hdgchuyen tu nhien ha noi_05.2011.vong2

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10
năm 2012

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 - 33
- Trang | 1
-


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2011

HƯỚNG DẪN GIẢI MÔN THI TOÁN (Vòng 2)
Câu I. 1) Điều kiện
0 1
x
≤ ≤
, phương trình tương đương với:
3
( 1 1) 1
3
x
x x
⇔ − + =
+ +
3( 1 1) 3
x x x
⇔ − + = + +

Nếu
(
)
0 1 3 1 1 3
x x
≤ < ⇒ − + >
đồng thời
3 1 4 3
x x
+ + < + =

Suy ra VT
>
VP. (loại).
Thử lại ta thấy
1
x
=
là nghiệm.
2)
0
x y
= =
là nghiệm. Xét
0, 0
x y
≠ ≠
hệ phương trình tương đương với:
2 2 2 2
1 1 1 1

2 2 (1)
1 1 1 1 1 2
1 4 2 8(2)
x y x y
x y xy x y xy
+ = + =
⇔
+ + = + + =
 
 
 
 
     
 
     
 
     
 

Thay (1) vào (2) ta thu được
3
1 1
2
1 1
8
1
1
x y
x y
xy


+ =

 

+ = ⇔

 
 

=


1
x y
⇔ = =

Câu II.
1) Ký hiệu
3
1 1
,
27 3
K n= − +
 
 
 
do
1
n

>
1
K
⇒ ≥
. Ta có:
3
1 1
1
27 3
K n K
≤ − + < +
3 3
1 1 2
( ) ( )
3 27 3
K n K⇔ − ≤ − < +

3 2 3 2
1 1 4 8
2
3 27 27 3 27
K
K K n K K K⇔ − + − ≤ − ≤ + + +
3 2 3 2
4 1
3
3 3 3
K
K n K K K K
⇔ + ≤ + < + + +

3 2 3
( 1)
K n K K
⇔ < + < +

Suy ra
2
2
3
1 1
27 3
n K n n
 
+ = + − +
 
 
không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên
dương.

2) Ta có:

(
)
(
)
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2
6 5 6 5 5 6 6
x y z x y x z y z y x z x z y
+ + + + + = + + + + + + + +

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10
năm 2012

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 - 33
- Trang | 2
-


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 3 2
2 2 2
x y x z x y y z z x z y
+ + + + + + + + +
≤ + +
( )

9 9 6 3
3 3 2
2 2
x y z
x y z
+ +
≤ = + +

Suy ra
2 2 2
3 3 2 2
.
3
6( 5) 6( 5) 5
x y z
P
x y z
+ +
= ≥
+ + + + +
Đẳng thức xảy ra
1, 2.
x y z
⇔ = = =

Vậy
min
2
.
3

P
=

Câu III.
1) Tứ giác
BPIM
nội tiếp và
/ /
AD BC



MAD BPM BIM
⇒ = = ⇒
tứ giác
AMID
nội tiếp. Tương tự tứ
giác
DNIA
nội tiếp. Vậy năm điểm
, , , ,
A M I N D
thuộc một đường tròn
(
)
K

2) Do các tứ giác
BPIM
và

CPIN
nội tiếp nên ta có



QMI BPI CNI
= =

⇒
tứ giác
MINQ
nội tiếp.
Mà
(
)
, ,
M I N K
∈

⇒
Tứ giác
MINQ
nội tiếp đường tròn
(
)
K
.
Vậy
Q
thuộc đường tròn

(
)
K
(đpcm)
3) Khi
, ,
P I Q
thẳng hàng, kết hợp với
Q

thuộc đường tròn
(
)
K
ta có:


AIQ PIC
=
(đối đỉnh)



PIC PNC
=
(do tứ giác
NIPC
nội tiếp)




PNC QND
=
(đối đỉnh)



QND QID
=
(do tứ giác
INDQ
nội tiếp )



AIQ QID
⇒ =

IQ
⇒
là phân giác

DIA
nên
IP
là phân giác góc

.
BIC

Do đó
PB IB ID IB ID BD PB BD
PC IC IA IC IA AC PC CA
+
= = = = ⇒ =
+
(đpcm)








Câu IV.
Giả sử
A
có
n
số, chúng ta xếp chúng theo thứ tự
(
)
1 2 2
1 100 1
n
x x x x= < < < < =
⋯⋯

Suy ra với mỗi

{
}
1,2,3, , 1
k n
∈ −
…
ta có
(
)
1
2 2
k i j k k k
x x x x x x
+
= + ≤ + =
với
1 , .
i j k
≤ ≤

K
Q
N
M
I
B
C
A
D
P

K
Q
N
M
P
I
B
C
A
D



Đề thi tuyển sinh vào lớp 10
năm 2012

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 - 33
- Trang | 3
-


Áp dụng kết quả
(
)
2
ta thu được
2 3 4 5
1 1 2, 2 2 4, 8, 16,

x x x x
≤ + = ≤ + = ≤ ≤

6 7
32, 64.
x x
≤ ≤
Suy ra tập
A
phải có ít nhất
8
phần tử.
+) Giả sứ
8
n
=
8
100
x
⇒ =
.
Vì
6 7 8 7 7
32 64 96 2 50.
x x x x x+ ≤ + = ⇒ = ⇒ =

Vì
5 6 7 6 6
16 32 48 2 25.
x x x x x+ ≤ + = ⇒ = ⇒ =

Vì
4 5 6 5 5
25
2
8 16 24 25 2x x x x x
+ ≤ + = < ⇒ = ⇒ =

(mâu thuẫn).
+)
9
n
=
ta có tập
{
}
1,2,3,5,10,20,25,50,100
thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Đáp số:
9
n
=


Nguồn: Hocmai.vn