bien doi va tinh gia tri bieu thuc mu logarit bieu dien logarit qua cac logarit co so khac nhau

NHĨM TỐN VDC&HSG THPT

MŨ - LOGARIT- VD_VDC

BIẾN ĐỔI & TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC MŨ - LÔGARIT
BIỂU DIỄN LÔGARIT QUA CÁC LÔGARIT CƠ SỐ KHÁC NHAU
PHƯƠNG PHÁP
Muốn rút gọn các biểu thức chứa logarit ta cần sử dụng các quy tắc tính logarit và đổi cơ số của logarit.
Ngồi ra, ta cịn cần sử dụng các cơng thức lũy thừa đã học.
 a 0  1,  a  0  .
 log a 1  0,  0  a  1


a

1

 a

 log a a  1,  0  a  1

a





 log a a   ,  0  a  1

1
a



 a   a  
 

a



 a  .b 



 a  .b 



a

b



a



a   a



a

 log a a 












Câu 1.

,  0  a  1



 . log a b   .log a b,  a, b  0, a  1 .

 a

 

 log a  b 

1

.log a b



 log a  b  .log a b


  a.b 





a
   , b  0
b

 log a b  log a c  log a  bc  ,  b, c  0, a  1 .
b
 log a b  log a c  log a   ,  b, c  0, a  1 .
c
1
 log a b 
,  a, b  0, a  1 .
log b a

   a  ,    * 



 





1



 b    log a b

Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn a log3 7  27, b log7 11  49, c log11 25  11 . Giá trị của biểu
2

2

2

thức T  a log3 7  blog7 11  c log11 25 bằng
A. 467 .
B. 469 .

C. 468 .
Lời giải

D. 465 .

Chọn B



Có T  a log3 7



log3 7



 blog7 11



log7 11

  c log11 25 

log11 25

  27 

log3 7

  49 

log7 11



 11

log11 25

.


 27 log3 7  33 log3 7  3log3 7 3  73  343
 
 
2

log 7 11
log 11
 7 log7 11  112  121
Áp dụng a log a b  b , ta được  49  7   7 2 

log11 25
1
1
log11 25

 12 
 11 
 11log11 25  2  25 2  25  5
 11




Vậy T  343  121  5  469 .
c c
Cho a , b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn 4 a  25b  10c . Tính T   .
a b
1
1
A. T 
B. T 
C. T  2
D. T  7
10
2
Lời giải
Chọn C









 

Câu 2.

CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022

Trang 1


NHĨM TỐN VDC&HSG THPT

MŨ - LOGARIT- VD_VDC

a  log 4 t

Giả sử 4  25  10  t   b  log 25 t . Do a , b, c là các số thực khác 0 nên t  0, t  1 .
c  log t
10

a

Ta có T 

b

c

c c log10 t log10 t log t 4 log t 25
 



 log10 4  log10 25
a b log 4 t log 25 t log t 10 log t 10

 log10  4.25   log10 100  2.

Câu 3.

Cho các số thực dương x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số thực
dương a  1 thì log a x, log a y, log 3 a z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị biểu thức

3x 7 y 2020 z


bằng
y
z
x
A. 2029 .
B. 2030 .
P

C. 2031 .

D. 2033 .

Lời giải
Chọn B
Theo giả thiết ta có

 xz  y 2

log a x  log 3 a z  2 log
P
Câu 4.

Cho

a

2
 xz  y 2
 xz  y

 3
 x  y  z  0.
3
4
4
y
 xz  y
log a  x.z   log a y

3x 7 y 2020 z


 3  7  2020  2030.
y
z
x
x  log 2 3 ,
y  log 2 337 . Từ đó

hãy

tính

giá

trị

của

biểu

thức

1
2
3
2021
 ln  ln  ln  ...  ln
2
3
4
2022 theo x, y .
P
ln1348
1 x  y
1 x  y
x y
1 x  y
A. P 
.
B. P 
.

C. P 
.
D. P  
.
2 y
2y
2y
2 y
Lời giải
Chọn A
1
2
3
2021   ln 1  ln 2  ln 3  ...  ln 2021 
 ln  ln  ln  ...  ln


3
4
2022 
2
3
4
2022   2
P
ln1348
ln1348
1
 ln
2022  ln 2022  log 2 2022  log 2  2.3.337   log 2 2  log 2 3  log 2 337  1  x  y .


ln1348
ln1348 log 2 1348 log 2  22.337 
log 2 22  log 2 337
2 y
Câu 5.

Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn: log b  1011 và log 2 a  4log 2 b  4 log a.log b . Giá
3033  log a  log b
trị của biểu thức L 
bằng
2021  log  a  9b 2 

5
A. L   .
2

B. L  3 .

C. L 

3
.
4

D. L 

3
.
2

Lời giải
Chọn D
Ta có log 2 a  4 log 2 b  4 log a.log b

 log 2 a  4log 2 b  4 log a.log b  0   log a  2 log b   0  log a  2 log b  a  b 2 .
2

Trang 2

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA


NHĨM TỐN VDC&HSG THPT

MŨ - LOGARIT- VD_VDC

3033  log a  log b 3033  log b2  log b 3033  3log b 3. 1011  log b  3

Vậy L 


 .
2021  log  a  9b 2  2021  log  b 2  9b 2  2022  2 log b 2. 1011  log b  2
Câu 6.

Cho x, y, m là ba số thực dương khác 1 và x  y thỏa mãn log m
Khi đó biểu thức P 
A. P 

25
.
8

x  3y
1
1


.
2
4
log x m log y m 2

x 2  4 xy  y 2
có giá trị bằng:
( x  y )2
B. P 

25
.
100

C. P 

59
.
50

D. P 

59
.
5

Lời giải
Chọn C
Ta có: log m

x  3y
1
1
x  3y


 log m
 log m x  log m y
2
2
4
log x m log y m
4

 x  3 y  4 xy   x  3 y   16 xy  x 2  10 xy  9 y 2  0   x  y  x  9 y   0
2

 x  9 y do  x  y 

Như vậy: P 
Câu 7.

x 2  4 xy  y 2 81y 2  36 y 2  y 2 118 y 2 59


 .
( x  y )2
(9 y  y )2
100 y 2 50

Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn 2  log 2 a  3  log 3 b  log 6  a  b  . Tính giá trị của

1 1
 .
a b
A. 2 .

B. 108 .

C. 216 .

D. 324 .

Lời giải
Chọn B
Đặt log 2 a  x , log 3 b  y . Ta có a  2 x , b  3 y và 2  x  3  y  y  x  1 ;

log 6  a  b   2  x  a  b  62 x  36.6 x .

1 1 a  b 36.6 x 36.6 x 108.6 x
 

 x y  x x 1  x x  108 .
a b
a.b
2 .3
2 .3
2 .3
Cho log 27 5  a , log 3 7  b , log 2 3  c . Tính log 6 35 theo a , b , c .

Khi đó
Câu 8.

A.

 3a  b  c .
1 c

B.

 3a  b  c .
1 b

C.

 3a  b  c .
1 a

D.

 3b  a  c .
1 c

Lời giải
Chọn C

1
Theo giả thiết ta có log 27 5  a  log 3 5  a  log 3 5  3a .
3
Ta lại có log 2 5  log 2 3  log 3 5  3ac và log 2 7  log 2 3  log3 7  bc .
Vậy log 6 35 
Câu 9.

log 2 35 log 2 5  log 2 7 3ac  bc  3a  b  c
.



log 2 6 log 2 2  log 2 3
1 c
1 c

Cho a , b, c  0; a, b  1 . Tình A  log a (b2 ).log b ( bc )  log a (c)
A. log a c .
B. 1.
C. log a b .
Lời giải
Chọn C
Ta có

CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022

D. log a bc .

Trang 3


NHĨM TỐN VDC&HSG THPT

MŨ - LOGARIT- VD_VDC

A  log a (b2 ).log b ( bc )  log a (c) .
1
 2log a b. log b  bc   log a  c   log a b.  log b b  log b c   log a  c  .
2
 log a b. 1  log b c   log a c  log a b  log a b.log b c  log a c .

 log a b  log a c  log a c  log a b .
Câu 10. Cho x , y và z là các số thực lớn hơn 1 và gọi w là số thực dương sao cho log x 2 w  15 ,
log z w  20 và log xyz w  15 . Tính log y w .
A. 60 .

B. 60 .

C.

1
.
60

D. 

1
.
60

Lời giải
Chọn A
Ta có log x2 w  15  log x w  30  log w x 

log z w  20  log w z 

1
.
30

1
.
20

Lại do
log xyz w  15 

1

log w  xyz 

 15 .

1
1
1

1
1

  log w y 
 log w y  
 log y w  60 .
15
30 20
15
60
mb  nac
Câu 11. Cho log 9 5  a, log 4 7  b và log 2 3  c . Biết log 24 175 
. với m , n, p , q   và q là số
pc  q
 log w x  log w y  log w z 

nguyên tố. Tính A  mnpq.
A. 24 .

B. 42 .

C. 12 .

D. 8 .

Lời giải
Chọn A
Ta có
log 9 5  a  log 3 5  2a.

log 4 7  c  log 2 7  2b.
log 2 3  c
log 2 5  log 2 3.log 3 5  2ac
2
log 2 175 log 2  7.5  log 2 7  log 2 52 log 2 7  2 log 2 5 2b  4ac
Khi đó log 24 175 


.


3
log 2 24
3  log 2 3
c3
log 2  23.3 log 2 2  log 2 3

m  2
n  4

Suy ra 
. Do đó A  m.n. p.q  2.4.1.3  24.
p 1
q  3

Trang 4

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

NHĨM TỐN VDC&HSG THPT

MŨ - LOGARIT- VD_VDC

Câu 12. Cho a  log 2 3 , b  log 3 5 và c  log11 15 . Biết log 66 120 

mc  nac  pabc
với m, n, p   .
a  c  ab  ac

Tính T  m  n  p.
A. T  5 .

B. T  3 .

D. T  7 .

C. T  1 .
Lời giải

Chọn A
Ta có log 2 5  log 2 3.log 3 5  a.b .
log 2 11  log 2 15.log15 11   log 2 (3.5)  .

Do đó log 66 120 

1
1
a  ab
 (log 2 3  log 2 5).


.
log11 15
log11 15
c

3
log 2 120 log 2  2 .3.5 3  log 2 3  log 2 5


.
log 2 66 log 2  2.3.11 1  log 2 3  log 2 11

3  a  ab
3c  ac  abc


. Suy ra:
a  ab a  c  ab  ac
1 a 
c

m  3

 n  1 . Vậy T  5.
p 1


Câu 13. Cho log 27 5  a, log3 7  b, log 2 3  c , nếu biểu diễn log 6 35 

 xa  yb  c

thì giá trị của biểu thức

m  nc

P  x 2  y 2  3m 2  n bằng bao nhiêu?
A. . P  7 ..

B. P  8 .

C. P  0 .
Lời giải

D. P  2 .

Chọn B
1
1

1
log 5 2  log 5 3 log 7 2  log 7 3

Ta có log 6 35  log 6 5  log 6 7 

Từ giả thiết: log 27 5  a ; log 2 3  c

 log 3 5  3a  log 2 5  log 2 3.log 3 5  3ac , log 2 7  log 2 3.log 3 7  bc .
Do đó, 1  log 6 35 

1

1
1

3ac 3a
 x  3; y  1; m  1; n  1 .



1
1 1

bc b



3ac
bc  3a  b  c


.
1 c 1 c
1 c

Vậy P  x 2  y 2  3m2  n  8 .
Câu 14. Cho các số thực a , b thỏa mãn a  b  1 và
thực m để giá trị biểu thức P 
A. m  2017 .

1
1

 2021 . Tìm giá trị của tham số
log a b log b a

m
m

 2022 .
log ab b log ab a

B. m 

2022
.
2017

C. m  2020 .

D. Đáp án khác.

Lời giải
Chọn B
Do a  b  1  log a b  0 , log b a  0 , log b a  log a b .
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022

Trang 5

NHĨM TỐN VDC&HSG THPT

Ta có:

MŨ - LOGARIT- VD_VDC

1
1

 2021  log a b  log b a  2021
log b a log a b

Do đó, P  2022  m  log b a  1  m 1  log a b   2022  m  log b a  log a b   2022 *
Mặt khác

 log b a  log a b 

2

  log b a  log a b   4  2021  4  2017  log b a  log a b  2017

Do vậy, *  m 

2

2022
2022 2017

2017
2017

Câu 15. Gọi a là số thực sao cho 3 số a  log 3 2021 , a  log 9 2021 , a  log 81 2021 theo thứ tự lập thành
một cấp số nhân. Tìm cơng bội q của cấp số nhân đó.
A. q 

1
.
2

B. q  2 .

C. q  3 .

1
D. q  .
3

Lời giải
Chọn A
Do 3 số a  log 3 2021; a  log 9 2021; a  log 81 2021 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên
công bội q của cấp số nhân là:

Câu 16.

