹt xOy , trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ xy, vẽ hai tia OM, ON sao cho

xOm  600 , yOn  1500
a, Tính mOn
b, Tia On có là tia phân giác của góc xOm khơng?

m

n

HD:
a, Vì xOy là góc bẹt => Ox, Oy là hai tia đối nhau.
=> xOn  nOy  xOy  xOn  300 .

1500

O

x



y



Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ Ox có xOn  xOm, 300  600 .
=> xOn  nOm  xOm  nOm  300 .
b, Tia On nằm giữa 2 tia Ox, Om và xOn  nOm  300 Nên On có là tia phân giác xOm .

Bài 2: Cho góc xOy  900 tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy. Tính góc xOz và yOz biết

1
1
xOz  yOz
4
5

HD:
Vì Oz nằm giữa 2 tia Ox, Oy
y

=>, xOz  zOy  xOy  900 .

(1)
1
1
4
Mà .xOz  .yOz  xOz  .yOz thay vào (1) ta được:
4
5
5
4
.yOz  yOz  900  yOz  500  xOz  400 .
5

z

O

x

Bài 3: Cho góc tù xOy trong góc xOy vẽ tia Oz sao cho xOy  yOz  1800 , Gọi tia Ot là tia phân giác của
góc xOz , hỏi yOt là góc gì?
HD:
Vẽ Oz’ là tia đối của tia Ox.
=> xOy  yOz '  1800  yOz '  1800  xOy . (1)
Mà xOy  yOz  1800  yOz  1800  xOy . (2)

z
y

t

Từ (1) và (2) => yOz  yOz ' .
Và Oz nằm trong góc xOy => Oy nằm giữa Oz và Oz’
Nên Oy là phân giác zOz ' .

z'

Mà Ot là phân giác xOz và xOz, zOz ' là hai góc kề bù  yOt  900 .
( Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là góc vng).

O

x


Bài 4: Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA, vẽ các tia OB và OC sao cho AOB  300 , AOC  750
a, Tính BOC
b, Gọi OD là tia đối của tia OB. Tính số đo của góc kề bù với BOC
HD:



C



a, Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ OA có AOB  AOC, 300  750 .
Nên Ob nằm giữa hai tia OA và OC.

B

=> AOB  BOC  AOC  BOC  400 .
b, Vì OB và OD là hai tia đối nhau.

750
300

=>, BOC  COD  BOD  COD  1400 .

O

Góc kề bù với gcos BOC  400 là COD có số đo 1400 .

A

D

Bài 5: Cho góc AOB  1400 vẽ tia OC bất kì nằm trong góc đó, Gọi OM,ON theo thứ tự là các tia phân giác
góc AOC , BOC , Tính MON
HD:
N

C

B

M

O

A

Vì OC nằm trong góc AOB  AOC  COB  AOB  1400 .
Mà OM là phân giác AOC  COM 

AOC
BOC
. ON là phân giác BOC  NOC 
.
2
2

OC nằm trong góc AOB nên OC chia góc AOB thành hai góc AOC, BOC thành 2 góc nằm về hai phí đối
nhau bờ OC.
=> OM, ON nằm về hai phía có bờ là OC. Hay OC nằm giữa OM và ON
AOB
 700 .
2
Bài 6: Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA, vẽ các tia OB, OC sao cho AOB  AOC . Vẽ tia phân giác OM

=> NOM  NOC  COM 

của AOB
a, Trong ba tia OB, OC, OM tia nào nằm giữa hai tia còn lại?
AOC  BOC
b, CMR: MOC 
2
HD:

C
B

M

a, Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ OA, AOB  AOC .
Nên OB nằm giữa OA và OC.
Om là tia phân giác AOB  AOM  AOB  AOC .
Hay OB nằm giữa OM và OC.
b, Ta có : AOC  BOC  AOB  BOC  BOC  2.MOB  2.BOC . (1)

O

A

Mà OB nằm giữa OM và OC nên MOB  BOC  MOC kết hợp với điều trên ta được : (1)  2.MOC .


Bài 7: Cho góc AOB  1000 và OC là tia phân giác của góc đó. Trong góc AOB , vẽ các tia OF, OE sao cho
AOF  BOE  200 . CMR: OC là tia phân giác của góc FOE
HD:
Vì OC là phân giác AOB  AOC  BOC  500 .

