BÀI GIẢNG: GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH

(MỘT PHƯƠNG PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH)

Bỉm sơn. 14.02.2014


02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

1
GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH
(Một phương pháp nhằm phát triển tư duy)

I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tính tích phân sau:
3
3
2
0
1
x
I dx
x




Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đối số
Đặt


2
tan 1 tan
x t dx t dt
   
Đổi cận
3
3

0
0
t
x
x
t





 

 







Khi đó
   
3 3 3 3
3 2 2
0 0 0 0
tan tan tan 1 1 tan tan 1 tan
I tdt t t dt t t dt tdt
   
      

   

 
 
23 3
0 0
cos
tan 3
tan tan ln cos ln2
3
cos 2 2
0
d t
t
td t t
t
 

 
    
 
 
 

Nhận xét: Đối với tích phân dạng
 
 
2 2
, ,
I R u u a du u u x



  

thì ta có thể đặt
tan
u a t


Cách 2: Phương pháp tích phân từng phần
Đặt
 
2
2
2
2
ln 1
1
2
du xdx
u x
x
xdx
dv
v
x





 


 


 



Khi đó
       
3 3
2 2 2 2 2
0 0
1 13
ln 1 ln 1 3ln2 ln 1 1
2 2
0
J
I x x x x dx x d x
       
 


Tính
   
3
2 2
0

ln 1 1
J x d x
  


Đặt
 
 


2
2
2
2
2
1
ln 1
1
1
1
d x
u x
du
x
dv d x
v x



 





 

 
 

 


Khi đó
     
3
2 2 2
0
1 33
3ln2 1 ln 1 1 ln 2
2 2
0
I x x d x
 
       
 
 
 


Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng được phương pháp này là vì

Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng


 




 
'
n n
P x f x Q x
I dx dx
Q x Q x
 
 
thì
02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

2
Đặt


 
 
'

n
u f x
du
Q x
v
dv dx
Q x





 





Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số
Nhận xét: Ta có
3 2
.
x x x
 và


'
2
1 2
x x

  từ đó ta định hướng giải như sau
Phân tích
3 3
3 2
2 2
0 0
1 1
x x x
I dx dx
x x
 
 
 

Đặt
2
2
1
1
2
x t
t x
dt
xdx

 

  






Đổi cận
4
3
1
0
t
x
t
x






 






Khi đó


 
4 4

1 1
1
4
1 1 1 1 3
1 ln ln 2
1
2 2 2 2
t
I dt dt t t
t t

 
      
 
 
 

Cách 4: Phân tích và đưa vào vi phân
 


   
 
 
 
2
3 3 3
2
2 2 2
2 2 2

0 0 0
2
3 3
2
2 2
2
0 0
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 2
1 1 1
1
1 33 3
1 ln 1 2ln 2
2 2 2
1
0 0
x
x
I d x d x d x
x x x
d x
x
d x x
x
 
 
       
 

  
 

       

  
 

Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn


 
2
3 3 3
3 2
2
2 2 2
0 0 0
1
1 3 1 33 3
ln 1 ln 2
2 2 2 2 2
1 1 1
0 0
d x
x x x
I dx x dx x
x x x

 

         
 
  
 
  

Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta chia đa
thức để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu nhất
Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức)
Ta có


3 2
1
x x x x
  

Khi đó


 
2
3 3 3
3 2
2
2 2 2
0 0 0
1
1 3 1 33 3
ln 1 ln2

2 2 2 2 2
1 1 1
0 0
d x
x x x
I dx x dx x
x x x

 
         
 
  
 
  

Bài 2: Tính tích phân bất định:
  
3 3
2
3 3
1 2
3 2
x x
I dx dx
x x
x x
 
 
 
 

Giải:
Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm của mẫu thức
Phân tích






