Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán afin

Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010
438
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH
VÀO GIẢI VÀ SÁNG TẠO NHỮNG BÀI TOÁN AFIN
THE APPLICATION OF PROJECTIVE GEOMETRY
TO SOLVE AND CREATE AFFINE PROBLEMS

SVTH: Bùi Thị Anh Đào
Lớp 07ST, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm
GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu
Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm

TÓM TẮT
Mục đích của đề tài này là trình bày mối quan hệ giữa các bài toán xạ ảnh phẳng và các
bài toán afin phẳng. Vận dụng mối quan hệ này để giải và sáng tạo những bài toán afin phẳng
ABSTRACT
The aim of this topic is to present the relation between plane projective problems and plane
affine problems. Using this relation to solve and create plane affine problems.
1. Mở đầu
Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên ngành dành cho sinh viên
ngành Toán tại các trường Đại học Sư Phạm trong cả nước. Mục đích của môn học là cung
cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan về các hình học và mối quan hệ giữa chúng. Đồng
thời, hình học xạ ảnh giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và
sáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông.
Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán hình học afin là
một vấn đề cơ bản và cũng là một trong những mục đích, yêu cầu quan trọng dành cho các
sinh viên khi học môn hình học xạ ảnh để hiểu rõ và vận dụng trong công tác giảng dạy
sau này.
Hiện nay, trong các giáo trình Hình học xạ ảnh đã đề cập đến mối quan hệ giữa
hình học xạ ảnh và hình học afin tuy nhiên còn ở mức độ khiêm tốn, việc sáng tạo các bài
toán mới cũng ít được quan tâm.

Nhằm tìm hiểu sâu hơn về hình học xạ ảnh, đồng thời ứng dụng nó vào chương
trình phổ thông, tôi chọn đề tài nghiên cứu khoa học cho mình là: “Ứng dụng hình học xạ
ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán afin”.
2. Các mô hình
2.1. Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh
Trong không gian afin
3
A , ta bổ sung thêm các phần tử mới như sau:
- Mỗi đường thẳng bổ sung thêm một “điểm vô tận” sao cho hai đường thẳng song
song cắt nhau tại “điểm vô tận”. Đường thẳng bổ sung thêm “điểm vô tận” được gọi là
đường thẳng mở rộng.
Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010
439
- Tập hợp các “điểm vô tận” của mặt phẳng cùng nằm trên một “đường thẳng vô
tận”. Mặt phẳng được bổ sung thêm “đường thẳng vô tận” được gọi là mặt phẳng mở rộng.
Như vậy, trong mặt phẳng mở rộng ta có:
- Hai đường thẳng bất kì cùng thuộc một mặt phẳng thì luôn cắt nhau tại một điểm
(hoặc là điểm afin thông thường, hoặc là điểm vô tận).
- Hai mặt phẳng phân biệt luôn có một đường thẳng chung.
- Một đường thẳng bất kì không nằm trong mặt phẳng luôn cắt mặt phẳng tại một
điểm.
Xét một mặt phẳng afin
2
A trong không gian afin mở rộng
3
A .
Kí hiệu [
2
V
] là tập hợp các không gian vectơ con một chiều của

2
V

Đặt
 
222
VAP  khi đó,
2
P là không gian xạ ảnh hai chiều (Mặt phẳng xạ ảnh).
Mặt phẳng afin
2
A có bổ sung thêm các điểm vô tận được gọi là mô hình afin của
mặt phẳng xạ ảnh.
2.2. Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin
Xét mặt phẳng xạ ảnh
2
P liên kết với không gian vectơ
3
V
, chọn đường thẳng


làm đường thẳng vô tận. Khi đó, tập hợp
 \
22
PA
là mặt phẳng afin và được gọi là mô
hình xạ ảnh của mặt phẳng afin. Trong mô hình này, các điểm thuộc

được gọi là các

điểm vô tận, các điểm không thuộc

được gọi là các điểm thông thường.
2.3. Sự liên hệ giữa bài toán afin phẳng và bài toán xạ ảnh phẳng
Từ sự liên hệ giữa mặt phẳng afin và mặt phẳng xạ ảnh ta suy ra được nhận xét sau
về mối liên hệ giữa bài toán afin phẳng và bài toán xạ ảnh phẳng:
- Từ bài toán afin
phẳng, bằng cách bổ sung
vào mặt phẳng afin một
đường thẳng vô tận sao cho
hai đường thẳng song song
cắt nhau t
ại một điểm nằm
trên đường thẳng vô tận ta
thu được một bài toán xạ
ảnh phẳng.
- Ngược lại, từ một
bài toán xạ ảnh phẳng, bằng
cách cố định một đường
thẳng của mặt phẳng xạ ảnh
làm đường thẳng vô tận ta
thu được một bài toán afin
phẳng.
Nói cách khác, ta có
thể dùng kiến thức của hình
I
P
N
M
C’

A’
'B

B
C
A
Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010
440
học xạ ảnh để giải các bài toán afin và ngược lại.
Ví dụ: Dùng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin để chứng minh định lý Desargues
Định lý Desargues. Trong không gian xạ ảnh
2
P , cho hai tam giác
ABC
và tam
giác
''' CBA
. Khi đó, các đường thẳng nối các cặp đỉnh tương ứng của hai tam giác đồng
quy khi và chỉ khi giao điểm các cặp cạnh tương ứng cùng nằm trên một đường thẳng.
Nhận xét: Nếu ta chọn đường thẳng chứa M, N, P làm đường thẳng vô tận khi đó
trong mô hình
MNPA \
22

các đường thẳng
AB
và
'' BA
;
AC

và
''CA
;
BC
và
''CB

song song với nhau.
Ta thu được bài toán afin như sau: Cho hai tam giác
ABC
và
''' CBA
có các đường
thẳng nối các đỉnh tương ứng đồng quy tại một điểm. Chứng minh rằng nếu hai cặp cạnh
tương ứng của tam giác song song với nhau thì cặp cạnh còn lại cũng song song.
3. Ứng dụng hình học xạ ảnh phẳng vào giải và sáng tạo những bài toán afin phẳng
Vận dụng mối quan hệ giữa bài toán afin và bài toán xạ ảnh, ta có thể sáng tạo ra
nhiều bài toán afin khác nhau từ một bài toán afin cho trước. Thật vậy, sau khi đã chuyển
một bài toán afin sang bài toán xạ ảnh, với cách chọn các đường thẳng khác nhau làm
đường thẳng vô tận, ta lại thu được nhiều bài toán afin khác nhau. Sau đây là một ví dụ
minh họa
Xét bài toán afin.
Trong
2
A , cho hình bình hành
.ABCD
Từ điểm M tuỳ ý trên
cạnh
AB
, ta dựng đường thẳng a cắt cạnh BC tại N. Từ điểm Q tuỳ ý trên cạnh AD, ta

dựng đường thẳng b//a, cắt cạnh CD tại P. Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh
rằng O, B, D thẳng hàng.
3.1. Giải bài toán: Ta sẽ dùng mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh để giải bài toán trên
Bổ sung thêm đường thẳng vô tận
 sao cho:
;IBCAD  ;JCDAB 
.KPQMN

với I, J,
K
.
Ta thu được bài toán xạ ảnh như
sau: Trong P
2
, cho ba đường thẳng a, b, c
phân biệt thuộc chùm tâm
I . Trên
a
lấy
hai điểm J, K. Trên
c
lấy hai điểm B, C.
Gọi ;bJCD 
.bJBA 
M, Q lần
lượt nằm trên AB và AD . Gọi
;BCKMN  ;DCKQP 
.NQMPO  Chứng minh rằng B, O, D
thẳng hàng
Ta giải bài toán như sau:

Xét hai tam giác
BMN
và
DPQ
.

JDPBM

,
P
O
B
M
A
C
N
I
J
K
Q D
Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010
441
KPQMN  ,
IQDNB  .
Mà ,I ,J 
K .
Theo định lý Desargue  ,MP NQ ,
BD đồng quy.
Mà BDOONQMP
 .

Hay B, O, D thẳng hàng.
3.2. Sáng tạo những bài toán mới
Chọn BD làm đường thẳng vô tận, ta thu được bài toán sau
Bài toán 1
: Trong mặt phẳng afin, cho hình thang
MNIJ
(
NIMJ
//
) có các cạnh
bên cắt nhau tại
K . Trên hai cạnh đáy lấy hai điểm CA,
 
NICMJA  ,
sao cho
CJAI //
. Q là điểm bất kì thuộc AI , KQ cắt
CJ
tại P . Chứng minh rằng NQMP // .
Chọn
BC
làm đường thẳng vô tận, ta thu được bài toán
Bài toán 2:
Cho hình thang
BOMJ
 
MJBO //
có các cạnh bên cắt nhau tại P .
Lấy điểm A bất kì thuộc
MJ

.Trên AD lấy điểm Q . Đường thẳng qua M , song song với
OQ cắt PQ tại
K . Chứng minh rằng
ADKJ //
.
Chọn
BA
làm đường thẳng vô tận, ta thu được bài toán

Bài toán 3:
Cho tứ giác
KNQI
, trên
IQ
lấy điểm
D
. Qua
D
vẽ đường thẳng song
song với
IN
cắt
NQ
tại
O
. Qua
O
vẽ đường thẳng song song với
KN
cắt

KQ
tại
P
.
Chứng minh rằng
IKDP //
.
Bài toán 4:
Chứng minh rằng nếu hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng song
song thì các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng của chúng đồng quy.
4. Kết luận
Đề tài “Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán afin” đã giải
quyết được các vấn đề sau:
1.

Xây dựng mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh và mô hình xạ ảnh của mặt phẳng
afin.
2.

Trình bày mối quan hệ giữa bài toán afin phẳng và bài toán xạ ảnh phẳng.
3.

Ứng dụng hình học xạ ảnh phẳng vào giải và sáng tạo những bài toán afin phẳng.
4.

Nội dung đề tài là một tài liệu tham khảo tốt dành cho sinh viên khi học môn hình
học xạ ảnh.
Hình học xạ ảnh không những được ứng dụng để giải và sáng tạo các bài toán afin
mà còn nhiều ứng dụng khác trong hình học sơ cấp. Hy vọng rằng nội dung đề tài còn tiếp
tục được mở rộng và hoàn thiện hơn, nhằm phục vụ cho việc dạy và học toán thuộc chương

trình phổ thông.
Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010
442

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]

Khu Quốc Anh, Phạm Bình Đô, Tạ Mân (1984), Bài tập hình học cao cấp, (tập2), Nhà
xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[2]

Văn Như Cương (1999), Hình học xạ ảnh, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[3]

Văn Như Cương, Kiều Huy Luân (1978), Hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục,
Hà Nội.
[4]

Văn Như Cương (chủ biên), Kiều Huy Luân, Hoàng Trọng Thái (2001), Hình học 2,
Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[5]

Nguyễn Mộng Hy (2007), Hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[6]

Nguyễn Mộng Hy (2008), Bài tập hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[7]

Phạm Quý Mười (2006), Ứng dụng hình học xạ ảnh vào việc giải và sáng tạo các bài

toán hình học sơ cấp, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp Đại học Đà Nẵng.
[8]

Nguyễn Cảnh Toàn (1979), Hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội