MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH THI VÀO LỚP 10 THPT MÔN TOÁN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (330.78 KB, 39 trang )
1
PHỊNG GD - ĐT VĨNH TƯỜNG
TRƯỜNG THCS LŨNG HỒ
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến:
MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH THI
VÀO LỚP 10 THPT MƠN TỐN
Tác giả sáng kiến: Cao Quốc Cường
* Mã sáng kiến: 28
Vĩnh Tường, tháng 9 năm 2021
MỤC LỤC
STT
Mục
Trang
1
Lời giới thiệu
1
2
Tên chuyên đề
2
3
Tác giả chuyên đề
2
4
Chủ đầu tư tạo ra chuyên đề
2
5
Lĩnh vực áp dụng chuyên đề
2
6
Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
3
7
Mô tả bản chất của chuyên đề
8
Những thông tin cần được bảo mật
34
9
Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề
34
10
Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp
dụng chuyên đề theo ý kiến của tác giả
35
11
Danh sách những tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng
thử chuyên đề lần đầu
36
Tài liệu tham khảo
37
3 -34
2
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Các bài tốn liên quan đến phương trình, hệ phương trình là nội dung quan
trọng trong các đề thi vào lớp 10 THPT. Qua thực tế giảng dạy, cũng như qua
việc theo dõi kết thi vào lớp 10THPT, tơi thấy những bài tốn liên quan đến
phương trình, hệ phương trình là khơng khó, nhưng vẫn cịn nhiều học sinh làm
sai hoặc chưa làm được, chưa nắm vững các phương pháp giải, chưa hình thành
kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể.
Thực tế giảng dạy tơi thấy có một số học sinh tiếp thu bài còn chậm, chưa
biết vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập. Các em cịn nhầm lẫn và
chưa thành thạo các dạng tốn về phương trình, hệ phương trình, do thời gian
dành cho ơn tập dạng bài tập này cịn ít đa số các em chưa giải được những bài
toán mở rộng, nâng cao trong các đề thi vào lớp 10 THPT.
Nguyên nhân của những tồn tại trên là:
- Do thời gian trong phân phối chương trình dành cho phần phương trình, hệ
phương trình cịn ít, để làm được các bài tập liên quan đến phương trình, hệ
phương trình có chứa tham số địi hỏi học sinh có tu duy, có kỹ năng tính tốn,
phân tích tốt.
- Một số học sinh nắm kiến thức chưa sâu, một số chỉ học máy móc, hiểu một
cách giải những hệ phương trình đơn giản chứ chưa nắm vững kiến thức nên gặp
nhiều khó khăn trong q trình làm bài tập.
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo
gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng
cao chất lượng thi vào lớp 10 THPT tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm:
“Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 THPT mơn
Tốn".
Nội dung chủ yếu của sáng kiến là nêu ra các dạng bài tập cơ bản thường gặp
trong các đề thi vào lớp 10 THPT, sáng kiến còn giúp học sinh củng cố và nắm
chắc kiến thức cơ bản, giúp các em tự tin hơn khi gặp các bài tốn về phương
trình và hệ phương trình.
Trong mỗi dạng tốn tơi đưa ra phương pháp chung, các ví dụ minh họa,
hướng giải quyết cụ thể, một số sai lầm học sinh thường gặp và bài tập vận dụng
tương ứng cho từng dạng.
2.Tên sáng kiến:
Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 THPT mơn Tốn
3.Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Cao Quốc Cường
- Địa chỉ : Trường THCS Lũng Hòa - Vĩnh Tường- Vĩnh Phúc
3
- Số điện thoại: 0982.172.094
Email:
4.Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Cao Quốc Cường;
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 9 các trường THCS;
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Từ 15 tháng 3 năm 2021;
7.Mô tả bản chất của chuyên đề
A. Nội dung
CHUYÊN ĐỀ I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
7.1.Dạng 1: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
* Khái niệm về hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
ax by c(1)
,
,
a x b, y c (2) trong đó (1) và (2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.
7.1.1.Phương pháp giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp thế
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương
trình tương đương
Gồm hai bước sau:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho (coi là phương trình
thứ nhất) ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để
được một phương trình mới (là PT một ẩn);
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong
hệ
(phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn
theo ẩn kia có được ở bước 1).
Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ
phương trình tương đương
Gồm hai bước sau:
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để
được một phương trình mới;
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của
hệ (và giữ nguyên phương trình kia).
