Chuyên Đề 01 hình học không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.35 MB, 83 trang )
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1) Góc giữa hai véc tơ
Giả sử ta có
( )
( )
; ;
=
→ = =
=
AB u
u v AB AC BAC
AC v
, v
ớ
i
0 180 .
≤ ≤
o o
BAC
2) Tích vô hướng của hai véc tơ
Gi
ả
s
ử
ta có
( )
. . . .cos .
=
→ = =
=
AB u
u v AB AC AB AC AB AC
AC v
Nh
ậ
n xét:
+ Khi
0
. 0
0
=
→ =
=
u
u v
v
+ Khi
(
)
0
; 0
↑↑ → =
u v u v
+ Khi
(
)
0
; 180
↑↓ → =
u v u v
+ Khi
. 0
⊥ ←→ =
u v u v
Ví dụ 1.
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a) Tính góc giữa hai véc tơ
(
)
; .
AB BC
b) Gọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB. Tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ
(
)
; .
CI AC
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ
ta
đượ
c
( )
( )
2
. . .
cos ; , 1 .
.
.
= = =
AB BC AB BC AB BC
AB BC
AB BC a
AB BC
Xét
(
)
. . . .
= + = +
AB BC AB BA AC AB BA AB AC
Mà
( )
( )
0 2
2
0
. . .cos . . .cos180
. . .cos . . .cos60
2
= = = −
= = =
AB BA AB BA AB BA a a a
a
AB AC AB AC AB AC a a
2 2
2
. .
2 2
→ = − + = −
a a
AB BC a
( )
( )
( )
2
0
2
1
2
1 cos ; ; 120 .
2
−
⇔ = = − → =
a
AB BC AB BC
a
V
ậ
y
(
)
; 120 .
=
o
AB BC
b) Ta có
( )
. .
cos ;
.
.
= =
CI AC CI AC
CI AC
CI AC
CI AC
T
ứ
di
ệ
n ABCD
đề
u c
ạ
nh a, CI là trung tuy
ế
n c
ủ
a tam giác
đề
u ABC nên
( )
( )
2
3 .
cos ; , 2 .
2
3
2
= → =
a CI AC
CI CI AC
a
Ta có
(
)
. . . .= + = +
CI AC CI AI IC CI AI CI IC
Do
∆
ABC
đề
u nên
. 0.
⊥ ⇔ =
CI AI CI AI
Tài liệu tham khảo:
01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Đồng thời,
( )
2 2 2
0
3 3 3 3 3
. . .cos ; . .cos180 . 0 .
2 2 4 4 4
= = = − → = − = −
a a a a a
CI IC CI IC CI IC CI AC
Thay vào (2) ta
đượ
c
( )
( )
( )
2
0
2
3
3
4
2 cos ; ; 150 .
2
3
2
−
⇔ = = − → =
a
CI AC CI AC
a
V
ậ
y
(
)
0
; 150 .
=
CI AC
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của
AB.
a) Biểu diễn các véc tơ
SM
và
BC
theo các véc tơ
; ; .
SA SB SC
b) Tính góc
(
)
; .
SM BC
Hướng dẫn giải:
a)
Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta
được
( )
1
2
2
= +
+ =
←→
= +
= −
SM SA SB
SA SB SM
BC BS SC
BC SC SB
b)
( )
( )
. .
cos ; , 1 .
.
.
= =
SM BC SM BC
SM BC
SM BC
SM BC
Mà SA, SB, SC
đ
ôi m
ộ
t vuông góc nên
. 0
. 0
. 0
=
=
=
SA SB
SA SC
SB SC
Tam giác SAB và SBC vuông t
ạ
i S nên theo
đị
nh lý Pitago ta
đượ
c
2
2
1 2
2 2
=
= = →
= =
BC a
AB BC a
a
SM AB
Theo câu a,
( ) ( )
2
2
0
0 0
1 1 1
. . . . . .
2 2 2 2
= + − = − + − = − = −
a
SM BC SA SB SC SB SA SC SA SB SB SC SB SB SB
Thay vào (1) ta
đượ
c
( )
( )
2
0
. 1
2
cos ; ; 120 .
. 2
2
. 2
2
−
= = = − → =
a
SM BC
SM BC SM BC
SM BC
a
a
II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1) Khái ni
ệ
m véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
M
ộ
t véc t
ơ
u 0
≠
mà có ph
ươ
ng song song ho
ặ
c trùng v
ớ
i d
đượ
c g
ọ
i là véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d.
2) Góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
Khái ni
ệ
m:
Góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng a và b là góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng a
′
; b
′
l
ầ
n l
ượ
t song song v
ớ
i a; b. Kí hi
ệ
u
( )
a;b .
T
ừ
đị
nh ngh
ĩ
a ta có s
ơ
đồ
( )
( )
a//a
a;b a ;b
b// b
′
′ ′
→ =
′
Nh
ậ
n xét:
+ Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là
u; v
và
(
)
u; v
φ.
=
Khi đó,
( )
( )
o o
o o o
a; b φ ; 0 φ 90
a; b 180
φ ; 90 φ 180
= ≤ ≤
= − < ≤
+ Nếu a // b hoặc a ≡ b thì
( )
o
a; b 0 .
=
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Các xác định góc giữa hai đường thẳng:
Phương án 1
(sử dụng định nghĩa)
Phương án 2
Tạo ra các đường
( )
( )
a // a
a,b a ,b
b // b
′
′ ′
→ =
′
- Lấy một điểm O bất kì thuộc a
- Qua O, d
ựng đường // b
( )
( )
a,b a,
→ = ∆
Chú ý:
Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:
N
ế
u góc thu
ộ
c tam giác vuông thì dùng các công th
ứ
c tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot.
N
ế
u góc thu
ộ
c tam giác th
ườ
ng thì s
ử
d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong tam giác
ABC
:
2 2 2
2 2 2
2 cos cos .
2
+ −
= + − → =
b c a
a b c bc A A
bc
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác
vuông tại A. Biết
= = =
3; ; 3 .
SA a AB a AD a
Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng sau:
a) SD và BC.
b) SB và CD.
c) SC và BD.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Tính góc gi
ữ
a SD và BC
Để
xác
đị
nh góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD và BC ta s
ử
d
ụ
ng
ph
ươ
ng án 2, tìm
đườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i m
ộ
t trong hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD, BC và song song v
ớ
i m
ộ
t
đườ
ng còn l
ạ
i.
Ta d
ễ
nh
ậ
n th
ấ
y AD // BC.
Khi
đ
ó
( )
( )
o
SDA
SD;BC SD;AD
180 SDA
= =
−
Xét
∆
SAD:
o
SA 3
tanSDA SDA 30 .