B

E

CE nằm trong AOB  AOE  EOB  AOB .
0

0

C

0

=> AOE  100  20  80 .
Trên cùng 1 nửa mp bờ OA có :





F

AOF  AOC  AOE  AOB, 200  500  800  1000 .
Nên OF nằm giữa 2 tia OA và OC => FOC  300 . (1)
OE nằm giữa 2 tia OC và OB => COE  300 .
Từ (1) và (2) và OC nằm giữa OE và OF

(2)
O

A

Nên OC là phân giác EOF .
Bài 8: Trên đường thẳng xx’ lấy O tùy ý , trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xx’ vẽ hai tia
Oy,Oz sao cho xOz  300 , x ' Oy  4.xOz
a, Trong ba tia Ox, Oy, Oz tia nào nằm giữa hia tia còn lại
b, CMR: Oz là tia phân giác của góc xOy ,
c, Gọi Oz’ là phân giác góc x ' Oy , Tính zOz '
HD:

y
z'

a, Ta tính được: xOy  4.xOz  1200 .
Vì Ox, Ox’ là hai tia đối nhau
=> xOy  yOx '  xOx '  xOy  600 .

z



0

Trên cùng 1 nửa mp bờ Ox mà xOz  xOy, 30  60

0

1200

.

30

x

=> Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy.

0

O

b, Vì Oz nằm giữa Ox, Oy mà xOz  zOy  300 , Nên Oz là phân giác.
c, Vì Oz’ là phân giác x ' Oy  xOz ' 

x ' Oy
 600 .
2

Tính được x ' Oz  1500 . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox’ mà x ' Oz '  x ' Oy  x ' Oz .
Nên Oz’ nằm giữa Ox’ và Oz => x ' Oz '  z ' Oz  x ' Oz  z ' Oz  900 .

x'


Bài 9: Cho góc AOB và tia OC nằm trong góc đó, Gọi OE, OD theo thứ tự là tia phân giác của góc

AOC , BOC ,
a, Tính DOE , biết AOB  1200
b, Hai tia OA,OB có tính chất gì nếu DOE  900
D
B

C

C

D

E

E

O

A

O

B

A

HD:
a, Vì OC nằm trong AOB nên OC chia AOB thành hai góc AOC và BOC nằm về hai phía đối
nhau có bờ là OC.
Mà OD là tia phân giác BOC .và OE là phan giác AOC . Nên OC nằm giữa OD và OE.

 DOE  DOC  COE .
Mà DOC 

BOC
AOC
, COE 
2
2

 DOE  DOC  COE 

BOC  AOC AOB 1200



 600 .
2
2
2

b, Nếu DOE  900  DOC  COE  900 

BOC  AOC AOB

 AOB  1800 .
2
2

Hay OA và OB là hai tia đối nhau.
Bài 10: Cho AOB gọi OC là tia phân giác của góc AOB , OD là tia phân giác của góc AOC ,
Tìm giá trị lớn nhất của góc AOD .
C

HD:
B

Vì OC là phân giác AOB  AOC 

AOB
.
2

D

AOC
Mà OD là phân giác AOC  AOD 
.
2
 AOD 

1800
AOB
. Mà AOB  1800  AOD 
 450 .
4
4

O

Vậy AOD lớn nhất bằng 450 khi AOB  1800 .

Bài 11: Trên đường thẳng x’Ox , trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ x’Ox, người ta lấy ba tia Oa, Ob, Oc

A


Sao cho xOc  2.xOb  3.xOa
a, Tìm giá trị lớn nhất của góc xOa
b, Gọi Om là phân giác của góc aOc , trong ba tia Ob, Oc, Om tia nào nằm giữa hai tia còn lại
c, Cho xOc  1200 , tính bOm , Tia Oa là tia phân giác của góc nào?
HD:

a,

b

Ta có : 3.xOa  2.xOb  xOc .

m
c

 xOc là góc lớn nhất.
Vì OC nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xx’

a

 xOc  xOx '  3.xOa  xOx '  1800 .
 xOa  600 . Vậy xOa lớn nhất bằng 600
Khi Oc trùng với Ox’.
b,

x

O

x'

Vì xOc  2.xOb  3.xOa  xOa  xOb  xOc .

 xOa  aOb  xOb  aOb  xOb  xOa .
Mà aOc  xOc  xOa  aOm 

(1)

xOc  xOa xOc xOa
xOa
.


 xOb 
2
2
2
2

Từ (1) và (2)  aOb  aOm . Mà aOm  aOc ( do Om là phân giác)

 aOb  aOm  aOc => Om nằm giữa Ob và Oc.
c,
Vì xOc  1200  xOa  400 , xOb  600 .