4
7.1.2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
x y 1
3 x 2 y 3
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2015- 2016)
Giải
Cách 1: Sử dụng phương pháp thế
x y 1
3 x 2 y 3
x y 1
x y 1
x y 1
x 1
3( y 1) 2 y 3
3 y 3 2 y 3
5 y 0
y 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y) = (1;0)
Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số
x y 1
3 x 2 y 3
2 x 2 y 2
5 x 5
x 1
x 1
3x 2 y 3
x y 1
1 y 1
y 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (1;0)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
4 x 5 y 5
4 x 7 y 1
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2010- 2011)
Giải
Cách 1: Sử dụng phương pháp thế
5 5y
5 5y
x 4
x
4
4. 5 5 y 7 y 1
5 5 y 7 y 1
4
5 5y
15
x
x
4
4
y 2
y 2
4 x 5 y 5
4 x 7 y 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (
5 5y
x
4
2 y 4
15
; 2 )
4
Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số
4 x 5 y 5
4 x 7 y 1
y 2
2 y 4
y 2
y 2
15
4 x 5 y 5
4 x 10 5
4 x 15
x 4
5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (
15
; 2 )
4
Nhận xét: Đối với ví dụ 2 giáo viên lên hướng dẫn học sinh giải bằng phương
pháp cộng sẽ nhanh hơn vì hệ số của x ở hai phương trình trong hệ bằng nhau.
7.1.3 Bài tập tương tự
Giải các hệ phương trình sau:
4 x 2 y 3
6 x 3 y 5
a)
2 x 3 y 5
4 x 6 y 10
b)
x 5 (1 3 ) y 1
e)
(1 3 ) x y 5 1
3 x 4 y 2 0
5 x 2 y 14
c)
2 x 5 y 3
3 x 2 y 14
d)
x 2
g) y 3
x y 10 0
y 27
2 y 5x
5
2x
3
4
i)
x 1 y 6 y 5x
3
7
0,2 x 0,1 y 0,3
f)
3 x y 5
(2 x 3)( 2 y 4) 4 x ( y 3) 54
( x 1)(3 y 3) 3 y ( x 1) 12
1
1
2 ( x 2)( y 3) 2 xy 50
j)
1 xy 1 ( x 2)( y 2) 32
2
2
h)
( x 20)( y 1) xy
( x 10)( y 1) xy
k)
7.2.Dạng 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ hai phương
trình bậc nhất hai ẩn
7.2.1.Phương pháp giải:
- Tìm điều kiện xác định của các phương trình trong hệ (nếu có)
- Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có)
- Giải hệ phương trình theo các ẩn phụ đã đặt
- Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.
7.2.2.Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
2( x y ) 3( x y ) 4
a )
( x y ) 2( x y ) 5
2( x 2) 3(1 y ) 2
b)
3( x 2) 2(1 y ) 3
Giải
a)Cách 1:
2( x y ) 3( x y ) 4
2 x 2 y 3 x 3 y 4
5 x y 4
a )
( x y ) 2( x y ) 5
x y 2 x 2 y 5
3x y 5
6
1
x 2
2 x 1
3x y 5
3 y 5
2
x
y
1
2
13
2
1 13
;
2 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) =
Cách 2:
Đặt
x y u
x y v
Khi đó, hệ phương trình đã cho có dạng:
2u 3v 4
2u 3v 4
v 6
v 6
v 6
u 2v 5
2u 4v 10
u 2v 5
u 12 5
u 7
1
x
x
x y 7
2 x 1
2
x y 6
x y 7
3 y 5
y
2
1
2
13
2
1 13
;
2 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) =
b)Cách 1:
2( x 2) 3(1 y ) 2
2 x 4 3 3 y 2
2 x 3 y 1
3( x 2) 2(1 y ) 3
3 x 6 2 2 y 3
3 x 2 y 5
4 x 6 y 2
13x 13
x 1
x 1
9 x 6 y 15
2 x 3 y 1
2 3 y 1
y 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = 1; 1
x 2 u
y 1 v
Cách 2: Đặt
Khi đó, hệ phương trình đã cho có dạng:
2u 3v 2
4u 6v 4
13u 13
u 1
u 1
3u 2v 3
9u 6v 9
2u 3v 2
2 3v 2
v 0
x 2 1
x 1
y 1 0
y 1
Theo cách đặt ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = 1; 1
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:
7
1 1
x y 1
a )
3 4 5
x y
1
x 2
b)
2
x 2
1
2
y 1
3
1
y 1
Giải