1
 log 3 2021
a  log 9 2021 a  log 81 2021 log 81 2021  log 9 2021
1
 .
q



 4
a  log 3 2021 a  log 9 2021 log 9 2021  log 3 2021  1 log 2021 2
2 3
Biết
rằng
b
là
số
nguyên
thỏa

 a  3  ba  a   3  a
log 2 
 log 2  4a 2  4a  8  . Số giá trị thực của a là

b
 b 

mãn

2

A. 3 .

C. 5 .
Lời giải

B. 2 .

D. 4 .

Chọn D
b  

Điều kiện :  a  3
.
 b  0

 a  3  ba  a   3  a
Từ giả thiết, ta có: log 2 
 log 2  4a 2  4a  8 

b
 b 
2

b  a  a2   3  a
 a 3
2
 log 2 

log
4
a

4
a


8


2

b
 b 
a 3
 a 3
2
2
 log 2 
  log 2  4  a  a  2    2a  a 
b
 b 

 a 3 a 3
 log 2 
 log 2  a 2  a  2   a 2  a  2 .

b
b


a 3
Nếu tồn tại cặp  a; b  thỏa mãn đề bài thì
0.
b

Xét hàm số y  f  t   log 2 t  t , là hàm số xác định và đồng biến trên  0 :   1 .

Trang 6

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA


NHĨM TỐN VDC&HSG THPT

MŨ - LOGARIT- VD_VDC

 a 3
2
Do đó 1  f 
  f  a  a  2 .
b


a 3

 a 2  a  2  ba 2   b  1 a  2b  3  0
b

Phương trình ba 2   b  1 a  2b  3  0

 2

có nghiệm khi

   b  1  4b  2b  3  0
2

 7b 2  14b  1  0 

7  2 14
7  2 14
.
b
7
7

Vì b  , b  0 nên b  2; 1 .
1

Nếu b  2 thay vào  2  ta có: a  1;   .
2






Nếu b  1 thay vào  2  ta có: a  1  2; 1  2 .
Vậy có 4 giá trị a thỏa mãn bài toán.
Câu 17. Biết
rằng
là
hai
số
a, b

 2021

a  b 1

thực

dương

và

thỏa

mãn

đẳng

thức

 2021a  2b 1  .  20213a  4b 3  20211 a b   4.20212 a 3b  2 . Tìm giá trị của biểu thức

a 3  b3
.
2021
2022
A. T 
.
2021
T

B. T 

2
.
2021

C. T 

1
.
2021

D. T 

4
.
2021

Lời giải
Chọn C

Từ giả thiết :  2021a b 1  2021a  2b 1  .  20213a  4b  3  20211 a b   4.20212 a 3b  2
 20214 a  5b  4  20214 a  6b  4  2021b  1  4.20212 a  3b  2
 20212 a  2 b  2  20212 a  3b  2  20212 b  2 a  2  20212 a  3b  2  4 1 .

Áp dụng bất đẳng thức (AM_GM) ta có:

20212 a  2b 2  20212b  2 a  2  2 20212 a  2b  2.20212b  2 a  2  2 20210  2
20212 a 3b  2  20212 a 3b  2  2 20212 a 3b  2.20212 a 3b 2  2
Suy ra 20212 a  2 b  4  20212 a  3b  4  20212b  2 a  20212 a 3b  4
Đẳng thức 1 xảy ra khi:

20212 a  2b 2  20212b  2 a  2
2a  2b  2  2b  2a  2
a  b  1


 a  1; b  0 .