3 2 2
3 2 3 3 2 7 1 1
x x x x x x x
        

Khi đó






2 2
3
2 2
3 2 3 3 2 7 1 1
3
3 2 3 2
x x x x x x
x

I dx dx
x x x x
       
 
   
 

     
2
7 1 1
3 3 7ln 2
2 1 2 2 1 2
x
x dx x x dx
x x x x x
 
        
 
 
    
 
 

02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

3

2 2
3 7ln 2 ln 2 ln 1 3 8ln 2 ln 1
2 2
x x
x x x x C x x x C
               

Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật “nhảy tầng lầu”
Phân tích








3 2
3 2 3 1 1 2 3
x x x x x x x
       




















2 2
3 2 3 1 2 3 2 3 3 2 3 1 2 9 1 2 3
x x x x x x x x x x x x x
                  
 
 

Khi đó








2
3
2 2
3 2 3 1 2 3 2 3

3
3 2 3 2
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
        
 
 
   
 

2
2
2
9 2 3
3 3 9ln 2 ln 3 2
2 3 2 2
x x
x dx dx x x x x C
x x x

 
           
 
  
 
 

Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức

Phân tích




3 2 2
3 2 3 3 2 7 6
x x x x x x x
       

Khi đó




2 2
3
2 2
3 2 3 3 2 7 6
3
3 2 3 2
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
      
 
   
 

 
2
1
2
7 6
3 3
3 2 2
x x
x dx dx x I
x x

     
 
 
.
Tính
1
I
bằng phương pháp đồng nhất thức….
Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn
 
1
3
2 2 2
3 9 8 9 8
3 3
3 2 3 2 3 2
I
x x x
I dx x dx x dx dx

x x x x x x
 
 
      
 
     
 
   


Tính
1
I
bằng phương pháp đồng nhất thức….
Bài 3: Tìm nguyên hàm sau:
 
3 3
2
2
2 1
1
x x
I dx dx
x x
x
 
 

 

Giải:
Cách 1: Phương pháp đổi biến số
Đặt
1
1
du dx
u x
x u


  

 


Khi đó
 
3
3 2 2
2 2 2
1
3 3 1 3 1 1
3 3 3ln
2
u
u u u u
I du du u du u u C
u u u u u

  

 
          
 
 
  

với
1
u x
 

Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức
Phân tích






3 2 2
2 1 2 2 1 3 1 1
x x x x x x x
        

Khi đó







2 2
3
2 2
2 1 2 2 1 3 1 1
2 1 2 1
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
       
 
   
 

 
2
2
3 1 1
2 2 3ln 1
1 2 1
1
x
x dx x x C
x x
x
 
         
 
 


 
 


Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật nhảy tầng lầu
Phân tích
   
 
3 2 2
3
2 1 2 2 1 1 2 2
2
x x x x x x x
        

02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

4
Khi đó
   
 
2 2
3
2 2
3

2 1 2 2 1 1 2 2
2
2 1 2 1
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
       
 
   
 

2
2
2
1 3 2 2 3
2 2 ln 1 ln 2 1
1 2 2 1 2 2
x x
x dx dx x x x x C
x x x

 
           
 
  
 
 

Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức

Phân tích




3 2 2
2 1 2 2 1 3 2
x x x x x x x
       

Khi đó




2 2
3
2 2
2 1 2 2 1 3 2
2 1 2 1
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
      
 
   
 

 

2
1
2
3 2
2 2
2 1 2
x x
x dx dx x I
x x

     
 
 
.
Tính I
1
bằng phương pháp đồng nhất thức
Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng các tích phân đơn giản
   
3 3
2 2 2
2
3 1
2
1
2 1
1 1
1
2 3ln 1
2 1

x x
I dx dx x dx
x
x x
x x
x
x x C
x
 
     
 

 
 
 
 
     

  

Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
 
3
2
2
3
1
1
1

u x
du x dx
dx
dv
v
x
x







 

 
 