1 1
x y 1
a )
3 4 5
x y
ĐKXĐ: x 0 ; y 0
1
x u
(u 0; v 0) . Khi đó hệ phương trình đã cho có dạng:
Đặt 1
v
y
9
9
u
u
u v 1
4u 4v 4
7u 9
7
7
3u 4v 5
3u 4v 5
u v 1
9 v 1
v 2
7
7
1 9
x 7
1 2
y 7
7
x 9
(Thỏa mãn điều kiện)
y 7
2
7 7
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = ;
9 2
1
x 2
b)
2
x 2
1
2
y 1
3
1
y 1
1
x 2 u
Đặt 1
v
y 1
ĐKXĐ: x 2 ; y 1
(u 0; v 0) . Khi đó phương trình đã cho có dạng:
7
7
u
u
u v 2
3u 3v 6
5u 7
5
5
2u 3v 1
2u 3v 1
u v 2
7 v 2
v 3
5
5
8
7
1
x 2 5
1 3
y 1 5
5
19
x 2 7
x 7
(Thỏa mãn điều kiện)
5
y 1
y 8
3
3
19 8
;
7 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) =
Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau:
2 x 1
3 x 2 y 2
a)
b)
2 x y 1
y 1 1
x 1 y 1 2
Giải
3 x 2 y 2
a)
2 x y 1
x u
Đặt
y v
ĐKXĐ: x 0 ; y 0
(u 0; v 0) . Khi đó hệ phương trình đã cho có dạng:
x 0
3u 2v 2
3u 2v 2
7u 0
u 0
y 1
2u v 1
4u 2v 2
2u v 1
v 1
x 0
(Thỏa mãn điều kiện)
y 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y) = 0;1
2 x 1 y 1 1
b)
ĐKXĐ: x 1 ; y 1
x 1 y 1 2
x 1 u
Đặt
y 1 v
(u 0; v 0) . Khi đó hệ phương trình đã cho có dạng:
x 1 1
2u v 1
3u 3
u 1
u 1
y 1 1
u v 2
u v 2
1 v 2
v 1
x 1 1
x 2
( Thỏa mãn điều kiện)
y 1 1
y 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = 2;2
Ví dụ 4: Giải các hệ phương trình sau:
5 x 3 y 8
a )
3 x 2 y 5
5 x 3 y 8 xy
b)
3 x 2 y 5 xy
9
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2005- 2006)
Giải
5 x 3 y 8
10 x 6 y 16
x 1
a )
3 x 2 y 5
9 x 6 y 15
5 x 3 y 8
x 1
x 1
5 3 y 8
y 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = 1;1
b) Cách 1:
5 x 3 y 8 xy
10 x 6 y 16 xy
x xy
x xy 0
3 x 2 y 5 xy
9 x 6 y 15 xy
5 x 3 y 8 xy
5 x 3 y 8 xy
x(1 y ) 0
5 x 3 y 8 xy
x 0
x 0
Từ phương trình x(1 y ) 0
1 y 0
y 1
- Với x 0 thay vào phương trình 5 x 3 y 8 xy ta được y 0
- Với y 1 thay vào phương trình 5 x 3 y 8 xy ta được 5 x 3 8 x
3 x 3 x 1
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x; y) = (0;0); (1;1)
Cách 2:
- Ta thấy cặp số (0;0) là một nghiệm của phương trình
- Với x 0 ; y 0 : Chia cả hai vế của các phương trình trong hệ cho xy ta được:
3
x
2
x
5
8
y
3
5
y
1
x u
Đặt 1
v
y
Khi đó hệ có dạng:
3u 5v 8
6u 10v 16
v 1
v 1
v 1
2u 3v 5
6u 9v 15
2u 3v 5
2u 3 5
u 1
1
x 1
x 1
( Thỏa mãn điều kiện)
y 1
1 1
y
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x; y) = (0;0); (1;1)
Ví dụ 5: Giải các hệ phương trình:
10
2
xy
xy 3
6
yz
b)
yz 5
zx
3
zx 4
2( x y ) 3 xy
a) 6( y z ) 5 yz
3( z x) 4 zx
Giải
a) Nếu x 0 thì y z 0 .Suy ra x y z 0 là một nghiệm của hệ phương trình
Nếu x 0 thì khi đó y, z 0 , hệ phương trình đã cho tương đương với hệ
x y 3
xy 2
yz 5
6
yz
zx 4
3
zx
1 1 3
x y 2
1 1 5
y z 6
1 1 4
z x 3
Đặt
1
1
1
u , v , w ta có hệ
y
x
z
3
u v 2
5
v w
6
4
w u 3
Cộng vế với vế các phương trình trong hệ ta được:
1 3 5 4 11
u vw ( )
2 2 6 3
6
11 5
11 4 1
11 3 1
1 ; v ; w
6 6
6 3 2
6 2 3
Suy ra u
Do đó x 1 ; y 2 ; z 3
Vậy hệ phương trình có hai nhiệm là (x ; y ; z) = (0; 0; 0) ; (1; 2; 3)
b) Điều kiện: x y ; y z ; z x
Từ hệ đã cho suy ra x, y, z đều khác 0. Do đó ta có hệ:
xy 3
xy 2
yz 5
6
yz
zx 4
3
zx
3
u v 2
5
v w
6
4
w u 3
1 1 3
x y 2
1 1 5
y z 6
1 1 4
z x 3
Đặt
1
1
1
u , v , w ta có hệ