Và xOc  xOa. 120


 40   aOc  xOc  xOa  80 .

Mà xOa  xOb. 400  600  aOb  xOb  xOa  200 .
0

0

0


xOc 
0
Vì xOb  xOc.  xOb 
  xOb  bOc  xOc  bOc  60 .


2 

Mà Om là phân giác aOc  mOc 

aOc
 400  aOm ,
2

Theo câu b, Om nằm giữa Ob và Oc  bOm  mOc  bOc  bOm  200 .
Lại có : aOm  xOa  400 . Om nằm giữa Ob và Oc  xOb  xOm  xOc .
Mà xOa  xOb  xOa  xOm => Oa nằm giữa Ox và Om
Vậy Oa là phân giác xOm

(2)


Bài 12: Cho xOy  1200 kề bù yOt
y

a, Tính số đo yOt

m

b, Vẽ phân giác Om của góc xOy , Tính mOt =?
c, Vẽ phân giác On của góc tOy , Tính mOn =?
HD:

n

O

t

x

Vì xOy, yOt kề bù  xOy  yOt  xOt  yOt  1800  1200  600 .
b,
Vì Om là phân giác xOy  xOm  yOm 

xOy
 600 .
2

Và Ox, Ot là hai tia đối nhau  xOm  mOt  xOt  1800  mOt  1200 .
c,
Vì On là phân giác tOy  tOn  nOy 

tOy
 300 .
2

Vì Om, On là hai tia phân giác của 2 góc kề bù  mOn  900 .
Bài 13: Vẽ hai tia Oy và Oz trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, sao cho xOy  400 , xOz  800

a, Tính số đo góc yOz , từ đó suy ra Oy là tia phân giác xOz
b, Vẽ tia Om là tia đối của tia Ox, tính mOy
c, Trên nửa mặt phẳng bờ Ox, không chứa tia Oz,vẽ Op sao cho xOp  1000 , CMR Op, Oz đối nhau
HD:
z

a,
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox





Có xOy  xOz. 400  800 .

y

Nên Oy nằm giữa Ox và Oz.

 xOy  yOz  xOz  xOy  400 .
Vậy Oy là phân giác xOz .
b,
Vì Om, Ox là hai tia đối nhau

800
400

m

 xOy  yOm  1800  yOm  1400 .

c,
Vì Op và Oz nằm về hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox
=> Ox nằm giữa Op và Oz.
zOx  xOp  zOp  800  1000  1800 .
=> Oz , Op là hai tia đối nhau.

O

p

1000

x


Bài 14: Cho xOy tù , bên trong góc đó vẽ tia Om sao cho xOm  900 , vẽ tia On sao cho yOn  900
a, CMR: xOn  yOm
b, Gọi Ot là phân giác của xOy , CMR Ot là phân giác mOn
HD:
a,

m

Vì Om nằm trong xOy  xOm  mOy  xOy .
0

 mOy  xOy  xOm  xOy  90 .

t

y

n

(1)

Vì On nằm trong xOy  xOn  nOy  xOy .

 xOn  xOy  nOy  xOy  900 .

(2)

Từ (1) và (2)  mOy  nOx .
b,

O

Vì Ot là phân giác xOy  xOt  tOy 
Mà xOy tù nên xOy  1800  xOt 

xOy
.
2

xOy
 900 .
2

 xOt  xOm  xOt  tOm  xOm  900  mOt  900 

Tương tự: yOt  xOt 

x

xOy
.
2

(3)

xOy
 900  yOt  yOn
2

=> Ot nằm giữa Oy và On. (Do Ot, On nằm trong xOy )
 yOt  tOn  yOn  tOn  yOn  yOt  900 

xOy
.
2

(4)

Từ (3) và (4)  mOt  nOt hay Ot là phân giác mOn .
Bài 15. Cho góc xOy  1000 . Vẽ tia oz sao cho góc zOy  350 . Tính góc xOz trong từng trường hợp.
HD:
y

y
z

z
350

350
1000

O

x
TH1

TH1: Oz nằm trong xOy :

 xOz  zOy  xOy  xOz  650 .
TH2: Oz nằm ngoài xOy => Oy nằm giữa Ox và Oz.

 xOy  yOz  xOz  1350 .