AD 3
= = → =
V
ậ
y
( )
o
SD;BC 30 .
=
b) Tính góc gi
ữ
a SB và CD
T
ươ
ng t
ự
,
( )
( )
o
SBA
CD//AB SB;CD SB;AB
180 SBA
→ = =
−
Xét
∆
SAB:
o
SA
tanSBA 3 SDA 60 .
AB
= = → =
V
ậy
( )
o
SB;CD 60 .
=
c) Tính góc gi
ữ
a SC và BD
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SA.
Trong ∆SAC có
( )
( )
o
IOB
OI//SC SC;BD OI;BD
180 IOB
→ = =
−
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI:
2
2 2 2
a 3 a 7
IB IA AB a
2 2
= + = + =
ABCD là hình chữ nhật nên
2 2 2 2
a 10
BD AB AD a 9a a 10 OB OA
2
= + = + = → = =
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO:
2 2
2 2
a 3 a 10 a 13
IO IA AO
2 2 2
= + = + =
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được:
2 2 2
2 2 2
13a 10a 7a
OI OB IB 8
4 4 4
cosIOB
2.OI.OB
a 13 a 10 130
2. .
2 2
+ −
+ −
= = =
( )
8
IOB arccos SC;BD .
130
→ = =
V
ậ
y
( )
8
SC;BD arccos .
130
=
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết
= = =
2 , 3.
AB CD a MN a Tính góc gi
ữ
a
hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.
Hướng dẫn giải:
Do AB và CD là các c
ạ
nh c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n nên chúng chéo nhau,
để
xác
đị
nh góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD ta t
ạ
o các
đườ
ng th
ẳ
ng t
ươ
ng
ứ
ng song song v
ớ
i AB, CD và chúng c
ắ
t
nhau.
G
ọ
i P là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AC, khi
đ
ó MP // AB, NP // CD
( )
( )
o
MPN
AB,CD MP,NP
180 MPN
→ = =
−
Do MP, NP là các
đườ
ng trung bình nên ta có MP = NP = a.
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong ∆MPN ta
đượ
c
( )
2 2 2 2 2
o o
MP NP MN 2a 3a 1
cosMPN
2MP.NP 2.a.a 2
MPN 120 MP,NP 60
+ − −
= = = −
→ = ⇔ =
V
ậ
y
( )
o
AB,CD 60 .
=
Nhận xét:
Ngoài vi
ệ
c kh
ở
i t
ạ
o P nh
ư
trên ta c
ũ
ng có th
ể
l
ấ
y
đ
i
ể
m P là
trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BD, cách gi
ả
i khi
đ
ó c
ũ
ng t
ươ
ng t
ự
.
Ví d
ụ
3. Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy là hình thang vuông t
ạ
i A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc v
ớ
i
AB và AD, =
2 3
3
a
SA . Tính góc c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng
a) DC và SB.
b) SD và BC.
Hướng dẫn giải:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
a)
( )
( )
Do DC// AB DC,SB AB,SB
α
→ = =
Tam giác SAB vuông t
ạ
i A nên
α
là góc nh
ọ
n, khi
đ
ó
o
2a 3
SA 3
3
tan
α α 30
AB 2a 3
= = = → =
Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30
o
.
b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a. Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là
hình thoi. Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a
DI a 2.
→ =
mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI.
Khi đó,
( )
( )
SD,BC SD,DI
β
= =
.
Tam giác SAI vuông tại A nên
2
2
2 2 2 2
2a 3 7a
SI SA AI a
3 3
= + = + =
Tam giác SAD vuông t
ạ
i A nên
2
2
2 2 2 2
2a 3 7a
SD SA AD a
3 3
= + = + =
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong tam giác SDI ta
đượ
c
2 2 2 2
SD DI SI 2a 3
cosSDI
2SD.DI
a 21 42
2. .a 2
3
+ −
= = =
Do
cosSDI 0
>
nên góc
SDI
là góc nh
ọ
n
3
β
SDI arccos .
42
→ = =
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Cho t
ứ
di
ệ
n
đề
u
ABCD
c
ạ
nh
a
, g
ọ
i
I
là trung
đ
i
ể
m c
ạ
nh
AD
. Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
AB
và
CI
.
Đ/s:
( )
3
; arccos .
6
=
AB CI
Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD. G
ọ
i M, N, P l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC, AD và AC. Bi
ế
t
2 , 2 2, 5.
= = =AB a CD a MN a
Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và
2.
=BC a Tính góc giữa
(
)
,
SC AB
, từ đó suy ra góc
giữa SC và AB.
III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu
( )
; 90 .
o
a b a b
= ←→ ⊥
Chú ý:
Các ph
ươ
ng pháp ch
ứ
ng minh a
⊥
b:
Chứng minh
( )
o
a; b 90
=
Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau,
u.v 0.
=
Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD trong đó
= = = = = =
o o o
AB AC AD a, BAC 60 , BAD 60 , CAD 90 .
G
ọ
i I và J l
ầ
n l
ượ
t
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB và CD.
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng IJ vuông góc v
ớ
i c
ả
hai
đườ
ng AB và CD.
b) Tính
độ
dài IJ.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều,
∆ACD vuông cân tại A.
Từ đó
BC BD a,CD a 2
= = = →∆BCD vuông cân t
ạ
i B.
Chứng minh IJ vuông góc với AB
Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân t
ạ
i A, B nên
1
AJ CD
2
AJ BJ IJ AB.
1
BJ CD
2
=
→ = ⇔ ⊥
=
Chứng minh IJ vuông góc với CD
Do các ∆ACD, ∆BCD
đề
u nên CI = DI → IJ ⊥CD.
b) Áp d
ụ
ng
đị
nh lý Pitago cho ∆AIJ vuông t
ạ
i I ta
đượ
c
2
2
2 2
a 2 a a
IJ AJ AI
2 4 2
= − = − =
V
ậ
y IJ = a/2.
Ví dụ 2.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và
= =
ASB BSC CSA.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SA ⊥
⊥⊥
⊥ BC, SB ⊥
⊥⊥
⊥ AC, SC ⊥
⊥⊥
⊥ AB.
Hướng dẫn giải:
Ch
ứ
ng minh: SA ⊥ BC.
Xét
(
)
SA.BC SA. SC SB SA.SC SA.SB
= − = −
Mà
( )
( )
SA.SC SA.SC.cos SA;SC
SA.SB SA.SB.cos SA;SB
SA.SC SA.SB SA.SC SA.SB 0 SA.BC 0 SA BC
SA SB SC
ASB BSC CSA
=
=
→ = ⇔ − = ←→ = ⇔ ⊥
= =
= =
Chứng minh tương tự ta cũng được SB ⊥ AC, SC ⊥ AB
Ví d
ụ
3. Cho t
ứ
di
ệ
n
đề
u
ABCD
, c
ạ
nh b
ằ
ng
a
. G
ọ
i
O
là tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p
∆
∆∆
∆BCD
.
a) Ch
ứ
ng minh
AO
vuông góc v
ớ
i
CD
.
b) G
ọ
i
M
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
CD
. Tính góc gi
ữ
a
BC
và
AM
.