Khi đó
3 2 3 2
3 3 2
1 1
3 3
1 1 1 1
1

3 1 3 ln 1
1 1 1 2
x x x x
I dx dx
x x x x
x x x
x dx x x C
x x x
 
     
   
 
 
           
 
 
  
 
 
 


Bài 4: Tìm nguyên hàm:
 
2
39
1
x dx
I
x





Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
Phân tích
     
2
2
2
1 1 1 2 1 1
x x x x
       
 
 

 
 
       
2
2
39 39 37 38 39
1 2(1 ) 1
1 2 1
1 1 1 1 1
x x
x
x x x x x
   

    
    

           
37 38 39 36 37 38
1 1 1 1 1 2 1 1 1
2
36 37 38
1 1 1 1 1 1
I dx dx dx C
x x x x x x
      
     
  

Cách 2:
Đặt 1 1
t x x t dx dt
       



2
39 39 38 37 38 37 36
1
1 1 1 1 1 2 1 1 1
2
38 37 36
t dt
I dt dt dt C

t t t t t t t

          
   

Nhận xét:
Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

5
Đặt
 
 
2
38
39
2
1
38 1
1
du xdx
u x
dx
v
dv
x

x







 


 





Khi đó
   
2
38 38
1 1
19
38 1 1
x
I x dx
x x
 
 


…. đến đây các bạn có thể tự làm rồi
Bài 5: Tìm nguyên hàm:
3
10
( 1)
x dx
I
x




Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
Sử dụng đồng nhất thức:
       
3
3 2
3
1 1 1 3 1 3 1 1
x x x x x
         
 
 

3
10 7 8 9 10
1 3 3 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x

x x x x x
    
    

Khi đó
7 8 9 10
6 7 8 9
3 3
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 3 1 3 1 1 1
6 7 8 9
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
dx dx dx dx
I
x x x x
C
x x x x
    
   
     
   
   

Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số
Đặt
1
t x
 
ta có:
1

x t
 
nên
dx dt


 
3
3 2
7 8 9 10
10 10
1
( 3 3 1)
3 3
t dt
t t t dt
A t dt t dt t dt t dt
t t
   

  
     
     

6 7 8 9
1 1 3 1 3 1 1 1
6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1)
C
x x x x
     

   

Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
   
3 2
10 9
3
1
1 9 1
u x du x dx
dx
dv v
x x
 
 
 

 
  
 
 
 

Khi đó
   
1
2
3
9 9

1 1

3
9 1 1
I
x
I x dx
x x
  
 



đến đây rùi ta có thể tính
1
I
bằng phương pháp tích phân từng phần hoặc phân tích






2 2
1 1 1 1 1
x x x x
      

Nhận xét :
- Đối với bài 3, bài 4 và mà ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức thì giải hệ quả thật là nan giải phải

không, chính vì thể mà lựa chọn phương pháp nào mà hiệu quả và nhanh về đích nhất
Qua bài 3, bài 4 và bài 5 ta chú ý
- Đối với tích phân hàm phân thức có dạng


 
n
P x
I dx
x a



thì đặt
t x a
 
là một phương pháp hiệu quả
nhất
02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

6
- Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng


 





 
'
n n
P x f x Q x
I dx dx
Q x Q x
 
 
thì ta
sử dụng phương pháp tích phân từng phần nhưng nên làm khi bậc của


x a

là
1,2
n


Đặt:


 
 
'
n
u f x

du
Q x
v
dv dx
Q x





 





Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau:
 
3 3
3
2
0 0
1
dx dx
I
x x
x x
 



 

HD:
Cách 1: Biến đổi số
Nhân cả tử và mẫu cho
2
x

   
3 3 3
3
2 2 2
0 0 0
1 1
dx dx xdx
I
x x
x x x x
  

 
  

Đặt
2
2
1
1
2
x t

t x
dt
xdx

 

  