O

x
TH2


Bài 17. Cho góc xOy có số đo bằng 1200 . Điểm A nằm trong góc xOy sao cho: AOy =750 . Điểm B nằm
ngồi góc xOy mà : BOx =1350 . Hỏi 3 điểm A,O,B có thẳng hàng khơng? Vì sao?
y
A

HD:

Vì A nằm trong xOy  xOA  AOy  xOy .

750

0

 xOA  45 .

O

Vì OB nằm ngồi xOy => Ox nằm giữa 2 tia OA, OB

 AOx  xOB  AOB  AOB  1800 .
Vậy OA, OB là hai tia đối nhau.
Hay A, O, B thẳng hàng.

x

1350

B

Bài 18. Trên đường thẳng xx’ lấy một điểm O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xx’ vẽ 3 tia Oy,
Ot, Oz sao cho: Góc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540.
a, Chứng minh tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz.
t
b, Chứng minh tia Ot là tia phân giác của góc zOy.
HD:
z
a,

y
Vì Ox và Ox’ là hai tia đối nhau

 xOt  tOx '  1800  tOx '  830 .
Và xOz  zOx '  1800  zOx '  1260 .
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xx’



0

0

0



Có x ' Oy  x ' Oy  x ' Oz. 40  83  126 .
Nên Ot nằm giữa Oy và Oz.
b.

540

x

400

O

x'

Vì x ' Oy  x ' Ot => Oy nằm giữa Ox’, Ot  x ' Oy  yOt  x ' Ot  yOt  430 .

(1)

Mà x ' Ot  x ' Oz  x ' Ot  tOz  x ' Oz  tOz  430 .

(2)

Từ (1) và (2) yOt  tOz Nên OT là phân giác zOy .


Bài 19. Cho góc AMC = 600. Tia Mx là tia đối của tia MA, My là phân giác của góc CMx , Mt là tia phân
giác của góc xMy .
a, Tính góc AMy
b, Chứng minh rằng MC vng góc với Mt.

C
y

HD:
a,
Vì MA, Mx là hai tia đối nhau

t

 AMC  CMx  AMx  xMA  1200 .
Mà My là phân giác xMC .

600

x

xMC
 xMy  yMC 
 600 .
2

 AMy  yMx  AMx  AMy  1800  600  1200 .
b,



A

M



Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ax có AMC  AMy. 600  1200 .
=> MC nằm giữa MA và My => AMC  CMy  AMy  CMy  600 .
MC là phân giác AMy , Do MT và MC là hai tia phân giác của hai góc kề bù nên Mt  MC .
Bài 20. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vẽ điểm N nằm giữa M và B. Cho biết MN = a (cm); NB =
b (cm).
a, Tính AB.
b, Lấy điểm O nằm ngoài đường thẳng AB. Giả sử AOB  1000 , AOM  600 , MON  200 .
Hỏi tia ON có phải là tia phân giác của góc MOB khơng ? Vì sao.
HD:
O
a,

Vì N nằm giữa M và B
600
 MB  MN  NB  a  b .
200
Mà M là trung điểm AB
 AM  BM  a  b .
Và AB  2 AM  2  a  b  .
b,
Vì M là trung điểm của AB

A

=> OM nằm giữa OA và OB  MOB  400 .
Vì N nằm giữa M và B => OM năm giữa OM và OB  NOB  200 .
Vậy On có là tia phân giác MOB .

M

a

N

B
b


Bài 21. Cho hai góc xOy và yOz kề bù sao cho xOy  4 yOz .
a, Tính số đo mỗi góc có trên hình vẽ?
b, Vẽ tia Ot sao cho xOt =108 0 . Tính tOy ?
c, Trên mỗi tia Ox, Oy, Oz, Ot vẽ 10 điểm phân biệt khác điểm O. Hỏi trên hình vẽ có tất cả bao nhiêu tia?

HD:

t

a,
Vì xOy, yOz là hai góc kề bù
0

 xOy  yOz  180 .

y

Mà xOy  4.yOz  4.yOz  yOz  1800 .

1080

 yOz  360 và xOy  4.360  1440 .
z
b,
TH1: Ot, Oy nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox



x

O



 xOt  xOy. 1080  1440 . Nên Ot nằm giữa Ox, Oy

 xOt  tOy  xOy  tOy  360 .
TH2: Ot, Oy nằm về hai phía khác nhau bờ Ox
 tOx  xOy  tOy  tOy  2520 , Vì tOy  1800 nên ta lấy góc tOy về phía bên kia.
Khi đó: tOy  3600  2520  1080 .
c,
Bài 22. Trên đoạn thẳng AB = 5cm, lấy điểm M. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AM = AN
a, Tính độ dài đoạn thẳng BN khi BM = 2cm .
0
0
b, Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax, Ay sao cho BAx  40 , BAy  110 .

Chứng tỏ rằng Ay là tia phân giác của NAx .
c, Hãy xác định vị trí của M trên đoạn AB để BN có độ dài lớn nhất
HD:
a,
M nằm trên đoạn AB
y
 AM  MB  AB  AM  3  AN .
Mà AB và AN là hai tia đối nhau
Nên A nằm giữa B và N
 BN  BA  AN  5  3  8cm .
b,
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB
N
Có BAx  BAy. 400  1100  xAy  700 .





x

1100
400

A

M

2cm

B

Mà AB, AN là hai tia đối nhau

 BAy  yAN  1800  yAN  700 .
Vì BAx  BAy  BAN => Ay nằm giữa Ax và An.





Mà xAy  yAn.  700 => AN là phân giác xAn .
b,
Ta có: BN  BA  AN mà AN  AM  BN  BA  AM .
Để BN có GTLN thì AM lớn nhất, khi M trùng B hay BN  BA  AM  BA  AB  2.AB  10cm .


Bài 23. Cho 2 góc xOy và xOz , Om là tia phân giác của góc yOz . Tính góc xOm trong các trường hợp
sau :

a, Góc xOy bằng 1000 ; góc xOz bằng 600.
b, Góc xOy bằng  ; góc xOz bằng  (    ).
m
y

y
z
m
1000

600

O

O

x

600

x

HD:
a,
TH1: Oy và Oz nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox
Nếu xOy  1000  xOz  600 => Oz nằm giữa Ox và Oy

z

 zOy  400 . Mà Om là phân giác yOz  yOm  mOz 

zOy
 200 .
2

Mà Om nằm trong xOy  xOm  mOy  xOy  xOm  800 .
TH2: Oy và Oz nằm trên 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox

 yOx  xOz  yOz  yOz  1600 .
Om là phân giác yOz  yOm 





yOz
 800 .
2

Mà yOm  yOx. 800  1000 => Om nằm giữa Ox và Oy  xOm  mOy  xOy  xOm  200 .
Bài 24: Cho hai góc kề bù xOy, yOz sao cho xOy  1200
a, Tính yOz  ?
b, Gọi Ot là tia phân giác của yOz , CMR: zOt 

y

1
xOy
4

HD:
a,

t

Vì xOy, yOz là hai góc kề bù

1200

 xOy  yOz  1800  yOz  600 .
b,
Ot là phân giác yOz  zOt  tOy 
Khi đó zOt 

xOy
.
4

z
zOy
 300 .
2

O

x


Bài 25: Cho hai tia Oy, Oz nằm trên cùng 1 nửa mặt phẳng có bờ là tia Ox, sao cho góc

xOy  750 , xOz  250
a, Trong ba tia Ox, Oy, Oz tia nào nằm giữa hai tia cịn lại
b, Tính yOz

y

c, Gọi Om là tia phân giác của góc yOz , tính góc xOm
HD:
a,
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox,



m



z

Có xOz  xOy. 250  750 => Oz nằm giữa Ox và Oy.
750

b,
Vì Oz nằm giữa Ox và Oy

250

O

 xOz  zOy  xOy  zOy  500 .

c,
Om là phân giác yOz  yOm  mOz 

x

yOz
 250 .
2

Và Om nằm giữa Ox và Oy  yOm  mOx  yOx  mOx  500 .
Bài 26: Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, xác định hai tia Oy và Ot sao cho xOy  300 , xOt  700
a, Tia nào nằm giữa hai tia cịn lại?
b, Tính yOt  ? Tia Oy có là tia phân giác của xOt khơng,Vì sao?
c, Gọi Om là tia đối của tia Ox, Tính mOt
HD:

t

y
700
300

O

m

x

Bài 27: Cho tia Ox, trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ Ox, Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho

xOy  xOz  1200 , CMR:
a, Góc xOy  xOz  yOz
b, Tia đối của tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại
HD:
y

O

x'

z

x


Bài 28: Cho góc AOB  1350 , C là 1 điểm nằm trong góc đó biết BOC  900
a, Tính AOC  ?
b, Gọi OD là tia đối của tia OC. So sánh hai góc AOD, BOD
HD:
C

B
1350
O

D

A

Bài 29: Cho 4 tia OA, OB, OC, OD tạo thành các góc AOB, BOC, COD, DOA khơng có điểm trong chung,
Tính số đo mỗi góc biết BOC  3AOB, COD  5AOB, DOA  6.AOB
HD:
O

D

Vì các góc: AOB, BOC, COD, DOA ,
Khơng có điểm trong chung nên:

AOB  BOC  COD  DOA  3600 . (1)
 BOC  3. AOB

Mà: COD  5. AOB thay vào (1) ta được:

 DOA  6. AOB

A
B
C

AOB  3.AOB  5.AOB  6.AOB  3600 .
 BOC  720

 15. AOB  360 0  AOB  240  COD  120 0 .

0
 DOA  144
Bài 30: Cho 5 điểm A,B,C,D,E theo thứ tự đó nằm trên đường thẳng a và điểm O nằm ngoài đường thẳng a
sao cho 4. AOB  3.BOC,5.COD  4.BOC,6.DOE  5.BOC và DOE  AOB  50 ,

Tính các góc AOB, BOC, COD, DOE
HD:

O

Ta có:

3
.BOC .
4
5
A
D
C
B
6.DOE  5.BOC  DOE  .BOC .
6
5
3
Mà DOE  AOB  50  .BOC  .BOC  50  10.BOC  9.BOC  600 .
6
4
0
3.60
5.600
 BOC  600  AOB 
 450 , DOE 
 500 .
4
6

0
4.60
 480 .
Mà 5.COD  4.BOC  COD 
5
4. AOB  3.BOC  AOB 

a
E


Bài 31: Cho ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua điểm O sao cho tia Ob và tia Oc cùng nằm trong nửa mp bờ
a, gọi Oa’ và Oc’ lần lượt là tia đối của tia Oa và Oc, Biết aOc  800 , bOa '  500
a/ Tính số đo bOc '
b/ Tia Ob có là tia phân giác của góc cOa ' khơng?
HD:

c
b

Vì Oa là Oa’ là hai tia đối nhau nên:

aOc  cOa '  1800  cOa '  1000 .
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Oa ' .



a

800



Có a ' Ob  a ' Oc. 500  1000 .

500

O

a'

=> Ob nằm giữa Oa’ và Oc.

 a ' Ob  bOc  a ' Oc  bOc  500 .
Vì Oc và Oc’ là hai tia đối nhau nên :
 cOb  bOc '  1800  bOc '  1300 .

c'

Bài 32: Cho AMC  600 , tia Mx là tia đối của tia MA, My là tia phân giác của CMx . Mt là tia phân giác của

xMy
a/ Tính AMy
b/ CMR MC vng góc với Mt
HD:

C

y
t

A,
Vì Mx, MA là hai tia đối nhau

 AMC  CMx  1800  CMx  1200 .

600

0

Mà My là phân giác CMx  CMy  yMx  60 .
0

0

x

M

Khi đó : AMy  yMx  180  AMy  120 .
B,
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ MA có :





AMC  AMy. 600  1200 => MC nằm giữa MA và My.
 AMC  CMy  AMy  CMy  600  AMC => MC là phân giác AMy .
Vì MC, Mt là hai tia phân giác của hai góc kề bù nên Mt  MC .

A


Bài 33: Cho hai góc kề bù xOy, yOx ' , trong đó góc xOy  5. yOx '
a/ Tính số đo các góc xOy, yOx '
b/ Trên nửa mp có bờ là xx’ chứa Oy, vẽ tia Om sao cho xOm  1200 , Tia Oy có là tia phân giác của góc
x ' Om khơng?
c/ Tính các góc có trên hình vẽ
m
HD:

y

1200

x'

O

x


Dạng 3: TÍNH SỐ GĨC, SỐ TAM GIÁC TẠO THÀNH
Bài 1:
a, Cho đường thẳng xy, trên đó lấy ba điểm A,B,C mà AB=5, AC=3cm. Tính BC
b, Trên xy lấy các điểm M, N, K, Q (không trùng với A,B,C ) và 1 điểm O không nằm trên đường thẳng
xy,vẽ được tất cả bao nhiêu tam giác có đỉnh là ba trong các điểm đã có trên hình vẽ
HD:
TH1

A

x

TH2

C

x

C

B

A

y

B

y

a, TH1: Điểm C nằm giữa hai điểm A và B:
Khi đó ta có: AC+CB=AB => CB=AB-AC=5cm-3cm=2cm
TH2: Điểm A nằm giữa hai điểm B và C:
Khi đó ta có: CA+AB=CB=>CB=3cm+5cm=8cm
b,
O

x

M

N

K

A

C

B

Q

y

Nối điểm O đến M không cho ta tam giác nào
Nối O đến N, thì ON tạo với OM cho ta  OMN
Nối O đến K thì OK tạo với OM và ON
cho ta thêm 2 tam giác là  OMK và  ONK
tương tự:
Nối O đến A tạo với OM, ON, OK
Cho ta thêm 3 tam giác là:  OMA,  ONA,  OKA
Nối O đến C tạo với OM, ON, OK, OA
Cho ta thêm 4 tam giác là:  OMC,  ONC,  OKC và  OAC
Nối O đến B tạo với OM, ON, OK, OA, OC
Cho ta thêm 5 tam giác là:  OMB,  ONB,  OKB,  OAB và  OCB
Nối O đến Q tạo với OM, ON, OK, OA, OC, OB

Cho ta thêm 6 tam giác là:  OMQ,  ONQ,  OKQ,  OAQ,  OCQ và  OBQ
Vậy số tam giác tạo thành là: 1+2+3+4+5+6=21 tam giác


Bài 2: Cho hai điểm M, N nằm cùng phía đối với A, nằm cùng phía đối với B, Điểm M nằm giữa hai điểm A
và B. Biết AB=5cm, AM= 3cm, BN=1cm. CMR:
a, Bốn điểm A, B, M, N thẳng hằng.
b, Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng MB
c, Vẽ đường tròn tâm N đi qua B và đường trong tâm A đi qua N, chúng cắt nhau tại C, Tính chu vi  CAN
HD:
a, Vì M, N nằm cùng phía đối với A nên A, M, N thẳng hàng
và M, N nằm cùng phía đối với B nên B, M, N thẳng hàng
b,
Vì M nằm giữa A và B nên:
AM+MB=AB=>MB=AB-AM=5cm-3cm=2cm
Và M, N nằm cùng phía đối với B
Lại có BN=1cmNên N nằm giữa B và M, ta có:
B
BN+NM=BM=>NM=BM-BN=2cm-1cm=1cm
Vậy N nằm giữa B và M và NB=NM=1cm
Nên N là trung điểm của BM
c, Ta có: AC là bán kính đường trịn tâm A nên AC=AN
và NC là bán kính của đường trịn tâm N nên NC=NM=1cm
Vì M nằm giữa A và B và N nằm giữa B và M
Nên M nằm giữa A và N=> AN=AM+MN=3cm+1cm=4cm
Hay AC=AN=4cm,
Vậy chu vi  CAN= AN+AC+CN=4cm+4cm+1cm=9cm

Bài 3: Cho n tia chung gốc tạo thành tất cả 190 góc, Tính n?

HD:

C

N

A

M

4

n

3

2

Ta có: với 1 tia khơng cho ta góc
Vẽ tia thứ 2, tia này tạo với tia thứ nhất cho ta 1 góc
Vẽ tia thứ 3,
tia này tạo với hai tia trước đó cho ta thêm 2 góc
O
Vẽ tia thứ 4, tia này tạo với 3 tia trước đó, cho ta thêm 3 góc
Tương tự :
Với tia thứ n, tia này tạo với (n-1) tia trước đó cho ta thêm (n-1) góc
1   n  1   n  1 n  n  1


Vậy tổng số góc vẽ được là : 1  2  3  ...   n  1  

2
2
n  n  1
Theo bài ra ta có :
 190  n  n  1  2.190  380  19.20  n  20
2
Vậy có 20 tia chung gốc ban đầu

1