AC
và
BM
.
Hướng dẫn giải:
a)
Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng
Gọi M là trung điểm của CD. Ta có
(
)
AO.CD AM MO .CD AM.CD MO.CD
= + = +
Do ABCD là t
ứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay
O là giao điểm của ba đường cao). Khi đó
AM CD AM.CD 0
AO.CD 0 AO CD.
MO CD
MO.CD 0
⊥ =
⇔ → = ⇔ ⊥
⊥
=
b)
Xác định góc giữa BC và AM; AC và BM
Xác định góc giữa BC và AM:
Gọi I là trung điểm của BD → MI // BC.
T
ừ đó
( )
( )
AMI
BC;AM MI;AM
180 AMI
= =
−
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong ∆AMI ta
đượ
c
( )
2 2 2
AM MI AI
cosAMI , 1 .
2.AM.MI
+ −
=
Các ∆ABD, ∆ACD
đề
u, có c
ạ
nh a nên
a 3
AI AM .
2
= =
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
MI là đường trung bình nên MI = a/2.
Từ đó
( )
( )
2 2 2
a 3a 3a
1 1 1
4 4 4
1 cosAMI AMI arccos BC;AM arccos .
a a 3 2 3 2 3 2 3
2. .
2 2
+ −
⇔ = = → = ⇔ =
Xác định góc giữa BC và AM:
G
ọ
i J là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AD
→
MJ // AC.
Khi
đ
ó
( )
( )
BMJ
AC;BM MJ;BM
180 BMJ
= =
−
Các tam giác ABD, BCD là các tam giác
đề
u c
ạ
nh a, nên các trung tuy
ế
n t
ươ
ng
ứ
ng
a 3
BJ BM
2
= =
Do
đ
ó,
1
AIM BJM AMI BMJ arccos .
2 3
∆ = ∆ → = =
V
ậ
y
( )
1
AC;BM arccos .
2 3
=
Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A
′
′′
′
B
′
′′
′
C
′
′′
′
D
′
′′
′
cạnh a. Đặt
′
= = =
AB a,AD b, AA c.
a) Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng:
( )
( )
( )
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .
b) G
ọ
i O là tâm c
ủ
a hình vuông ABCD và I là m
ộ
t
đ
i
ể
m sao cho
′ ′
= + + + +
OI OA OA OB OB
′ ′
+ + + +
OC OC OD OD .
Tính khoảng cách từ O đến I theo a.
c) Phân tích hai véc tơ
′
AC , BD
theo ba véc tơ
a, b, c.
Từ đó, chứng tỏ rằng AC′
′′
′ và BD vuông góc với nhau.
d) Trên cạnh DC và BB′
′′
′ lấy hai điểm tương ứng M, N sao cho DM = BN = x (với 0 < x < a).
Chứng minh rằng AC′
′′
′ vuông góc với MN.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét:
Để
làm t
ố
t các bài toán liên quan
đế
n hình l
ậ
p ph
ươ
ng ta c
ầ
n nh
ớ
m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t c
ơ
b
ả
n c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng:
T
ấ
t c
ả
các
đườ
ng chéo
ở
các m
ặ
t c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng
đề
u b
ằ
ng nhau và b
ằ
ng
a 2
(n
ế
u hình l
ậ
p ph
ươ
ng c
ạ
nh a).
Các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng t
ạ
o b
ở
i các kích th
ướ
c c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng luôn vuông góc v
ớ
i nhau (dài, r
ộ
ng, cao).
a) Tính góc giữa:
( )
( )
( )
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .
Tính
( )
AB,B C
′ ′
:
( )
( )
o
Do B C //BC AB,B C AB,BC 90 .
′ ′ ′ ′
→ = =
Tính
( )
AC,B C
′ ′
:
( )
( )
o
ACB
Do B C //BC AC,B C AC,BC
180 ACB
′ ′ ′ ′
→ = =
−
ABCD là hình vuông nên
∆
ABC là tam giác vuông cân t
ạ
i B
( )
o o
ACB 45 AC,B C 45 .
′ ′
→ = ⇔ =
Tính
( )
A C ,B C
′ ′ ′
:
( )
( )
o
ACB
Do A C //AC A C ,B C AC,B C
180 ACB
′
′ ′ ′ ′ ′ ′
→ = =
′
−
Xét trong tam giác ACB
′
có AC = B
′
C = AB
′
(do
đề
u là các
đườ
ng chéo
ở
các m
ặ
t hình vuông c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng).
Do
đ
ó
∆
ACB
′
đề
u
( )
o o
ACB 60 A C ,B C 60 .
′ ′ ′ ′
→ = ⇔ =
b) Tính độ dài OI theo a.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Với O là tâm của hình vuông ABCD thì
OA OC 0
OA OC OB OD 0
OB OD 0
+ =
→ + + + =
+ =
Khi
đ
ó
OI OA OB OC OD
′ ′ ′ ′
= + + +
G
ọ
i O
′
là tâm c
ủ
a
đ
áy A
′
B
′
C
′
D
′
, theo quy t
ắ
c trung tuy
ế
n ta có
OA OC 2OO
OI 4OO
OB OD 2OO
′ ′ ′
+ =
′
→ =
′ ′ ′
+ =
Kho
ả
ng cách t
ừ
O
đế
n I chính là
độ
dài véc t
ơ
OI, t
ừ
đ
ó ta
đượ
c OI = 4OO
′
= 4a.
c) Phân tích hai véc tơ
′
AC , BD
theo ba véc t
ơ
a, b, c.
Theo tính ch
ấ
t c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng ta d
ễ
dàng có
a.b 0
a.c 0
b.c 0
=
=
=
Phân tích:
AC AB BC CC a b c
BD BA AD b a
′ ′
= + + = + +
= + = −
Ch
ứ
ng minh AC
′
vuông góc v
ớ
i BD.
Xét
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
AC .BD a b c . b a a.b b c.b a a.b c.a b a AD AB 0 AC .BD AC B
D.
′ ′ ′
= + + − = + + − − − = − = − = ⇔ ⇔ ⊥
d) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AC
′
′′
′
vuông góc v
ớ
i MN.