Cách 3: Biến đổi số
Đặt
tan
x u

… Bạn đọc tự giải
Cách 4: Đưa vào vi phân
Phân tích tử


2 2
1 1 –
x x
 
Khi đó


2

3 3
2
2
00 0 0
3 3
2
1
13 3
ln ln 1
2
1
1 6
ln
2
0
2
1
0
dx x dx
I dx
d x
x x
x
x x
x
    


  


  

Bài 12: Tính tích phân sau:
2
5 3
1
dx
I
x x




Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích
Cách 1.1: Phân tích:
2 2
1 1
x x
  

 
2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2
3 2
1 1 1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 1
1
x x x x x
x

x x x x x x x x x x
x x
   
        
   


Khi đó
2
2
3 2
2 2
2
1 1 1
2
1 1 1 1 1
ln
3 1 5
ln 2 ln
8
ln 1
2
1
2
2
2
1
x
I dx dx dx x x
x

x x x
 
         
 

 
  

Cách 1.2: Phân tích:




4 4 4 2 2
1 1 1 1
x x x x x
      

 




4 2 2
4 4 2
3
3 2 3 2 2 3 2
3 2
1 1
1 1 1 1

( 1) ( 1) 1 1
1
x x x
x x x x x
x
x
x x x x x x x
x x

  
  
       
   


tự làm nhé
Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích và phương pháp biến đổi số
Phân tích
   
2 2
2
1
3 2 2
1
1 1 1
.
1 1
I dx dx
x
x x x x

 
 
 

02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

7
Đặt
2
1
1
1
x
t
t
x
dx dt
t




 


 




Đổi cận
1
2
2
1
1
x
t
x
t






 







Khi đó
1
1

3
2
2
2 2
2
1
1
2
1
1 1
1
1

t
t
I t dt dx
t
t t
 

 

 



 
đến đây lại trở thành bài 1, các bạn tha hồ mà làm nhé
Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đổi biển số
   

2 2
3 2 4 2
1 1
1
1 1
x
I dx dx
x x x x
 
 
 

Đặt
2
1
2
dt
t x xdx
   

Đổi cận
2 5
1 2
x t
x t
 
 

 
 

 

Khi đó
   
5 5
2 2
2 2
5
1 1 1 1 1 1 3 1 5
ln ln 2 ln
2
2 1 2 1 1 8 2 2
1 1
dt t
I dt
t t t t
t t t
 
 
          
 
  
 
   
 
 

Hoặc các bạn có thể đặt
1
u t

 
hoặc phân tích


1 1
t t
  
hoặc đồng nhất thức
Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đưa vào vi phân
     
 
 
 
   
 
 
2 2 2
2
3 2 4 2 4 2
1 1 1
2 2
2 2 2
2 2 2
4
4 2 2 2
1 1 1
1 1 1
1
2
1 1 1

1
1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2
1 1
x
I dx d x
x x x x x x
x x
d x d x d x
x
x x x x
    
  
 
      
 
  
  

 
2 2
3
2
1 1
1 1

1
dx dx
x

x x
 

 
ôi đến đây lại thành cách 1 rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui…
Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức
 
3 2 2
3 2
1
1
1
A B C Dx E
xx x x
x x

   


đến đây thì đồng nhất thức hai vế để giải hệ tìm
, , , ,
I A B C D E

tuy
nhiên việc giải hệ là phức tạp chính vì thể trong trường hợp này ta nên làm theo cách 1, cách 2 và cách 3
là hiệu quả nhất
Cách 6: Đặt


2

tan tan 1
x u dx dt
   
… bạn đọc tự làm
Bài 14: Tính tích phân sau:
1
3
0
1
dx
I
x




Giải:
Nhận xét:




3 2
1 1 1
x x x x
    

Cách 1: Dựa vào nhận xét trên ta sử dụng đồng nhất thức:
02
14

2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

8






2 2 2
1 1 1 1
x x x x x
      

Khi đó
1 1
2
1 2
3 2
0 0
1
1 1
x x
I dx dx I I
x x x

   
  