y
x
z
Cộng vế với vế các phương trình trong hệ ta được:
11
1 3 5 4 11
u vw ( )
2 2 6 3
6
11 5
11 4 1
11 3 1
1 ; v ; w
6 6
6 3 2
6 2 3
Suy ra u
Do đó x 1 ; y 2 ; z 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x ; y ; z) = (1 ;2 ;3)
7.2.3. Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
3( x y ) 9 2( x y )
2( x y ) 3( x y ) 11
b)
2( x y ) 3( x y ) 4
( x y ) 2( x y ) 5
2(3x 2) 4 5(3 y 2)
4(3x 2) 7(3 y 2) 2
d)
a)
3(2 x y ) 9 2(3 x y )
2(2 x y ) 3(3 x y ) 11
c)
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
1 1 1
x y 12
a)
8 15 1
x y
1
2
x 2 y y 2 x 3
b)
3
4
1
x 2 y y 2 x
2
3x
x 1 y 4 4
c)
2 x 5 9
x 1 y 4
3 x 2 y 16
x 4 y 18
3 x y 10
x 2 y 2 13
d) 2
3 x 2 y 2 6
e)
2( x 2 2 x) y 1 0
g) 2
3( x 2 x) 2 y 1 7
5 x 1 3 y 2 7
h)
2 4 x 2 8 x 4 5 y 2 4 y 4 13
2 x 3 y 11
f)
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
2 x 11 y 7 xy
a )
10 x 11 y 31xy
4 x 7 y 16 xy
b)
4 x 3 y 24 xy
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:
6( x y ) 5 xy
a) 12( y z ) 7 yz
4( z x) 3 zx
xy
x y
yz
b)
yz
zx
zx
2
3
6
5
3
4
7.3.Dạng 3: Hệ phương trình có chứa tham số
Thơng thường các bài tập ở dạng này có cấu trúc chung như sau:
12
ax by c
trong đó 1 số hệ số của một trong hai
a ' x b ' y c '
Cho hệ phương trình
phương trình có chứa tham số
a)Giải hệ phương trình với giá trị tham số cho trước.
b)Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất? Vơ
nghiệm? Vơ số nghiệm?
c)Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn một hệ
thức cho trước.
7.3.1.Phương pháp giải:
Phần a:
- Bước 1: Thay giá trị của tham số vào hệ phương trình
- Bước 2: Giải hệ phương trình mới (Bằng phương pháp cộng hoặc
phương pháp thế)
Phần b:
Sử dụng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế ta thu được một
phương trình (ký hiệu là *, phương trình này thường là PT bậc nhất 1 ẩn)
Số nghiệm của hệ phương trình bằng số nghiệm của phương trình (*).
Phần c:
- Bước 1: Sử dụng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế ta thu được
một phương trình (ký hiệu là *, phương trình này thường là PT bậc nhất 1 ẩn);
Số nghiệm của hệ phương trình bằng số nghiệm của phương trình (*);
- Bước 2: Biểu diễn x, y theo tham số;
- Bước 3: Thay x, y vào hệ thức đã cho và giải để tìm điều kiện của tham
số;
- Bước 4: Kết luận.
7.3.2. Các ví dụ minh họa
mx 4 y 201
x my 10 2
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình :
(Với m là tham số x,y là ẩn)
Hãy tìm m để hệ phương trình : Vơ nghiệm, có nghiệm duy nhất, vơ số nghiệm.
Bài làm: Có hai cách giải bài toán trên
Cách 1: Rút x từ PT(2) thế vào PT(1) ta được PT : y( 4 – m2) = 20 – 10m (3)
Ta thấy số nghiệm của PT(3) bằng số nghiệm của hệ phương trình.
13
4 m 2 0
m 2
Vậy để HPT vơ nghiệm thì PT (3) vơ nghiệm
20 10m 0
Để HPT có nghiệm duy nhất thì PT(3) có nghiệm duy nhất
4 m 2 0 m 2 .
4 m 2 0
m 2
Để HPT có vơ số nghiệm thì PT(3) có vô số nghiệm
20 10m 0
Kết luận: HPT vơ nghiệm khi m = -2. HPT có nghiệm duy nhất khi m 2
HPT có vơ số nghiệm khi m = 2
Những sai lầm thường gặp:
Khi xét trường hợp PT (3) vô nghiệm chỉ xét điều kiện 4 – m2 = 0. Quên điều
kiện 20 10m 0 . Nên dẫn tới kết luận sai m = 2 HPT vô nghiệm.
