một số kỹ thuật giải nhanh phương trình lượng giác

Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

1








(DÙNG CHO ÔN THI TN – C – H 2011)
















Gi tng: www.Mathvn.com

Bm sn. 08.05.2011
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

2


MT S K THUT GII PHNG TRÌNH LNG GIÁC

Chú ý: V s suy bin ca các cung trong các công thc đã hc  trng ph thông
Ví d nh các công thc sau

2 2
sin cos 1
x x
 

2 2
cos 2 2cos 1 1 2sin
x x x
   
sin 2 2sin cos
x x x


3
sin 3 3sin 4sin
x x x
  …
Là nhng công thc chúng ta đã đc hc  trng ph thông, bây gi ta th xem các công thc sau đúng hay
không
2 2
sin 2 cos 2 1
x x
 

2 2
cos 4 2cos 2 1 1 2sin 2
x x x
   
sin 4 2sin 2 cos 2
x x x



3
sin 9 3sin 3 4sin 3
x x x
  …Hoàn toán đúng, vy t đây ta có th khái quát và m rng nh sau
Vi
0
k

ta có
2 2
sin cos 1
kx kx
 

2 2
cos 2 2 cos 1 1 2sin
kx kx kx
   
sin 2 2sin cos
kx kx kx


3
sin 3 3sin 4sin
kx kx kx
 

1. Da vào mi quan h gia các cung

ôi khi vic gii phng trình lng giác khi xem xét mi quan h gia các cung đ t đó kt hp vi
các công thc lng giác, các phép bin đi lng giác đ đa v các phng trình c bn là mt vn
đ rt “then cht” trong vic gii phng trình lng… chúng ta xét các bài toán sau đ thy đc vic
xem xét mi quan h gia các cung quan trng nh th nào

Bài 1: (H – A 2008) Gii phng trình:
1 1 7
4.sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x


 
  
 
 
 

 
 

Nhn xét:
T s xut hin hai cung
3

2
x

 và
7
4
x


mà chúng ta liên tng đn vic đa hai cung hai v cùng mt
cung x.  làm đc điu này ta có th s dng công thc bin đi tng thành tích hoc công thc v các góc
đc bit
Gii:
S dng công thc bin đi tng thành tích
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

3

Ta có
3 3 3
sin sin .cos cos .sin cos
2 2 2
x x x x
  
 
   
 

 

     
7 7 7 2
sin sin cos cos .sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x
  
 
       
 
 

S dng công thc v các góc đc bit
Ta có
3 3
sin sin 2 sin cos
2 2 2
x x x x
  

     
      
     
     

Hoc
3
sin sin 2 sin cos
2 2 2

x x x x
  

 
     
      
     
 
     
 

 
7 7 2
sin sin 2 sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x
  


     
         
     
     

Hoc
 
7 2
sin sin 2 sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x

  

  
     
        
     
 
     
 

Chú ý:


 
sin 2 sin
,
cos 2 cos
x k x
k
x k x


 



 




và


 
sin 2 sin
,
cos 2 cos
x k x
k
x k x
 
 
   



   




iu kin:
sin 0
sin 2 0 ,
cos 0
2
x
x x k k
x




    





Phng trình
1 1
4sin
sin cos 4
x
x x

 
    
 
 



sin cos 2 2 sin .cos sin cos
x x x x x x
    
 


sin cos 2 2 sin .cos 1 0
x x x x

   

tan 1
sin cos 0
2
2 2 sin .cos 1 0
sin 2
2
x
x x
x x
x
 

 


 


 
 




4 4
2 2 ,
4 8
5

5
2 2
4
8
x k x k
x k x k k
x k
x k
 
 
 
 




 
     
 
 
 
        
 
 
 
 
 
 
 


Kt hp vi điu kin ta đc nghim ca phng trình là
4
x k


   ;
8
x k


   ;
5
8
x k


  vi
k



www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

4

s:

 
5
, , ,
4 8 8
x k x k x k k
  
  
        


Bài 2: (H – D 2006) Gii phng trình:
cos 3 cos 2 – cos – 1 0
x x x
 

Gii:
T vic xut hin các cung 3x và 2x chúng ta ngh ngay đn vic đa cùng v mt cung x bng công thc
nhân ba và nhân đôi ca hàm cos
Phng trình
3 2
4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0
x x x x
      

3 2
2 cos cos 2 cos 1 0
x x x
    





2
2cos 1 cos 1 0
x x
   

 
2
1
cos
2 cos 1 sin 0
2
sin 0
x
x x
x

 

   




 
2
2
;
3

x k
k
x k




  

 





s:
 
2
2 ,
3
x k x k k

 
    


Cách 2:
Nhn xét:
Ta có
3

2
x x
x


và cung 2x cng biu din qua cung x chính vì th ta ngh đn nhóm các hng t bng cách
dùng công thc bin tích thành tng và công thc nhân đôi đa v phng s trình tích




 
2
2
cos3 cos – 1 cos2 0 2sin 2 .sin 2sin 0
2sin 2cos 1 0
x x x x x x
x x
      
  

… tng t nh trên
Chú ý:
Công thc nhân ba cho hàm cos và sin không có trong SGK nhng vic nh đ vn dng thì không khó
Công thc nhân ba
3 3
cos3 4 cos 3cos , sin 3 3sin 4sin
x x x x x x
   
Chng minh: Da vào công thc bin đi tng thành tích và công thc nhân đôi

Ta có




   
2 2
2 2 3
cos3 cos 2 cos 2 .cos sin 2 .sin 2cos 1 cos 2cos .sin
2 cos 1 cos 2cos 1 cos 4cos 3cos
x x x x x x x x x x x
x x x x x x
      
     

Tng t cho
sin 3
x

Bài 3: (HDB – 2003) Gii phng trình:
6 2
3cos 4 – 8cos 2 cos 3 0
x x x
  

Gii:
Nhn xét 1:
T s xut hin cung 4x mà ta có th đa v cung x bng công thc nhân đôi nh sau
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

5



2 2 4 2
cos 4 2cos 2 1 2 2cos 1 1 8cos 8cos 1
x x x x x
       

Cách 1:
Phng trình
6 4 2
4cos 12 cos 11cos 3 0
x x x
   
(pt bc 6 chn)
t
2
cos , 0 1
t x t
  

Khi đó ta có
3 2
1
4 12 11 3 0
1

2
t
t t t
t



    



… bn đc gii tip đc nghim , ,
4 2
x k k k
 

  


Nhn xét 2:

T s xut hin các ly tha bc chn ca cos mà ta có th chuyn v cung 2x bng công thc ha bc và t
cung 4x ta chuyn v cung 2x bng công thc nhân đôi
Cách 2:
Phng trình
   
3
2 2
1 cos 2 1 cos 2
3 cos 2 1 8 2 3 0 cos 2 2 cos 2 3cos 2 2 0

2 2
cos 2 0
,
4 2
cos 2 1
x x
x x x x
x
x k
k
x
x k
 

 
   
        
   
   


 


  









Nhn xét 3:
T s xut hin các h s t l vi nhau mà ta liên tng đn vic nhóm các hng t và đa v phng trình
tích
Cách 3:
0)1cos2)(1cos2(cos22cos60)1cos4(cos2)4cos1(3
222242
 xxxxxxx
2 2 2 2 2
6 cos 2 2cos (2cos 1)cos 2 0 cos 2 3cos 2 cos (2cos 1)
0
x x x x x x x x
 
       
 

2 4 2
cos 2 0
4 2
3(2cos 1) 2cos cos 0
k
x x
x x x
 

   




   



Phng trình
2
4 2
2
cos 1 sin 0
2 cos 5 cos 3 0
3
cos ( )
2
x x x k
x x
x loai


    

     





s:
, ,
4 2

x k k k
 

  


Bài 4: (H – D 2008) Gii phng trình:


2sin 1 cos 2 sin 2 1 cos
x x x x
   
Gii:
Nhn xét:
T s xut hin ca cung 2x và cung x mà ta ngh ti vic chuyn cung 2x v cung x bng các công thc nhân
đôi ca hàm sin và cos t đó xut hin nhân t chung  hai v
Phng trình
2
4sin .cos 2sin .cos 1 2 cos
x x x x x
   
2sin .cos (1 2 cos ) 1 2cos
x x x x
   

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

6

(1 2 cos )(sin 2 1) 0
x x
   

1
cos
2
sin 2 1
x
x








2
2
3
4
x k
x k






  




 



s:
 
2
2 , ,
3 4
x k x k k
 
 
     


Bài 5: Gii phng trình
3
3sin 3 3 cos9 1 4sin 3
x x x
  
Gii:
Nhn xét:
T s xut hin các cung 3x và 9x ta liên tng ti công thc nhân ba cho sin và cos t đó đa v phng
trình bc nht đi vi sin và cos

3
3sin 3 4 sin 3 3 cos 9 1 sin 9 3 cos9 1
x x x x x
      

2
1 3 1 1
18 9
sin 9 cos9 sin 9
7 2
2 2 2 3 2
54 9
x k
x x x k
x k
 

 

 

 
       

 
 

 





Bài 6: (HM – 1997) Gii phng trình
sin 5
1
5sin
x
x


Gii:
iu kin:
sin 0
x


Phng trình
sin 5 5sin sin 5 5sin
x x x x
   

Nhn xét:
T vic xut hin hai cung 5x và x làm th nào đ gim cung đa cung 5x v x… có hai hng
Hng 1: Thêm bt và áp dng công thc bin đi tích thành tng và ngc lai
sin 5 sin 4sin 2cos3 sin 2 4sin
4 cos3 sin cos 4sin cos 3 cos 1
x x x x x x
x x x x x x
    
   

2
3
cos ( )
cos 4 cos 2 2 2cos 2 cos 2 3 0
2
cos 2 1
x loai
x x x x
x

 

       




2
1 cos 2 0 2sin 0 sin 0 ( )
x x x loai
      
Vy phng trình vô nghim
Hng 2: Phân tích cung
5 2 3
x x x
 
, áp dng công thc bin đi tng thành tích kt hp vi công thc
nhân hai, nhân ba



      
2
3 2 2 3 2 2
sin 3 2 5sin sin 3 cos 2 sin 2 cos3 5sin
3sin 4 sin cos sin 2sin cos 4 cos 3cos 5sin sin cos
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
    
      