Ta có phân tích:
MN MC CB BN
AC AB BC CC
= + +
′ ′
= + +
( ) ( )
0 0 0 0
MN.AC MC CB BN . AB BC CC MC.AB MC.BC MC.CC CB.AB CB.BC CB.CC
BN.AB
′ ′ ′ ′
→ = + + + + = + + + + + +
+
0 0
BN.BC BN.CC MC.AB CB.BC BN.CC
′ ′
+ + = + +
Mà
( )
( )
o
o 2 2
o
MC.AB MC.AB.cos0 a x a
CB.BC CB.BC.cos180 a MN.AC a x a a ax 0 MN AC .
BN.CC BN.CC .cos0 ax
= = −
′ ′
= = − → = − − + = ⇔ ⊥
′ ′
= =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp
S.ABCD
có
ABCD
là hình ch
ữ
nh
ậ
t v
ớ
i
; 3
AB a AD a
= = , SA = 2a và vuông góc v
ớ
i
đ
áy. Tính
góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng sau:
a) SB và CD b) SD và BC
c) SB và AC d) SC và BD
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh 2a, hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng m
ặ
t
đ
áy là
trung
đ
i
ể
m H c
ủ
a AB, bi
ế
t
3.
SH a= G
ọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a SD. Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng:
a) SC và AB b) SD và BC
c) CI và AB d) BD và CI
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thang vuông t
ạ
i A, B v
ớ
i AB = 3a, AD = 2a, DC = a. Hình chi
ế
u
vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) là H thu
ộ
c AB v
ớ
i AH = 2HB, bi
ế
t SH = 2a. Tính góc gi
ữ
a
a) SB và CD
b) SB và AC
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết SA vuông góc với
(ABCD), AB = BC = a; AD = 2a,
3.
=SA a
Tính góc giữa
a) (SB; CD)
b) (SC; AB)
c) (SD; BC)
d) (SB; CK), với K là điểm thuộc đoạn AB sao cho BK = 2KA.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống
(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với
1
.
2
=
AH HB
Biết
2 ; 3; 2.
= = =AB a AD a SH a
Tính góc giữa
a) (SD; BC)
b) (SB; CD)
c) (SA; HC)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA = a; AB =
a;
2.
BC a=
Gọi I là trung điểm của BC.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng (AI; SC)
b) Gọi J là trung điểm của SB, N là điểm trên đoạn AB sao cho AN = 2NB. Tính góc giữa hai đường AC và
JN.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có
; 3.
AB a AD a= = Hình chiếu vuông góc
c
ủa đỉnh S xuống (ABCD) là trung điểm H của OD, biết SH = 2a. Tính góc giữa
a) (SB; CD)
b) (AC; SD)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
3
a
. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S
xu
ống (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với
1
; 2.
4
AH AB SH a= = Tính góc gi
ữ
a
a)
(SD; BC)
b)
(SB; AC)
c)
(SA; BD)
d)
(SC; BD)
Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:
02. LUYỆN TẬP VỀ TÍNH GÓC
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của BC. Hình chiếu
vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc AI với
2 0
HI HA
+ =
và
3.
SH a=
a) Tính góc giữa hai đường thẳng (SA; BC)
b) Tính góc giữa hai đường thẳng (AB; SI)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống
(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AC với
1
; 2 .
4
AH AC SH a
= = Tính góc gi
ữ
a
a)
(SA; CD)
b)
(SC; BD)
c)
(SB; AD)
d)
(SA; BD)
Bài 6.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh 2a, hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
đỉ
nh S xu
ố
ng
(ABCD) là trung
đ
i
ể
m H c
ủ
a AB. Bi
ế
t
3.
SH a= Tính góc gi
ữ
a
a)
(SA; BC)
b)
(SB; CD)
c)
(SA; CD)
d)
(SB; MN), v
ớ
i M và N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC; CD.
e)
(SC; MN), v
ớ
i M, N nh
ư
trên.
Bài 7.
Cho hình chóp S.ABC có
đ
áy ABC là tam giác
đề
u c
ạ
nh a. Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng (ABC)
là
đ
i
ể
m H thu
ộ
c AB sao cho
1
.
3
AH AB
= Bi
ế
t di
ệ
n tích tam giác SAB b
ằ
ng
2
3
.
2
a
Tính góc gi
ữ
a
a)
(SA; BC)
b)
(SB; AC)
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó
song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng.
Viết dạng mệnh đề:
( )
(
)
//
//
a P
d P
d a
⊂
⇔
Tính chất giao tuyến song song:
N
ế
u hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và (Q) ch
ứ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng a, b
song song v
ớ
i nhau, thì giao tuy
ế
n n
ế
u có c
ủ
a hai m
ặ
t
ph
ẳ
ng ph
ả
i song song v
ớ
i a và b.
Vi
ế
t d
ạ
ng m
ệ
nh
đề
:
(
)
(
)
(
)
(
)
; ;
// //
//
a P b Q P Q
a b
a b
⊂ ⊂ ∩ = ∆
→∆
Tính chất để dựng thiết diện song song:
N
ế
u
đườ
ng th
ẳ
ng a song song v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P); m
ộ
t
m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q) ch
ứ
a a, c
ắ
t (P) theo giao tuy
ế
n
thì
ph
ả
i song song v
ớ
i a.
Vi
ế
t d
ạ
ng m
ệ
nh
đề
:
(
)
( )
( ) ( )
//
//
a P
a Q a
P Q
⊂ → ∆
∩ = ∆
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
+ Định nghĩa:
Đườ
ng th
ẳ
ng a vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(P) khi nó vuông góc v
ớ
i m
ọ
i
đườ
ng th
ẳ
ng a n
ằ
m trong
(P). Vi
ế
t d
ạ
ng m
ệ
nh
đề
:
( )
(
)
a P
d P
d a
∀ ⊂
⊥ ⇔
⊥
+ Hệ quả 1
:
Để
ch
ứ
ng minh
đườ
ng th
ẳ
ng d vuông góc
v
ớ
i (P) ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh d vuông góc v
ớ
i hai
đườ
ng
th
ẳ
ng c
ắ
t nhau n
ằ
m trong (P).
+ Hệ quả 2
: N
ế
u hai
đườ
ng th
ẳ
ng phân bi
ệ
t d
1
; d
2
cùng
vuông góc v
ớ
i (P) thì d
1
// d
2
.
+
Hệ quả 3
: N
ế
u hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (P
1
); (P
2
) cùng vuông
góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d thì (P
1
) // (P
2
).
+
Hệ quả 4
: N
ế
u
đườ
ng th
ẳ
ng d cùng vuông góc v
ớ
i m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng a và m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) thì khi
đ
ó
đườ
ng
th
ẳ
ng a ho
ặ
c song song v
ớ
i (P) ho
ặ
c n
ằ
m trong (P).
