bai tap elip va hypebol

BÀI TẬP ELIP
DẠNG 1:Từ phương trình chính tắc của elip đã cho ta đi tính tốn một số yếu tố khác
của elip
BÀI 1: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : x
2
+ 4y
2
= 4
a/ Tìm tọa độ các đỉnh , tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai của elip .
b/ Đường thẳng đi qua tiêu điểm F
2
của elip và song song với trục 0y cắt elip tại 2
điểm M,N .Tính độ dài đoạn thẳng MN .
BÀI 2: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) :
1
425
4
22
=+
yx
.
a/ Tìm tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai của elip .
b/ Tìm các giá trị của b để đường thẳng y = x + b có điểm chung với elip trên .
BÀI 3: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) :
1
2449
22
=+
yx

a/ Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) sao cho : MF

1
= 12
b/ Tìm tọa độ điểm N thuộc (E) sao cho : NF
2
= 2NF
1
.
BÀI 4: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) :
1
26
22
=+
yx
a/ Xác định độ dài các trục và tiêu cự.
b/ Tìm những điểm M thuộc (E) sao cho nó nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc
vng.
BÀI 5: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) :
1
914
22
=+
yx
a/ Tìm độ dài tiêu cự và tính tâm sai của (E).
b/ Khi M chạy trên (E). Tìm M để Khoảng cách MF
1
có giá trị nhỏ nhất và Gía trị
lớn nhất bằng bao nhiêu ?
BÀI 6: : Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) :
3649
22

=+ yx

Tìm điểm M thuộc (E) sao cho: MF
1
= 3MF
2
BÀI 7: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) :
1
1625
22
=+
yx
, tiêu điểm F
1
,F
2
Cho A,B là hai điểm thuộc (E) sao cho AF
1
+ BF
2
= 8. Tính AF
2
+ BF
1
.
DẠNG 2 Lập phương trình chính tắc của elip khi biết một số yếu tố của nó .
1.Lập phương trình chính tắc của (E).
a. . đi qua điểm M (2;
3
5

) và 1 tiêu điểm F
1
( -2; 0).
b. elip đi qua M và N. với M ( 2; -
2
) và N ( -
6
; 1)
c. có độ dài trục lớn bằng
4 2
, các đỉnh trên trục nhỏ và tiêu điểm của elip cùng nằm
trên một đường tròn.
d. có tiêu điểm
1 2
( 10;0), ( 10;0)F F−
và độ dài trục lớn bằng
2 18
.

1
ĐÁP ÁN
BÀI 1:
a/ (0,75)
1
14
22
=+
yx
( 0,25)
Đỉnh A

1
( -2; 0 ) và A
2
( 2; 0) , B
1
(0; 1) , B
2
(0; 1) (0,25)
Tiêu điểm F
1
(-
3
; 0 ) , F
2
(
3
; 0) (0,25)
Tâm sai e =
2
3
b/ (0,75) MN = 2MF
2

M, N có hoành độ x =
3
(0,25)
MF
2
= 2 -
3.

2
3
=
2
1
(0,25)
MN = 1 (0,25)
BÀI 2:
a/ (1 đ) a
2
=
4
25
, b
2
= 4
⇒
c
2
= a
2
– b
2
=
4
9

⇒
c =
2

3
(0,5)
F
1
(
0;
2
3−
) , F
2
(
2
3
; 0 ) , e =
5
3
=
a
c
(0,5)
b/ (1 đ ) Phương trình hoành độ giao điểm : 41x
2
+ 50bx + 25b
2
– 100= 0
Đường thẳng có điểm chung với elip khi và chỉ khi
2
41
2
41

4
41
0)10025(41)25(
222
≤≤
−
⇔≤⇔≥−−=∆ bbbb
BÀI 3:
a/ ( 1 điểm ) : a = 7 , b = 2
6

⇒
c = 5
MF
1
= 7 +
7
5
x
M
.MF
2
= 12
⇔
x
M
= 7 (0,5)

2
y

M
=
2
749
7
62
−
= 0 và y
M
= -
2
749
7
62
−
= 0
⇒
M ( 7; 0 ) trùngA
1
(0;5 )
b/ (1 đ ) M (x
0 ;
y
0
) . MF
1
= 7 +
020
7
5