 2 a  3b  2
 20212 a 3b  2
2021
2a  3b  2  2a  3b  2
 2a  3b  2
Vậy T 

a 3  b3
1

.
2021 2021

Câu 18. Cho các số thực dương x , y thỏa mãn

log x  log y  log x  log y  100 và

log x ,

log y , log x , log y là các số nguyên dương. Khi đó kết quả xy bằng

A. 10164 .

B. 10100 .

C. 10200 .
Lời giải

D. 10144 .

Chọn A
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022

Trang 7


NHĨM TỐN VDC&HSG THPT

MŨ - LOGARIT- VD_VDC

a  log x
 x  10a
log x  a 2
2
2
Đặt 
 
 
 xy  10 a b .
2
b2

log y  b
b  log y
 y  10
2


a2
a2
log x  log 10  2
a2
b2
Ta có : 
thỏa
điều
kiện
và
là các số nguyên dương .
2
2
2
log y  log 10b2  b

2
Vậy a 2 và b 2 là các số chẵn dương . Do đó a và b là các số chẵn dương .

log x  log y  log x  log y  100

Ta có :

2

2

 a  b  log 10 a  log 10b  100

a 2  b2
 100  a 2  2a   b 2  2b  200   0 .(*)
2
Ta coi   là phương trình bậc 2, ẩn là a và tham số b .
 ab

Do đó   có    201  b 2  2b
Để   có nghiệm    0  1  b  202  1 (Do b nguyên dương).
Như vậy b  1; 2;3;...;13
Mà b là các số chẵn dương nên b  2; 4;6;8;10;12 .

b  8
Vì a là số chẵn , dương với b  2; 4;6;8;10;12 , thay vào phương trình (*) ta có 
hoặc
 a  10
b  10
.

a  8
Vậy xy  10a
Câu 19. Cho

2

b2

các

32 x 

3 y 1

 10164 .

số

 33 y 

4 z 1

x, y , z

thực

 34 z 

A. 288 .

2 x 1

thỏa

2 x  1  3 y  1  4 z  1  15

mãn

và

 330 . Giá trị của x. y.z bằng

B. 864 .

C. 1152 .
Lời giải

D. 576 .

Chọn D
Điều kiện x 
Ta có: 152 



1
1
1
; y  ;z  .
2
3
4



2

2 x  1  3 y  1  4 z  1  3.  2 x  1  3 y  1  4 z  1  3.  2 x  3 y  4 z  3

152
 3  72 .
3
Mặt khác, từ giả thiết và chứng minh trên, ta có
Suy ra 2 x  3 y  4 z 

330  32 x 

3 y 1

 3. 32 x 

3 y 1  3 y  4 z 1  4 z  2 x 1

3

Trang 8

 33 y 

4 z 1

 34 z 

2 x 1

 3 32 x 
3

3 y 1

.33 y 

4 z 1

.34 z 

2 x 1

 3 3 32 x 3 y  4 z 15  3. 3 37215  330

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA


NHĨM TỐN VDC&HSG THPT

MŨ - LOGARIT- VD_VDC

 2x 1  3 y 1  4z 1
 x  12


2 x  3 y 1
3 y  4 z 1
4 z  2 x 1
3
3
 y  8 .

Dấu “=” xảy ra khi 3
2 x  3 y  4 z  72

z  6

Ta được x. y.z  12.8.6  576 .
Câu 20. Giả sử a , b là các số thực sao cho x3  y 3  a.103 z  b.102 z đúng với mọi số thực dương x , y ,
z thoả mãn log  x  y   z và log  x 2  y 2   z  1 . Giá trị của a  b bằng

A.

29
.
2

B. 

31
.
2

C.

31
.
2

D. 

25

.
2

Lời giải
Chọn A
Ta có: x3  y 3   x  y   x 2  y 2   xy  x  y  và xy 

1
2
 x  y    x2  y 2 
2

Từ giả thiết, ta có:
z
1
 x  y  10
 x3  y 3  10 z.10 z 1  102 z  10 z 1  .10 z .
 2
2
z 1
2
 x  y  10

Vì x3  y 3  a.103 z  b.102 z đúng với mọi số thực dương x , y , z nên

1
10 2 z  10 z 1  .10 z  a.103z  b.102z , z

2
1

1
 102z 1  .103z  .102z 1  a.103z  b.10 2z , z
2
2
1

  a   .103z   b  15  .102z  0, z
2


10 z.10 z 1 

1
1


29
a   0
a  


2
2  ab  .
2
b  15  0
b  15


1
109 

Câu 21. Cho hàm số f ( x)  log 3  x   x 2  x 
 . Tính
2
4 

 1 
 2 
 2020 
T f
 f 
  ...  f 
.
 2021 
 2021 
 2021 
A. 4042 .
C. 3030 .
B. 4040.

D. 6060 .

Lời giải
Chọn C


1
Ta có: f (1  x)  log 3 1  x  
2


1  x   1  x  
2

 2
109 
109 
1 
  x   
  log 3  x  x 
4 
4 
2 



 2
1
109 
109
f  x   f 1  x   log3  x   x 2  x 
  log 3  x  x 
2
4 
4



1 

  x   

2 



1
109   2
109 
1  
 log 3  x   x 2  x 
  x      log 3 27  3
  x  x 
2
4 
4 
2   


CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022

Trang 9


NHĨM TỐN VDC&HSG THPT

 1 
T f

 2021 






 1 
f

 2021 

MŨ - LOGARIT- VD_VDC

 2 
 2020 
f
  ...  f 

 2021 
 2021 

 2020   
f
  
 2021   

 2 
f

 2021 


 2019  

f
   ...  
 2021  


 1010 
f

 2021 

 1011  
f

 2021  

 3  3  ...  3  3.1010  3030.
Câu 22. Biết rằng 2

x

1
x

 log 2 14   y  2  y  1  trong đó x  0 . Tính giá trị của biểu thức

P  x 2  y 2  xy  1 .
A. 1.

B. 2 .

C. 3 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn B
Ta có: x 

1

x
1
1
 2 x.  2  2 x  4
x
x

1

Lại có: 14   y  2  y  1  14   y  1 y  1  3 y  1 .
Đặt t 

y 1  0 .

Xét hàm số f  t   t 3  3t  14 trên  0;   , ta có max f  t   f 1  16
t 0;  

 14   y  2  y  1  16  log 2 14   y  2  y  1   4
Từ 1 và  2  ta có: 2

x

1
x

 2

x  1
 log 2 14   y  2  y  1   
 P  2.
y  0

Câu 23. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn
n

log a 2017  
i 1

log a 2017
1
, với 0  a  1 .
log 2i 2017  log a 2017 2 
2i
a
2
22018

A. n  2016 .

B. n  2017 .

C. n  2018 .
Lời giải

D. n  2019 .

Chọn C
Gọi vế trái và vế phải của hệ thức đề bài cho lần lượt là A và B .
Ta có

1
2n
log
2017

log a 2017 .
2n a
22 n
22 n

Do đó A  log a 2017 

2
4
8
2n
log
2017

log

2017

log
2017

...

log a 2017
a
a
a
22
24
26
22n


2 4 8
2n
  1  2  4  6  ...  2 n
2
 2 2 2


 log a 2017 .


2 4 8
2n
2 1

Ta có : Dãy số 1; 2 ; 4 ; 6 ;...; 2 n lập thành một cấp số nhân với công bội q  2 
2 2 2
2
2
2

1
1  
n
n 1
2 4 8
2
1 q
2
 1  2  4  6  ...  2 n  u1.
 1.  
1
2 2 2
2
1 q
1
2
Như vậy:
Trang 10

n 1

 2

1

.
2n

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA


NHĨM TỐN VDC&HSG THPT

MŨ - LOGARIT- VD_VDC

1

A  2 n
2



 log a 2017

log a 2017
1
B  log a 2017 2 
 2 log a 2017  2018 log a 2017
2018
2
2
1
1
Từ đó  2  n  2  2018  n  2018 .
2

2

Câu 24. Cho x  0 . Biết biểu thức A 

1 x x 2
3  3  a
a
4
là phân số tối giản. Tính giá
 , với
b
b
1 x x 2
1  1  3  3 
4

1  1 

trị của S  a  b .
B. 2.3 x .