 

Tính
1
I
bằng cách đặt
3
1
t x
 
hoặc


3
1
1
3
0
1
1
3
1
d x
I
x





Tính
2
I
phân tích
 
1 1
1 2 1
2 2
x x
   
(kĩ thuật nhảy tầng lầu)
Ta có
1 1 1
2
2 2 2
0 0 0
1 1 2 1 1
2 21 1
1 3
2 4
x x dx
I dx dx
x x x x
x
 
  
   
 
 
 

 
  

Cách 2: Đồng nhất thức
Xét
 
  
2
3 2
1
1 1 1
1
1 1
A Bx C
A x x Bx C x
x
x x x

        
  

Đến đây ta có thể đồng nhất hệ số giải hệ tìm A, B, C hoặc cho một số giá trị riêng là
1 2 1
1 ; 0 ; 1
3 3 3
x A x C x B
          
…Bạn tự giải tiếp nhé
Kết quả ta được
1

ln2
3
3 3
I

 
Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu”
 
 


     
1 1 1
3
2
2
0 0 0
1
1
1 1
1 1 3 1 3
dx dx d x
I
x
x x x
x x x

  

 

  
    
 
  

Đặt 1
x t dx dt
   

Đổi cận
0 1
1 2
x t
x t
 
 

 
 
 

 




 
2 2 2 2
2 2
2

2 2
1 1 1 1
dt 1 3 3 3 1 dt 3
dt
3 3
3 3
3 3 3 3
t t t t t
dt
t
t t
t t t t t t
 
    
   
 
 
   
 
   





2 2 2
2
2 2
1 1 1
2

2
1 dt 1 3 3 3 dt
3
3 2 23 3
3
2
4
2
1 1 2 3 1
ln 3 arctan ln2
1
3 2 3
3 3
3 3 3
d t t
t t t
t
t t
t t

 
 
  
 
 
 
 
 
 
 


   
 
 
 
  

Bài 15: Tính tích phân bất định:
 
4 3
50
3 5 7 8
2
x x x
I dx
x
  



.
Giải :
Cách 1: Biến đổi số
Đặt
2
2
x t
x t
dx dt
 


  




Khi đó
 






4 3
4 3
50 50
3 2 5 2 7 2 8
3 5 7 8
2
t t t
x x x
I dx dt
t
x
     
  
 

 

Cách 2: Đồng nhất tử thức chứa nghiệm của mẫu thức
02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

9
Phân tích
       
4 3 2
4 3
3 5 7 8 2 2 2 2
x x x a x b x c x d x e
           
… đồng nhất để tìm a, b, c,
d, e …
Cách 3: Khai triển Taylor (tham khảo)
Đặt


4 3
4
3 5 7 8
P x x x x
   

Áp dụng khai triển taylor ta có
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 4
2 3 4
4 4 4 4
4 4
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1! 2! 3! 4!
P P P P
P x P x x x x
 
   
         

         
2 3 4
4
66 149 2 48 2 29 2 3 2
P x x x x x         

       
 
         
         
2 3 4
50
50 49 48 47 46
49 48 47 46 45
66 149 2 48 2 29 2 3 2
2
66 2 149 2 48 2 29 2 3 2
66 149 48 29 3
49 2 48 2 47 2 46 2 45 2
x x x x
I dx
x
x x x x x dx
C
x x x x x
    
       
 

 
         
 

     
    




Bài 16: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau:
1 5
2
2
4 2
1
1
1
x
I dx
x x



 


Giải:
Ta có
1 5 1 5 1 5
2
2 2 2
2
2
4 2 2
2
1 1 1
2

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
dx dx dx
x x
x
x
x
x
  
 


 

 
 
 
 
 

 
 
 
  

Đặt
2
1 1
1
t x dt dx
x x
 
    
 
