Ứng dụng hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp

ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN
———————

LÊ THANH CƯỜNG

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH
VÀO HÌNH HỌC SƠ CẤP

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH:

SƯ PHẠM TỐN HỌC

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:

ĐẠI HỌC

TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 6, NĂM 2022.


ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN
———————

LÊ THANH CƯỜNG

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH
VÀO HÌNH HỌC SƠ CẤP

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGÀNH:

SƯ PHẠM TỐN HỌC

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:

ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN:

PGS. TS. PHAN HOÀNG CHƠN

TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 6, NĂM 2022.


Lời nói đầu
Hình học xạ ảnh là một trong những mơn học chun ngành dành cho sinh viên ngành Tốn
tại các trường Đại học Sư Phạm trong cả nước. Mục đích của mơn học là cung cấp cho sinh viên
cái nhìn tổng quan về các hình học và mối quan hệ giữa chúng. Nhưng trong khn khổ chương
trình quy định, giảng viên khơng trình bày hết tất cả những vấn đề về hình học xạ ảnh cho sinh
viên. Đặc biệt là ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp.
Nhiều định lý hình học nổi tiếng cũng như nhiều bài tốn hình học hay sẽ trở nên đơn giản
dưới góc nhìn hình học xạ ảnh. Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh là cơng cụ hữu hiệu trong việc
giải và đề xuất các bài tốn hình học sơ cấp.
Mục đích của khóa luận là trình bày một số khái niệm trong không gian xạ ảnh n chiều, mơ
hình xạ ảnh của mặt phẳng Affine, mơ hình xạ ảnh của mặt phẳng Euclid và đặc biệt là ứng
dụng hình học xạ ảnh để giải và đề xuất một số định lý, bài tốn trong hình học sơ cấp.
Nội dung chính của khóa luận được trình bày trong hai chương:
Chương 1 – Cơ sở lý thuyết.
Chương 2 – Ứng dụng hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp.

Trong chương 1, nội dung đầu tiên của chương này là giới thiệu về khái niệm không gian
xạ ảnh Pn liên kết với một không gian véctơ thực n + 1 chiều, mục tiêu xạ ảnh và tọa độ xạ
ảnh trong Pn , m− phẳng trong Pn , tỉ số kép trong Pn , siêu mặt bậc hai trong Pn , tính đối ngẫu
trong khơng gian xạ ảnh. Trong nội dung tiếp theo là giới thiệu ánh xạ xạ ảnh, đặc biệt là phép
chiếu xuyên tâm, phép chiếu xuyên trục, một số định lý như định lý Steiner, định lý Pascal, định
lý Brianchon,... Nội dung tiếp theo, khóa luận trình bày về cực - siêu phẳng đối cực đối với một
siêu mặt bậc hai trong Pn . Nội dung cuối cùng của chương này là trình bày về mơ hình xạ ảnh
của mặt phẳng Affine và mơ hình xạ ảnh của mặt phẳng Euclid.
Chương 2 của khóa luận trình bày ứng dụng của hình học xạ ảnh vào việc chứng minh một
số định lý và giải một số bài tốn hình học sơ cấp.
Trong phần cuối chương 2, khóa luận trình bày ứng dụng hình học xạ ảnh để đề xuất các
định lý, bài tốn mới trong hình học sơ cấp từ một số định lý, bài toán cho trước trong không
2


gian xạ ảnh.
Khóa luận được hồn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo rất tận tình của PGS.TS. Phan Hồng
Chơn. Tác giả cũng xin bày tỏ lịng kính trọng và sâu sắc đến thầy về sự giúp đỡ quý báu này.
Do thời gian hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận
được sự góp ý từ q thầy cơ và bạn bè.

3


Mục lục
Lời nói đầu

2

1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

7

1.1

Khơng gian xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Định nghĩa không gian xạ ảnh Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Mơ hình Affine sau khi bổ sung các phần tử vô tận . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Véctơ đại diện cho một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.4

Hệ điểm độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.5

Mục tiêu xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.6

Tọa độ xạ ảnh của một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.7

Các m− phẳng tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.8

Phương trình của m− phẳng trong P n . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.9

Tỉ số kép trong P n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.10 Hình bốn cạnh tồn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.11 Tọa độ xạ ảnh không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.12 Nguyên tắc đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.1.13 Siêu mặt bậc hai trong P n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.1.14 Một số kết quả về tọa độ xạ ảnh trong P2 . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Ánh xạ xạ ảnh và phép biến đổi xạ ảnh trong P n . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.1

Ánh xạ xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.2

Phép biến đổi xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.2.3

Biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.2.4

Nhóm các phép biến đổi xạ ảnh và hình học xạ ảnh . . . . . . . . . . .

24

1.2.5

Ánh xạ xạ ảnh giữa các hàng điểm và giữa các chùm đường thẳng trong

1.2

1.2.6

P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Phép chiếu xuyên tâm và phép chiếu xuyên trục . . . . . . . . . . . . .

25

4


1.3

1.4

1.5

2

1.2.7

Phép cắt, phép nối trong P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.2.8

Định lý Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.2.9

Định lý Pascal và định lý Brianchon . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.2.10 Vấn đề xác định một cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.2.11 Phép xạ ảnh của đường cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.2.12 Chùm đường bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Cực và đường đối cực trong Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.3.1

Cực và siêu phẳng đối cực đối với một siêu mặt bậc hai . . . . . . . . .

33

1.3.2

Cực và đường đối cực đối với đường cônic . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Mơ hình xạ ảnh của mặt phẳng Affine A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.4.1

Xây dựng mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.4.2

Mục tiêu và tọa độ Affine trong A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.4.3

Đường thẳng trong A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

1.4.4

Sự song song của hai đường thẳng trong A2 . . . . . . . . . . . . . . .

36

1.4.5

Tỉ số kép trong A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.4.6

Thể hiện Affine của các đường cônic trong A2 . . . . . . . . . . . . .

39

Mơ hình xạ ảnh của mặt phẳng Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

1.5.1

Các phần tử ảo trong không gian xạ ảnh phức . . . . . . . . . . . . . .

40

1.5.2

Xây dựng mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1.5.3

Cái tuyệt đối của không gian xạ ảnh P n . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

1.5.4

Ý nghĩa xạ ảnh của tính vng góc trong E n . . . . . . . . . . . . . .

42

1.5.5

Một số kết quả của mặt phẳng Euclid được thể hiện trong P2 (C) . . . .

43

Ứng dụng hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp

46

2.1

Dùng hình học xạ ảnh để giải các bài tốn hình học sơ cấp . . . . . . . . . . .

46

2.1.1

Giải bài toán Affine, Euclid bằng cách đưa về bài toán xạ ảnh . . . . .