5 3 3 2 2
12sin 20 cos sin 0 3sin 5cos 0
x x x x x
     
… vô nghim
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

7

Bài 7: (H – D 2002) Tìm


0;14
x  nghim đúng phng trình:
cos 3 – 4cos 2 3cos 4 0
x x x

  

Gii:
Phng trình


3 2
4 cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0
x x x x
      

3 2 2
cos 2 cos 0 cos (cos 2) 0
x x x x
     

cos 0
2
x x k


    
Vì


0;14
x  nên
0 14
2
k



  

s:
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
x x x x
   
   
Bài 8: (HTL – 2000) Gii phng trình
sin 3 sin 5
3 5
x x

Gii:
Phng trình






2
5sin 3 3sin 4 5sin 3 4sin 3 sin cos4 cos sin 4
x x x x x x x x x
     





   
 
2 2
2 2
5sin 3 4 sin 3sin cos 4 4 cos cos 2
sin 0
5 3 4 sin 3 cos 4 4cos cos 2 *
x x x x x x
x x k
x x x x

   
  


  



Phng trình






2
* 5 3 2 1 cos 2 3 2cos 2 1 cos 2 cos 2

x x x x
 
      
 
 

2
5 1
cos 2
6 2
12cos 2 4cos 2 5 0
1
cos 2
3
2
x x k
x x
x k
x
 


 
   
 
     
 
 
  
 

 
 

Bài 9: (H – D 2009) Gii phng trình:
3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0
x x x x
  

Gii:
Nhn xét:
T s xut hin các cung 5x, 3x, 2x, x và
3 2 5
x x x
 
ta ngh ngay ti vic áp dng công thc bin đi tng
thành tích đ đa v cung 5x. Còn cung x thì th nào hãy xem phn chú ý
Phng trình
3 cos5 sin 5 sin sin 0
x x x x
    

3 1
cos5 sin 5 sin
2 2
x x x
  
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

8

12 3
sin 5 sin
3
6 2
x k
x x k
x k
 

 

 

 
    

 
 

  




s:
 
, ,

18 3 6 2
x k x k k
   
     


Chú ý:
- i vi phng trình bc nht vi sin và cos là
sin cos
a x b x c
 
hc sinh d dàng gii đc nhng nu
gp phng trình
sin cos 'sin 'cos , 0,1
a x b x a kx b kx k
   
thì làm th nào, c bình tnh nhé, ta coi nh
hai v ca phng trình là hai phng trình bc nht đi vi sin và cos thì cách làm tng t
- Vi ý tng nh th ta có th làm tng t bài toán sau

Bài 10: (H – B 2009) Gii phng trình:


3
sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sin
x x x x x x
   
Gii:
Phng trình



2
sin 1 2sin cos .sin 2 3 cos3 2cos4
x x x x x x
    
1 3
sin 3 3 cos 3 2cos 4 sin 3 cos3 cos 4
2 2
x x x x x x
     
cos 4 cos 3
6
x x

 
  
 
 
4 3 2
6
x x k


 
    
 
 

 
2

6
2
42 7
x k
k
x k


 

  

 


 




Hoc:
 
1 3 1
sin sin 3 sin 3 cos3 2(cos 4 sin sin 3 )
2 4 4
x x x x x x x
      
1 3 3 1
sin 3 sin 3 cos3 2cos 4 sin sin 3
2 2 2 2

x x x x x x
     
1 3
sin 3 3 cos 3 2cos 4 sin 3 cos3 cos 4
2 2
x x x x x x
     

s:
 
2
, 2 ,
42 7 6
k
x x k k
  

     


Tng t: (C – A 2004) Gii phng trình:
3
2
cos
cos
2sinsin



x

x
xx

HD:
iu kin:
3
2
202coscos


k
xkxxx 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

9

xxxxxxxx sin
2
1
cos
2
3
2sin
2
1
2cos
2

3
2cos3cos32sinsin 
3
2
9
2
6
cos
6
2cos



k
xkxxx 














Bài 11: (HXD – 1997) Gii phng trình:

4 4
4
sin 2 cos 2
cos 4
tan tan
4 4
x x
x
x x
 


   
 
   
   

Gii:
Nhn xét:
T tng hai cung
4 4 2
x x
  
   
   
   
   
nên
tan tan 1
4 4

x x
 
   
  
   
   
và cung 2x có th đa v cung 4x
bng công thc nhân đôi
iu kin:
cos 0
4
1
cos .cos 0 cos 2 cos 0 cos 2 0
4 4 2 2
cos 0
4
x
x x x x
x

  


 
 
 

  
     
        


     
     
 

 
 

 


Phng trình
4 4 4 2 2 4 2 4
1
sin 2 cos 2 cos 4 1 2sin cos 2 cos 4 1 sin 4 cos 4
2
x x x x x x x x
        
 
 
 
2
2 4 4 2
2
cos 4 1
1
1 1 cos 4 cos 4 2cos 4 cos 4 1 0
1
2
sin 4

2
sin 2 0
sin 4 0 ,
cos 2 0
2
x
x x x x
x loai
x
k
x x k
x loai




        

 




     





Chú ý:

- Chc hn các bn s ngc nhiên bi cách gii ngn gn này, nu không có s nhn xét và tng hai cung mà
quy đng và bin đi thì…ra không
- Vic gii điu kin và đi chiu vi điu kin đc bit là nhng phng trình lng giác có dng phân thc
nh trên nu không khôn khéo thì rt … phc tp.
- Vi ý tng nhn xét v tng các cung trên ta có th làm tng t bài toán sau
(HGTVT – 1999) Gii phng trình:
4 4
7
sin cos cot cot
8 3 6
x x x x
 
   
   
   
   

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

10

s: ,
12 2
k
x k
 
   



Bài 12: (HTL – 2001) Gii phng trình:
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
 
   
  
   
   

Gii:
Nhn xét:
Nhìn vào phng trình này ta ng dùng công thc bin đi sin ca mt tng… nhng đng vi làm nh th
khó ra lm ta xem mi quan h gia hai cung
3
10 2
x


và
3
10 2
x

 có mi quan h vi nhau nh th nào
Tht vy
3 3 9 3 3

sin sin sin sin 3
10 2 10 2 10 2 10 2
x x x x
   

       
       
       
       
t đó ta đt
3
10 2
x
t

 
và s
dng công thc nhân ba là ngon lành
Phng trình
   
3 2
2
sin 0
1 1
sin sin 3 sin 3sin 4sin sin 1 sin 0
2 2
1 sin 0
t
t t t t t t t
t



       

 


TH 1:
3
sin 0 2 ,
5
t t k x k k

 
      


TH 2:
2
1 cos 2 1 3
1 sin 0 1 0 cos 2 2 4 ,
2 2 6 5 6
t
t t t k x k k
  
 

               


Chú ý:
- Nu không quen vi cách bin đi trên ta có th làm nh sau
3 3 3
2
10 2 5 10 2
x x
t x t t
  

        

- Vi cách phân tích cung nh trên ta có th làm bài toán sau
a. (BCVT – 1999) Gii phng trình: )
4
sin(2sin)
4
3sin(


 xxx
đt
4
t x

 

s:
4 2
k
x

 
  
b. (HQGHN – 1999) Gii phng trình:
3
8cos cos3
3
x x

 
 
 
 

đt
3
t x

 

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

11

s:
6
2
,

3
x k
x k k
x k






 



   








c. (PVBCTT – 1998) Gii phng trình:
xx sin2)
4
(sin2
3



đt
4
t x

 

s:
,
4
x k k


  


d. (QGHCM 1998) Gii phng trình:
xx sin2)
4
(sin
3




Bài tp t gii:

Bài 1: ( 16 III) Tìm nghim )3;
2
(



x ca phng trình sau
xxx sin21)
2
7
cos(3)
2
5
2sin( 



s:
13 5 17
,2 , , ,
6 6 6
x
  
 

Bài 2: (HYTB – 1997) Gii phng trình
2 3
2 cos 6 sin 2sin 2 sin
5 12 5 12 5 3 5 6
x x x x
   
       
      
       

       

s:
5 5 5
5 , 5 , 5 ,
4 12 3
x k x k x k k
  
  
        



2. Bin đi tích thành tích và ngc li

Bài 1: Gii phng trình :
sin sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 sin 6 0
x x x x x x
     

Gii:
Nhn xét:
Khi gii phng trình mà gp dng tng (hoc hiu ) ca sin (hoc cos) ta cn đ ý đn cung đ sao cho tng
hoc hiu các góc bng nhau
Phng trình







sin 6 sin sin 5 sin 2 sin 4 sin 3 0
x x x x x x
      

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

12

 
7 5 3 7 3
2sin cos cos cos 0 4sin cos 2 cos 1 0
2 2 2 2 2 2
2
7
sin 0
7
2
3 2
cos 0 ;
2 3 3
2 cos 1 0
2
2
3
x x x x x x
x

k
x
x
x k
x k Z
x
x k

 


 
 
      
 
 
 
 










     





 


  





Bài 2: Gii phng trình :
3 3
2 3 2
cos3 cos sin 3 sin
8
x x x x

 
Gii:
Nhn xét:
i vi bài này mà s dng công thc nhân ba ca sin và cos thì cng ra nhng phc tp hn, chính vì th mà
ta khéo léo phân tích đ áp dng công thc bin đi tích thành tng
Phng trình
   
2 2
1 1 2 3 2
cos cos 4 cos 2 sin cos 2 cos 4
2 2 8

x x x x x x

    
   
   
2 2 2 2 2
2 3 2 2 3 2
cos 4 cos sin cos 2 cos sin cos 4 cos 2
4 4
2
4 cos 4 2 1 cos 4 2 3 2 cos 4
2 16 2
x x x x x x x x
k
x x x x k Z
 
 
       
           

Cách khác:
S dng công thc nhân ba
3 3
1 3 3 3 1 3
cos3 cos sin 3 sin cos 3 cos3 cos sin sin sin 3 cos 4
4 4 4 4 4 4
x x x x x x x x x x x
   
      
   

   


Bài tp t gii:

Bài 1: (HVQHQT – 2000) Gii phng trình:
cos cos 3 2cos 5 0
x x x
  

s:
1,2
2
2
x k
x k





 



  


vi
1,2

1 17
cos
8



Bài 2: (HNT 1997) Gii phng trình:
9sin 6cos – 3sin 2 cos 2 8
x x x x
  

s:
2
2
x k


 
Bài 3: (HNTHCM – 2000) Gii phng trình:
1 sin cos3 cos sin 2 cos 2
x x x x x
    

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

13

s:
2
3
7
,
6 6
x k
x k
x k x k



 
 





  



      


Bài 4: (HYN – 2000) Gii phng trình:
sin 4 tan
x x


s:
2
x k
x k







  

vi
1 3
cos
2

 

Bài 5: (HYHN – 1996) Gii phng trình:


cos – sin cos sin cos cos 2
x x x x x x

s:
2
4

x k
x k





 



 



Bài 6: (HHH – 2000) Gii phng trình:




2
2sin 1 3cos 4 2 sin – 4 4 cos 3
x x x x
   

s:
2
6
7
2

6
2
x k
x k
k
x






  



 







Bài 7: (HN – 1999) Gii phng trình:
3 3
cos – sin sin – cos
x x x x

s:

4
x k


 
Bài 8: (TTS – 1996) Gii phng trình:
3 3
cos sin sin – cos
x x x x
 
s:
2
x k


 
Bài 9: (HCSND – 2000) Gii phng trình:
3 3
cos sin sin 2 sin cos
x x x x x
   
s:
2
k
x


Bài 10: (HVQY – 2000) Gii phng trình:
2 3
cos sin cos 0

x x x
  

s:
2
2
4
x k
x k
 

 
 



  

vi
1
cos 1
2

 

Bài 11: (HVNHHN – 2000) Gii phng trình:
3 2
cos cos 2sin – 2 0
x x x
  

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

14

s:
2
2
2
2
2
x k
x k
x k






 



  








Bài 12: (HVNHHCM – 2000) Gii phng trình:
2 3
sin sin cos 0
x x x
  

s:
2
2
4
x k
x k
 

 
 



  

vi
1
cos 1
2


 

Bài 13: (DDHBCVTHCM – 1997) Gii phng trình:
2
cos – 4sin cos 0
x x x


s:
2
x k
x k


 

 


 

vi
1
tan
4



Bài 14: (HVKTQS – 1999) Gii phng trình:

3 3
2sin – sin 2cos – cos cos 2
x x x x x
 
s:
2
4
4 2
2
x k
k
x
x k


 
 

  



 


 




Bài 15: (HSP I – 2000) Gii phng trình:
3
4cos 3 2 sin 2 8cos
x x x
 

s:
2
2
4
3
4
x k
x k
x k







 



 




 




3. S dng công thc h bc
Khi gii phng trình lng giác gp bc ca sin và cos là bc nht ta thng gim bc bng cách s
dng các công thc h bc… t đó đa v các phng trình c bn

Bài 1: (HAG – 2000) Gii phng trình
2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x
  

Gii:
Nhn xét:
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

15

T s xut hin bc chn ca hàm sin và tng hai cung
6 2
4
2

x x
x

 mà ta ngh đn vic h bc và s dng
công thc bin đi tng thành tích sau đó nhóm các hng t đa v phng trình tích
cos 2 cos 4 cos6 0 cos 4 (2 cos 2 1) 0
x x x x x
      

cos 4 0
1
8 4 3
cos 2
2
x
k
x x k
x
  




       

 


Bài 2: (H – B 2002) Gii phng trình:
2 2 2 2

sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x
  
Gii:
Nhn xét:
T s xut hin bc chn ca hàm sin, cos mà ta ngh đn vic h bc và kt hp vi công thc bin đi tng
thành tích đa v phng trình tích
Phng trình
1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12
2 2 2 2
x x x
   
   




cos12 cos10 cos 8 cos 6 0
x x x x
    

2 cos11 .cos 2cos 7 .cos 0
x x x x
  



cos cos11 cos 7 0
x x x
  

cos .sin 9 .sin 2 0 sin 9 .sin 2 0
x x x x x
   

sin 9 0 9
9
,
sin 2 0 2
2
x k
x x k
k
x x k
x k







 
 
   

 
 
 







s:
 
; ,
9 2
x k x k k
 
  


Chú ý: Có th nhóm




cos12 cos8 cos10 cos 6 0
x x x x
   

Bài 3: (H – D 2003) Gii phng trình:
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x


 
  
 
 

Gii:
Nhn xét:
T s xut hin bc chn ca hàm sin mà ta ngh đn vic h bc và nhóm các hng t đa v phng trình
tích
iu kin:
cos 0
x


Phng trình
2
1 cos tan
2
1 cos
0
2 2
x x
x

 
 
 
 
 


 
 
  





2 2 2 3
1 sin tan 1 cos 0 1 sin sin cos cos 0
x x x x x x x
         

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

16

(sin cos )(1 sin cos cos sin ) 0
sin cos 0
1 sin cos cos sin 0
x x x x x x
x x
x x x x
     
 




   


Khi
sin cos 0 tan 1 ;
4
x x x x k k



        


Khi
1 sin cos cos sin 0
x x x x
   

t
2
1
cos sin sin cos
2
t
t x x x x

   
Ta đc
2

2 1 0
t t
  
1
t
  

2 3
cos cos
4 2 4
x
 

 
   
 
 

2
3
2
2
4 4
2
x k
x k
x k


 


 

 

     

  



So vi điu kin ta ch nhn
2
x k
 
  

Cách 2:
2
2 2
2
1 sin 1
1 cos (1 cos ) (1 sin )sin (1 cos ) cos
2 2 2cos
x
x x x x x x
x