Cách 2:
x 10
y 5
- Nếu m = 0 thay vào HPT ta có:
Hệ PT có nghiệm duy nhất.
m
y 4 x 5
mx 4 y 20
- Nếu m 0 ta có
1 10
x my 10
y
m m
(a)
(b)
Gọi (a), (b) là các đường thẳng có PT biểu diễn tương ứng bởi các PT (1), (2). Ta
thấy số nghiệm của HPT chính là số giao điểm của hai đường thẳng (a) và (b).
m 1
4 m
m 2
Vậy để HPT vơ nghiệm thì (a) // (b)
10
5
m
Để HPT có nghiệm duy nhất thì (a) cắt (b)
m 1
m 2
4
m
Để HPT có vơ số nghiệm thì (a) và (b) có vơ số điểm chung ( Đường thẳng (a)
m 1
4 m
m 2 .
trùng đường thẳng (b))
10
5
m
Kết luận: HPT vơ nghiệm khi m = -2. HPT có nghiệm duy nhất khi m 2
HPT có vơ số nghiệm khi m = 2.
Những sai lầm thường gặp:
14
Khi xét trường hợp đường thẳng (a) // đường thẳng (b) học sinh chỉ xét điều
kiện
m 1
10
. Quên điều kiện 5 Nên dẫn tới kết luận sai m = 2 . HPT
4
m
m
vơ nghiệm.
mx y n 0
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:
(**)
x y 2 x 2 y 1 0
(x,y là ẩn. m,n là tham số). Tìm các giá trị của m, n để hệ phương trình vơ
nghiệm.
mx y n 0
mx y n 0
x y 2 0
Bài làm: Ta có
mx y n 0
x y 2 x 2 y 1 0
x 2 y 1 0
y mx n1
I
y
x
2
2
y mx n 3
1
1 II
y x 4
2
2
Gọi a, b, c, d là các đường thẳng có phương trình biểu diễn tương ứng bởi các
PT (1), (2), (3), (4).Hệ PT trình(**) vơ nghiệm khi cả hệ PT (I) và hệ PT (2) vô
a // b
nghiệm
c // d
m 1; n 2
m 1 ; n 1
2
2
Vậy không tồn tại m, n để hệ vô nghiệm.
mx y 1
x y m
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình:
Tìm m để hệ PT có nghiệm duy nhất (x,y) thoả mãn y2 = x.
mx y 1
x y m
Bài làm:Ta có
y mx 1
(1 m) x 1 m*
Để hệ PT có nghiệm duy nhất PT (*) có nghiệm duy nhất m 1 .(I). Khi đó
x 1
m 0
2
Để y2 = x m 1 1
Thoả mãn ĐK
y m 1
m 2
hệ PT có nghiệm
(I)
Vậy m = 0 hoặc m = - 2 thì hệ PT có nghiệm duy nhất thoả mãn y2 = x.
x my 3m1
2
mx y m 2 2
Ví dụ 4: Cho hệ phương trình:
Tìm m để hệ PT có nghiệm duy nhất thoả mãn x2 - 2x – y > 0.
Bài làm: Từ PT(1) ta có x = 3m – my (*) thế vào PT(2) ta có :
m(3m – my) – y = m2 - 2 y(m2 + 1) = 2m2 + 2 y = 2
thay y = 2 vào (*) ta có x = m
x m
y 2
Vậy hệ PT ln có nghiệm duy nhất
15
m 1 3
2
Để x2 – 2x – y > 0 m2 – 2m – 2 > 0 m 1 3 0
m 1
3
(m 1) x y 3m 41
x (m 1) y m 2
Ví dụ 5: Cho hệ phương trình:
Tìm m để hệ PT có nghiệm duy nhất thoả mãn: x + y = 2.
Bài làm: Rút x từ PT(2) thế vào PT(1) ta có:
y(m2 – 2m) = m2 – 4m + 4 (*) để hệ PT có nghiệm duy nhất PT(*) có
m 0
m 2
nghiệm duy nhất m2 – 2m 0
có nghiệm của hệ PT là
(I). Với m thoả mãn điều kiện (I) ta
3m 2
x m
m 2
y
m
Để x + y = 2 ta có
3m 2 m 2
2 2m 4 m 2 (Khơng thoả mãn ĐK (I)). Vậy khơng tìm
m
m
được giá trị của m để hệ PT có nghiệm duy nhất thoả mãn: x + y = 2.
ax y b1
2
2
x 4 y 1 2
Ví dụ 6: Cho hệ phương trình:
(a,b là tham số)
Tìm các giá trị của a để hệ PT có nghiệm (x, y) với mọi b.
