C2 03 rut gon phan thuc

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN 8

[Document title]

3. RÚT GỌN PHÂN THỨC

Toán Họa 1

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 Muốn rút gọn một phân thức ta có thể:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung của
chúng.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
II. BÀI TẬP
Bài 1: Rút gọn các phân thức
- 12x2y
18xy
2
a) 12yz
b) - 16xy
Bài 2: Rút gọn các phân thức
35(x2 - y2)(x+ y)2
2
3
a) 77(y - x) (x + y)

- 36x3
3
c) 12y

4x2y2 + 1- 4xy

3 3
b) 8x y - 1- 6xy(2xy - 1)

x2 - xy - xz + yz
2
c) x + xy - xz - yz
Bài 3: Rút gọn các phân thức
(x2 + 3x + 2)(x2- 25)
x2 + 7x + 10
a)

12x3y
4
d) 15xy

a2 + b2 - c2 + 2ab
2
2
2
d) a - b + c + 2ac

x6 - y6
4
4
3
3
b) x - y - x y + xy

x3 - 7x - 6
2

2
2
2
c) x (x - 3) + 4x(3- x) + 4(x - 3)
Bài 4: Chứng minh đẳng thức
a3 - 4a2 - a + 4
a +1
=
3
2
a) a - 7a + 14a - 8 a - 2

x2y2 + 1+ (x2 - y)(1- y) y2 - y + 1
= 2
2 2
2
x
y
+
1
+
(
x
+
y
)(1
+
y
)
y +y +1

b)

Bài 5: Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức thu gọn:
x2  5x  6
A 2
x  4x  4
a)

tại x = 3

B
b)

x2  xy  x  y
x2  xy  x  y

tại x = 1;y = 5

x3  6x2  9x
C
x2  9
c)
tại x = 2
Bài 6: Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức thu gọn:

1

Bồi dưỡng năng lực học mơn
Tốn 8

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN 8

[Document title]
Tốn Họa 2

x2 + 10x + 25
3
2
a) x + 5x - 25x - 125 với x  2010
xyz - xy - yz - zx + x + y + z - 1
b) xyz + xy + yz - zx - x + y - z - 1 với x = 5001; y = 5002; z = 5003

- 2x2 - 40y + 16x + 5xy
x 10
=
2
x
+
24
y
8
x
3
xy
y
3
c)
với

Bài 7: Cho biểu thức

P =

a3 - 4a2 - a + 4
a3 - 7a3 + 14a - 8

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên .
x4 - x3 - x + 1
x4 + x3 + 3x2 + 2(x + 1) . Chứng minh rằng biểu thức B
Bài 8: Cho biểu thức
không âm với mọi giá trị của x .
B=

Bài 9: Cho phân thức:
trị âm với mọi x  1.

B

1 x4
x10  x8  4x6  4x4  4x2  4 . Chứng tỏ B luôn nhận giá

Bài 10: Tìm x biết:
2
3
a) a x + ax + x = a – 1

với a là hằng số.

2
2
b) a x + 3ax + 9 = a với a là hằng số, a ¹ 0 và a ¹ - 3.

IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1 : Cho phân thức:. Nhân tử chung của tử và mẫu là:
2
B. a

A. 3a

Câu 2: Phân thức:
x
A. x - 1

-

2

C. 3a

D. ab

5x
5 - 5x rút gọn thành:
x
B. 1- x

C.

-x
D. x + 1

2( x - 5)

Câu 3: Phân thức:

2

2x ( 5 - x)

rút gọn thành:
Bồi dưỡng năng lực học mơn
Tốn 8


PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN 8

[Document title]
Tốn Họa 3

A.

C. – x

B.

D.

x +1

1
=
Câu 4: Đẳng thức x + 2x + 1 x + 1
Sai
2

Câu 5: Đẳng thức

x- 5
x ( 5 - x)

A. Đúng.

A.Đúng.

B.