46

2.1.2

Sử dụng các định lý được chuyển từ mặt phẳng xạ ảnh về mặt phẳng

2.2

Affine, mặt phẳng Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Đề xuất các bài toán mới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

2.2.1

Một số kết quả hình học sơ cấp thu được từ định lý trong mặt phẳng xạ
ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2

87

Đề xuất một số bài tốn hình học sơ cấp từ các bài toán trong mặt phẳng

xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

92


Kết luận

96

Tài liệu tham khảo

97

6


Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1
1.1.1

Không gian xạ ảnh
Định nghĩa không gian xạ ảnh Pn

Giả sử V n+1 là một không gian véctơ n + 1 chiều (n ≥ 0) trên trường K. Ta kí hiệu V n+1
là tập hợp các không gian con một chiều của không gian véctơ V n+1 .

Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp X

∅ và một song ánh p : V n+1 → X. Khi đó bộ ba

X, p, V n+1 được gọi là một không gian xạ ảnh n chiều liên kết với không gian véctơ V n+1
trên trường K bởi song ánh p, kí hiệu là Pn . Mỗi phần tử trong tập hợp X được gọi là một điểm
trong không gian xạ ảnh Pn .

Không gian xạ ảnh trên trường số thực R được gọi là khơng gian xạ ảnh thực, kí hiệu là
Pn (R); không gian xạ ảnh trên trường số phức C được gọi là khơng gian xạ ảnh phức, kí hiệu
là Pn (C).
Trong khóa luận này, nếu khơng nói gì thêm, ta chỉ xét không gian xạ ảnh thực.
Như vậy, mỗi điểm của không gian xạ ảnh Pn là ảnh của không gian véctơ con 1− chiều V 1
được sinh ra bởi một véctơ x

0 của V n+1 qua song ánh p.

Nếu V m+1 là không gian véctơ con của V n+1 (0 ≤ m ≤ n), thì tập con p V m+1 của X được
gọi là m− phẳng của không gian xạ ảnh X, p, V n+1 ; 0− phẳng còn gọi là điểm; 1− phẳng còn
gọi là đường thẳng, (n − 1)− phẳng cịn gọi là siêu phẳng.
Khơng gian xạ ảnh P2 còn được gọi là mặt phẳng xạ ảnh.
7


1.1.2

Mơ hình Affine sau khi bổ sung các phần tử vô tận

Gọi An+1 là một không gian Affine n + 1 chiều liên kết với không gian véctơ V n+1 và An
là một siêu phẳng của An+1 có khơng gian chỉ phương là không gian véctơ con n chiều V n của
V n+1 .
Đặt

An = An ∪ [ V n ] ,
và xây dựng một song ánh p : V n+1 → An như sau: Lấy điểm cố định O của An+1 không
nằm trong An . Giả sử V 1 là không gian véctơ con một chiều của V n+1 .
• Nếu V 1

−−→
V n thì trên An có một điểm M duy nhất sao cho OM ∈ V 1 . Trong trường hợp

này ta đặt p V 1 = M;
• Nếu V 1 ⊂ V n thì ta đặt p V 1 = V 1 .
Khi đó, p là một song ánh. Như vậy An , p, V n+1 là một khơng gian xạ ảnh n chiều và gọi
đó là mơ hình Affine có bổ sung thêm các phần tử vô tận.
Chú ý rằng nếu a và b là hai đường thẳng Affine song song có khơng gian chỉ phương là V 1
thì a ∪ p V 1 và b ∪ p V 1 là hai đường thẳng xạ ảnh của An , chúng có điểm chung duy nhất
là p V 1 . Bởi vậy điểm p V 1 thường được gọi điểm vô tận của các đường thẳng đó. Tập hợp
các điểm vơ tận này của An nằm trên (n − 1)− phẳng được gọi là siêu phẳng vơ tận.
Như vậy, khơng gian xạ ảnh An có được bằng cách lấy không gian Affine An và bổ sung
thêm các điểm vô tận của tất cả các đường thẳng thuộc An .

1.1.3

Véctơ đại diện cho một điểm

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử Pn là không gian xạ ảnh n− chiều liên kết với không gian véctơ V n+1
qua song ánh p. Trong V n+1 , mỗi véctơ a

0 sẽ sinh ra một không gian con một chiều và qua

song ánh p không gian con này sẽ tương ứng với một điểm A duy nhất của Pn . Ta nói rằng véctơ
a đại diện cho điểm A.

Nhận xét.
i) Mỗi véctơ khác véctơ 0 của V n+1 , là đại diện cho một điểm duy nhất của không gian xạ
ảnh Pn .
ii) Hai véctơ a và b cùng đại điện cho một điểm A trong Pn khi và chỉ khi a = kb với k là
một số thực khác 0.
8


1.1.4

Hệ điểm độc lập

Định nghĩa 1.1.3. Trong không gian xạ ảnh Pn , hệ r điểm M1 , M2 , . . . , Mr được gọi là hệ điểm
độc lập nếu r các véctơ đại diện của chúng độc lập tuyến tính trong khơng gian véctơ V n+1 liên
kết với Pn .
Định lý 1.1.1. Nếu hệ r điểm M1 , M2 , . . . , Mr của Pn là độc lập thì tồn tại duy nhất (r − 1)−
phẳng chứa chúng.

1.1.5

Mục tiêu xạ ảnh

Định nghĩa 1.1.4. Trong không gian xạ ảnh Pn liên kết với không gian véctơ V n+1 , cho hệ
−e ,→
−
→
−
→
−
(n + 2) điểm A1 , A2 , . . . , An+1 ; E có các véctơ đại diện lần lượt là →

1 e 2 , . . . , e n+1 , e . Nếu hệ
→
−e ,→
−e , . . . ,→
−e
−e = →
−e + →
−e + . . . + →
−e
là một cơ sở của V n+1 và →
, thì (n + 2) điểm
1

2

n+1

1

2

n+1

−e ,→
−
→
−
n+1
nói trên được gọi là một mục tiêu xạ ảnh ứng với cơ sở →
. Ta kí hiệu

1 e 2 , . . . , e n+1 của V
là A1 , A2 , . . . , An+1 ; E hoặc {Ai ; E} , (1 ≤ i ≤ n + 1).
Các điểm Ai (1 ≤ i ≤ n + 1) được gọi là các đỉnh và điểm E được gọi là điểm đơn vị của
−e ,→
−
→
−
mục tiêu {Ai ; E}. Cơ sở →
1 e 2 , . . . , e n+1 còn được gọi là cơ sở đại diện của mục tiêu xạ ảnh
{Ai ; E} .
Định lý 1.1.2. Mỗi cơ sở của V n+1 là cơ sở đại diện cho một mục tiêu xạ ảnh duy nhất của Pn .