Bài làm: Rút y từ PT(1) thế vào PT(2) ta có:
x2 - 4(b – ax)2 = 1 (1 – 4a2)x2 + 8abx – 4b2 - 1 = 0 (3)
4bx 4b 2 1
1
*Nếu 1 – 4 a 0 a PT(3)
2
2
4bx 4b 1
2
Các phương trình này đều vơ nghiệm khi b = 0.
1
2
*Nếu 1 4a 2 0 a . Để hệ PT đã cho có nghiệm với mọi b PT(3) có
nghiệm với mọi b ' 4b 2 1 4a 2 0
1
2
Với b 1 4a 0 a < ( Do
2
1
a )
2
Kết luận : Vậy a
1
thì hệ PT có nghiệm (x,y) với mọi b.
2
Những sai lầm thường gặp:
Khi làm bài 2 các em thường nhầm lẫn giữa ( hoặc, và ). Các em cần chú
ý để hệ PT (**) vơ nghiệm thì cả hệ PT (I) và hệ PT (2) vô nghiệm.
16
Khi làm các bài 3, 4, 5 sau khi tìm được giá trị của m nhiều em không
kiểm tra điều kiện của m để hệ PT có nghiệm duy nhất. Vì vậy ở bài 5 nhiều em
đã tìm ra kết quả m = 2.
Khi làm bài 6 nhiều em quên không xét trường hợp 1 4a 2 0 . Vì vậy bài 6
1
2
nhiều em ra kết quả sai là a .
Ví dụ 7: Cho hệ phương trình
mx 2 y 1
(m là tham số có giá trị thực)
2 x 4 y 3
(I)
a) Giải hệ phương trình (I) với m =1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất.
( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2009- 2010)
Giải
a) Thay m =1 vào hệ phương trình (I) ta có:
x 2 y 1
2 x 4 y 2
2 x 4 y 3
2 x 4 y 3
4 x 1
x 2 y 1
1
x 4
1 2 y 1
4
1
x 4
y 5
8
1 5
4 8
Vậy với m = 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = ( ; )
b) Cách 1:
Hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất
m
2
m 1
2 4
Vậy với m 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Cách 2:
mx 2 y 1
2mx 4 y 2
2 x 4 y 3
2 x 4 y 3
Cộng vế với vế hai phương trình trên ta được: 2mx 2 x 1 2(m 1) x 1 (*)
Hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất
Phương trình (*) có nghiệm duy nhất
m 1 0
m 1
Vậy với m 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
17
x my 2m
với m là tham số
mx y 1 m
Ví dụ 8: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m = 2.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
Vơ nghiệm? Vơ số nghiệm?
Giải
a) Thay m = 2 vào hệ phương trình ta có:
x 2 y 4
x 2 y 4
3x 6
x 2
x 2
2 x y 1
4 x 2 y 2
x 2 y 4
2 2 y 4
y 3
Vậy với m = 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: 2;3
b) Từ phương trình mx y 1 m suy ra y 1 m mx : Thay vào phương trình
x my 2m ta được: x m(1 m mx) 2m
x m m 2 m 2 x 2m
(1 m 2 ) x m 2 m (*)
* Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Phương trình (*) có nghiệm duy nhất
1 m 2 0 m 2 1 m 1
Vậy với m 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
* Hệ phương trình vơ nghiệm
Phương trình (*) vơ nghiệm
m 1
1 m 2 0
2
m 0 m 1
m m 0
m 1
Vậy với m 1 thì hệ phương trình vơ nghiệm.
-Hệ phương trình vơ số nghiệm
Phương trình (*) có vô số nghiệm
m 1
1 m 2 0
m 1
2
m 0 m 1
m m 0
m(m 1) 0
m 1
Vậy với m 1 thì hệ phương trình có vơ số nghiệm.
mx y 1
với m là tham số
2 x my 4
Ví dụ 9: Cho hệ phương trình
18
a) Giải hệ phương trình khi m =1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(x;y) thỏa mãn x y 2 .
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2016- 2017)
Giải
a) Thay m =1 vào hệ phương trình ta có:
5
5
x
x
x y 1
3x 5
3
3
2 x y 4
x y 1
5 y 1
y 2
3
3
5 2
Vậy với m =1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ;
3 3
b) Từ phương trình mx y 1 suy ra y mx 1 : Thay vào phương trình
2 x my 4
ta được: 2 x m(mx 1) 4
2 x m 2 x m 4
(m 2 2) x m 4 (*)
Hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất
Phương trình (*) có nghiệm duy nhất
m 2 2 0 đúng với mọi m
Vậy với mọi m thì hệ phương trình đã cho ln có nghiệm duy nhất.