 
.
Đổi cận
1
0
1 5
1
2
x
t
t
x







 







Khi đó
1
2
0
1
dt
I
t



. Đặt


2
tan 1 tan
t u dt u du
    .
Đổi cận
0

0
1
4
u
t
t
u







 






Khi đó
1
24 4
2 2
0 0 0
1 tan
.
4
4

1 1 tan
0
dt u
I du du u
t u
 



    
 
  

Cách khác:
Ta có thể gộp hai lần đặt là
 
2
2
1 1
tan 1 1 tan
x u dx u du
x
x
 
     
 
 
… bạn đọc tự giải
Bài 17: Tính tích phân:
I

2
2
4
1
1
1
x
dx
x





Giải:
02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

10
Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho
2
0
x

ta được
Biến đổi
2 2

2 2
2
2
1 1
2
1 1
1 1
1
1
2
x x
I dx dx
x
x
x
x
 
 
 

 
 
 
 

Đặt
2
1 1
1
u x du dx

x
x
 
    
 
 

Khi đó
I
5
2
2
2
1 2
ln
2
2 2 2
du u
u
u

 



5/2
2
1 (5 2 2)(2 2)
ln
2 2 6 2

 



Cách 2: Phân tích






2
4 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1
x x x x x x x
        
và sử dụng đồng nhất thức
2
4
2 2
1
1
2 1 2 1
x Ax B Cx D
x
x x x x
  
 

   

… đồng nhất hệ số tìm A, B, C và D nhưng cách này dài và rất phức
tạp nên không đưa ra
Nhận xét:
- Qua các ví dụ trên ta thấy kĩ thuật chia thực sự rất hiệu quả trong việc chuyển tích phân ban đầu thành
tích phân đơn giản hơn
- Thông thường để sử dụng kĩ thuật chia thì trên tử là một đa thức bậc hai


2
1
P x x
 
còn mẫu là một đa
thức bậc 4:


4 3 2
Q x ax bx cx dx e
    
sao cho hệ số
1
a e
 

- Tích phân trên đưa về dạng
2
1 1
1
I f x dx
x

x
  
 
  
  

 đặt
2
1 1
1
t x dt dx
x x
 
   
 
 

Tương tự ta có thể giải bài toán này
1. Tính tích phân sau
I
2
2
4
1
1
1
x
dx
x






2 2
2 2
2
2
1 1
2
1 1
1 1
1
1
2
x x
I dx dx
x
x
x
x
 
 
 

 
 
 
 
. Đặt

2
1 1
1
u x du dx
x
x
 
    
 
 

2. (ĐHQGHN – A 2001) Tính tích phân bất định sau:
  
2 2
2
2 2
1 1 5 1
ln
8
3 1
5 1 3 1
x x x
I dx C
x x
x x x x
  
   
 
   


Bài 18: Tính tích phân sau:
 
1
4
3 4
0
1
I x x dx
 


Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi số
Đặt
4 3 3
1 4
4
dt
t x dt x dx x dx
     

Đổi cận
1 2
0 1
x t
x t
 
 


 
 
 

02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

11
Khi đó
 
1 2
4
3 4 4 5
0 1
2
1 1 31
1 .
1
4 20 20
I x x dx t dt t
 
    
 
 
 

Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số

Đặt
4 3
4
dt
t x x dx
  
Đổi cận
1 1
0 0
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
 
 
1 1
5
4
2 3 4 2 3 4
0 0
1
1 1 1 31
1 1 4 6 4 2 2
0

4 4 4 5 20
t
I t dt t t t t dt t t t t
 
            
 
 
 

Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi vi phân
     


5
4
1 1
4 4
3 4 4 4
0 0
1
1
1 1 31
1 1 1 .
0
4 4 5 20
x
I x x dx x d x

      
 