1.1.6

Tọa độ xạ ảnh của một điểm

Định nghĩa 1.1.5. Giả sử Pn là không gian xạ ảnh liên kết với không gian véctơ V n+1 và
A1 , A2 , . . . , An+1 ; E là mục tiêu xạ ảnh của Pn có cơ sở đại diện là ε = e1 , e2 , . . . , en+1 .
−
Lấy M ∈ Pn và gọi →
m là véctơ đại diện của điểm M trong V n+1 . Nếu ( x ; x ; . . . ; x
1

2

n+1 )

−
là tọa độ của véctơ →
m đối với cơ sở ε trong V n+1 , thì ( x1 ; x2 ; . . . ; xn+1 ) cũng được gọi là tọa

độ xạ ảnh của điểm M của Pn đối với mục tiêu A1 , A2 , . . . , An+1 ; E trong V n+1 . Ta kí hiệu
M = ( x1 ; x2 ; . . . ; xn+1 ) hoặc M ( x1 ; x2 ; . . . ; xn+1 ).
Theo định nghĩa trên, đối với mục tiêu A1 , A2 , . . . , An+1 ; E , ta có
A1

= (1; 0; 0; . . . ; 0; 0)

A2

= (0; 1; 0; . . . ; 0; 0)
...

An

= (0; 0; 0; . . . ; 1; 0)
9


An+1

= (0; 0; 0; . . . ; 0; 1)

E

= (1; 1; 1; . . . ; 1; 1).

Tính chất.
i) Nếu ( x1 ; x2 ; . . . ; xn+1 ) là tọa độ xạ ảnh của một điểm trong Pn thì các xi khơng đồng thời
bằng 0 vì véctơ đại diện cho một điểm là véctơ khác véctơ 0.
ii) Một bộ số có thứ tự gồm n + 1 số ( x1 ; x2 ; . . . ; xn+1 ) trong đó ít nhất có một số khác 0 xác

định một điểm M duy nhất trong Pn .
iii) Nếu ( x1 ; x2 ; . . . ; xn+1 ) là tọa độ xạ ảnh của một điểm M trong Pn thì mọi bộ số có dạng

(kx1 ; kx2 ; . . . ; kxn+1 ) với k

0 đều là tọa độ của điểm M đó.

Chú ý. Các tính chất trên đây là tính chất đặc biệt của tọa độ xạ ảnh.
Ví dụ 1.1.1.
i) Bộ số (0; 0; 0) khơng phải là tọa độ của bất kì điểm xạ ảnh nào trong P2 nhưng trong A3
hoặc E3 bộ số đó là tọa độ của điểm gốc mục tiêu tọa độ.
ii) Hai bộ số (1; 0; −2) và (−1; 0; 2) là tọa độ của cùng một điểm xạ ảnh trong P2 còn trong
A3 hoặc trong E3 hai bộ số này là tọa độ của hai điểm hoàn toàn khác nhau.

1.1.7

Các m− phẳng tọa độ

Định nghĩa 1.1.6. Trong Pn , mỗi bộ m + 1 đỉnh Ai của mục tiêu xạ ảnh A1 , A2 , . . . , An+1 ; E
với 0 < m < n xác định một m− phẳng xạ ảnh và được gọi là m− phẳng tọa độ.
Nhận xét. Nếu Ai (1 ≤ i ≤ n + 1) không thuộc m− phẳng tọa độ thì phương trình của m− phẳng
tọa độ có dạng xi = 0(1 ≤ i ≤ n + 1).
Ví dụ 1.1.2. Trong P2 với mục tiệu xạ ảnh {A1 , A2 , A3 ; E}.
− đường thẳng A1 A2 có phương trình x3 = 0.
− đường thẳng A2 A3 có phương trình x1 = 0.

1.1.8

Phương trình của m− phẳng trong P n

Định nghĩa 1.1.7. Trong không gian xạ ảnh Pn với mục tiêu A1 , A2 , . . . , An+1 ; E có cơ sở
−e ,→
−
→
−
m
đại diện là →
1 e 2 , . . . , e n+1 , cho m− phẳng P được xác định bởi m + 1 điểm độc lập
10


−u ,→
−
→
−
U1 , U2 , . . . , Um+1 . Gọi →
1 u 2 , . . . , u m+1 là véctơ đại diện của các điểm U 1 , U 2 , . . . , U m+1 . Khi
−u ,→
−u , . . . ,→
−u
đó hệ →
độc lập tuyến tính và sinh ra một khơng gian véctơ con (m + 1)−
1

chiều V

m+1

m+1

2

của V

n+1

.

Ta có: M ∈ Pm khi và chỉ khi véctơ đại diện m của điểm M thuộc V m+1 . Điều này tương
đương với
→
−
−
−u + t →
→
−
m = t1 →
1
2 u 2 + . . . + tm+1 u m+1 .

(1.1)

−
−
trong đó, t1 , t2 , . . . , tm+1 không đồng thời bằng 0; →
m và →
ui lần lượt là các ma trận cột tọa độ
−
−
−e ,→

−e , . . . ,→
−e
của các véctơ →
m và →
u (1 ≤ i ≤ m + 1) đối với cơ sở →
.
1

i

2

n+1

Phương trình (1.1) với điều kiện t1 , t2 , . . . , tm+1 khơng đồng thời bằng 0 được gọi là phương
trình tham số của m− phẳng trong Pn . Các t1 , t2 , . . . , tm+1 được gọi là các tham số.
−u
→
−u , →
−u , . . . , →
−u
Vẫn xét phương trình (1.1), vì ma trận →
ij =
1
2
m+1 có hạng bằng
m + 1 nên trong phương trình (1.1) có m + 1 phương trình độc lập với m + 1 ẩn t1 , t2 , . . . , tm+1 .
Giải hệ này, tìm được t1 , t2 , . . . , tm+1 . Thay các giá trị ti tìm được vào các phương trình cịn lại
của hệ (1.1), ta được hệ n − m phương trình có dạng
n+1

ai j x j = 0; 1 ≤ i ≤ n − m,

(1.2)

j=1

trong đó ma trận ai j có hạng bằng n − m.
Hệ (1.2) với điều kiện ma trận (ai j ) có hạng bằng n − m, được gọi là phương trình tổng quát
của m− phẳng trong Pn .
Khi m = n − 1, phương trình tổng quát của siêu phẳng có dạng
Pn−1 : a1 x1 + a2 x2 + . . . + an+1 xn+1 = 0,

(1.3)

trong đó các hệ số a1 , a2 , . . . , an+1 không đồng thời bằng 0. Bộ số [a1 ; a2 ; . . . ; an+1 ] được gọi
là tọa độ của siêu phẳng có phương trình (1.3).
Chú ý. Tọa độ của siêu phẳng có tính chất tương tự như tọa độ xạ ảnh của một điểm.

1.1.9

Tỉ số kép trong P n

Định nghĩa 1.1.8. Trong Pn với mục tiêu đã chọn, cho hai điểm phân biệt A, B. Trên đường
thẳng AB, lấy điểm C và D khơng trùng với A và B. Khi đó tồn tại các số khác khơng:
λ1 , µ1 , λ2 , µ2 sao cho

[C ] = λ1 [ A] + µ1 [ B] ,
[ D] = λ2 [ A] + µ2 [ B] .
11

Khi đó, tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự đó, được kí hiệu là ( ABCD) và được xác
định bởi

( ABCD) =

µ1 µ1
: .
λ1 λ2

Tính chất của tỉ số kép: Trong khơng gian xạ ảnh Pn với mục tiêu đã chọn, cho bốn điểm A,
B, C, D thẳng hàng
i) Nếu A, B, C, D phân biệt thì
• ( ABCD) = ( BADC ) = (CDAB) = ( DCBA);
• ( ABCD) = 1 − ( ACBD) = 1 − ( DBCA);
• ( ABCD) =

1
1
=
.
( BACD)
( ABDC )

ii) Nếu hai điểm C và D trùng nhau thì theo định nghĩa tỉ số kép, ta có

( ABCC ) = −1.
Nhận xét. Tỉ số kép của bốn điểm được định nghĩa như trên không phụ thuộc vào mục tiêu xạ
ảnh đã chọn của Pn .

Định nghĩa 1.1.9. Nếu ( ABCD) = −1 thì ta nói cặp điểm C, D chia điều hịa cặp điểm A, B.
Khi đó, ta cũng có (CDAB) = −1 nên cặp điểm A, B cũng chia điều hịa cặp điểm C, D. Vì vậy
ta cịn nói cặp điểm A, B và C, D liên hiệp điều hòa với nhau hay bốn điểm A, B, C, D theo thứ
tứ đó lập thành một hàng điểm điều hịa.
Định nghĩa 1.1.10. Trong khơng gian xạ ảnh Pn , tập hợp tất cả các siêu phẳng cùng đi qua một

(n − 2)− phẳng được gọi là một chùm siêu phẳng và (n − 2)− phẳng đó được gọi là giá của
chùm.
Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 , tập hợp các đường thẳng cùng đi qua một điểm S được gọi là
chùm đường thẳng tâm S , kí hiệu {S }.
Nhận xét. Giả sử P và Q là hai siêu phẳng phân biệt của một chùm siêu phẳng, có tọa độ lần
lượt là [ p1 ; p2 ; . . . ; pn+1 ] và [q1 ; q2 ; . . . ; qn+1 ]. Khi đó, giá của chùm siêu phẳng này có phương
trình là







 p1 x1 + p2 x2 + . . . + pn+1 xn+1 = 0





 q1 x1 + q2 x2 + . . . + qn+1 xn+1 = 0.

Cho R là một siêu phẳng thuộc chùm nói trên có phương trình là:
r1 x1 + r2 x2 + . . . + rn+1 xn+1 = 0,

12


thì vì R đi qua P ∩ Q nên ta có:
ri = λpi + µqi ,
với i = 1, 2, . . . , n + 1 và (λ, µ)
Như vậy với mỗi cặp số (λ, µ)

(0, 0).
(0, 0) sẽ xác định cho ta một siêu phẳng của chùm và tất

nhiên cặp (λ, µ) và cặp số (kλ, kµ) với k

0 cùng xác định cho ta một siêu phẳng của chùm. Ta

thường kí hiệu [ P], [ Q], [R] lần lượt là các ma trận cột tọa độ các siêu phẳng P, Q, R và ta có

[R] = λ[ P] + µ[ Q].
Định nghĩa 1.1.11. Trong khơng gian xạ ảnh Pn với mục tiêu xạ ảnh đã chọn, cho bốn siêu
phẳng P, Q, R, S cùng thuộc một chùm sao cho P và Q không trùng nhau, R và S khơng trùng
với P và Q. Khi đó, ta có

[R] = λ1 [ P] + µ1 [ Q] ,
[S ] = λ2 [ P] + µ2 [ Q] .
Tỉ số kép của bốn siêu phẳng P, Q, R, S theo thứ tự đó, được kí hiệu là ( PQRS ) và số được xác
định bởi

( PQRS ) =

µ1 µ1

: .
λ1 λ2

Nhận xét.
i) Tỉ số kép của bốn siêu phẳng được định nghĩa như trên, không phụ thuộc vào mục tiêu xạ
ảnh của Pn .
ii) Tỉ số kép của bốn siêu phẳng cũng có tính chất tương tự như tỉ số kép của bốn điểm thẳng
hàng.
iii) Nếu ( PQRS ) = −1 thì ta nói cặp siêu phẳng P, Q và cặp siêu phẳng R, S liên hiệp điều
hòa với nhau hay là bốn siêu phẳng P, Q, R, S theo thứ tự đó, lập thành một chùm điều
hịa.
Định lý 1.1.3. Cho bốn siêu phẳng P, Q, R, S cùng thuộc một chùm siêu phẳng và một đường
thẳng ∆ không cắt giá của chùm. Nếu A, B, C, D lần lượt là giao điểm của ∆ với các siêu phẳng
P, Q, R, S thì ( PQRS ) = ( ABCD). Đặc biệt, nếu chùm bốn đường thẳng a, b, c, d là một chùm
điều hịa thì A, B, C, D là một hàng điểm điều hòa.
13


1.1.10

Hình bốn cạnh tồn phần

Định nghĩa 1.1.12. Trong khơng gian xạ ảnh P2 , tập hợp gồm bốn đường thẳng, trong đó khơng
có ba đường thẳng nào đồng quy, được gọi là hình bốn cạnh tồn phần; mỗi giao điểm của hai
cạnh gọi là một đỉnh; hai đỉnh không nằm trên một cạnh gọi là hai đỉnh đối diện; mỗi đường
thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là một đường chéo; mỗi giao điểm của hai đường chéo gọi là
một điểm chéo.
Định lý 1.1.4. Trên mỗi đường chéo của hình bốn cạnh toàn phần, cặp đỉnh đối diện và cặp
điểm chéo liên hiệp điều hịa với nhau.
Ví dụ 1.1.3. Giả sử ta có hình bốn cạnh tồn phần như hình vẽ (Hình 1).

Hình 1.

Ta có: ( AA PQ) = −1 (chứng minh xem trong [2] trang 14).

1.1.11

Tọa độ xạ ảnh không thuần nhất

Định nghĩa 1.1.13. Trên đường thẳng xạ ảnh P1 với mục tiêu {A1 , A2 ; E}, cho điểm X ( x1 ; x2 )
x1
khác điểm A1 . Khi đó, tỉ số
được gọi là tọa độ xạ ảnh không thuần nhất của điểm X đối với
x2
mục tiêu xạ ảnh cho trước.
Định lý 1.1.5. Tọa độ xạ ảnh không thuần nhất của một điểm X trên đường thẳng xạ ảnh đối
với mục tiêu xạ ảnh {A1 , A2 ; E} bằng tỉ số kép ( A1 A2 EX ).
14


Nhận xét. Trên đường thẳng xạ ảnh nếu cho biết tọa độ xạ ảnh của một điểm X là ( x1 ; x2 ) với
x1
x2
0 thì ta dễ dàng tính được tọa độ xạ ảnh của điểm đó là . Ngược lại nếu biết tọa độ
x2
không thuần nhất của một điểm là m thì ta suy ra tọa độ xạ ảnh của điểm đó là (m; 1).
Đặc biệt với tọa độ xạ ảnh là cặp số ( x1 ; 0) thì ta quy ước lấy tọa độ khơng thuần nhất của
điểm đó là ∞ (vơ tận) và ngược lại.
Định nghĩa 1.1.14. Trong không gian xạ ảnh Pn , với mục tiêu xạ ảnh đã chọn, cho một điểm
X có tọa độ xạ ảnh là ( x1 ; x2 ; . . . ; xn+1 ) trong đó xn+1 0. Khi đó bộ số n số thực có thứ tự

xi
với i = 1, 2, . . . , n được gọi là tọa độ xạ ảnh không
( X1 ; X2 ; . . . ; Xn+1 ) trong đó Xi =
xn + 1
thuần nhất của điểm X đối với mục tiêu đã cho.
Định lý 1.1.6. Trong không gian xạ ảnh Pn , cho mục tiêu xạ ảnh A1 , A2 , . . . , An+1 ; E . Ta xét
đường thẳng Ai An+1 và chùm siêu phẳng P, Q, R, S có giá là (n − 2)− phẳng xác định bởi

(n − 1) đỉnh còn lại của mục tiêu và lần lượt đi qua các điểm Ai , An+1 , E, X. Gọi Ei và Xi lần
lượt là giao điểm của đường thẳng Ai An+1 với các siêu phẳng R và S . Khi đó, ta có.

( Ai An+1 Ei Xi ) =
Nhận xét. Đẳng thức ( Ai An+1 Ei Xi ) =

xi
xn+1

.

xi

chứng tỏ rằng trên đường thẳng Ai An+1 , tọa độ xạ
xn+1
xi
ảnh không thuần nhất của điểm Xi đối với mục tiêu xạ ảnh A1 , A2 , . . . , An+1 ; E là
. Vậy
xn+1
đối với mục tiêu xạ ảnh cho trước nếu một điểm X ∈ Pn có tọa độ xạ ảnh là ( x1 ; x2 ; . . . ; xn+1 )
với xn+1

0 thì ta có tọa độ xạ ảnh khơng thuần nhất của điểm đó là bộ n số thực có thứ tự:

( X1 ; X2 ; . . . ; Xn ) trong đó Xi =

xi
xn+1

với i = 1, 2, . . . , n.

Ngược lại nếu biết tọa độ xạ ảnh không thuần nhất của một điểm X là ( X1 ; X2 ; . . . ; Xn ) thì
ta dễ dàng suy ra được tọa độ xạ ảnh của điểm đó là ( X1 ; X2 ; . . . ; Xn ; 1).

1.1.12

Nguyên tắc đối ngẫu

Trong không gian xạ ảnh Pn , hai cái phẳng Pr và P s có mối quan hệ liên thuộc sau đây:
nếu Pr ⊂ P s thì ta nói rằng Pr thuộc P s hoặc P s ⊂ Pr thì ta nói rằng P s thuộc Pr . Như vậy,
từ “thuộc” đồng nghĩa với một trong các từ: “nằm trên”, “đi qua”, “chứa”, “chứa trong”. Chẳng
hạn: nếu điểm A nằm trên đường thẳng a thì ta nói: điểm A thuộc đường thẳng a, hoặc nói:
đường thẳng a thuộc điểm A.
Trong Pn với mục tiêu xạ ảnh A1 , A2 , . . . , An+1 ; E cho trước, gọi Pn∗ là tập hợp các siêu
phẳng của Pn và xét ánh xạ p : Pn → Pn∗ sao cho với mỗi điểm có tọa độ ( x1 ; x2 ; . . . ; xn+1 ) của
15


Pn ta có một siêu phẳng có tọa độ [ x1 ; x2 ; . . . ; xn+1 ]. Ta có p là một song ánh và Pn∗ là một mơ
hình của khơng gian xạ ảnh n chiều trong đó mỗi “điểm” là một “siêu phẳng” của Pn . Như vậy
qua song ánh p mỗi khái niệm trong Pn sẽ có một khái niệm tương ứng trong Pn∗ .
Bây giờ ta hãy xét đẳng thức sau đây:

u1 x1 + u2 x2 + . . . + un+1 xn+1 = 0.
Với cách hiểu thứ nhất, ta có thể xem phương trình trên xác định tập hợp những điểm X có
tọa độ ( x1 ; x2 ; . . . ; xn+1 ) thuộc siêu phẳng có tọa độ [u1 ; u2 ; . . . ; un+1 ].
Với cách hiểu thứ hai, ta có thể xem phương trình trên xác định tập hợp những siêu phẳng
có tọa độ [ x1 ; x2 ; . . . ; xn+1 ] cùng đi qua một điểm U có tọa độ (u1 ; u2 ; . . . ; un+1 ).
Với cách hiểu thứ nhất ta có điểm ( xi ) thuộc siêu phẳng [ui ], nếu ta thay chữ “điểm” và “siêu
phẳng” cho nhau thì ta có ngay cách hiểu thứ hai là siêu phẳng [ xi ] thuộc (ui ). Ta nói rằng điểm
và siêu phẳng là hai khái niệm đối ngẫu của nhau.
Định lý 1.1.7. Trong Pn , đối ngẫu của một m− phẳng là (n − m − 1)− phẳng.
Định lý 1.1.8. Trong Pn , cho Pr và P s là hai cái phẳng liên thuộc nhau thì khi đó hai cái phẳng
đối ngẫu của chúng cũng liên thuộc nhau, nghĩa là nếu Pr ⊂ P s thì các phẳng đối ngẫu của
chúng là: Pn−s−1 ⊂ Pn−r−1 .
Định nghĩa 1.1.15. Trong không gian xạ ảnh Pn , cho mệnh đề M và các quan hệ liên thuộc
giữa chúng. Nếu trong mệnh đề M, ta thay các từ “m− phẳng” thành từ “(n − m − 1)− phẳng”
còn các từ khác giữ nguyên thì ta được mệnh đề M ∗ là mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M.
Nếu M ∗ là mệnh đề đối ngẫu của M thì ngược lại M là mệnh đề đối ngẫu của M ∗ . Do đó hai
mệnh đề M và M ∗ được gọi là hai mệnh đề đối ngẫu của nhau.
Hai định nghĩa được định nghĩa thông qua hai mệnh đề đối ngẫu được gọi là khái niệm đối
ngẫu.
Ví dụ 1.1.4. Ta xét mệnh đề sau trong Pn :“Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm
phân biệt cho trước”. Ta phát biểu lại dưới dạng:“Có một và chỉ một 1− phẳng thuộc hai điểm
phân biệt cho trước”. Khi đó, mệnh đề đối ngẫu của nó sẽ là:“Có một và chỉ một (n − 2)− phẳng
thuộc hai siêu phẳng phân biệt cho trước”, hay phát biểu cách khác:“Hai siêu phẳng phân biệt
luôn cắt nhau theo (n − 2)− phẳng duy nhất”.
Ví dụ 1.1.5. Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 , đối ngẫu của khái niệm “ hình bốn cạnh tồn phần” là
khái niệm “hình bốn đỉnh tồn phần”. Đó là tập hợp gồm bốn điểm, trong đó khơng có ba điểm
nào thẳng hàng. Mỗi một điểm đó được gọi là một đỉnh; mỗi đường thẳng nối hai đỉnh được gọi
16

là một cạnh; hai cạnh không đi qua một đỉnh được gọi là hai cạnh đối diện; giao điểm của hai
cạnh đối diện được gọi là một điểm chéo.
Định lý 1.1.9 (Nguyên tắc đối ngẫu trong Pn ). Trong mặt phẳng xạ ảnh Pn , nếu M là mệnh
đề đúng thì mệnh đề đối ngẫu M ∗ cũng đúng.
Cặp mệnh đề đối ngẫu trong Ví dụ 1.1.4 là cặp mệnh đề đúng. Từ Định lý 1.1.4, ta cũng có:
Định lý 1.1.10. Trong hình bốn đỉnh tồn phần, cặp cạnh đối diện thuộc một điểm chéo và cặp
đường thẳng nối điểm chéo đó với hai điểm chéo cịn lại, liên hiệp điều hòa với nhau.
Nhận xét.
i) (Khái niệm đối ngẫu). Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 , ta có:
Điểm ↔ Đường thẳng
Hàng điểm ↔ Chùm đường thẳng
ii) Tỉ số kép của bốn điểm và tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng là khái niệm đối ngẫu.

1.1.13

Siêu mặt bậc hai trong P n

Trong không gian xạ ảnh Pn với mục tiêu đã chọn, siêu mặt bậc hai (S ) là tập hợp các điểm
X mà tọa độ ( x1 ; x2 ; . . . ; xn+1 ) thỏa mãn một phương trình bậc hai có dạng
n+1

ai j xi x j = 0,

(1.4)

i, j=1

trong đó, ai j là các hệ số không đồng thời bằng 0 và ai j = a ji , với i, j = 1, 2, . . . , n + 1.
Nếu đặt



a12
 a11

 a21
a22
A = 
 . . .
...


an + 1 1 an + 1 2

...
...
..
.
...



an+1 


a2n+1 


. . . 



an+1 n+1 

thì phương trình (1.4) được viết lại dưới dạng ma trận sau

[ X ]T A [ X ] = 0,
trong đó [ X ] là ma trận cột tọa độ của điểm X, [ X ]T là ma trận chuyển vị của ma trận [ X ] , AT = A
và rank( A) ≥ 1.
Nếu A là ma trận khơng suy biến thì (S ) được gọi là siêu mặt bậc hai không suy biến. Trong
trường hợp trái lại, (S ) được gọi là siêu mặt bậc hai suy biến.
Siêu mặt bậc hai trong mặt phẳng xạ ảnh P2 được gọi là đường bậc hai.
17


Định lý 1.1.11. Trong không gian xạ ảnh Pn với mục tiêu đã chọn, cho siêu mặt bậc hai (S) có
phương trình (1.4). Khi đó, tồn tại một mục tiêu xạ ảnh của Pn sao cho đối với mục tiêu này,
phương trình của (S) có dạng
x12 + x22 + . . . + xk2 − xk2+1 − xk2+2 − . . . − xr2 = 0

(1.5)

trong đó r ≤ n + 1, 2k ≥ r (tức là số các hệ số dương lớn hơn hay bằng số các hệ số âm).
Định nghĩa 1.1.16. Phương trình (1.5) được gọi là phương trình chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai

(S ).
Mỗi phương trình chuẩn tắc như thế được hồn tồn xác định bởi cặp số (k, r ), trong đó k là
số hệ số dương và r là số hệ số khác 0.
Định nghĩa 1.1.17.
i) Siêu mặt bậc hai không suy biến loại (n + 1, n + 1) gọi là siêu mặt trái xoan không.
ii) Siêu mặt bậc hai không suy biến loại (n, n + 1) gọi là siêu mặt trái xoan.
iii) Siêu mặt bậc hai không suy biến loại (k, n + 1) với k ≤ n − 1, gọi là siêu mặt kẻ.

iv) Siêu mặt bậc hai suy biến loại (k, r ) với r < n − 1 và r ≤ 2k ≤ 2r, gọi là siêu nón.
Nhận xét. Xét trong mặt phẳng xạ ảnh P2 . Bằng cách chọn các mục tiêu thích hợp, ta có đưa
phương trình của một đường bậc hai trong P2 về một trong năm dạng chuẩn tắc sau:
1. Đường trái xoan không: x12 + x22 + x32 = 0.
2. Đường cônic hay đường trái xoan: x12 + x22 − x32 = 0.
3. Cặp đường thẳng ảo: x12 + x22 = 0.
4. Cặp đường thẳng phân biệt: x12 − x22 = 0.
5. Cặp đường thẳng trùng nhau: x12 = 0.
Định nghĩa 1.1.18. Đối với những mệnh đề hoặc khái niệm có liên quan đến đường cônic,
nguyên tắc đối ngẫu vẫn được áp dụng với những bổ sung sau đây: cụm từ “đường cônic” được
giữ nguyên; cụm từ “điểm thuộc đường cônic” được thay bởi cụm từ “đường thẳng tiếp xúc với
cônic” và ngược lại.
18


1.1.14

Một số kết quả về tọa độ xạ ảnh trong P2

1. Trong P2 , cho hai điểm A (a1 ; a2 ; a3 ) , B (a1 ; b2 ; b3 ) phân biệt. Ta có tọa độ của đường
thẳng AB là:


a1 a2
a3 a1
 a2 a3

;
;
 b b

b1 b2
b3 b1
2
3




 .


2. Trong P2 , cho hai đường thẳng a, b lần lượt có tọa độ là [a1 ; a2 ; a3 ], [b1 ; b2 ; b3 ]. Ta có tọa
độ giao điểm của hai đường thẳng a, b là:




 a2 a3 a3 a1 a1 a2 
.

;
;
 b b b b b b 
1
2
3
1
2
3
3. Trong P2 , cho ba điểm A (a1 ; a2 ; a3 ), B (b1 ; b2 ; b3 ), C (c1 ; c2 ; c3 ). Điều kiện cần và đủ

để ba điểm thẳng hàng là
a1 a2 a3
b1 b2 b3 = 0.
c1 c2 c3
4. Trong P2 , cho ba đường thẳng a, b, c lần lượt có tọa độ là [a1 ; a2 ; a3 ], [b1 ; b2 ; b3 ], [c1 ; c2 ; c3 ].
Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng đồng quy là
a1 a2 a3
a1 b2 b3 = 0.
c1 c2 c3
5. Trong P2 , cho mục tiêu xạ ảnh {A1 , A2 , A3 ; E} phương trình đường bậc hai (S ) đi qua
A1 , A2 , A3 có dạng:
a12 x1 x2 + a23 x2 x3 + a31 x3 x1 = 0.
Thật vậy, phương trình của (S ) có dạng tổng quát là
a11 x12 + a22 x22 + a33 x32 + 2a12 x1 x2 + 2a23 x2 x3 + 2a31 x3 x1 = 0,
thay tọa độ của A1 , A2 , A3 vào ta được a11 = a22 = a33 = 0.
Vậy (S ) có dạng a12 x1 x2 + a23 x2 x3 + a31 x3 x1 = 0 với (a12 ; a23 ; a31 )
19

(0; 0; 0).


6. Trong P2 , cho mục tiêu xạ ảnh {A1 , A2 , A3 ; E} phương trình đường bậc hai (S ) đi qua
A1 , A2 , A3 , E có dạng:
a12 x1 x2 + a23 x2 x3 + a31 x3 x1 = 0.
Thật vậy, phương trình của (S ) có dạng tổng quát là
a11 x12 + a22 x22 + a33 x32 + 2a12 x1 x2 + 2a23 x2 x3 + 2a31 x3 x1 = 0,
thay tọa độ của A1 , A2 , A3 , E vào ta được a11 = a22 = a33 = 0 và a12 + a23 + a31 = 0.
Vậy (S ): a12 x1 x2 + a23 x2 x3 + a31 x3 x1 = 0 với (a12 ; a23 ; a31 )

(0; 0; 0) và a12 + a23 +

a31 = 0.
Ví dụ 1.1.6. (Định lý Pappus, [3])
Trong mặt phẳng P2 , cho ABC thuộc đường thẳng d; A B C thuộc đường thẳng d . Chứng
minh AB ∩ A B, BC ∩ B C, CA ∩ C A thẳng hàng.
Chứng minh.
Gọi I là giao điểm của hai đường d, d vì hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng xạ ảnh
P2 . Ta kí hiệu
P = AB ∩ A B;
Q = AC ∩ A C;
R = BC ∩ B C.
Chọn mục tiêu xạ ảnh A, A , R; I , ta có
A = (1; 0; 0), A (0; 1; 0), R(0; 0; 1), I (1; 1; 1).

20


Điểm B thuộc đường thẳng IA nên [ B] = m[ I ] + n[ A]



 
 



 
 




b1 = m + n
 b1 
 1 
 1 





 
 


 b2  = m  1  + n  0  ⇒  b2 = m



 
 





 
 




b3
1
0
 b3 = m.
Do đó, điểm B có tọa độ biểu thị bằng dạng tham số sau đây:
B = (b; 1; 1).
Tương tự, điểm B thuộc đường thẳng IA có tọa độ biểu thị bằng dạng tham số sau đây:
B = (1; b ; 1) .
Từ đó, ta có IA = [0; 1; −1] và RB = [−b ; 1; 0]. Suy ra C = IA ∩ RB = (1; b ; b ).
Mặc khác, IA = [−1; 0; 1] và RB = [−1; b; 0]. Suy ra C = IA ∩ RB = (b; 1; b).
• Ta tính tọa độ của giao điểm Q = AC ∩ A C.
Ta có AC = [0; −b; 1] và A C = [b ; 0; −b ]. Suy ra Q = (b; b ; bb ).
• Ta tính tọa độ của giao điểm P = AB ∩ A B.
Ta có AB = [0; −1; b ] và BA = [1; 0; −b]. Suy ra P = (b; b ; 1).
Xét định thức của ba điểm P, Q, R, ta có:
b b

1

b b

bb

0 0

1

= bb − bb = 0.

Vậy ba điểm P, Q, R thẳng hàng.

Ví dụ 1.1.7. (Định lý Desargues, [3])
Trong mặt phẳng P2 , cho hai tam giác ABC và A B C . Khi đó hai mệnh đề sau tương đương:
(a) Ba đường thẳng AA , BB , CC đồng quy.
(b) AB ∩ A B , BC ∩ B C , CA ∩ C A thẳng hàng.
Chứng minh.
(a) ⇒ (b):
21


Gọi S là điểm đồng quy của các đường thẳng AA , BB , CC . Ta kí hiệu
D = BC ∩ B C ;
E = CA ∩ C A ;
F = AB ∩ A B .
Chọn mục tiêu xạ ảnh {A, B, C; S }. Ta có:
A = (1; 0; 0), B = (0; 1; 0), C = (0; 0; 1), S = (1; 1; 1).

Các điểm A , B , C lần lượt nằm trên các cạnh S A, S B, S C nên ta có
A = (a; 1; 1); B = (1; b; 1); C = (1; 1; c).
• Ta tính tọa độ điểm D = BC ∩ B C .
BC = [0; 1; 0] và B C = [bc − 1; 1 − c; 1 − b]. Suy ra D = BC ∩ B C = (0; b − 1; 1 − c).
• Ta tính tọa độ điểm E = CA ∩ C A .
Ta có CA = [0; 1; 0] và C A = [c − 1; 1 − ac; a − 1]. Suy ra E = CA ∩ C A = (a − 1; 0; c − 1).
• Ta tính tọa độ điểm F = AB ∩ A B .
Ta có AB = [0; 0; 1] và A B = [1 − b; 1 − a; ab − 1]. Suy ra F = AB ∩ A B = (1 − a; 1 − b; 0).
Xét định thức tọa độ của ba điểm D, E, F :
0
a−1

b−1 1−c
0

1−a 1−b

c−1 =
0

0

b−1 1−c

0

1 − b c − 1 = 0.

1−a 1−b
22

0


Vậy ba điểm D, E, F thẳng hàng.
(b) ⇒ (c):
Ngược lại nếu ba giao điểm D = BC ∩ B C ; E = CA ∩ C A ; F = AB ∩ A B thẳng
hàng, ta cần chứng minh ba đường thẳng AA , BB , CC đồng quy. Xét hai tam giác AA E và
BB D có đường thẳng nối các đỉnh tương ứng là AB, DE, A B đồng quy tại F nên theo phần
chứng minh thuận ở trên ba giao điểm của các cạnh tương ứng là AA ∩ B B = S ; AE ∩ BD =
C; A E ∩ B D = C thẳng hàng. Từ đó suy ra AA , BB , CC đồng quy tại S .

1.2
1.2.1

Ánh xạ xạ ảnh và phép biến đổi xạ ảnh trong P n
Ánh xạ xạ ảnh

Định nghĩa 1.2.1. Cho hai không gian xạ ảnh Pn và P
véctơ V n+1 và V

n+1

. Một ánh xạ f : Pn → P

đẳng cấu tuyến tính ϕ : V n+1 → V

n+1

n

n

lần lượt liên kết với các không gian

được gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có một phép

sao cho nếu a là véctơ đại diện của điểm A ∈ Pn thì

ϕ (a) là véctơ đại diện của điểm f ( A) thuộc P n . Khi đó ta nói ánh xạ xạ ảnh f được cảm sinh
bởi đẳng cấu tuyến tính ϕ, hay ánh xạ xạ ảnh f có đại diện là đẳng cấu tuyến tính ϕ.
Tính chất.
i) Ánh xạ xạ ảnh f : Pn → P n là một song ánh.
ii) Ánh xạ f : Pn → P

n

là ánh xạ xạ ảnh có đại diện là đẳng cấu tuyến tính ϕ. Khi đó,

f −1 : P n → Pn là ánh xạ xạ ảnh có đại diện là đẳng cấu tuyến tính ϕ−1 : V
iii) Nếu f : Pn → P
ϕ : V n+1 → V

n+1

n

và g : P

và ψ : V

n+1

n

→ P

→V

n

n+1

n+1

→ V n+1 .

là các ánh xạ xạ ảnh có đại diện lần lượt
thì g f : Pn → P

n

là ánh xạ xạ ảnh có đại

diện là đẳng cấu tuyến tính ψϕ.
Định lý 1.2.1. Mọi ánh xạ xạ ảnh f : Pn → P n , đều biến m− phẳng của Pn thành một m−
phẳng của P

n

và bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng hay bốn siêu phẳng cùng thuộc

một chùm.
Hệ quả 1.2.1. Qua ánh xạ xạ ảnh f : Pn → P n , một hệ điểm độc lập của P n biến thành một
hệ điểm độc lập của P n , mọi hệ điểm không độc lập của Pn biến thành một hệ điểm không độc
lập của P n . Đặc biệt, một hệ điểm thẳng hàng biến thành một hệ điểm thẳng hàng.
Định lý 1.2.2. Mọi ánh xạ f : Pn → P n biến đường thẳng thành đường thẳng và bảo tồn tỉ số
kép của bốn điểm thẳng hàng đều là ánh xạ xạ ảnh.
23


1.2.2

Phép biến đổi xạ ảnh

Định nghĩa 1.2.2. Một ánh xạ xạ ảnh f : Pn → P n được gọi là một phép biến đổi xạ ảnh của
Pn .

1.2.3

Biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh

Giả sử f : Pn → Pn là phép biến đổi xạ ảnh của Pn có đại diện là phép biến đổi
tuyến tính ϕ : V n+1 → V n+1 . Trong Pn , chọn mục tiêu xạ ảnh A1 , A2 , . . . , An+1 ; E có cơ
−e ,→
−
→
−
n
sở đại diện là →
1 e 2 , . . . , e n+1 . Lấy điểm X thuộc P và giả sử đối với mục tiêu xạ ảnh
A1 , A2 , . . . , An+1 ; E , ta có X = ( x1 ; x2 ; . . . ; xn+1 ) và X = f ( X ) = x1 ; x2 ; . . . ; xn+1 .
−e ,→
−
→
−
Khi đó, trong khơng gian véctơ V n+1 , đối với cơ sở →
1 e 2 , . . . , e n+1 , véctơ x có tọa độ là
→
−
( x1 ; x2 ; . . . ; xn+1 ) là đại diện của điểm X, và véctơ x có tọa độ là x1 ; x2 ; ...; xn+1 là đại diện
của điểm x . Theo định nghĩa thì véctơ ϕ( x) cũng là đại diện của điểm x , nên tồn tại số k 0
→
−

−x ). Từ đó suy ra, nếu A là ma trận của phép biến đổi xạ ảnh tuyến tính ϕ đối
sao cho x = kϕ(→
−e ,→
−e , . . . ,→
−e
với cơ sở →
thì ta có
1

2

n+1

[ x ] = kA[ x],

k

0.

(1.6)

Biểu thức (1.6) được gọi là biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh f đối với mục tiêu xạ
ảnh A1 , A2 , . . . , An+1 ; E .
Hệ quả 1.2.2. Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng không thay đổi qua một phép biến đổi xạ ảnh.

1.2.4

Nhóm các phép biến đổi xạ ảnh và hình học xạ ảnh

i) Tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh của khơng gian xạ ảnh Pn lập thành một nhóm với phép

tốn lấy tích các phép biến đổi.
ii) Một tính chất hoặc khái niệm khơng thay đổi qua bất kì phép biến đổi nào của Pn được gọi
là một tính chất xạ ảnh hoặc một khái niệm xạ ảnh. Tập hợp các tính chất xạ ảnh và một
khái niệm xạ ảnh gọi là bất biến xạ ảnh. Chẳng hạn, tính chất thẳng hàng của các điểm
xạ ảnh là tính chất xạ ảnh, khái niệm m− phẳng là khái niệm xạ ảnh. Môn học nghiên cứu
các bất biến xạ ảnh được gọi là hình học xạ ảnh.
iii) Trong hình học Affine và hình học Euclid ta có các khái niệm như sự song song của hai
đường thẳng, sự vng góc của hai đường thẳng, độ dài của một đoạn thẳng, sự đồng
dạng của hai tam giác,... Tất cả những khái niệm đó đều khơng phải là khái niệm xạ ảnh
vì chúng khơng phải là các bất biến của nhóm phép biến đổi xạ ảnh.
24