A. 2.3x .

D. 32 x .

C. 2 .
Lời giải

Chọn A
Ta có 1 

1 x x 2
1
1 2x
1 x x 2
3  3   1   32 x  2  32 x  
3  2  32 x  


3  3 
4
4
4
4
1
  3x  3 x 
2
1 x x 2
1
3 3 
1   3x  3 x 

3x  3 x  2
4
2

 x
1
2
3  3 x  2

1
1   3x  3 x 
1  1   3x  3 x 
2
4

1  1 

Suy ra A 

32 x  2.3x  1
 2x

3  2.3x  1

3
3

x

x

 1

 1

2
2



3x  1
(Vì x  0 nên 3x  1  0 ).
x
3 1

Vậy S  a  b  2.3 x .
Câu 25. Cho a , b là các số thực và hàm số
f ( x )  a log 2021





x 2  1  x  b sin x.cos  2020x   7. Biết rằng f  2020 ln 2021   12 . Tính

P  f  2021ln 2020  .

A. P  4.

B. P  2.

C. P  2.

D. P  10.

Lời giải
Chọn B
Xét hàm số g  x   f  x   7  a log 2021
Do





x 2  1  x  b sin x.cos  2020 x 

x 2  1  x  x  x  0 nên hàm số g  x  có tập xác định D   .

Ta có: x  D   x  D và g   x   a log 2021
 g   x   a log 2021







 x

2



 1    x   b sin   x  .cos  2020.   x  

x 2  1  x  b sin x.cos  2020 x 




1
 g   x   a log 2021 
  b sin x.cos  2020 x 
2
 x 1  x 

CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022

Trang 11


NHĨM TỐN VDC&HSG THPT

MŨ - LOGARIT- VD_VDC

 g   x    a log 2021





x 2  1  x  b sin x.cos  2020 x 

 g   x    g  x  . Vậy hàm số g  x  là hàm số lẻ.
Lại có: 2020ln 2021  2021ln 2020
 g  2020 ln 2021    g  2021ln 2020 

 f  2020ln 2021   7    f  2021ln 2020   7   12  7   f  2021ln 2020   7

 f  2021ln 2020   2 .

1 

Câu 26. Cho hàm số f  x   log 1  2  . Cho biểu thức S có dạng
 x 

a
a
S  f  2   f  3  ...  f  2020  . Biết rằng tổng S được viết dưới dạng log   với
là phân
b
b
số tối giản và a , b  0 . Khi đó giá trị của  b  a  bằng
A. 2020

B. 2019

C. 2018

D. 4040

Lời giải
Chọn B

 x2 1 
1 

Ta có: f  x   log 1  2   f  x   log  2   log  x  1  log  x  1  2 log x
 x 
 x 

Suy ra ta có:
f  2   log1  log 3  2 log 2
f  3  log 2  log 4  2 log 3
f  4   log 3  log 5  2 log 4
f  5   log 4  log 6  2 log 5
....
f  2019   log 2018  log 2020  2 log 2019
f  2020   log 2019  log 2021  2 log 2020
 2021 
Suy ra S  log1  2 log 2  log 2  log 2020  log 2021  2 log 2020  log 

 4040 
a  2021
Như vậy suy ra 
 b  a  4040  2021  2019
b  4040

Câu 27. Cho f  x   e

1

1
x2



1

 x 12

m

. Biết rằng f 1 . f  2  . f  3  ... f  2017   e n với m , n là các số tự nhiên

m
tối giản. Tính m  n 2 .
n
A. m  n 2  1 .
B. m  n 2  1 .
và

C. m  n 2  2018 .
Lời giải

D. m  n 2  2018 .

Chọn A

2
2
2
x 2  x  1   x  1  x 2  x  x  1
1
1
.
1 2

 2
2
2

x  x  1 2
x 2  x  1
x  x  1
2

f  x  e

Trang 12

1

1
x2



x  x 1 1

1

 x 12

e

x  x 1

, x  0 .

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

NHĨM TỐN VDC&HSG THPT

Xét dãy số  uk  : uk 

MŨ - LOGARIT- VD_VDC

k  k  1  1
k  k  1

 1

1
1
1
,  k   * .
 1 
k  k  1
k k 1

1 1
1 1
1 1
1
1
 , u3  1   , …, u2017  1 

.
1 2
2 3

3 4
2017 2018
f 1 . f  2  . f  3 ... f  2017   eu1 u2 u3 ...u2017 .