Khi đó, x
m4
4m 2
và y 2
2
m 2
m 2
Theo đề bài x y 2
m 4 4m 2
2
m2 2 m2 2
5m 2 2m 2 4
2m 2 5m 2 0
(m 2)(2m 1) 0
m 2
m 2 0
m 1
2
m
1
0
2
19
1
2
Vậy với m 2 hoặc m thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y)
thỏa mãn x y 2 .
mx y 1
( m là tham số)
2 x 3my 7
Ví dụ 10: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m =1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa
mãn điều kiện x 0 và y 0 .
Giải
a) Thay m =1 vào hệ phương trình ta có:
x y 1
3x 3 y 3
5 x 10
x 2
2 x 3 y 7
2 x 3 y 7
x y 1
y 1
Vậy với m =1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (2; 1)
b) Từ phương trình mx y 1 suy ra y mx 1 : Thay vào phương trình
2 x 3my 7
ta được: 2 x 3m(mx 1) 7
2 x 3m 2 x 3m 7
(3m 2 2) x 3m 7 (4*)
Ta có 3m 2 2 0 với mọi m (vì m 2 0 nên 3m 2 2 0 với mọi m)
Vậy với mọi m thì hệ phương trình đã cho ln có nghiệm duy nhất.
Khi đó, x
3m 7
7m 2
và y 2
2
3m 2
3m 2
Theo đề bài x 0 và y 0
7
3m 7
m
3m 2 2 0
3
m
7
0
7
2
3
m
3
7
7m 2 0
7m 2 0
m 2
3m 2 2
7
7
2
m thì hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn
3
7
y
0
x
0
điều kiện
và
.
Vậy với
x 2 y 3 m
(1) , m là tham số
2 x y 3(m 2)
Ví dụ 11: Cho hệ phương trình
a)Giải hệ phương trình (1) với m = 2.
b)Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm duy nhất.
20
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2 y 2 , trong đó ( x; y ) là nghiệm duy
nhất của hệ (1)
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2017- 2018)
Giải
a) Thay m = 2 vào hệ phương trình ta có:
x 2 y 1
x 2 y 1
5 x 25
2 x y 12
4 x 2 y 24
x 2 y 1
x 5
x 5
5 2 y 1
y 2
Vậy với m = 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: 5;2
b) Từ phương trình 2 x y 3(m 2) suy ra y 3(m 2) 2 x . Thay vào phương
trình x 2 y 3 m ta được: x 2[3(m 2) 2 x] 3 m
x 2[3m 6 2 x] 3 m
x 6m 12 4 x 3 m
5 x 5m 15
x m 3
Ta có 1 0 với mọi m
Vậy với mọi m thì hệ phương trình đã cho ln có nghiệm duy nhất.
c) Theo câu b) x m 3 và y m
3
9 9
2
A x 2 y 2 m 3 m 2 m 2 6m 9 m 2 2m 2 6m 9 2(m ) 2 với
2
2 2
3
mọi m; Dấu “ = ” xảy ra m
2
Vậy với m
3
9
thì biểu thức A x 2 y 2 đạt giá trị nhỏ nhất là
2
2
Nhận xét: Đối với câu b) học sinh có thể giải theo cách 2 hoặc cách 3
Cách 2:
Ta có:
1 2
suy ra hệ phương trình ln có nghiệm duy nhất với mọi m
2
1
Vậy với mọi m thì hệ phương trình đã cho ln có nghiệm duy nhất.
Cách 3:
x 2 y 3 m
x 2 y 3 m
5 x 5m 15
x m 3
2 x y 3(m 2)
4 x 2 y 6m 12
x 2 y 3 m
y m
Vậy với mọi m thì hệ phương trình đã cho ln có nghiệm duy nhất.
2mx 5 y 2
( m là tham số)
5 x 2my 3 2m
Ví dụ 12: Cho hệ phương trình
21
a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Tìm m ngun để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x
và y cùng nguyên.
Giải
a) Từ phương trình 2mx 5 y 2 suy ra y
5 x 2my 3 2m ta được: 5 x
2mx 2
. Thay vào phương trình
5
2m(2mx 2)
3 2m
5
25 x 4m 2 x 4m 15 10m
(25 4m 2 ) x 15 6m
(4m 2 25) x 6m 15
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Phương trình (4m 2 25) x 6m 15 có nghiệm duy nhất
5
4m 2 25 0 m
2
5
2
Vậy với m thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
6m 15
3(2m 5)
3
5
b) Với m thì x 4m 2 25 (2m 5)(2m 5) 2m 5
2
y
2m 2
3
1
2m 5
2m 5
Để x; y Z 2m 5 Ư (3) = 1;3}
m { 4; 3; 2; 1}
5
2
Kết hợp với điều kiện m và m nguyên ta được m { 4; 3; 2; 1} thỏa mãn
đề bài
7.3.3. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hệ phương trình
2 x ay 4
ax 3 y 5
a) Giải hệ phương trình với a =1;
b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2012- 2013)
Bài 2: Cho hệ phương trình
22
mx y 2m
( m là tham số)
4 x my m 6
a) Giải hệ phương trình khi m =1;
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(x;y) thỏa mãn điều kiện 6 x 2 y 13 ;
c) Tìm các giá trị nguyên của m để x; y cùng nguyên.