Tài liệu bài giảng:
03. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Viết dạng mệnh đề:
( )
(
)
( )
//
a P
d a
d P
a P
⊥
→
⊥
⊂
+ Hệ quả 5
: N
ế
u
đườ
ng th
ẳ
ng d có hình chi
ế
u vuông góc
xu
ố
ng (P) là d’;
đườ
ng th
ẳ
ng a n
ằ
m trong (P) vuông góc
v
ớ
i d khi và ch
ỉ
khi a vuông góc v
ớ
i d’.
Ví dụ 1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy.
a) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC)
b) Gọi M, N là trung điểm của SC, SD. Chứng minh MN ⊥ (SAD)
c) Cho
3.
=SA a Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CN.
Ví dụ 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Kẻ OH ⊥ (ABC)
a) Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
b) Chứng minh OA ⊥ BC; OB ⊥ AC; OC ⊥ AB
c) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.
d) Chứng minh rằng
2 2 2 2
1 1 1 1
= + +
OH OA OB OC
Ví dụ 3.
Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC), tam giác ABC vuông t
ạ
i A.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tam giác SAC vuông.
b)
Tính SA, SB, SC bi
ế
t
α; β; .
= = =
ACB ACS BC a
Ví dụ 4.
Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác ABC cân t
ạ
i A v
ớ
i
6
; .
5
= = =
a
AB AC a BC G
ọ
i M là
trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC, k
ẻ
AH ⊥ MD, v
ớ
i H thu
ộ
c MD.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AH ⊥ (BCD)
b)
Cho
4
.
5
=
a
AD Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AC và DM.
c
) G
ọ
i G
1
; G
2
là tr
ọ
ng tâm các tam giác ABC và DBC. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng G
1
G
2
⊥ (ABC).
Ví dụ 5.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh a, SA vuông góc v
ớ
i
đ
áy. G
ọ
i B
1
; C
1
; D
1
là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a A lên các c
ạ
nh SB, SC, SD.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng B
1
D
1
// BD và SC ⊥ (AB
1
D
1
)
b)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các
đ
i
ể
m A, B
1
, C
1
, D
1
đồ
ng ph
ẳ
ng và t
ứ
giác AB
1
C
1
D
1
n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn.
c)
Cho
2.
=SA a
Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng SB và AC
1
.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:
Cho t
ứ
di
ệ
n S.ABC có SA vuông góc v
ớ
i (ABC) và
ABC vuông
ở
B. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a)
BC ⊥ (SAB).
b)
G
ọ
i AH là
đườ
ng cao c
ủ
a
SAB. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AH ⊥ (SBC).
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC. Biết
SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng
a) SO ⊥ (ABCD).
b) IJ ⊥ (SBD).
Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD). Gọi H, I, K lần
lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD.
a) Chứng minh rằng rằng CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC).
b) Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK).
c) Chứng minh rằng HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI.
Bài 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và
2
SC a
= . G
ọ
i H, K l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a các c
ạ
nh AB, AD.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SH ⊥ (ABCD).
b)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AC ⊥ SK và CK ⊥ SD.
Bài 5.
Cho hình chóp SABCD, có
đ
áy là hình vuông c
ạ
nh a. M
ặ
t bên SAB là tam giác
đề
u; SAD là tam giác
vuông cân
đỉ
nh S. G
ọ
i I, J l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB và CD.
a)
Tính các c
ạ
nh c
ủ
a ∆SIJ và ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB).
b)
G
ọ
i H là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S trên IJ. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SH ⊥ AC.
c)
G
ọ
i M là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng CD sao cho BM ⊥ SA. Tính AM theo a.
Đ
/s: a)
3
; , .
2 2
a a
a
c)
5
.
2
a
Bài 6.
Cho ∆MAB vuông t
ạ
i M
ở
trong m
ặ
t ph
ẳ
ng (P). Trên
đườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i (P) t
ạ
i A ta l
ấ
y 2
đ
i
ể
m C, D
ở
hai bên
đ
i
ể
m A. G
ọ
i C′ là hình chi
ế
u c
ủ
a C trên MD, H là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a AM và CC′.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng CC′ ⊥ (MBD).
b)
G
ọ
i K là hình chi
ế
u c
ủ
a H trên AB. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng K là tr
ự
c tâm c
ủ
a ∆BCD.
Bài 7.
Cho hình chóp S.ABCD, có SA ⊥ (ABCD) và SA = a,
đ
áy ABCD là hình thang vuông có
đườ
ng cao
AB = a ; AD = 2a và M là trung
đ
i
ể
m AD.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tam giác SCD vuông t
ạ
i C.
b)
K
ẻ
SN vuông CD t
ạ
i N. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng CD ⊥ (SAN).
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
DẠNG 2.
XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1) Khái niệm
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó xuống mặt phẳng.
2) Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Giả sử cần xác định góc giữa hai mặt phẳng d
1
và d
2
, ta thực hiện theo các bước sau
- Tìm hình chiếu d′ của d lên (P)
- khi đó,
( )
( )
,( ) ,
d P d d
′
= , và bài toán quay v
ề
tìm
góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng.
Chú ý:
Thông th
ườ
ng
đườ
ng th
ẳ
ng d cho d
ạ
ng
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng
(MN ch
ẳ
ng h
ạ
n), khi
đ
ó
để
tìm hình chi
ế
u c
ủ
a MN ta
tìm hình chi
ế
u c
ủ
a t
ừ
ng
đ
i
ể
m M và N xu
ố
ng (P), t
ứ
c
là tìm các
đ
i
ể
m H, K sao cho MH
⊥
(P), NK
⊥
(P)
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy,
6.
=SA a
Tính góc giữa
a) SB và CM, với M là trung điểm của AD.
b) SC và DN, với N là điểm trên đoạn BC sao cho BN = 2 NC.
c) SC và (ABCD)
d) SC và (SAB)
e) SB và (SAC)
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S xuống
mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác ABD, cho SG = 2a. Tính góc giữa
a) SA và BD.
b) SC và (ABCD)
c) AD và (SAC)
d) SD và (ABCD)
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = a, AD = 2a.
Cạnh SA vuông góc với đáy,
2.
=SA a
Tính góc giữa
a) SC và (SAB)
Tài liệu bài giảng:
03. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
c) SD và (SAC)
d) AC và (SAD)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là trung
điểm của AB.
a) Chứng minh SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Từ đó suy ra góc của SC với (SAD).
c) Gọi J là trung điểm CD, chứng minh (SIJ) ⊥ (ABCD).
d) Tính góc hợp bởi SI với (SDC).
Bài 2:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA
và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là 60
0
.
a) Tính độ dài đoạn MN.
b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
6
=
SA a
và vuông góc với đáy. Tính góc giữa
a) SC với (ABCD).
b) SC với (SAB).
c) SB với (SAC).
Đ/s: a) 30
0
b)
7
tan
α .