7,
7
5
xMFx −=
,
NF
2
= 2NF
1
)
7
5
7(2
7
5
7
00
xx −=+⇔

(0,5)
giải ra : x
0
=
15
668
15
49
0
=⇒
−

y
và y
0
= -
15
668
.
vậy : M
1
(
15
668
;
15
49−
) M
2
(
15
668
;
15
49 −−
) (0,5)
BÀI 4 :
a/ 2a = 2
6
; 2b = 2
2
; 2c = 4 (0,5)

b/ M(x; y)
∈
(E) : 2x
2
+ 6y
2
= 12
M nhìn F
1
F
2
dưới 1 góc vuông nên M thuộc đường tròn . Tâm O bán kính R= 2.
(C) : x
2
+ y
2
= 4 (0,5)
tọa độ điểm M thỏa mãn hệ pt :





=+
=+
1262
4
22
22
yx

yx
giải ra



±=
±=
1
3
y
x
kl : 4 điểm M (0,5)
BÀI 5: a/ ( 0,5 đ) 2c =
52
tâm sai e =
14
52

b/ ( 1 đ ) MF
1
= a +
x
a
c
, M( x;y ) thuộc elip nên : -a
≤
x
≤
a (0,5)
suy ra : a - c

≤
MF
1

≤
a + c
vậy :
514514
1
+≤≤− MF
.
KL : (0,5)
BÀI 6:
a/ (0,5)
5
9
:,
5
9
:
21
=∆−=∆ xx

b/ M(x;y) thuộc elip
xMFxMF
3
5
3,
3
5

3
21
−=+=

MF
1
= 3MF
2
giải ra : x =
52
9
(0,5)

3
suy ra : y =
53
109
±
.KL: có 2 điểm M
1
, M
2
(0.5)
BÀI 7:
a/ (1 đ )Tính ra m = 16/5 ( do m > 0 ) (0,5)
dùng công thức viết pttt tại điểm thuộc elip viết được :
3x + 5y - 25 = 0 (0,5)
b/ có : AF
1
+ AF

2
= 10 Và BF
1
+ BF
2
= 10
giải ra : AF
2
+ BF
1
= 12 (0,5)
BÀI 8 :
a/ (1 đ )
giả sử x > 0
ptct có dạng :
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
, a > b > 0
MF
1
= a +
x

a
c
và MF
2
= a -
x
a
c
MF
1
= 15 và MF
2
= 9 suy ra : a = 12 (0,5)
khoảng cách 2 đường chuẩn bằng 36 suy ra : c = 8
b
2
= 144 – 64 = 80
KL : (0,5)
b/ (1 đ)
dùng 12 -
9
12
8
=x
giải tìm x sau đó tìm y , suy ra 2 điểm M
1
, M
2
(0,5)
Viết pttt tại M

1
,M
2
(0,5)
BÀI 9:
a/ (1 đ )
Dạng ptct elip . theo đề :





=−
=+
4
1
254
22
22
ba
ba
(0,5)
giải ra : a
2
= 9 , b
2
= 5 . KL : (0,5)
b/ (1 đ )
gọi d qua M nhận
);( BAn =

→
làm véc tơ pháp tuyến , A
2
+ B
2

≠
0
d: Ax + By - 4A = 0
d tiếp xúc elip
⇔
9A
2
+ 5B
2
= 16A
2

⇔
7A
2
-5B
2
= 0 (0,5)
Lí luận giải ra A =
5
suy ra : B =
7±
KL : 2 PTTT (0,5)

4
BÀI 10:
a/ (1 đ) dạng ptct M,N thuộc elip nên :







=+
=+
1
16
1
24
22
22
ba
ba
(0,5) giải ra : a
2
= 8 và b
2
= 4 .KL ptct (0,5)
b/ (0,5) Tính c = 2
khoảng cách 2 đường chuẩn bằng : 8 (0,5)
BÀI 11:
Tính được a =
5

, c = 1 suy ra : b
2
= 4 (0,5)
ptct :
(0,5)
pt 2 đường chuẩn : x =
5±
(0,5)
BÀI 12 :
a/ (1 đ ) dạng ptct . Theo đề ta có :







=+
=
1
45
10
2
22
2
ba
c
a
(0,5) giải ra : a
2

= 15 , b
2
= 6 .KL ptct (0,5)
b/ ( 1 đ)
d’ song song với d có pt : x + y + C = 0 (0,5)
d’ tx với elip
⇔
15 + 6 = C
2
suy ra C =
21±
KL : x + y
21±
= 0 (0,5)
BÀI 13:
a/ (1 đ ) Tìm x =
2
3
±
(0.5)
pttt tại M
1
:
01
4
2
23
=−+
yx
pttt tại M

2
:
01
4
2
23
=++
yx
(0,5)
b/ (1 đ) d : Ax + By -3A -5B = 0 (0,5)
d tiếp xúc ( E)
⇔
9A
2
+ 4B
2
= ( 3A + 5B )
2


5

⇔
B = 0 ; B = -
7
10
A
giải ra có 2 tt : x – 3 = 0 ; 7x – 10y +15 = 0 (0,5)
BÀI 14:
a/ (0,5 đ ) đỉnh , tiêu điểm đúng (0,5)

b/ (1 đ ) d’: x + 3y + C = 0 (0,5)
d’ tiếp xúc (E)
⇔
9 +36 = C
2

giải ra có 2 tt : x + 3y
53±
= 0 (0,5)
BÀI 15: Dạng ptct
c =
15
a
2
- b
2
= 15 (1) (0,5)
d tiếp xúc (E)
⇔
a
2
+ b
2
=25 (2) (0,5)
(1) và (2) suy ra : a
2
= 20 b
2
= 5
KL: (0,5)

BÀI 16: Dạng ptct :
(d
t
) tiếp xúc (E)
⇔
9cos
2
t.a
2
+16sin
2
t.b
2
= 5 + cos2t (0,5)
⇔
3cos
2
t(a
2
– 2 ) + 4sin
2
t(4b
2
- 1 ) = 0 với mọi t
⇔
a
2
= 2 và b
2
= ¼ (0,5)

KL:
c
2
= 2 - ¼
2
7
=⇒ c
kl : F
1,
, F
2
(0,5)
BÀI 17:
a/ Chứng tỏ M thuộc (E)
PTTT tại M : 6x + 8y - 48 = 0 (0,5)
b/ (1 đ)
tìm A(8;0) B(0;6) (0,5)
S = ½ 0A.0B = 24 (đvdt ) (0,5)
BÀI 18:
Gọi T,T’ tiếp điểm của elip kẻ từ B,C ( Vẽ hình ) (0,5)
MB = MT + TB = MT + AB
MC = CT’ - T’M = CA - MT’ (0,5)
suy ra : MB + MC = AB + AC ( hằng số )
KL: Tập hợp điểm M là elip có tiêu điểm B,C và đỉnh A (0,5)
BÀI 19:
M(x;y) thuộc (E) và MP vuông góc A
1
A
2
.

Tam giác A
1
PH đồng dạng với tam giác MPA
2
:
MP
PA
PA
PH
1
2
=
(0,5)
PH
2
.PM
2
= PA
1
2
.PA
2
2

⇔
y
H
2
.y
2

= ( 9 – x
2
)
2

6
mà y
2
=
9
4
( 9 – x
2
)
y
H
2
.
9
4
(9 – x
H
2
) = (9 – x
H
2
)
2

⇔

1
4
81
9
22
=+
HH
yx
(1) (0,5)
Vậy tập hợp điểm H là đường elip có pt (1) (0,5)
BÀI 20:
a/ (1 đ)
A
1
N : nx -4y + 2n = 0
A
2
M: mx + 4y -2m = 0 (0,5)
Tìm giao điểm I(
nm
mn
nm
nm
++
−
;
)(2
) (0,5)
b/ (1 đ )

MN: (n- m )x – 4y + 2(m + n ) = 0
MN tiếp xúc (E)
⇔
mn = 1 (0,5)
Tọa độ điểm I:







+
=
+
−
=
nm
mn
y
nm
nm
x
)(2
khử m,n giữa x,y ta có:

1
1
4
4

22
=+
yx
.KL (0,5)
HẾT

7