Ta có u1  1   , u2  1 

1
1
20182  1 m
u1  u2  u3  ...  u2017  2017  

 .
1 2018
2018
n
2
Vậy m  n  1 .
log11 2.log11 3....log11  n  1
với số tự nhiên n  1. Số hạng nhỏ nhất của dãy số có
22 n
giá trị là m . Hỏi có bao nhiêu số hạng của dãy số cùng đạt giá trị là m
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 8 .
Lời giải
Chọn B
Xét ba số hạng liên tiếp sau đây:
log11 2.log11 3....log11  n 
log11 2.log11 3....log11  n  1

log11 2.log11 3....log11  n  2 
un1 
; un 
; un 1 
;
2n
2n
2
2
22 n
Để số hạng un nhỏ nhất thì

Câu 28. Cho dãy số un 


log11 2.log11 3....log11  n 
log11 2.log11 3....log11  n  1
 un 
;
un 1 
2n
2
22 n

u  log11 2.log11 3....log11  n  1  u  log11 2.log11 3....log11  n  2  ;
n 1
 n
22 n
22 n
 log11  n  1

1

2
log11  n  1  4
2


 114  2  n  114  1
log11  n  2   4
1  log11  n  2 
2

2
Suy ra có hai giá trị nguyên dương của n thỏa mãn, ứng với hai số hạng của dãy số cùng đạt
 n  114  1
giá trị nhỏ nhất, tương ứng là 
4
 n  11  2
Câu 29. Lần lượt gọi a , b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn log a b 
thì b  d bằng
A. 80 .

B. 93 .

C. 50 .
Lời giải

3
5
và log c d  ; Khi a  c  9

2
4
D. 97 .

Chọn B
3
3


2
3
2
log a b  2
b

a

b  a
Ta có: 


 4
5
5
c  d
log d  5 c  d 4
c


4

 a  k 2

3
2
3
6
2
3
6
 b  k
b  a  m m  k
b  a  k

Đặt  4
với m, n, k , l  Z   4


5
20
5
20
4
c  d  n
n  l
c  d  l
c  l

5
 d  l

CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022

Trang 13


NHĨM TỐN VDC&HSG THPT

MŨ - LOGARIT- VD_VDC

 a  c  k 2  l 4  9 (*)
Suy ra 
. Từ (*)   k  l 2  k  l 2   9
3
5
b

d

k

l
(**)

Do m, n, k , l  Z    k  l 2  ,  k  l 2   Z
k  l 2  0
Do k  l 2  0 nên suy ra 
;k  l2  k  l2
2
2

k  l  k  l
k  5
2

k

l

1
k  5


Suy ra phương trình (*)   k  l 2  k  l 2   9  
  l 2  4  
2
l  2
 k  l  9
 l  0

Từ đó suy ra (**)  b  d  k 3  l 5  53  25  93

Câu 30. Chọn hai số a , b đôi một khác nhau bất kì trong tập hợp sau đây A  2; 22 ; 23 ;...; 225  . Tính xác
suất để log a b là 1 số nguyên
31
7
A.
.
B.
.
300

60

C.

37
.
300

D.

11
.
100

Lời giải
Chọn A
Cách 1:
Ta có: A  2; 22 ; 23 ;...; 225 suy ra A có 25 phần tử





Do log a b là 1 số nguyên nên suy ra b  a

Như vậy a có 25 cách chọn và b có 24 cách chọn tức n     25.24  600 cách

log  2n  n log 2 n
a  2m
n

n
Đặt 
. Suy ra log a b  log 2m  2  

 ; log a b  Z   Z
m
n
m
log  2  m log 2 m
b  2
Khi m  1 thì n có 24 cách chọn
Khi m  2 thì n có 11 cách chọn
Khi m  3 thì n có 7 cách chọn
Khi m  4 thì n có 5 cách chọn
Khi m  5 thì n có 4 cách chọn
Khi m  6 thì n có 3 cách chọn
Khi m  7 thì n có 2 cách chọn
Khi m  8 thì n có 2 cách chọn
Khi m  9 thì n có 1 cách chọn
Khi m  10 thì n có 1 cách chọn
Khi m  11 thì n có 1 cách chọn
Khi m  12 thì n có 1 cách chọn
Như vậy tổng biến cố thỏa mãn đề bài là:
n  A  24  11  7  5  4  3  2  2  1  1  1  1  62 cách
Như vậy xác suất cần tìm là P 

n  A
62
31



.
n    25.24 300

_______________ TOANMATH.com _______________

Trang 14

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA