Phân tử thanh dầm potx

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ
HỮU HẠN - FEM
Trường Đại học Công nghiệp TP.HCM
Đường Công Truyền
Chương 6:
PHẦN TỬ THANH DẦM
Phần tử thanh dầm
L: Chiều dài thanh dầm
I : Mômen quán tính của
tiết diện
E : Môđun đàn hồi
Chuyển vị (độ võng) của
trục trung tâm
Góc xoay quanh trục z
Lực cắt
Mômen uốn quanh trục z
Lý thuyết thanh dầm cơ bản
Phương trình vi phân đàn hồi
Định luật Hooke
Ma trận độ cứng phần tử
Hàm dạng của thanh dầm chịu uốn
• Mỗi nút có 2 bậc tự do: chuyển vị v(x) và góc
xoay dx/dv = θ
• Vectơ bậc tự do của phần tử
Hàm dạng của thanh dầm chịu uốn
• Bốn bậc tự do ⇒ hàm xấp xỉ chuyển vị v(x)
đến bậc 3
• Hàm xấp xỉ góc xoay
Hàm dạng của thanh dầm chịu uốn
• Thay tọa độ các điểm nút vào v(x) và θ(x) và
thực hiện đồng nhất với {q}

e
Hàm dạng của thanh dầm chịu uốn
• Ma trận các hàm dạng
• Trong đó
Kiểm tra 2 tính chất của hàm dạng
• Tính chất 1
• Tính chất 2
1
1
n
i
i
N
=
=
∑
Ma trận độ cứng phần tử
• Định nghĩa 4 hàm dạng:
Ma trận độ cứng phần tử
• Độ võng (chuyển vị) của thanh dầm :
• Lưu ý:
Ma trận độ cứng phần tử
• Độ cong của thanh dầm:
• Trong đó, ma trận biến dạng-chuyển vị B là:
Ma trận độ cứng phần tử
• Năng lượng biến dạng:
Ma trận độ cứng phần tử
• Suy ra:
• Thay
• Ta được:

Ma trận độ cứng phần tử
• Kết hợp với chuyển vị dọc trục của thanh dầm ⇒
biểu thức tổng quát cho ma trận độ cứng phần tử
Ứng suất trong thanh dầm
• Ứng suất trong thanh dầm
• Lưu ý:
• Suy ra:
Nếu tải trọng phân bố bằng không thì
phương trình độ võng có dạng bậc 3
(đó chính là hàm dạng)
Ví dụ 1
• Tính độ võng và góc xoay tại nút 2
• Tính các phản lực tại nút 1 và 3
Ví dụ 1
• Ma trận độ cứng phần tử:
Ví dụ 1
• Ma trận độ cứng tổng thể:
Ví dụ 1
• Hệ phương trình TPHH:
Ví dụ 1
• Điều kiện biên :
• Hệ phương trình PTHH được rút gọn:
• Giải hệ PT ta được:
Ví dụ 1
• Tính phản lực và mômen:
Quy đổi lực phân bố về nút
Ví dụ 2
• Tính độ võng và góc xoay tại nút 2
• Tính các phản lực tại nút 1
• Trong đó:

Ví dụ 2
• Quy đổi lực phân bố về nút
• Hệ PT PTHH:
• Điều kiện biên:
Ví dụ 2
• Hệ PT PTHH được rút gọn:
• Giải hệ PT:
Ví dụ 2
• Nếu bỏ qua mômen tương đương m thì:
• Sai số của nghiệm của PT trên sẽ giảm nếu
chia thanh dầm thành nhiều phần tử hơn.
Thường thì mômen m được bỏ qua trong các
ứng dụng của FEM.
Ví dụ 2
• Tính các phản lực:
• Giá trị đúng của các phản lực sẽ được công
thêm với giá trị của lực phân bố được quy đổi
về nút, nên:
Ví dụ 2
• Cho:
• Tính độ võng, góc xoay, và các phản lực.
Ví dụ 3
• Ma trận độ cứng phần tử:
Ví dụ 3
• Ma trận độ cứng tổng thể:
• Trong đó,
Ví dụ 3
• Hệ PT PTHH:
Ví dụ 3
• Điều kiện biên:

• Hệ PT PTHH được rút gọn:
Ví dụ 3
• Giải hệ PT:
• Thay giá trị vào:
Ví dụ 3
• Tính các phản lực:
• Sơ đồ cân bằng lực (Free-body diagram)
Ví dụ 3
• Cho:
• Tính chuyển vị và góc xoay tại các nút 1 và 2
Ví dụ 4: Bài toán khung
• Quy đổi lực phân bố về nút
Ví dụ 4: Bài toán khung
• Trong hệ tọa độ địa phương, ma trận độ cứng
phần tử của thanh dầm là
Ví dụ 4: Bài toán khung
• Bảng ghép nối các phần tử
Ví dụ 4: Bài toán khung
• Ma trận độ cứng phần tử 1
Ví dụ 4: Bài toán khung
• Ma trận độ cứng phần tử 2 và 3 trong hệ tọa
độ địa phương
• Trong đó, i=3, j=1 đối với phần tử 2 và i=4, j=2
đối với phần tử 3
Ví dụ 4: Bài toán khung
• Dạng tổng quát của ma trận chuyển đổi T
Ví dụ 4: Bài toán khung
• Với l=0 và m=1 cho cả hai phần tử 2 và 3, nên
Ví dụ 4: Bài toán khung
• Ma trận độ cứng phần tử 2 và 3 trong hệ tọa

độ tổng thể
Ví dụ 4: Bài toán khung
• và
Ví dụ 4: Bài toán khung
• Điều kiện biên:
Ví dụ 4: Bài toán khung
• Hệ PT PTHH:
Ví dụ 4: Bài toán khung
• Chuyển vị và góc xoay:
Ví dụ 4: Bài toán khung
• Phản lực nút:
• Sơ đồ cân bằng lực
(Free-body diagram)
Ví dụ 4: Bài toán khung
BÀI TẬP VỀ NHÀ
(Viết tay trên giấy A4, tuần sau nộp)