GIÁO án dạy THÊM TOÁN lớp 6 kết nối TRI THỨCSH6 cđ 1 5 lũy THỪA với số mũ tự NHIÊN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (212.87 KB, 38 trang )
SH6.CHUYÊN ĐỀ 1-TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN
CHỦ ĐỀ 1.5-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
PHẦN I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của
a n = a{
.a...a
n thừa số
(
n≠0
);
a
2.Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số
3.Chia hai luỹ thừa cùng cơ số
Quy ước
n
thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng
gọi là cơ số,
n
a
gọi là số mũ.
a m .a n = a m + n
a m : a n = a m − n ( a ≠ 0, m ≥ n )
a0 = 1 ( a ≠ 0 )
4.Luỹ thừa của luỹ thừa
5. Luỹ thừa mộttích
( am )
n
= a m×n
( a.b ) m = a m .b m
6. Một số luỹ thừa của 10:
1000 = 103
- Một nghìn:
- Một vạn:
- Một triệu:
- Một tỉ:
10 000 = 10 4
1000 000 = 106
1000 000 000 = 109
Tổng quát: nếu
n
là số tự nhiên khác
0
thì:
10 n = 1000...00
7. Thứ tự thực hiện phép tính:
Trong một biểu thức có chứa nhiều dấu phép toán ta làm như sau:
- Nếu biểu thức khơng có dấu ngoặc chỉ có các phép cộng, trừ hoặc chỉ có các phép nhân chia ta thực
hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.
- Nếu biểu thức khơng có dấu ngoặc, có các phép cộng, trừ ,nhân ,chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện
nâng lên lũy thừa trước rồi thực hiện nhân chia,cuối cùng đến cộng trừ.
( ) [ ] ,{ }
- Nếu biểu thức có dấu ngoặc
,
ta thực hiện các phép tính trong ngoặc trịn trước, rồi đến
các phép tính trong ngoặc vng, cuối cùng đến các phép tính trong ngoặc nhọn.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. THỰC HIỆN TÍNH, VIẾT DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
I.Phương pháp giải.
Sử dụng công thức:
a n = a{
.a...a
thừa
n số an
1)
2)
3)
(
5)
);
a
gọi là cơ số,
n
gọi là số mũ.
a m .a n = a m + n
a m : a n = a m − n ( a ≠ 0, m ≥ n )
Quy ước
4)
≠0
( am )
n
a0 = 1 ( a ≠ 0 )
= a m×n
( a.b ) m = a m .bm
II.Bài tốn.
Bài 1. Viết các tích sau dưới dạng 1 luỹ thừa
a)
5.5.5.5.5.5
b)
2.2.2.2.3.3.3.3
c)
100.10.2.5
Lời giải
a)
5.5.5.5.5.5 = 56
b)
2.2.2.2.3.3.3.3 = 24.34
c)
100.10.2.5 = 10.10.10.10 = 104
Bài 2.Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
34 : 32
b)
( )
24
24.22
c)
Lời giải
4
a)
2
2
3 :3 = 3 = 9
4 2
b)
2 .2 = 16.4 = 64
c)
( 24 )
2
= 28 = 256
Bài 3. Viết các tích sau đây dưới dạng một luỹ thừa của một số:
a)
A = 82.324
b)
B = 273.94.243
2
Lời giải
a)
A = 82.324 = 26.220 = 226
B = 273.94.243 = 322
b)
Bài 4. Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa:
a)
d)
64 : 23
b)
75 : 343
e)
243 : 33 : 3
g)
Lời giải
a)
d)
g)
b)
75 : 343 = 75 : 73 = 7 2
e)
243 : 33 : 3 = 35 : 33 : 3 = 31
Bài 5.Tìm các số mũ
n
c)
100000 :103
h)
64 : 23 = 26 : 23 = 23
243 : 34
h)
f)
625 : 53
115 :121
48 : 64 :16
243 : 34 = 35 : 34 = 31
c)
100000 :103 = 105 :103 = 102
f)
625 : 53 = 54 : 53 = 51
115 :121 = 115 :112 = 113
48 : 64 :16 = 48 : 43 : 4 = 4 4
sao cho luỹ thừa
3n
thảo mãn điều kiện:
25 < 3n < 250
Lời giải
Ta có:
32 = 9,33 = 27 > 25,34 = 81,35 = 243 < 250
Vậy với số mũ
n = 3, 4,5
ta có
nhưng
36 = 243.3 = 729 > 250
25 < 3n < 250
Bài 6 : Thực hiện phép tính:
a)
5.22 − 18 : 3
3
c)
b)
3
2 .17 − 2 .14
(
75 − 3.52 − 4.23
e)
)
150 + 50 : 5 − 2.32
g)
Lời giải
a)
5.22 − 18 : 3
= 5.4 − 18 : 3
= 20 − 6
= 14
d)
f)
h)
b)
17.85 + 15.17 − 23.3.5
2
20 − 30 − ( 5 − 1)
2.52 + 3 : 710 − 54 : 33
5.32 − 32 : 42
17.85 + 15.17 − 23.3.5
= 17.85 + 15.17 − 120
= 17. ( 85 + 15 ) − 120
= 17.100 − 120
= 1700 − 120 = 1580
23.17 − 23.14
c)
d)
= 23 ( 17 − 14 )
= 20 − 30 − 42
= 23.3
= 20 − ( 30 − 16 )
= 8.3
= 24
(
75 − 3.52 − 4.23
e)
2
20 − 30 − ( 5 − 1)
= 20 − 14 = 6
)
f)
2.52 + 3 : 710 − 54 : 33
= 2.25 + 3 :1 − 54 : 27
= 75 − ( 3.25 − 4.8 )
= 50 + 3 − 2
= 75 − ( 75 − 32 )
= 51
= 75 − 75 + 32
= 32
150 + 50 : 5 − 2.32
g)
h)
5.32 − 32 : 42
= 150 + 10 − 2.9
= 5.9 − 32 :16
= 150 + 10 − 18
= 142
= 45 − 2
= 43
Bài 7: Thực hiện phép tính.