Cách 4: Sử dụng phương pháp phân tích
Phân tích






4
3 4 3 16 12 8 4 19 15 11 7 3
1 4 6 4 1 4 6 4
x x x x x x x x x x x x
          
Khi đó
   
1 1
20 16 12 8 4
4
3 4 19 15 11 7 3
0 0
1
31
1 4 6 4
0
20 4 2 2 4 20
x x x x x
I x x dx x x x x x dx
 
            

 
 
 

Nhận xét: Mỗi cách giải có một đặc thù riêng nên lựa chọn cách nào là phù hợp hơn, tùy vào mỗi người,
theo tôi cách 1 và cách 3 là hiệu quả nhất
Bài 19: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau:
 
1
6
5 3
0
1
1
168
I x x dx  


Giải:
Ta có
   
1 1
6 6
5 3 3 3 2
0 0
1 1
I x x dx x x x dx
   
 

Cách 1: Đổi biến số
Đặt
2
3
3
1
3
1
dt
x dx
t x
x t

 

  


 


Đổi cận
1 0
0 1
x t
x t
 
 

 

 
 

   
 
0 1 1
7 8
6 6 6 7
1 0 0
1 1 1 1 1
1 1
3 3 3 3 7 8 168
t t
I t t dt t t dt t t dt
 
         
 
 
  

Cách 2: Đưa vào biểu thức vi phân
         
       
   
1 1 1 1
6 6 6 7
5 3 2 3 3 2 3 2 3
0 0 0 0
7 8
3 3

1 1
6 7
3 3 3 3
0 0
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 . .
0 0
3 3 7 3 8 168
I x x dx x x x dx x x dx x x dx
x x
x d x x d x
 
         
 
 
          
   
 

Cách 3: Khai triển


6
3
1
x
 thành tổng các đa thức



6
5 3
1
x x
  cách này không khó nhưng khai triển
phức tạp… chỉ tham khảo thôi
Chú ý: Nếu ta đặt
3
t x

cũng ra nhưng sẽ dài và phức tạp, bạn đọc có thể tham khảo
02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

12
Bài 20: Tính tích phân sau
 
2
2
0
1
I x x dx
 


Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích
Ta có




2
2 3 2
1 2 1 2
x x x x x x x x
      

Khi đó
 
2
4 3 2
3 2
0
2
2 34
2
0
4 3 2 3
x x x
I x x x dx
 
      
 
 



Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
Ta có










2 2 3 2
1 1 1 1 1 1
x x x x x x
        
 
 

Khi đó
           




4 3
2 2 2 2
3 2 3 2

0 0 0 0
1 1
34
1 1 1 1 1 1
4 3 3
x x
I x dx x dx x d x x d x
 
            
   

Cách 3: Đổi biến số
Đặt
1
1
x t
t x
dx dt
 

  




Đổi cận
2 3
0 1
x t
x t

 
 

 
 
 

Khi đó
 
 
3 3
4 3
2 3 2
1 1
3
34
1
1
4 3 3
t t
I t t dt t t dt
 
      
 
 
 

Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
 



2
2
2 1
1
2
du x dx
u x
x
dv xdx v
  

 
 

 
 





Khi đó
   
 
2 2
2 4 3
2
2 3

0 0
2 2
34
1 1 6 6
0 0
2 4 3 3
x x x
I x x x dx x x dx

 
          
 
 
 

Bài 21: Tính tích phân sau:
 
0
9
2
1
1
I x x dx

 


Giải:
Cách 1: Biến đổi số
Đặt

1
t x dt dx
   

Đổi cận
1 0
0 1
x t
x t
  
 

 
 
 

Khi đó
   
   
0 1 1 1
9 2
2 9 2 9 11 10 9
1 0 0 0
12 11 10
1 1 2 1 2
1
1 2 1 1
2
0
12 11 10 12 11 10 660

I x x dx t t dt t t t dt t t t dt
t t t

         
 
      
 
 
   