7
=
c)
14
sin
α .
14
=
Bài 4:
Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ đáy là tam giác đều cạnh a; đỉnh A′ cách đều A; B; C; góc giữa AA′ và
(ABC) là 60
0
a) Xác định và tính đường cao của lăng trụ trên.
b) Xác định và tính góc giữa A′A với (ABC).
Bài 5:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA vuông (ABC) tại A; SA = AC = a ; AB
= 2a. Xác định và tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau
a) SA; SC ; SB với (ABC).
b) BC; BA; BS với (SAC).
c) CH; CA; CB; CS với (SAB) với CH là đường cao tam giác ABC.
d) Biết AK là đường cao tam giác SAC xác định và tính góc giữa AK; AS; AC với (SBC).
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (nâng cao)
Ví dụ 1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = 2a, AD = 3a.
Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với AH = 2HB, biết
3.
=SH a Tính góc giữa
a) SC và HD. b) SD và (ABCD).
c) SC và (SHD) d) SB và (SHD)
e) BC và (SHD) f) SB và (SAD)
g) SC và (SAD)
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a,
0
120 .
=BAD Gọi H là trung
điểm OA, biết các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với đáy,
2.
=SH a
Tính góc
a) SD và BH. b) SB và (SAC)
c) SC và (SAD) d) SA và (SBD)
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Gọi M là trung điểm OA, điểm
N thuộc CD sao cho
1
.
2
=
CN ND
Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S lên (ABCD) là trung
đ
i
ể
m H c
ủ
a MN, bi
ế
t SH
= 2a. Tính góc gi
ữ
a
a)
SD và (ABCD).
b)
SA và (ABCD)
Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:
03. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Phương pháp:
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta thực hiện như sau:
+ Xác định giao tuyến
( ) ( )
∆ = ∩
P Q
+ Tìm mặt phẳng trung gian (R) mà (R) ⊥ ∆, (Đây là bước quan trọng nhất nhé!)
+ Xác định các đoạn giao tuyến thành phần:
( )
( )
( ) ( )
( );( ) ;
( ) ( )
= ∩
⇒ =
= ∩
a R P
P Q a b
b R Q
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và
2.
=SA a
Tính góc gi
ữa
a) (SCD) và (ABCD).
b) (SBD) và (ABCD).
c) (SDI) và (ABCD), với I là trung điểm của BC.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh
2
a
, I là trung điểm của BC. Hình chiếu vuông
góc c
ủa S lên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc AI với
2 0
+ =
IH AH
và SH = 2a. Tính góc giữa
a) BC và SA.
b) (SBC) và (ABC).
c) (SAB) và (ABC).
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và
2,
=SA a đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D
v
ới AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
a) (SBC) và (ABC).
b) (SAB) và (SBC).
c)* (SBC) và (SCD).
Đ/s: a) 45
0
b) 60
0
c)
6
cosα
3
=
Bài 2.
Cho tứ diện
ABCD
có
ABC
là tam giác đều, ∆
DBC
vuông cân tại
D
. Biết
2 , 7
= =
AB a AD a
. Tính
góc giữa (
ABC
) và (
DBC
).
Đ/s:
30
0
Bài 3.
Cho hình chóp
SABC
, có đáy
ABC
là tam giác vuông cân với
BA
=
BC
=
a
;
SA
⊥ (
AB
C) và
SA
=
a
.
Gọi
E, F
lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB
và
AC
.
Tài liệu bài giảng:
04. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC).
Đ/s: a)
(
)
0
( ),( ) 60
=SAC SBC
b)
3
cos(( ),( )) .
10
=
SEF SBC
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Phương pháp:
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta thực hiện như sau:
+ Xác định giao tuyến
( ) ( )
∆ = ∩
P Q
+ Tìm mặt phẳng trung gian (R) mà (R) ⊥ ∆, (Đây là bước quan trọng nhất nhé!)
+ Xác định các đoạn giao tuyến thành phần:
( )
( )
( ) ( )
( );( ) ;
( ) ( )
= ∩
⇒ =
= ∩
a R P
P Q a b
b R Q
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = 2a; AD = 3a.
Hình chi
ếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AB với
1
.
2
=
AH HB
Bi
ế
t góc gi
ữ
a
m
ặ
t ph
ẳ
ng (SCD) và (ABCD) b
ằ
ng 60
0
. Tính góc gi
ữ
a
a)
SD và (ABCD).
b)
(SAB) và (SAC).
Ví dụ 2.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thoi tâm O, c
ạ
nh a,
0
120 .
=BAD G
ọ
i H là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a OA. Bi
ế
t các m
ặ
t ph
ẳ
ng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) và góc gi
ữ
a m
ặ
t
ph
ẳ
ng (SCD) và (ABCD) b
ằ
ng 60
0
. Tính góc gi
ữ
a
a)
SD và AC.
b)
(SBC) và (ABCD).
c)
AC và (SAD).
Ví dụ 3. Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lượt là
trung điểm AB, BC. Tính góc của 2 mặt phẳng (SAJ) và (SCI).
Hướng dẫn giải:
Do SA = SB = SC ⇒ AB = BC = AC ⇒ ABC là tam
giác đều.
Trong ABC, gọi H là giao điểm của SJ và CI, khi đó H
là trọng tâm, đồng thời là trực tâm ABC đều.
Ta có, (SAJ) ∩ (SCI) = SH. Để xác định góc giữa hai mặt
phẳng (SAJ) và (SCI) ta tìm mặt phẳng mà vuông góc với
SH.
Do ABC đều nên AH ⊥ BC, (1)
Lại có, SA, SB, SC đôi một vuông góc nên SA ⊥ (SBC) ⇒
SA ⊥ BC, (2).
Từ (1) và (2) ta được BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH, (*)
Tương tự, ta cũng có
( )
( )
⊥ ⊥
⇒ ⇒ ⊥
⊥ ⊃ ⊥
AB CH AB CH
AB SCH
SC SAB AB AB CH
Hay AB ⊥ SH, (**).
T
ừ (*) và (**) ta được SH ⊥ (ABC).
Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:
04. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Mà
( )
( )
( ) ( )
( ),( ) ,
( ) ( )
∩ =
⇒ =
∩ =
ABC SAJ AJ
SAJ SCI AJ CI
ABC SCI CI
Do
ABC đều nên
0 0 0 0
90 90 30 60
= − = − =CHJ HCJ
V
ậ
y
( )
( )
0
( ),( ) , 60
= = =SAJ SCI AJ CI CHJ
Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
b) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Gi
ả
s
ử
hình chóp tam giác
đề
u là SABC. Do
đặ
c tính c
ủ
a hình
chóp tam giác
đề
u t
ấ
t c
ả
c
ạ
nh bên b
ằ
ng nhau, t
ấ
t c
ả
c
ạ
nh
đ
áy
b
ằ
ng nhau. T
ừ
đ
ó SA = SB = SC = 2a và ABC là tam giác
đề
u
c
ạ
nh 3a.