a)
c)
27.75 + 25.27 − 2.3.52
13.17 − 256 :16 + 14 : 7 − 20210
15 − 5 .2 : ( 100.2 )
b)
d)
2 3
e)
Lời giải
a)
27.75 + 25.27 − 2.3.52
f)
{
}
12 : 400 : 500 − ( 125 + 25.7 )
2.32 : 3 + 182 + 3. ( 51:17 )
52.23 − 12.5 + 170 :17 − 8
{
= 27. ( 75 + 25 ) − 150
b)
= 12 : 400 : 500 − ( 125 + 175 )
= 27.100 − 150
= 12 : { 400 : [ 500 − 300 ] }
= 2700
= 12 : { 400 : 200}
= 12 : 2 = 6
13.17 − 256 :16 + 14 : 7 − 20210
}
12 : 400 : 500 − ( 125 + 25.7 )
{
2.32 : 3 + 182 + 3. ( 51:17 )
c)
= 221 − 16 + 2 − 1
d)
= 6 + 182 + 3.3
= 206
= 6 + 182 + 9
= 197
}
15 − 52.23 : ( 100.2 )
e)
= 15 − 25.8 : 200
52.23 − 12.5 + 170 :17 − 8
f)
= 1000 − 60 + 10 − 8
= 942
= 15 − 200 : 200
= 15 − 1
= 14
Bài 8: Thực hiện phép tính.
a)
c)
e)
g)
i)
23 − 53 : 52 + 12.2 2
(
)
2. 7 − 33 : 32 : 22 + 99 − 100
( 35.37 ) : 310 + 5.24 − 73 : 7
( 62007 − 62006 ) : 62006
( 72005 + 72004 ) : 72004
( 75 + 79 ) .( 54 + 56 ) .( 33.3 − 92 )
k)
Lời giải
b)
d)
f)
h)
j)
l)
23 − 53 : 52 + 12.22
a)
= 8 − 5 + 12.4
b)
5. ( 85 − 35 : 7 ) : 8 + 90 − 52.2
27 : 22 + 54 : 53.24 − 3.25
(
)
32. 52 − 3 :11 − 24 + 2.103
( 52001 − 52000 ) : 52000
( 57 + 75 ) .( 68 + 86 ) .( 24 − 42 )
(
)
52.23 − 7 2.2 : 2 .6 − 7.25
5. ( 85 − 35 : 7 ) : 8 + 90 − 52.2
= 5 ( 85 − 5 ) : 8 + 90 − 50
= 8 − 5 + 48
= 51
= 5 [ 80 : 8 + 90] − 50
= 5.100 − 50
= 450
c)
(
)
2. 7 − 33 : 32 : 22 + 99 − 100
d)
27 : 22 + 54 : 53.2 4 − 3.25
= 25 + 5.24 − 3.25
= 2. ( 7 − 3) : 4 + 99 − 100
= 24. ( 2 + 5 − 6 )
= 2. ( 4 : 4 + 99 ) − 100
= 24
= 2.100 − 100
= 100
e)
( 35.37 ) : 310 + 5.24 − 73 : 7
f)
(
)
32. 52 − 3 :11 − 24 + 2.103
= 312 : 310 + 5.24 − 72
= 9. ( 25 − 3) :11 − 16 + 2.1000
= 32 + 5.24 − 7 2
= 9. ( 22 :11) − 16 + 2000
g)
= 9 + 5.16 − 49
= 9.2 − 16 + 2000
= 9 + 80 − 49
= 40
= 2 + 2000
= 2002
( 62007 − 62006 ) : 62006
( 52001 − 52000 ) : 52000
=6
i)
k)
2006
( 6 − 1) : 6
h)
= 52000 ( 5 − 1) : 52000
2006
= 62006.5 : 62006
=5
= 52000.4 : 52000
=4
( 72005 + 72004 ) : 72004
( 57 + 75 ) .( 68 + 86 ) .( 24 − 42 )
j)
(
)(
)
(
)(
)
= 7 2004 (7 + 1) : 7 2004
= 57 + 75 . 68 + 86 . ( 16 − 16 )
= 72004.8 : 7 2004
=8
= 57 + 75 . 68 + 86 .0
( 75 + 79 ) .( 54 + 56 ) .( 33.3 − 92 )
52.23 − 7 2.2 : 2 .6 − 7.25
(
)(
=0
l)
)
= 7 + 7 . 5 + 5 . ( 27 − 27 )
5
9
(
4
)(
6
(
)
= ( 25.8 − 49.2 ) : 2 .6 − 7.25
)
= 75 + 79 . 54 + 56 .0
= ( 200 − 98 ) : 2.6 − 7.32
=0
= 306 − 224
= 82
Bài 9 : Thực hiện phép tính.