 
 

        
 
 
 
 

2
sin 1
2
(1 sin )(1 cos )(sin cos ) 0 cos 1 2
tan 1
4
x k
x
x x x x x x k
x
x k


 



 





          





 

  



Kt hp vi điu kin ta đc



kxkx 
4
2
Chú ý: Vì
cos 0 sin 1
x x
   
nên ta loi ngay đc
2
2
x k


 
s:
 

2 , ,
4
x k x k k

  
     


Bài 4: (H – A 2005) Gii phng trình:
2 2
cos 3 .cos 2 – cos 0
x x x


Gii:
Cách 1:
Phng trình
1 cos 6 1 cos 2
.cos 2 0
2 2
x x
x
 
  

cos 6 .cos 2 1 0
x x
  
 
1

cos8 cos 4 1 0
2
x x
   

2
2 cos 4 1 cos 4 2 0
x x
    

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

17

 
2
cos 4 1
2cos 4 cos 4 3 0
3
cos 4 1
2
x
x x
x loai




    

   


 
4 2
2
x k x k k


    


Cách 2:


3 4 2
cos 6 cos 2 1 0 4cos 2 3cos 2 .cos 2 1 0 4 cos 2 3cos 2 1 0
x x x x x x x
          

s:
 
2
k
x k

 


Cách 3:
cos 6 cos 2 1
x x
 

cos 2 1 cos 6 1
cos 2 1 cos 6 1
x x
x x
  



    


Khi
cos 2 1
x

thì

3
cos6 4cos 2 3cos 2
x x x
  =1
Khi
cos 2 1
x

 
thì

3
cos6 4cos 2 3cos 2 1
x x x
   

Vy h trên tng đng
sin 2 0
x

cho ta nghim
2
x k


Chú ý: Mt s kt qu thu đc
1 sin , cos 1
x x
  

sin 1 cos 1
sin .cos 1
sin 1 cos 1
a b
a b
a b
  


 

    


sin 1 sin 1
sin .sin 1
sin 1 sin 1
a b
a b
a b
  

 

    


cos 1 cos 1
cos .cos 1
cos 1 cos 1
a b
a b
a b
  

 

    


Tng t cho trng hp v phi là 1

sin 1 cos 1
sin .cos 1
sin 1 cos 1
a b
a b
a b
   

  

   


sin 1 sin 1
sin .sin 1
sin 1 sin 1
a b
a b
a b
   

  

   


cos 1 cos 1
cos .cos 1
cos 1 cos 1
a b
a b
a b
   

  

   



www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

18

Bài 5: (HL – 1995) Gii phng trình
4 4
cos sin 1
4
x x

 
  
 

 

Gii:
Phng trình
2
2
1 cos 2
1 cos2
2
1
2 2
x
x

 
 
 
 
 

 
 
 
  
 
 
 
 
 
2 2

(1 cos 2 ) (1 sin 2 ) 1 cos 2 sin 2 1 2 cos 2 1
2
x x x x x

 
            
 
 

1
cos 2 ,
2 2 4
2
x x k x k k
  
 
 
           
 
 


Bài 6: (HDB – 2003) Gii phng trình:


1
1
cos
2
42

sin2cos32
2









x
x
x


Gii:
iu kin:
2
1
cos x
Phng trình
0cos
2
3
sin
2
1
20sincos31cos2
2

cos1cos)32( 





















 xxxxxxx









)12(
3
2
1
cos
3
3
0
3
sin2 
















 nx
x
kx

kxx
s:
,
3
x k k


  


Bài 7: (QGHN – 1998) Gii phng trình
2 2 2
sin cos 2 cos 3
x x x
 
Gii:
Phng trình
1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6
cos 2 cos 4 1 cos 6 0
2 2 2
x x x
x x x
  
       

2
2 cos3 cos 2cos 3 0 2cos3 (cos cos3 ) 0 4cos 3 cos 2 co
s 0
x x x x x x x x x
       

6 3
,
4 2
2
x k
x k k
x k
 
 



 



   



 




www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

19

Bài 8: (HKT – 1999) Gii phng trình
3 2
2
3(1 sin )
3 tan tan 8cos 0
4 2cos
x x
x x x
x


 
    
 
 

Gii:
Phng trình




3 2
3 tan tan 3(1 sin ) 1 tan 4 1 sin 0
x x x x x
       





   
 
 
3 2
2
2
3 tan tan 3 1 sin tan 1 sin 0
3tan 1 sin tan 1 sin tan 0
1 sin tan 3 tan 1 0
x x x x x
x x x x x
x x x
      
     
    

TH 1:
1
tan ,
6
3
x x k k


      


TH 2:
1 sin tan 0 sin cos sin cos 0
x x x x x x
      
(pt đi xng vi sin và cos)
Gii phng trình này ta đc
2 ,
4
x k k

 
   

vi
2 1
cos
2



Bài 9: H – B 2007) Gii phng trình:
2
2sin 2 sin 7 1 sin
x x x
  
Gii:
Nhn xét:
T s xut hin các cung x, 2x, 7x và
7

2.2
2
x x
x

 chính vì th ta đnh hng h bc chn và áp dng công
thc bin đi tng thành tích
Phng trình


2
sin 7 sin 1 2sin 2 0
x x x
    

2 cos 4 .sin 3 cos 4 0
x x x
  

 
cos 4 0
cos 4 2 sin 3 1 0
1
sin 3
2
x
x x
x




   




4
8 4
2
2
3 2 ,
6 18 3
5 5 2
3 2
6 18 3
x k
x k
x k x k k
x k x k
 

  

  



 
 







      





   
 




s:
 
2 5 2
; ,
18 3 18 3
x k x k k
   
    



www.MATHVN.com
www.mathvn.com

Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

20

Bài tp t gii:
Bài 1: (GTVT – 2001) Gii phng trình: sin
4
x +
8
9
)
4
(sin)
4
(sin
44



xx
s:
,
2
x k k


   

vi

2 6
cos
2

 

Bài 2: (HQGHN – 1998) Gii phng trình:
2 2 2
sin cos 2 cos 3
x x x
 
s:
6 3
,
4 2
k
x
k
k
x
 
 

 




 





Bài 3: ( 48 II) Gii phng trình:
2 2
17
sin 2 – cos 8 sin 10
2
x x x

 
 
 
 

s:
20 10
,
6 3
k
x
k
k
x
 
 

 





 




Bài 4: (HD – 1999) Gii phng trình:


2 2
sin 4 – cos 6 sin 10,5 10
x x x

 
s:
20 10
,
2
k
x
k
x k
 



 





 




Bài 5: (TCKT – 2001)
2 2 2
sin sin 3 3cos 2 0
x x x
  

s:
,
3 2
x k x k
 
 
      vi
5 1
,cos
2
k


 
Bài 6: (HTDTT – 2001) Gii phng trình: cos3x + sin7x =
2
9

cos2)
2
5
4
(sin2
22
xx



s:
12 6
,
4
8 2
k
x
x k k
k
x
 


 

 



  




  




Bài 7: (HNTHCM – 1995) Gii phng trình:
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x
 
s:
,
8 4
k
x k
 
  


Bài 8: (KTMM – 1999) Gii phng trình:
8 8
17
sin cos
32
x x 

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

21

s: ,
8 4
k
x k
 
  


Bài 9: (HVQY – 1997) Gii phng trình:
8 8
1
sin 2 cos 2
8
x x
 

s:
,
8 4
k
x k
 
  



Bài 10: (HSPHN – A 200) Tìm các nghim ca phng trình
2 2
7
sin sin 4 sin 2 4sin
4 2 2
x
x x x

 
   
 
 
tha mãn điu kin
1 3
x
 

s:
7
;
6 6
x
 
 
Bài 11: (HSP HCM – A 2000) Gii phng trình:
2 2
sin sin cos sin 1 2 cos
2 2 4 2

x x x
x x

 
   
 
 

s: ,x k k

 


Bài 12: (HC – 2000) Gii phng trình:
2 2 2
2cos 2 cos 2 4 sin 2 cos
x x x x
 
s: ,
8 4
k
x k
 
  



5. S dng 7 hng đng thc đáng nh và mt s đng thc quan trng

 

2
2 2
1 sin 2 sin cos 2sin cos sin cos
x x x x x x x
     
2 2 2
1 sin 2 sin cos 2sin cos (sin cos )
x x x x x x x
     
sin 2
sin cos
2
x
x x 








3 3 2 2
sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cos
x x x x x x x x x x x x
       









3 3 2 2
sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cos
x x x x x x x x x x x x
       
2
tan cot
sin 2
x x
x
  ,
cot tan 2cot
x x x
 

4 4 2 2 2 2
1 1 1 3 1
sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos 2 cos 4
2 2 2 4 4
x x x x x x x
        




4 4 2 2 2 2
cos sin cos sin cos sin cos 2

x x x x x
    
6 6 4 4 2 2 2
3 3 5
sin cos sin cos sin cos 1 sin 2 cos 4
4 8 8
x x x x x x x x
       

6 6 4 4 2 2
cos sin cos 2 (sin cos sin cos )
x x x x x x x
   
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

22

sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
 
   
   
   
   

1

1 tan .tan
2 cos
x
x
x
 
Mi quan h gia
cos
x
và
1 sin
x

là
2
cos cos 1 sin
1 sin cos (1 sin ) cos
x x x
x x x x

 
 


Bài 1: (H – D 2007) Gii phng trình:
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x

 
  
 
 

Gii:
Phng trình
2 2
sin 2sin cos cos 3 cos 2
2 2 2 2
x x x x
x
    


sin 3 cos 1
x x
  
1 3 1
sin cos
2 2 2
x x
  


1
sin .cos cos .sin
3 3 2
x x
 

  
1
sin
3 2
x

 
  
 
 


 
2 2
3 6
6
5
2 2
3 6
2
x k x k
k
x k x k
  
 
  
 
 
     
 

  




    
 



s:
 
2 , 2 ,
2 6
x k x k k
 
 
     


Bài 2: (H – B 2003) Gii phng trình:
x
xxx
2
sin
2
2sin4tancot 
Gii:
Nhn xét:
T s xut hin hiu

cot tan
x x

và
sin 2
x
ta xem chúng có mi quan h th nào, có đa v nhân t chung
hay cung mt cung 2x hay không
Ta có
2 2
cos sin cos 2 2 cos 2
sin cos sin cos sin 2
x x x x
x x x x x

  t đó ta đnh hng gii nh sau
iu kin:
sin 0
cos 0 sin 2 0
2
sin 2 0
x
k
x x x
x




    






www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

23

2 2
cos sin 2 cos 2 1
4sin 2 2sin 2
sin cos sin 2 sin 2 sin 2
x x x
x x
x x x x x

