192 đề HSG toán 6 tiền hải 2016 2017

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2016-2017
MƠN TỐN 6

Bài 1. (4,0 điểm)
A=
1) Tính giá trị biểu thức
2) Tìm số tự nhiên
Bài 2. (4,0 điểm)

x,

1 + 3 + 5 + .... + 19
21 + 23 + 25 + .... + 39

18
5x.5x +1.5x + 2 = 1000....0
14 2 43 : 2

biết:

18..chu ..so ..0

n

UCLN ( 21n + 4;14n + 3) = 1

1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì

p
2p +1
2) Chứng minh rằng: Nếu là số nguyên tố lớn hơn 3 và
cũng là số
4 p +1
nguyên tố thì
là hợp số
Bài 3. (4,0 điểm)
27
1) Chứng minh rằng số viết bởi
chữ số giống nhau thì chia hết cho 27
n
n
n
2) Tìm số tự nhiên có 4 chữ số biết rằng là số chính phương và là bội
của 147
Bài 4. (6,0 điểm)
OB, OC
1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia
sao cho

AOB = 1200 , AOC = 800.
a) Tính
b) Vẽ tia

ON

của góc

Gọi OM là tia phân giác của

là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng
CON

BOC
OA

là tia phân giác

Ox1 , Ox2 , Ox3 ,...., Oxn

2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia
xOx2 = 2 xOx1; xOx3 = 3xOx; xOx4 = 4 xOx1;....; xOxn = nxOx1.

sao cho góc

Tìm số n nhỏ
nhất để trong các tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 2017 góc.
n
Bài 5. (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để các phân số sau đều tối giản.


7
8
9
100
;
;
;......;
n + 9 n + 10 n + 11

n + 102

ĐÁP ÁN
Bài 1.
a) Ta có:
1 + 3 + 5 + .... + 19 = ( 1 + 19 ) + ( 3 + 17 ) + ..... + ( 9 + 11) = 20 + 20 + ... + 20 = 100

21 + 23 + 25 + .... + 39 = ( 21 + 39 ) + ( 23 + 27 ) + ... + ( 29 + 31) = 60 + 60 + ... + 60 = 300

⇒ A=

100 1
=
300 3

b) Ta có:
18
5x.5x +1.5x + 2 = 1 000....0
14 2 43 : 2
18...chu .. so..0

5x + x +1+ x + 2 = 1018 : 218 ⇒ 53 x +3 = 518
⇒ 3 x + 3 = 18 ⇒ x = 5

x=5
Vậy
Bài 2.
d

a) Gọi là UCLN

⇒ 2.( 21n + 4 ) Md

⇒ 2.( 21n + 4 ) Md

( 21n + 4;14n + 3)

⇒ 21n + 4Md

và

14n + 3Md

14n + 3M
d
và
3.( 14n + 3 ) Md

và
⇒ 3.( 14n + 3) − 2.( 21n + 4 ) Md ⇒ 1Md ⇒ d = 1

Vậy

UCLN ( 21n + 4;14n + 3) = 1
p

b) Vì là số nguyên tố,
4 p + 2 = 2 ( 2 p + 1)
Ta có

p > 3 ⇒ 4p

khơng chia hết cho 3


p > 3 ⇒ 2 p +1 > 7

⇒ 2p +1

Theo bài ra
và là số nguyên tố
không chia hết cho 3.
4p + 2
Suy ra
không chia hết cho 3.
4 p;4 p + 1;4 p + 2
Mà
là ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 3,
4 p +1
do đó
chia hết cho 3.
4 p + 1 > 13
4 p +1
Vì
nên
là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.
4 p +1
Suy ra
là hợp số.
Bài 3.
a) Trước hết ta chứng minh số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27

111...11
{ × 1000....01000....01
14 2 43 = 11...1
14 2 43 14 2 43
27...chu ...so..1

Thật vậy:
11...1
9
{ M
Mà

9..c / so..1

9..c / so..1

8..c / so..0

8...c / s ..0

1000...01000...01
3 ⇒ 111...1
1 2 3 14 2 43 M
1 2 3 M27
và

8..c / so..0

8..c / so..0

27..c / so..1

a.111...1
123

a
27...c / so...1
Từ đó suy ra nếu một số viết bởi 27 chữ số thì số đó bằng
nên số đó
chia hết cho 27.
n
1000 ≤ n ≤ 9999
b) Vì là số tự nhiên có 4 chữ số nên
n
n = 147 k = 7 2.3k
Theo bài ra là bội của 147 nên
n
Do là số chính phương nên khi phân tích ra thừa số ngun tố thì lũy thừa các
thừa số nguyên tố phải có số mũ chẵn
⇒ 1000 ≤ 441m ≤ 9999 ⇒ 2 < m < 22

⇒ kM
3 ⇒ k = 3m ⇒ n = 7 2.32.m = 441m

⇒ m = 4;9;16

Để n là số chính phương thì m là số chính phương
1764;3969;7056.
Suy ra các số tự nhiên cần tìm là :
Bài 4.

AOC < AOB (800 < 1200 )

a) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có
⇒
OA
Tia OC nằm giữa hai tia
và OB
0
⇒ AOC + BOC = AOB ⇒ 80 + BOC = 1200 ⇒ BOC = 400

Vì

OM

là tia phân giác của

BOC 400
BOC ⇒ BOM = COM =
=
= 200
2
2

OB

BOM < BOA ( 200 < 1200 )

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia

có
nên
tia OM nằm giữa hai tia OA và OB
⇒ BOM + MOA = AOB
200 + MOA = 1200 ⇒ MOA = 1000
hay
OM , ON
AOM
AON
b) Vì
là hai tia đối nhau nên hai góc
và
là hai góc kề bù
0
0
0
0
⇒ AOM + AON = 180 ⇒ 100 + AON = 180 ⇒ AON = 80
AOC = AON ( = 800 )

(1)

Suy ra
Vì hai tia OM và ON nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là tia OA nên tia
OA nằm giữa hai tia OM và ON (2)


Từ (1) và (2) suy ra tia

OA

là tia phân giác của

CON
Ox1 , Ox2 , Ox3 ,...., Oxn

c) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia
xOx2 = 2 xOx1; xOx3 = 3xOx1; xOx4 = 4 xOx1;.....; xOxn = nxOx1

sao cho

⇒ xOx1 = x1Ox2 = x2Ox3 = ..... = xn−1Oxn

Vậy khi

n

n = 2017.2 = 4034

Ox2017

nhỏ nhất là
thì lúc đó
là tia phân giác chung
xOx4034 = x1Ox4033 = x2Ox4032 = ..... = x2016Ox2018
2017
của
góc:
Bài 5.
a

a + ( n + 2)
Các phân số đã cho đều có dạng
, vì các phân số này đều tối giản nên
n+2
a
và phải là hai số nguyên tố cùng nhau.
7;8;9;...;100
n+2
Như vậy
phải là số nguyên tố cùng nhau với lần lượt các số
và
n+2
phải là số nhỏ nhất.
n+2
Nên
là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 100
⇒ n + 2 = 101 ⇒ n = 99