a)
c)
(
)
142 − 50 − 23.10 − 23.5
{
(
)}
210 : 16 + 3. 6 + 3.2 2 − 3
b)
{
)}
(
375 : 32 − 4 + 5.32 − 42 − 14
(
d)
)
2
500 − 5. 409 − 23.3 − 21 − 1724
Lời giải:
a)
(
)
142 − 50 − 23.10 − 23.5
= 142 − 50 − 23.5
b)
{
(
)}
375 : 32 − 4 + 5.32 − 42 − 14
{
}
= 375 : 32 − 4 + ( 45 − 42 ) − 14
= 142 − 5.(10 − 8)
= 375 : { 32 − ( 4 + 3) } − 14
= 142 − 10
= 132
= 375 : { 32 − 7} − 14
= 375 : 25 − 14 = 15 − 14 = 1
{ 210 : 16 + 3.( 6 + 3.2 ) } − 3
(
2
c)
d)
{
}
= 210 : 16 + 3. ( 6 + 12 ) − 3
)
500 − 5. 409 − 23.3 − 21
− 1724
2
{
}
{
}
2
= 500 − 5 409 − ( 8.3 − 21) − 1724
= { 210 : [ 16 + 3.18] } − 3
2
= 500 − 5. 409 − ( 24 − 21) − 1724
= { 210 : 70} − 3
= 500 − { 5.[ 409 − 9] − 1724}
= 3−3 = 0
= 500 − { 5.400 − 1724}
= 500 − 276 = 224
Bài 10: Thực hiện phép tính.
(
80 − 4.52 − 3.23
a)
c)
)
b)
53 − 2. 56 − 48 : ( 15 − 7 )
d)
2
36.4 − 4. ( 82 − 7.11) : 4 − 20160
e)
Lời giải:
(
80 − 4.52 − 3.23
a)
)
= 80 − ( 4.25 − 3.8 )
= 80 − ( 100 − 24 )
f)
56 : 54 + 23.22 − 12017
23.75 + 52.10 + 52.13 + 180
{
b)
56 : 54 + 23.22 − 12017
= 5 2 + 25 − 1
= 25 + 32 − 1
= 56
= 80 − 76 = 4
c)
53 − 2. 56 − 48 : ( 15 − 7 )
= 125 − 2.[ 56 − 48 : 8]
}
303 − 3. 655 − ( 18 : 2 + 1) .43 + 5 :100
d)
23.75 + 52.10 + 52.13 + 180
= 23.75 + 25.(10 + 13) + 180
= 125 − 2. ( 56 − 6 )
= 23.75 + 25.23 + 180
= 125 − 2.50
= 25
= 23.100 + 180
= 2300 + 180
= 2480
2
e)
36.4 − 4. ( 82 − 7.11) : 4 − 20160
f)
2
= 36.4 − 4. ( 82 − 77 ) : 4 − 1
{
}
303 − 3. 655 − ( 18 : 2 + 1) .43 + 5 :100
= 303 − 3.{ [ 655 − 640 + 5] }
= 4 ( 36 − 25 ) : 4 − 1
= 303 − 3.{ [ 655 − 640 + 5] }
= 11 − 1
= 10
= 303 − 3.10 = 263
Bài 11: Tính giá trị của biểu thức:
A = 2002.20012001 − 2001.20022002
Lời giải:
A = 2002.20012001 − 2001.20022002
A = 2002. ( 20010000 + 2001) − 2001. ( 20020000 + 2002 )
(
)
(
)
A = 2002. 2001.104 + 2001 − 2001. 2002.104 + 2001
A = 2002.2001.104 + 2002.2001 − 2001.2002.104 − 2001.2002
A=0
Bài 12: Tính:
a)
A = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 2100
b)
B = 1 + 5 + 52 + 53 + ... + 5150
C = 3 + 32 + 33 + ... + 31000
c)
Lời giải:
a)
A = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 2100
2 A = 2.2 + 2 2.2 + 23.2 + 24.2 + ... + 2100.2
2 A = 22 + 23 + 24 + 25 + ... + 2101
(
) (
2 A − A = 22 + 23 + 24 + 25 + ... + 2101 − 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 2100
A = 22 + 23 + 24 + 25 + ... + 2101 − 2 − 22 − 23 − 24 − ... − 2100
A = 2101 − 2
Vậy
b)
A = 2101 − 2
B = 1 + 5 + 52 + 53 + ... + 5150
)
5 B = 1.5 + 5.5 + 52.5 + 53.5 + ... + 5150.5
5B = 5 + 52 + 53 + 54 + ... + 5151
(
) (
5B − B = 5 + 52 + 53 + 54 + ... + 5151 − 1 + 5 + 52 + 53 + ... + 5150
)
4 B = 5 + 52 + 53 + 54 + ... + 5151 − 1 − 5 − 52 − 53 − ... − 5150
4 B = 5151 − 1
5151 − 1
B=
4
c)
C = 3 + 32 + 33 + ... + 31000
3C = 3.3 + 32.3 + 33.3 + ... + 31000.3
3C = 32 + 33 + 34 + ... + 31001
(
) (
3C − C = 32 + 33 + 34 + ... + 31001 − 3 + 32 + 33 + ... + 31000
)
2C = 32 + 33 + 34 + ... + 31001 − 3 − 32 − 33 − ... − 31000
2C = 31001 − 3
C=
31001 − 3
2
Dạng 2.SO SÁNH CÁC LŨY THỪA
I.Phương pháp giải.
Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử
dụng các lũy thừa trung gian để so sánh)
Với
a, b, m, n ∈ N
ta có:
a > b ⇔ a n > b n ∀n ∈ N *
m > n ⇔ a m > a n (a > 1)
a=0
Với
A, B
hoặc
a =1
thì
a m = a n ( m.n ≠ 0 )
là các biểu thức ta có :
An > B n ⇔ A > B > 0
Am > An ⇒ m > n
m
và
A >1
0 < A <1
và
II.Bài toán.
Bài 1. So sánh:
a)
33317
và
33323
200710
b)
và
200810
c)
( 2008 − 2007 ) 2009
Lời giải
1 < 17 < 23
a) Vì
b) Vì
33317
nên
2007 < 2008
nên
và
200710
33323
và
200810
( 2008 − 2007 ) 2009 = 12009 = 1
c) Ta có :
( 1998 − 1997 ) 1999 = 11999 = 1
Vậy
( 2008 − 2007 ) 2009 = ( 1998 − 1997 ) 1999
Bài 2. So sánh
a)
b)
c)
d)
2300
3500
85
và
và
và
3200
e)
7300
f)
3.47
202303
và
h)
Lời giải
( )
2300 = 23
a) Ta có :
( )
3200 = 32
Vì
100
100
= 8100
= 9100
8100 < 9100 ⇒ 2300 < 3200
1010
999910
và
111979
g)
303 202
9920
và
và
371320
48.505
199010 + 19909
và
199110
và
( 1998 − 1997 ) 1999
( )
3500 = 35
b) Tương tự câu a) ta có :
100
( )
7300 = 73
Vì
c) Ta có :
243100 < 343100
100
= 343100
3500 < 7300
nên
85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 ⇒ 85 < 3.47
202303 = ( 2.101)
3.101
(
= 23.1013
d) Ta có :
303202 = ( 3.101)
Vì
2.101
808.1012 > 9.1012
(
= 32.1012
nên
( )
e) Ta thấy :
( )
111979 < 111980 = 113
f) ta có :
( )
371320 = 372
660
)
)
101
101
(
= 8.101.1022
(
= 9.1012
660
10
= 1331660
= 1369660
111979 < 371320
1010 = 210.510 = 2.29.510
)
(*)
48.505 = 3.24 . 25.510 = 3.29.510
Từ (*) và (**)
h) Có :
⇒ 1010 < 48.505
199110 = 1991.19919
Vì
(**)
199010 + 19909 = 19909. ( 1990 + 1) = 1991.19909
19909 < 19919
nên
= ( 808.101)
< 999910 ⇒ 9920 < 999910
(2)
)(
101
101
(1)
Từ (1) và (2) suy ra :
(
)
)
202303 > 303202
992 < 99.101 = 9999 ⇒ 992
g) Ta có :
= 243100
199010 + 19909 < 199110
101
Bài 3. Chứng tỏ rằng :
527 < 263 < 528
Lời giải
263 = 1289
Ta có :
527 = 1259
⇒ 263 > 527
(1)
263 = 5127
Lại có:
528 = 6257
⇒ 263 < 528
(2)
⇒ 527 < 263 < 528
Từ (1) và (2)
Bài 4.So sánh:
a)
10750
và
7375
b)
291
và
535
Lời giải
a) Ta thấy :
10750 < 10850 = ( 4.27 )
7375 > 7275 = ( 8.9 )
Từ (1) và (2)
b)
75
50
= 2100.3150
(1)
= 2225.3150
(2)
⇒ 10750 < 2100.3150 < 2225.3150 < 7375
291 > 290 = 3218
535 < 536 = 2518
⇒ 291 > 3218 > 2518 > 535
Vậy
291 > 535
Bài 5. So sách các cặp số sau:
a)
A = 275
và
B = 2433
b)
A = 2300
và
B = 3200
Lời giải
( )
A = 275 = 33
a) Ta có
( )
B = 35
Vậy
3
5
= 315
b)
A = 2300 = 23.100 = 8100
B = 3200 = 32.100 = 9100
= 315
8<9
Vì
nên
⇒ A< B
A=B
8100 < 9100
Bài 6.So sánh các số sau:
a)
199 20
và
200315
b)
339
và
1121
Lời giải
(
19920 < 20020 = 23.52
a)
(
)
20
200315 > 200015 = 2.103
Vậy
= 260.540
) = ( 24.53 )
15
15
= 260.545
200315 > 19920
( )
339 < 340 = 32
b)
20
Bài 7. So sánh 2 hiệu:
= 920 < 1121
7245 − 7244
và
7244 − 7243
Lời giải
7245 − 7244 = 72 44. ( 72 − 1) = 72 44.71
7244 − 7243 = 7243. ( 72 − 1) = 7243.71
Vậy
7245 − 7244 > 7244 − 7243
Bài 8.So sánh các số sau:
a)
d)
95
và
3.47
Lời giải
273
và
85
b)
e)
202303
3200
và
và
2300
303202
c)
3500
và
7300
( )
95 = 32
a) Ta có:
5
( )
3 3
273 = 3
( )
5 100
3500 = 3
c) Ta có:
100
100
Vì
< 343
Ta so sánh
95 > 273
Vì
⇒3
(
2023
và
100
9100 > 8100
100
= 9100
= 8100
nên
( )
85 = 23
5
3200 > 2300
= 215
215 = 2.214 < 3.214 = 3.47
500
202303 = 2023
e) Ta có:
nên
2300 = 23
d) Ta có:
= 343100
243
( )
= 39
= 243100
( )
7300 = 7
3 100
3200 = 32
b) Ta có:
310 > 39
Vì
( )
= 310
)
<7
101
300
Vậy
(
303202 = 3032
;
)
85 < 3.47
101
3032
3
202 = 23.101.1012
3032 = 32.1012
Vậy 303202< 2002303
Bài 9: So sánh
A = 1 + 2 + 22 + ... + 24
a)
Lời giải:
a)
và
B = 25 − 1
b)
A = 1 + 2 + 22 + ... + 24
2 A = 1.2 + 2.2 + 22.2 + ... + 24.2
2 A = 2 + 22 + 23 + ... + 25
(
) (
2 A − A = 2 + 22 + 23 + ... + 25 − 1 + 2 + 22 + ... + 24
A = 2 + 22 + 23 + ... + 25 − 1 − 2 − 22 − ... − 2 4
A = 25 − 1
Vậy
A= B
C = 3 + 32 + 33 + ... + 3100
b)
3C = 3.3 + 32.3 + 33.3 + ... + 3100.3
3C = 32 + 33 + 34 + ... + 3101
)
C = 3 + 32 + 33 + ... + 3100
D=
và
3101 − 3
2
(
) (
3C − C = 32 + 33 + 34 + ... + 3101 − 3 + 32 + 33 + ... + 3100
)
2C = 32 + 33 + 34 + ... + 3101 − 3 − 32 − 33 − ... − 3100
2C = 3101 − 3
C=
3101 − 3
2
C=D
Vậy
Dạng 3. TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG LŨY THỪA
I. Phương pháp giải. Khigiải bài tốn tìm
x
có luỹ thừa phải:
Phương pháp 1: Biến đổi về các luỹ thừa cùng cơ số .
Phương pháp 2: Biến đổi về các luỹ thừa cùng số mũ .
Phương pháp 3: Biến đổi về dạng tích các lũy thừa.
II. Bài tốn.
Bài 1. Tìm x, biết.
a)
d)
h)
2 x.4 = 128
27.3x = 243
34.3x = 37
b)
e)
2 x − 26 = 6
49.7 x = 2041
k)
c)
g)
64.4 x = 45
3x = 81
3x + 25 = 26.22 + 2.30
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
e) Ta có:
g) Ta có:
2 x.4 = 128 ⇒ 2 x = 128 : 4 ⇒ 2 x = 32 ⇒ 2 x = 25 ⇒ x = 5.
2 x − 26 = 6 ⇒ 2 x = 6 + 26 ⇒ 2 x = 32 ⇒ 2 x = 25 ⇒ x = 5.
64.4 x = 45 ⇒ 43.4 x = 45 ⇒ 4 x +3 = 45 ⇒ x + 3 = 5 ⇒ x = 5 − 3 ⇒ x = 2.
27.3x = 243 ⇒ 3x = 243 : 27 ⇒ 3x = 9 ⇒ 3x = 32 ⇒ x = 2.
49.7 x = 2401 ⇒ 7 x = 2401: 49 ⇒ 7 x = 49 ⇒ 7 x = 7 2 ⇒ x = 2.
3x = 81 ⇒ 3x = 34 ⇒ x = 4.
34.3x = 37 ⇒ 3 x = 37 : 34 ⇒ 3 x = 34 ⇒ x = 4.
h) Ta có:
3x + 25 = 26.22 + 2.30 ⇒ 3x = 26.1 + 2.1 − 25 ⇒ 3 x = 31 ⇒ x = 1.
k) Ta có:
Bài 2.Tìm
a)
x ∈ N,
3 x.3 = 243
x
c)
biết.
b)
2 x.162 = 1024
8
64.4 = 16
d)
2 x = 16
Lời giải
3x.3 = 243 ⇒ 3 x = 243 : 3 ⇒ 3x = 81 ⇒ 3 x = 34 ⇒ x = 4.
a) Ta có:
2 x.162 = 1024 ⇒ 2 x = 1024 :162 ⇒ 2 x = 1024 : 256 ⇒ 2 x = 4 ⇒ 2 x = 2 2 ⇒ x = 2.
b) Ta có:
( )
64.4 x = 168 ⇒ 43.4 x = 4 2
c) Ta có:
8
⇒ 4 x + 3 = 416 ⇒ x + 3 = 16 ⇒ x = 16 − 3 ⇒ x = 13.
2 x = 16 ⇒ 2 x = 24 ⇒ x = 4.
d) Ta có:
x
Bài 3.Tìm , biết.
a)
c)
( 7 x − 11) 3 = 25.52 + 200
( 2 x − 1)
4
b)
= 16
d)
39
15
− 3x 2 =
2
2
e)
Lời giải
g)
x − 2019
1
=
4
x − 2019
( 2 x + 1) 4 = ( 2 x + 1) 6
( 2 x + 1) 3 = 125
( 7 x − 11) 3 = 25.52 + 200 ⇒ ( 7 x − 11) 3 = 32.25 + 200 ⇒ ( 7 x − 11) 3 = 1000 ⇒ ( 7 x − 11) 3 = 103
a) Ta có:
⇒ 7 x − 11 = 10 ⇒ 7 x = 21 ⇒ x = 3
b) Ta có:
c) Ta có:
x − 2019
1
2
2
=
⇒ ( x − 2019 ) = 4 ⇒ ( x − 2019 ) = 2 2 ⇒ x − 2019 = 2 ⇒ x = 2021.
4
x − 2019
( 2 x − 1) 4 = 16 ⇒ ( 2 x − 1) 4 = ± ( 2 ) 4 ⇒ 2 x − 1 = ±2.
2x −1 = 2 ⇒ 2x = 3 ⇒ x =
TH 1:
3
2
.
2 x − 1 = −2 ⇒ 2 x = −1 ⇒ x =
TH 2:
x=
Vậy
3
2
x=
hoặc
( 2 x + 1)
4
−1
2
.
−1
.
2
6
4
6
= ( 2 x + 1) ⇒ ( 2 x + 1) − ( 2 x + 1) = 0 ⇒ ( 2 x + 1)
( 2 x + 1) 4 = 0
1 − 2 x − 1) = 0 ⇒
(
1 − ( 2 x + 1) 2 = 0
4
d)
2
2 x + 1 = 0
x = −0,5
⇒ 2 x + 1 = 1 ⇒ x = 0
2 x + 1 = −1 x = −1
Vậy
x = −0, 5; x = 0; x = −1.
e) Ta có:
39
15
39
15
39 15
2
− 3x2 = ⇒
− 3x2 = ⇒ 3x2 =
− ⇒ 3 x 2 = 12 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x 2 = ( ±2 ) ⇒ x = ±2.
2
2
2
2
2 2
g) Ta có:
( 2 x + 1) 3 = 125 ⇒ ( 2 x + 1) 3 = 53 ⇒ 2 x + 1 = 5 ⇒ 2 x = 5 − 1 ⇒ 2 x = 4 ⇒ x = 4 : 2 ⇒ x = 2.
Bài 4: Tìm
x
biết:
( 3x − 1) 10 = ( 3x − 1) 20
a,
Lời giải
a) Ta có:
b,
x ( 6 − x)
2003
= ( 6 − x)
2003
c,
( 3x − 1) 10 = ( 3x − 1) 20 ⇒ ( 3x − 1) 20 − ( 3x − 1) 10 = 0
1
1
x=
3
x = 3
3x − 1 = 0
2
10
10
⇒ ( 3x − 1)
⇒ 3 x − 1 = 1 ⇒ x =
( 3x − 1) − 1 = 0 ⇒
10
3
( 3x − 1) = 1 3x − 1 = −1
x
=
0
b) Ta có:
⇒ ( 6 − x)
x ( 6 − x)
2003
2003
= ( 6 − x)
2003
⇒ x ( 6 − x)
6− x = 0
x=6
( x − 1) = 0 ⇒ x − 1 = 0 ⇒ x = 1
2003
− ( 6 − x)
2003
=0
5 x + 5 x+ 2 = 650
5 x + 5 x.52 = 650 ⇒ 5 x ( 1 + 25 ) = 650 ⇒ 5 x = 25 ⇒ 5 x = 52 ⇒ x = 2
c) Ta có:
Bài 5: Tìm x biết:
2 x + 2 − 2 x = 96
a,
Lời giải
b,
2 x +1.3 y = 12 x
c)
10 x : 5 y = 20 y
a) Ta có:
2 x + 2 − 2 x = 96 ⇒ 2 x.4 − 2 x = 96 ⇒ 2 x. ( 4 − 1) = 96 ⇒ 3.2 x = 96 ⇒ 2 x = 32 ⇒ 2 x = 25 ⇒ x = 5
2 x +1.3 y = 12 x ⇒ 2 x +1.3 y = 22.3x ⇒
b) Ta có:
x = y = 1.
Vậy
c) Ta có:
{
{
x +1 = 2
x =1
⇒
x= y
y =1
10 x : 5 y = 20 y ⇒ 10 x = 20 y.5 y ⇒ 10 x = 100 y ⇒ 10 x = 10 2 y ⇒ x = 2 y.
Dạng 4. MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ LŨY THỪA
I.Phương pháp giải.
Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng
số mũ .
1
- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn ) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.
a m > a n ( a > 1) ⇔ m > n
- Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn
0
) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn .
a n > bn ( n > 0 ) ⇔ a > b
Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân
A > B, B > C
A > C.
thì
AC < BC ( C > 0 ) ⇔ A < B
II.Bài toán.
Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa.
Bài 1. So sánh các lũy thừa:
Lời giải
( )
32n = 32
Ta có:
n
và
23n
= 9n
( )
23n = 23
9n > 8n
32n
n
= 8n
32n > 23n
Vì
nên
Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa)
- Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng cách vận dụng các phép tính lũy thừa, cộng trừ các số theo quy luật.
- Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thữa ở phần B.
- Nếu biểu thức lũy thừa là dạng phân thức: Đối với từng trường hợp bậc của luỹ thừa ở tử lớn hơn hay
bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên rồi so sánh từng
phần tương ứng.
a, m, n, K ∈ N *
Với
. Ta có:
a
a
a
a
K− >K−
K+
m
n
m
n
- Nếu
thì
và
.
a
a
a
a
K+ >K+
K−
n
m
n
- Nếu
thì
và
.(cịn gọi là phương pháp so sánh phần bù)
1
* Với biểu thức là tổng các số có dạng
1
1
1
1
1
−
<
<
−
a a + 1 a2 a −1 a
Bài 1. Cho
S = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 29
a2
(với
. So sánh
a∈N *
S
với
) ta có vận dụng so sánh sau:
5.28
.
Lời giải
Ta có:
S = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 29
2 S = 2 + 22 + .... + 29 + 210
⇒ S = 210 − 1
Mà
Vậy
210 − 1 < 210 = 4.28 < 5.28
S < 5.28
.