Bài 3: Cho hệ phương trình
mx y 3
( m là tham số )
4 x my 6
a) Giải hệ phương trình với m 2 ;
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa
mãn điều kiện x 2 và y 0 .
Bài 4: Cho hệ phương trình
(m 1) x my 3m 1
(m là tham số)
2 x y m 5
a) Giải hệ phương trình với m = 2;
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( x; y ) sao cho biểu thức S x 2 y 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Cho hệ phương trình bậc hai ẩn x, y tham số m
2 x y 2
2
x 2 y m 3m 1
a) Giải hệ phương trình với m = 0;
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm (
x0 ; y 0 ) thỏa mãn điều kiện x0 y 0 ;
c) Xác định các giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình đã cho
có nghiệm (a; b) , với a và b là các số nguyên.
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2004- 2005)
2mx y 2
(với m là tham số)
8 x my m 2
Bài 6: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m = -1;
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy
nhất
( x;y) thỏa mãn điều kiện x y 0 ;
23
c)Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y khơng phụ thuộc vào tham số m;
d)Tìm các giá trị của m để biểu thức P y 2 2 x đạt giá trị nhỏ nhất, trong
đó ( x; y ) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.
mx y 2
3 x my 5
Bài 7: Cho hệ phương trình:
Tìm m để hệ PT có nghiệm duy nhất thoả mãn : x + y < 1.
2 x my m 2
m 1 x 2my 2m 4
Bài 8 : Cho hệ phương trình:
Tìm các giá trị của m để hệ PT có vơ số nghiệm.
a 1 x y a 1
x a 1 y 2
Bài 9: Cho hệ phương trình:
Tìm các giá trị của a để hệ PT có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện : x – y =
0.
a 1 x 8 y 4a
ax a 3 y 3a 1
Bài 10: Cho hệ phương trình:
Tìm các giá trị của a để hệ PT có vơ số nghiệm.
7.4. Dạng 4: Giải và biện luận hệ phương trình
7.4.1.Phương pháp giải:
ax by c
a ' x b ' y c '
Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Để giải và biện luận hệ phương trình trên ta làm như sau:
Bước 1: Từ hai phương trình của hệ sử dụng phương pháp thế hoặc cộng
ta thu được một phương trình mới (là phương trình bậc nhất một ẩn, (ký hiệu là
PT *))
Bước 2: Giải và biện luận phương trình *, từ đó đi đến kết luận về giải và
biện luận hệ phương trình đã cho
Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình bằng số nghiệm của phương trình * .
7.4.2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình với tham số a
(a 1) x y a 1
x (a 1) y 2
a)Giải hệ phương trình với a = 2;
b)Giải và biện luận hệ phương trình.
24
Giải
a) Thay a = 2 vào hệ phương trình ta có:
5
5
x 4
x 4
3 x y 3
4 x 5
5
x y 2
x y 2
y 2
y 3
4
4
5 3
4 4
Vậy với a = 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = ;
b) Từ phương trình (a 1) x y a 1 suy ra y (a 1) x (a 1) ,Thay vào phương
trình x (a 1) y 2 ta được: x (a 2 1) x (a 2 1) 2
a 2 x a 2 1 (*)
a 2 1
x
a2
a
0
- Nếu
thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
y a 1
a2
- Nếu a 0 thì (*) có dạng 0 x 1 : vô nghiệm; Hệ đã cho vô nghiệm.
Kết luận
a 2 1 a 1
- Nếu a 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ( 2 ; 2 ) ;
a
a
- Nếu a 0 thì hệ phương trình vơ nghiệm.
mx 2my m 1
x (m 1) y 2
Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình:
Giải
Từ phương trình x (m 1) y 2 suy ra x 2 (m 1) y . Thay vào phương trình
mx 2my m 1 ta được:
m[2 (m 1) y ] 2my m 1
2m m(m 1) y 2my m 1 (m 2 m) y m 1 m(m 1) y m 1 (*)
m 0
- Nếu m(m 1) 0
thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
m 1
m 0
- Nếu m(m 1) 0
m 1
1
y m
x m 1
m