     

2 2
cos 2 2sin 2 1 2 cos 2 cos 2 1 0
x x x x
      

cos 2 1
1
cos 2

2
x
x









Khi
cos 2 1
x

thì
sin 0
x

không tha K
Khi
1
cos 2
2
x

 thì
2
1

cos x
4

tha mãn điu kin
Vy ta nhn
1
cos 2
2 3
x x k



    
s:
 
,
3
x k k


   


Chú ý:
T mi quan h gia
tan
x
và
cot
x

, gia
tan
x
và
sin 2
x
ta có th làm nh sau
t
2
1
cot
tan
2
sin 2
1
x
t
t x
t
x
t




 








Ta đc phng trình
2
2
1 2 1
4 2
2
1
t t
t
t t
t

  

… bn đc gii tip nhé

Bài 3: (H – D 2005) Gii phng trình:
4 4
3
cos sin cos .sin 3 0
4 4 2
x x x x
 
   
     
   
   

Gii:
Nhn xét:
T đng thc
4 4 2
1
sin cos 1 sin 2
2
x x x
   và hiu hai cung
3 2
4 4
x x x
 
   
   
   
   

T đó ta đnh hng đa v cung mt cung 2x
Phng trình
2 2
1 1
2sin cos sin 4 sin 2 0
2 2 2
x x x x

 
 
      

 
 
 
 

2
sin 2 cos 4 sin 2 1 0
x x x
     

2
sin 2 sin 2 2 0
x x
   

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

24

sin 2 1 ;
4
x x k k


     


s:
 
,
4
x k k


  


Bài 4: Gii phng trình
6 6 2
13
cos sin cos 2
8
x x x
 
Gii:
Nhn xét:
 bài xut hin cung 2x, ta ngh xem liu hiu
6 6
cos sin
x x
 có biu din qua cung 2x đ có nhân t chung
hay không ta làm nh sau
2 3 2 3 2
13
(cos ) (sin ) cos 2
8
x x x

  
2 2 4 4 2 2 2
13
(cos sin )(cos sin sin cos ) cos 2
8
x x x x x x x
    
2 2 2 2 2
1 1 13
cos 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 (8 2sin 2 ) 13cos 2
2 4 8
x x x x x x x
 
      
 
 

2 2 2
cos 2 0 cos 2 0 cos 2 0
8 2sin 2 13cos 2 8 2(1 cos 2 ) 13cos 2 2 cos 2 13cos 2 6 0
x x x
x x x x x x
  
  
  
  
       
  

cos 2 0

1
4 2
cos 2 (k )
2
cos 2 6 ( )
6
x
x k
x
x k
x loai
 





  



   



  








Bài 5: (GTVT – 1998) Gii phng trình
tan cot 2(sin 2 cos 2 )
x x x x
  

Gii:
iu kin
cos 0
sin 2 0
sin 0
x
x
x


 




sin cos
tan cot 2(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 )
cos sin
1 2
2(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 )
sin cos sin 2
x x

x x x x x x
x x
x x x x
x x x
      
     

2
1 sin 2 (sin 2 cos 2 ) 1 sin 2 sin 2 cos 2
x x x x x x
     

2
cos 2 0
cos 2 sin 2 cos 2 ,
tan 2 1
4 2 8 2
x
k k
x x x x x k
x
   


         





Bài 6: (QGHN – 1996) Gii phng trình
3
tan cot 2cot 2
x x x
 
Gii:
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

25

iu kin
cos 0
sin 0 sin 2 0
2
sin 2 0
x
k
x x x
x




    






3 3
3 3
sin cos
tan cot 2cot 2 2 cot 2
cos sin
2 cos 2
2cot 2 cot 2 cot 2
sin 2
x x
x x x x
x x
x
x x x
x
    
     

2
cot 2 0
2 ,
2 4 2
cot 2 1 ( )
x
k
x k x k
x loai
  




       

 



Bài 7: (H – A 2006) Gii phng trình: 0
sin22
cossin)sin(cos2
66



x
xxxx

Gii:
iu kin:
1
sin
2
x 

Phng trình
4 4 2 2
2(cos sin sin cos ) sin cos 0
x x x x x x
    

2 2
2 6sin cos sin cos 0
x x x x
   
2
3sin 2 sin 2 4 0
x x
   

sin 2 1
4
x x k


    
2
4
;
5
2
4
x k
k
x k






 

 


 




i chiu vi điu kin ta đc nghim ca phng trình là
5
2 ;
4
x k k


  


Bài 8: (H – A 2010) Gii phng trình:
 
1 sin cos 2 sin
1
4
cos
1 tan
2
x x x
x

x

 
  
 
 



Gii:
iu kin:
tan 1
cos 0
x
x
 





Phng trình
   
2sin 1 sin cos2 1 tan .cos
4
x x x x x

 
     
 

 


  
sin cos
sin cos 1 sin cos2 .cos
cos
x x
x x x x x
x

   
sin cos 2 0
x x
  

www.MATHVN.com
www.mathvn.com