Bài 2.So sánh hai biểu thức
Lời giải
Ta có:
A
và
B
A=
, biết:
15
1015 + 1 ⇒ 10 A = 10. 10 + 1 ÷
A=
1016 + 1 ÷
1016 + 1
16
1016 + 1 ⇒ 10 B = 10. 10 + 1 ÷
B=
1017 + 1 ÷
1017 + 1
9
16
17
16
10 + 1 < 10 + 1
10
Vì
nên
⇒ 10 A > 10 B
A>B
hay
>
=
=
+ 1 10
1016 + 1
1016 + 1
B=
1017 + 1
và
1016 + 10
1016 + 1 + 9
16
16
10
+1
10
=
+1
1017 + 10
1017 + 1 + 9
1017 + 1
1017 + 1
9
17
1015 + 1
+1
⇒ 1+
=
9
16
10
+1
> 1+
= 1+
= 1+
9
17
10
+1
9
16
10
+1
9
1017 + 1
.
.
Bài 3.So sánh hai biểu thức
Lời giải
Ta có:
C
và
D
C=
, biết:
2008 − 3
22008 − 3 ⇒ 1 C = 1 2
÷=
C=
2
2 22007 − 1 ÷
2007
2
−1
22007 − 3 ⇒ 1 D =
D=
2
22006 − 1
1 22007 − 3
÷=
2 22006 − 1 ÷
1
Vì
22008 – 2 > 22007 – 2
⇒ 1−
1
2
2008
−2
1
1
C> D
⇒2
2
Vậy
22008 − 2
nên
22007 − 1
22008 − 3
2
2008
−2
và
=
22007 − 3
22006 − 1
22008 − 2 − 1
2
2008
−2
2
2007
2007
=
−2
22007 − 2 − 1
2
2007
−2
1
22007 − 2
−2
C > D.
C > D.
Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừa, tìm cơ số (số mũ) chưa biết.
m, x, p
a
* Với các số tự nhiên
và số dương .
+ Nếu
+ Nếu
a >1
a <1
thì:
thì:
am < a x < a p ⇒ m < x < p
am < a x < a p ⇒ m > x > p
* Với các số dương
a, b
và số tự nhiên
m
Bài 3. Tìm các số nguyên n thoã mãn:
Lời giải
364 < n 48
Ta giải từng bất đẳng thức
( ) ( )
n 48 > 364 ⇒ n3
Ta có:
⇒n>4
(với
n∈¢
16
> 34
.
.
, ta có:
a m < bm ⇒ a < b
364 < n48 < 572
n 48 < 572
( )
⇒ n3
16
.
.
.
> 8116 ⇒ n3 > 81
)
(1).
( )
n 48 < 572 ⇒ n 2
Mặt khác
⇒ −11 ≤ n ≤ 11
16
và
24
<
( )
53
24
( )
⇒ n2
= 1−
1
2
2008
−2
.
22007 − 3
2
D=
1
> 1−
hay
<
22008 − 3
24
< 12524 ⇒ n2 < 125
n∈¢
(với
)
(2).
⇒ 4 < n ≤ 11
Từ (1) và (2)
.
5;6;7;8;9;10;11.
n
Vậy
nhận các giá trị nguyên là:
= 1−
1
2
2007
−2
Bài 4. Tìm
x∈N
16 x < 1284
a)
Lời giải
, biết:
18
5 x.5 x +1.5 x + 2 ≤ 100.............0
1444442444443: 2
18 chu so 0
.
b)
.
24 ) < ( 27 )
(
⇒
x
x
4
16 < 128
a) Ta có:
⇒ x ∈ { 0,1, 2,3, 4,5, 6}
x x +1 x + 2
5 .5
.5
4
⇒ 24 x < 228 ⇒ 4 x < 28 ⇒ x < 7
.
18
≤ 100.............0
1444442444443: 2
18 chu so 0
b) Ta có:
⇒ 53 x + 3 ≤ 1018 : 218 ⇒ 53 x + 3 ≤ 518 ⇒ 3x + 3 ≤ 18 ⇒ x ≤ 5
⇒ x ∈ { 0,1, 2,3, 4,5}
Bài 5: Tìm số tự nhiên
Lời giải
Ta có:
Nếu
Nếu
.
x, y
sao cho
10 x = y 2 − 143
.
10 x = y 2 − 143 ⇒ 10 x + 143 = y 2
x = 0 ⇒ y = 12
thỏa mãn.
x > 0 ⇒ 10 x
10 x
0
3
có chữ số tận cùng là . Khi đó,
có chữ số tận cùng là . Mà
x, y
3
phương nên khơng thể có tận cùng bằng . Do đó khơng tồn tại
thỏa mãn.
Vậy
y2
là số chính
x = 0; y = 12.
Bài 6:
a) Số
b) Hai số
58
có bao nhiêu chữ số?
22003
và
52003
viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số?
Lời giải
a) Ta có:
58 = (5 4 )2 = 6252 > 6002 = 360000
58 =
108
28
=
100000000 100000000
<
= 400000
256
250
⇒ 360000 < 58 < 400000.
Do đó
58
có 6 chữ số.
b) Giả sử
số.
Vì
22003
có a chữ số và
10a −1 < 22003 < 10a
và
52003
có b chữ số thì khi viết 2 số này liền nhau ta được
10b −1 < 52003 < 10b
⇒ 10 a −1.10b −1 < 22003.52003 < 10a.10b
⇒ 10a + b − 2 < 102003 < 10a + b
. Do đó:
2003 = a + b − 1 ⇒ a + b = 2004
Vậy số đó có 2004 chữ số.