B. Sai

Câu 6 : Ghép mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để có khẳng định đúng.
A
a)

B
1)
3)

b)

2)

c)

a) …..
……

-

a
a- b

4)
b) ……..

c)

Câu 7: Điền vào chỗ trống để được kết quả đúng:
- x2 + 2xy - y2
=
x- y
a)
…………………..

3x + 6x2
=
2
b) 4x - 1

……………..

KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
II. BÀI TẬP TỰ LUẬN

3

Bồi dưỡng năng lực học mơn
Tốn 8


[Document title]
Toán Họa 4

18xy 3x
=
12
yz
2z ;
Bài 1: a)
12x3y 4x2
= 3
15xy4
5y

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN 8
- 12x2y 3x
=
2
4y ;
16
xy

b)

- 36x3 - 3x3
= 3
3
12
y
y
c)
;

d)

35(x2 - y2)(x+ y)2
5.7(x - y)(x + y)3
- 5(y - x)
- 5
=
=
=
2
3
2
3
2
11(y - x)
7.11(y- x) (x + y)
11(y - x)
Bài 2: a) 77(y - x) (x + y)
4x2y2 + 1- 4xy

(2xy - 1)2
=
3 3
2 2
b) 8x y - 1- 6xy(2xy - 1) (2xy - 1)(4x y + 2xy + 1) - 6xy(2xy - 1)
(2xy - 1)2
1
=
=
2 2
(2xy - 1)(4x y - 4xy + 1) 2xy - 1
x2 - xy - xz + yz x(x - y) - z(x - y) (x - z)(x - y) x - y
=
=
=
2
x
(
x
+
y
)
z(x
+
y)
(
x
z
)(
x

+
y
)
x +y
x
+
xy
xz
yz
c)
a2 + b2 - c2 + 2ab (a + b)2 - c2 (a + b + c)(a + b - c) a + b - c
=
=
=
2
2
2
2
2
(a + b + c)(a - b + c) a - b + c
a
b
+
c
+
2
ac
(
a
+

c
)
b
d)
(x2 + 3x + 2)(x2- 25) (x + 1)(x + 2)(x + 5)(x - 5)
=
= (x + 1)(x - 5)
2
(
x
+
2)(
x
+
5)
x
+
7
x
+
10
Bài 3: a)
x6 - y6
(x3 - y3)(x3 + y3)
=
= x2 + xy + y2
4
4
3
3

3
3
(x - y)(x + y )
b) x - y - x y + xy
x3 - 7x - 6
(x - 3)(x + 1)(x + 2)
x +1
=
=
2
2
2
2
2
2
(x - 3) (x + 4x + 4) (x - 3)(x + 2)
c) x (x - 3) + 4x(3 - x) + 4(x - 3)

Bài 4:

=

a3 - 4a2 - a + 4
a2(a - 4) - (a - 4)
(a - 4)(a - 1)(a + 1)
=
=
3
2
3

2
a) a - 7a + 14a - 8 (a - 8) - 7a(a - 2) (a - 2)(a + 2a + 4 - 7a)

(a - 4)(a - 1)(a + 1) (a - 4)(a - 1)(a + 1) a + 1
=
=
(a - 2)(a2 - 5a + 4) (a - 2)(a - 1)(a - 4) a - 2 (đpcm)

4

Bồi dưỡng năng lực học mơn
Tốn 8


[Document title]
Tốn Họa 5

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN 8

x2y2 + 1 + (x2 - y)(1- y)
x2y2 + 1 + x2 - x2y - y + y2
=
2 2
2
2 2
2
2
2
b) x y + 1 + (x + y)(1 + y) x y + 1 + x + x y + y + y
=

(
+ 1) + ( y

)
+ 1) + y(x

x2(y2 + 1) + y2 + 1 - y(x2 + 1)
x2(y2

2

2

+ 1)

=

(y2 + 1)(x2 + 1) - y(x2 + 1)
(y2 + 1)(x2 + 1) + y(x2 + 1)

(x2 + 1)(y2 - y + 1) y2 - y + 1
= 2
=
(x + 1)(y2 + y + 1) y2 + y + 1 (đpcm)

Bài 5: a)

5
x 2

A=
x  3 . Thay x = 3 ta được
6

B

x y
3
B =x  y . Thay x = 1;y = 5 ta được
2

C

x2  3x
- 2
C =
x  3 . Thay x = 2 ta được
5

b)

c)

A

x2 + 10x + 25
x2 + 10x + 25
=
3
2

3
3
Bài 6: a) x + 5x - 25x - 125 (x - 5 ) + 5x(x- 5)
=

x2 + 10x + 25
x2 + 10x + 25
1
=
=
2
2
(x - 5)(x + 5x + 25) + 5x(x - 5) (x - 5)(x + 10x + 25) x - 5

1
1
=
Thay x = 2010 , ta được: 2010 - 5 2005
xyz - xy - yz - zx + x + y + z - 1 xy(z - 1) - z(y + x) + (x+ y) + (z- 1)
=
b) Ta có: xyz + xy + yz - zx - x + y - z - 1 xy(z + 1) + z(y - x) + (y- x) - (z+ 1)
=

(z - 1)(xy + 1) - (z- 1)(x+ y)
(z - 1)(xy + 1- x - y)
=
(xy - 1)(z + 1) + (z + 1)(y - x) (z + 1)(xy - 1- x + y)

Vì x = 5001, y = 5002, z = 5003 Þ x = y - 1;z = y + 1
(z - 1)(xy + 1- x - y) y(y - 2)(y - 1) y - 2 5000 1250

=
=
=
=
(z + 1)(xy - 1- x + y) y(y + 2)(y - 1) y + 2 5004 1251
- 2x2 - 40y + 16x + 5xy - 2x(x - 8) - 5y(8 - x) (x - 8)(5y - 2x) 5y - 2x
=
=
=
2
x(x - 8) - 3y(x- 8)
(x - 8)(x - 3y)
x - 3y
c) x + 24y - 8x - 3xy

5

Bồi dưỡng năng lực học mơn
Tốn 8


PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN 8

[Document title]
Tốn Họa 6

3x
1
- 2x - x
5y - 2x

= 2
= 2 =- 5
x 10
3x
9x
x - 3y
9x
1
=
Þ 5y =
;3y =
xx
y
3
2
10 . Vậy:
10
10

Vì:

Bài 7: a)
P

P

a 3  4a 2  a  4
a 2 (a  4)  ( a  4)

a 3  7 a 2  14a  8

a 3  2a 2  5a 2  10a  4a  8

a

 1 (a  4)

2



a (a  2)  5a (a  2)  4( a  2)
2

b) Ta có:

P  1

3
a2



(a  1)(a  1)(a  4) a  1

( a  1)( a  4)( a  2) a  2 .

( a ạ 2)

3
Â

a 1; 1; 3; 5
Vậy, P  ¢ ⇔ a  2
⇔ a  2  {1; 3}
.

Bài 8:







( x  1) 2 x 2  x  1
x 3 ( x  1)  ( x  1)
( x  1) 2


B 2 2
x2  2
x x  x  1  2 x2  x  1
x2  2 x2  x  1







 

( x  1)2
B 2
0
x 2
. Vậy B không âm với mọi giá trị của x .

Bài 9:

B

b)



1 x4

1 x2 x8  4x4
10
8
6
4
2
x  x  4x  4x  4x  4

Bài 10: a)
x=





a2x + ax + x = a3 – 1 Û x =

 1 x 

 4
 x  2

 1 x2 1 x2





2

4

2

0
với x  1.

a3 - 1
=a- 1
a2 + a + 1

a2 - 9
a- 3

=
a(a + 3)
a

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

6

Bồi dưỡng năng lực học mơn
Tốn 8


[Document title]

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN 8

Tốn Họa 7

7

Bồi dưỡng năng lực học mơn
Tốn 8