G
ọ
i H là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng (ABC). Theo tính
ch
ấ
t
đườ
ng xiên và hình chi
ế
u, vì SA = SB = SC nên HA =
HB = HC
⇒
H là tr
ọ
ng tâm c
ủ
a
ABC.
a)
S.ABC là chóp tam giác
đề
u nên các c
ạ
nh bên nghiêng
đề
u
v
ớ
i
đ
áy, ta ch
ỉ
c
ầ
n tính góc gi
ữ
a SA và (ABC).
A
∈
(ABC) nên hình chi
ế
u c
ủ
a A xu
ố
ng (ABC) là chính nó. Do
SH
⊥
(ABC) nên H là hình chi
ế
u c
ủ
a S xu
ố
ng (ABC). Khi
đ
ó,
HA là hình chi
ế
u c
ủ
a SA lên (ABC).
Suy ra,
( )
( )
,( ) SA,
α
= = =
SA ABC HA SAH
Gọi I là trung điểm của BC, khi đó AI là trung tuyến của
ABC đều cạnh 3a nên
3 . 3 2
3
2 3
= ⇒ = =
a
AI AH AI a
T
ừ đó ta được
0
3 3
os
α α 30
2 2
= = = ⇒ =
AH a
c
SA a
Vậy
( )
0
,( ) 30
=SA ABC
b)
Tương tự, các mặt bên nghiêng đều với đáy nên ở đây ta tìm góc giữa (SBC) và (ABCD).
Ta có (SBC) ∩ (ABCD) = BC.
Mà
( )
⊥
⇒ ⊥
⊥
BC SH
BC SAH
BC AH
.
Lại có
( )
( )
( ) ( )
( ),( ) ,
β
( ) ( )
∩ =
⇒ = =
∩ =
SAH ABC AI
SBC ABC SI AI
SAH SBC SI
Theo câu a,
( )
2
2 2 2
4 3
1 3
3 2
= − = − =
= =
SH SA AH a a a
a
HI AI
Khi
đ
ó,
2 3 2 3
tan
β β
arctan
3 3
3
2
= = = ⇒ =
SH a
IH
a
V
ậ
y góc gi
ữ
a m
ặ
t bên và
đ
áy c
ủ
a hình chóp là
2 3
β arctan .
3
=
Ví dụ 5. Cho hình vuông ABCD cạnh a, dựng
=
3
SA a
và vuông góc với (ABCD). Tính góc giữa các
mặt phẳng sau:
a) (SAB) và (ABC).
b) (SBD) và (ABD).
c) (SAB) và (SCD).
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD trong hình vuông ABCD ta có
1 2
2 2
= =
a
AO AC
Khi
đ
ó, (SAB)
∩
(ABC) = AB.
Ta có
( ).
⊥
⇒ ⊥
⊥
AB SA
AB SAD
AB AD
M
ặt khác,
( )
( )
0
( ) ( )
( ),( ) , 90
( ) ( )
∩ =
⇒ = = =
∩ =
SAD SAB SA
SAB ABC SA AD SAD
SAD ABC AD
b) (SBD) ∩ (ABD) = BD.
Ta có
( ).
⊥
⇒ ⊥
⊥
AB AC
BD SAC
AB SA
M
ặt khác,
( )
( )
( ) ( )
( ),( ) ,
( ) ( )
∩ =
⇒ = =
∩ =
SAC SBD SO
SBD ABD SO AO SOA
SAC ABD AO
Xét tam giác vuông SOA ta có:
( )
3
tanS 6 ( ),( ) arctan 6
2
2
= = = ⇒ =
SA a
OA SBD ABD
AO
a
c)
(SAB) ∩ (SCD) = Sx // AB // CD. Mà AB ⊥ (SAD)
⇒
Sx ⊥ (SAD).
Do
( )
( )
( ) ( )
( ),( ) ,
( ) ( )
∩ =
⇒
= =
∩ =
SAD SAB SA
SAB SCD SA SD ASD
SAD SCD SD
Xét tam giác vuông SAD:
( )
0 0
1
tan ASD ASD 30 ( ),( ) 30
3 3
= = =
⇒ = ⇒ =
AD a
SAB SCD
SA
a
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
4 ; 4 3
= =
AB a AD a
. Tam giác SAB
vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Biết rằng SA = 2a. Gọi I là trung điểm của BC.
Tính góc gi
ữa
a) DI và SA. b) (SAI) và (ABCD).
c) SC và (ABCD). d) DI và (SAB). e)
*
SC và (SDI).
Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O và SA vuông góc với (ABCD). Tính SA theo a để góc giữa
(SBC) và (SCD) b
ằng 60
0
Đ/s: SA = a.
Bài 3. Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O và
3
3
=
a
OB , d
ự
ng SO
⊥
(ABCD) và
6
.
3
=
a
SO Ch
ứ
ng
minh r
ằ
ng:
a)
0
90 .
=ASC
b)
(SAB)
⊥
(SAD).
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
+ Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
0
.
+ Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
Để chứng minh (P)⊥ (Q) ta chỉ ra trong (P) có chứa một đường thẳng d mà d ⊥ (Q).
Viết dạng mệnh đề:
(
)
( )
( ) ( )
.
⊂
→ ⊥
⊥
a P
P Q
a Q
+ Tính chất 1: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến ; a là
đường thẳng nằm trong (P), khi đó nếu a ⊥ thì a ⊥ (Q).
Viết dạng mệnh đề:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
;
.
;
⊥ ∩ = ∆
→ ⊥
⊂ ⊥ ∆
P Q P Q
a Q
a P a
+ Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến của (P) và
(Q) cũng phải vuông góc với (R).
Viết dạng mệnh đề:
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( )
.
⊥
⊥ → ∆ ⊥
∩ = ∆
P R
Q R R
P Q
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với (ABCD).
a) Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (SAD), (SAB) ⊥ (SBC).
b) Gọi H, I lần lượt là trung điểm AB và BC. Chứng minh rằng (SHC) ⊥ (SDI).
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O, I, J là trung điểm của BC, AB và AC. Trên đường thẳng
vuông góc với (ABC) tại O ta lấy điểm S. Chứng minh rằng
a) (SBC) ⊥ (ABC).
b) (SOI) ⊥ (SAB).
c) (SOI) ⊥ (SOJ).
Ví dụ 3. Cho tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. AC = AC = BC = BD =
a và CD = 2x. Gọi I, J là trung điểm của AB, CD.
a) Chứng minh IJ ⊥ AB và CD.
b) Tính AB và IJ theo a và x.
c) Xác định x để (ABC) ⊥ (ABD).