Bài 7:Tìm số 5 các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau:
n = 83. 155
a)
.
b)
m = 416. 525
.
Lời giải
a) Ta có:
( )
n = 83. 155 = 23
3
5
. ( 3.5 ) = 29. 35. 55
5
= 24. 35. ( 2.5 ) =1 6.243 .105 = 3888. 105.
3888.105
Số
gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số.
Vậy số n có 9 chữ số.
b) Ta có:
( ) . 525
= 232.525 = 27. ( 225.525 ) = 128.1025.
m = 416. 525 = 22
16
128.1025
128
25
0
28
gồm
theo sau là
chữ số nên số này có tất cả
chữ số.
28
Vậy số m có
chữ số.
Số
Dạng 4: Sử dụng lũy thừa chứng minh chia hết
Bài 1: Chứng minh rằng:
a.
b.
c.
A = 1 + 3 + 32 + ... + 311
B = 165 + 215
chia hết cho
chia hết cho
4
33
C = 5 + 52 + 53 + ... + 58
chia hết cho
D = 45 + 99 + 180
9
d.
chia hết cho
e.
f.
E = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 3119
F = 1028 + 8
chia hết cho
30
chia hết cho
72
13
.
( a + b)
chữ
g.
h.
G = 88 + 220
chia hết cho
H = 2 + 22 + 23 + ... + 260
2
3
17
chia hết cho
1991
I = 1 + 3 + 3 + 3 + ... + 3
i.
J = 10n + 18n − 1
j.
k.
chia cho
chia hết cho
K = 10n + 72n − 1
3, 7,15
13
và
27
81
chia hết cho
Lời giải
a.
A = 1 + 3 + 32 + ... + 311
4
chia hết cho
A = ( 1 + 3) + 32. ( 1 + 3) + ... + 310. ( 1 + 3)
A = 4 + 32.4 + ... + 310.4
(
)
A = 4. 1 + 32 + ... + 310 M4 ( đpcm )
b.
B = 165 + 215
( )
B = 24
5
chia hết cho
33
+ 215
B = 220 + 215
(
B = 215. 1 + 25
)
B = 215.33 M33 ( đpcm )
c.
C = 5 + 52 + 53 + ... + 58
(
)
(
)
chia hết cho
(
C = 5 + 52 + 52. 5 + 52 + ... + 56. 5 + 52
C = 30 + 52.30 + ... + 56.30
(
)
C = 30. 1 + 52 + ... + 56 M30 ( đpcm )
)
30
41
d.
D = 45 + 99 + 180
45M9;99M
9;180M
9
Ta có:
tổng)
e.
chia hết cho
nên
E = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 3119
(
)
(
9
D = 45 + 99 + 180M9
chia hết cho
)
(
(đpcm) (tính chất chia hết của một
13
E = 1 + 3 + 32 + 33. 1 + 3 + 32 + ... + 3117. 1 + 3 + 32
)
E = 13 + 33.13 + ... + 3117.13
(
)
E = 13. 1 + 33 + ... + 3117 M
13 ( đpcm )
f.
F = 1028 + 8
Ta thấy:
chia hết cho
72
72 = 8.9
Ta có:
1028 + 8M9
1028 + 8M8
Mà
g.
vì tổng các chữ số bằng
vì có tận cùng là
( 8;9 ) = 1
nên
G = 88 + 220
( )
G = 23
8
008
1028 + 8M8.9 = 72
chia hết cho
9
(đpcm)
17
+ 220
G = 224 + 220
(
)
G = 220. 24 + 1
G = 220.17 M
17 ( đpcm )
h.
H = 2 + 22 + 23 + ... + 260
Ta có:
chia hết cho
3, 7,15
H = 2. ( 1 + 2 ) + 23. ( 1 + 2 ) + ... + 259.(1 + 2)
H = 2.3 + 23.3 + ... + 259.3
(
)
H = 3. 2 + 23 + ... + 259 M3
Ta có:
(
)
(
)
(
H = 2. 1 + 2 + 22 + 24. 1 + 2 + 22 + ... + 228. 1 + 2 + 22
)
H = 2.7 + 24.7 + ... + 258.7
(
)
H = 7. 2 + 24 + ... + 258 M7
Ta có:
(
)
(
)
(
H = 2. 1 + 2 + 22 + 23 + 25. 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 257. 1 + 2 + 22 + 23
)
H = 2.15 + 25.15 + ... + 257.15
(
)
H = 15. 2 + 25 + ... + 257 M
15
Vậy
i.
H
3; 7;15
chia hết cho
I = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 31991
.
chia cho
13
và
41
Ta có:
(
)
(
)
(
I = 1 + 3 + 32 + 33. 1 + 3 + 32 + ... + 31989. 1 + 3 + 32
)
I = 13 + 33.13 + ... + 31989.13
(
)
I = 13. 1 + 33 + ... + 31989 M
13 (
mđpc
)
Ta có:
(
) (
(
) (
)
(
) (
I = 1 + 32 + 34 + 36 + 3 + 33 + 35 + 37 + ... + 31984 + 31986 + 31988 + 31990 + 31985 + 31987 + 31989 + 31991
)
(
)
(
I = 1 + 32 + 34 + 36 + 3. 1 + 32 + 34 + 36 + ... + 31984. 1 + 32 + 34 + 36 + 31985. 1 + 32 + 34 + 36
)
)