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm của SC.
a) Chứng minh (SBC) ⊥ (SAC).
Tài liệu bài giảng:
05. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
b) Chứng minh (ABI) ⊥ (SBC).
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt
là hai điểm trên BC và DC sao cho
3
; .
2 4
= =
a a
MB DN Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng (SAM) ⊥ (SMN).
Ví dụ 6.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) cho hình thoi ABCD v
ớ
i
2
, .
3
a
AB a BD= = Trên
đườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i
(P) t
ạ
i giao
đ
i
ể
m c
ủ
a 2
đườ
ng chéo c
ủ
a hình thoi l
ấ
y
đ
i
ể
m S sao cho SB = a. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a)
ASC vuông.
b) (SAB) ⊥ (SAD).
Hướng dẫn giải:
a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD. Theo bài,
( )
⊥
⊥ ⇒
⊥
SO AC
SO ABCD
SO BD
.
ABCD là hình thoi nên AC
⊥ BD. Xét tam giác vuông AOB:
2
2 2 2
6 2 6
3 3 3
= − = − = ⇒ =
a a a
OA AB OB a AC
Xét tam giác vuông SOB:
2
2 2 2
6 1
3 3 2
= − = − = =
a a
SO SB OB a AC
Tam giác ASC có trung tuy
ến SO bằng một nửa cạnh đối diện AC ⇒ ASC vuông tại S.
b) Để chứng minh (SAB) ⊥ (SAD) ta không thể sử dụng cách truyền thống là chứng minh một đường thẳng nằm trong
mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia được. Ở đây, tác giả đi chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 90
0
.
Ta có (SAB)
∩ (SAD) = SA. Vấn đề bây giờ là tìm mặt phẳng nào để vuông góc với SA.
Ta nh
ận thấy
( )
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥
BD AC
BD SAC BD SA
BD SO
, (1).
T
ừ O, ta dựng OH ⊥ SA, (2). Khi đó, từ (1) và (2) ta có SA ⊥ (BHD).
L
ại có,
( )
( )
( ) ( )
( ),( ) ,
( ) ( )
∩ =
⇒ =
∩ =
BHD SAB HB
SAB SAD HB HD
BHD SAD HD
.
Chúng ta
đi tính góc
BHD
để xem
BHD
là góc nhọn hay tù hay vuông!!!
Xét tam giác vuông
SOA có đường cao OH:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
3
6 6
3 3
= + = + = ⇒ =
a
OH
OH OA OS a
a a
Tam giác BHD có OH là trung tuy
ế
n và
1
2
3
= =
a
OH BD
⇒
BHD vuông t
ạ
i H.
V
ậ
y
( )
0
( ),( ) 90 ( ) ( ).
= ⇔ ⊥
SAB SAD SAB SAD
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với (ABCD). Biết ABCD là hình
vuông và SA = AB. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng
a) (SAC) ⊥ (SBD). b) (SAD) ⊥ (SCD). c) (SCD) ⊥ (ABM).
Bài 2.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SH ⊥ đáy với H thuộc đoạn BC.
a) Chứng minh (SBC) ⊥ (ABC).
b) Kẻ HI ⊥ AB, HK ⊥ AC. Tứ giác AIHK có đặc điểm gì?
c) Chứng minh (SHI) ⊥ (SAB) và (SHK) ⊥ (SAC).
d) Kẻ HM ⊥ SI, HN ⊥ SK. Chứng minh HM ⊥ (SAB) và HN ⊥ (SAC).
Bài 3.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy.
a) Chứng minh SA ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD).
c) Cho SA = 2a. Kẻ AH ⊥ (SBC). Tính AH?
Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh AC’ ⊥ (A’BD) và (ACC’A’) ⊥ (A’BD).
Bài 5.
Cho ∆ABC vuông tại A. Dựng BB′ và CC′ cùng vuông góc với (ABC).
a) (ABB′) ⊥ (ACC′).
b) Gọi AH, AK là các đường cao của các tam giác ABC và AB′C′. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BCC′B′)
và (AB′C′) cùng vuông góc với (AHK).
Bài 6.
Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Dựng đoạn
6
2
=
a
SD và vuông góc v
ớ
i (ABC). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a)
(SAB) ⊥ (SAC).
b)
(SBC) ⊥ (SAD).
Bài 7.
Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. Tìm h
ệ
th
ứ
c liên h
ệ
gi
ữ
a a, b, x,
y
để
:
a)
(ABC) ⊥ (BCD).
b)
(ABC) ⊥ (ACD).
Đ/s:
a)
2
2 2
0.
2
− + =
b
x y
b)
x
2
– y
2
+ b
2
– 2a
2
= 0.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỀM TỚI MỘT MẶT PHẲNG
Dạng 1. Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) chứa đường cao
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
3
2 ; ; 3 .
2
= = =
a
AB a BC AD a
Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) là trung
đ
i
ể
m H c
ủ
a BD.
Bi
ế
t góc gi
ữ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng (SCD) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) b
ằ
ng 60
0
. Tính kho
ả
ng cách
a)
t
ừ
C
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBD)
b)
t
ừ
B
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAH)
Ví dụ 2.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thoi v
ớ
i
2 ; 2 2.
= =AC a BD a Gọi H là trọng tâm
tam giác ABD, biêt r
ằng các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và góc
gi
ữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60
0
. Tính khoảng cách
a) từ C đến mặt phẳng (SHD)
b) từ G đến mặt phẳng (SHC), với G là trọng tâm tam giác SCD.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. M là trung điểm của CD, hình chiếu vuông
góc c
ủa S lên (ABCD) là trung điểm H của AM. Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 60
0
. Tính khoảng cách
a) từ B đến (SAM).
b) từ C đén (SAH)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với
3; .
= =
AB a AC a
Gọi I là điểm trên BC
sao cho
1
2
=
BI IC
và H là trung điểm của AI. Biết rằng
( )
⊥
SH ABC
và góc giữa mặt phẳng (SBC) và
(ABC) b
ằng 60
0
. Tính khoảng cách
a) từ B đến (SHC).
b) từ C đến (SAI)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông chữ nhật, AB = 2a, AD = 3a. Hình chiếu vuông góc của
S lên (ABCD) là
điểm H thuộc đoạn AB sao cho
2
HB HA
=
. Biế
t góc gi
ữ
a SC và (ABCD) b
ằ
ng 45
0
. Tính
kho
ả
ng cách
a)
t
ừ
D
đế
n (SHC).
b)
t
ừ
trung
đ
i
ể
m M c
ủ
a SA
đế
n (SHD)
H
ướ
ng d
ẫ
n: (Các em t
ự
v
ẽ
hình nhé)
Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:
06. KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