Cách 2: Phương pháp phân tích
Phân tích
   
2
2
1 2 1 1
x x x
    

Khi đó
02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

13
             
     
0 0 0

9 2 9 11 10 9
2
1 1 1
12 11 10
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
1 1 1
0
1
2
1
12 11 10 660
I x x dx x x x dx x x x dx
x x x
  
   
             
   
 
  
    

 
 
  

Hoặc phân tích
2
x
theo



1
x

như sau
 


     


       
9 9 9 11 10 9
2 2
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1
x x x x x x x x x x
 
                
 
 
 

Nhận xét:
- Với bài toán này ta sử dụng phương pháp phân tích tức là khai triển
 
9
1
x

hay phương pháp tích phân

từng phần như bài 20 thì cũng ra nhưng rất dài và phức tạp vì bậc của


1
x

là lớn
Bài 22: Tính tích phân:
1
2 10
0
(1 3 )(1 2 3 )
I x x x dx
   


Giải:
Cách 1: Đổi biến số
Đặt
2
1 2 3 (2 6 ) 2(1 3 ) (1 3 )
2
dt
t x x dt x dx dt x dx x dx
           
Đổi cận:
0 1
1 6
x t
x t

 
 

 
 
 
.
10 11 11 11 11
6 6
10
1 1
6
6 1 6
1
1
2 2 22 22 22 22
dt t t
I t dt
      
 

Cách 2: Đưa vào vi phân
 
     
   
 
1
1
10 10 '
2 2 2

0
0
11
2
1
11
10
2 2
0
1
1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2
1 2 3
1
1 6
1 2 3 1 2 3 1
0
2 22 22
I x x x dx x x x x dx
x x
x x d x x
        
 
       
 



Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: (ĐHV – D 2000) Tính tích phân sau:
2
3
2
0
3
2 1
x
I dx
x x

 


Đs:
9ln3 8
I
 

Bài 2: Tính tích phân sau:
  
2
2
2 2
1
1
3 1 1
x
I dx
x x x x



   


HD:
Chia cả tử và mẫu cho
2
x
ta được
2
2
1
1
1
1 1
3 1
x
I dx
x x
x x


  
   
  
  


Cách 1: Biến đổi số đặt

2
1 1
1
t x dt dx
x x
 
    
 
 

Cách 2: Biến đổi vi phân
02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

14
2 2
2
1 1
1
1
1
2
1 1 1
ln 1 ln 3
1 1 1 1
1
2

3 1 3 1
1 7
ln
2 10
d x
x
x
I dx dx x x
x x
x x x x
x x x x
 


 
 
   
 
       
   
 
     
   
 
       
     
     

 

Cách 3: Đồng nhất thức
Bài 3: Tính tích phân sau:
1
5
2
0
.
1
x
I dx
x




HD:
Đồng nhất thức:
5 3 2 2
( 1) ( 1)
x x x x x x
    

1
1
3 4 2 2
2
0
0
1 1 1 1 1
ln( 1)] ln 2 .

4 2 2 2 4
1
x
I x x dx x x x
x
   
         
 
 
 
 


Hoặc chia tử cho mẫu để tách thành tổng các tính phân đơn giản Hoặc đặt
tan
x t


Bài 4: (ĐHKT – 1994) Tính tích phân sau:
 
1
3
0
1 2
x
I dx
x




HD:
Phân tích
 
     
3 2 3
1 1 1 1
1 2 1
2 2
1 2 1 2 1 2
x
x x
x x x
 
     
 
  
 
 
ta được
1
18
I 
Hoặc đặt
1 2
t x
 
Hoặc tích phân từng phần
Bài 10: Tính tích phân:
 

1
2
4 2
1
2
3 21 13
ln 2 ln3
4 4
3 2
x
I dx
x x x

   
 


HD:
Cách 1: Nhân cả tử và mẫu cho x rồi đặt
2
t x


Cách 2: Phân tích mẫu







4 2 2 2
3 2 1 2
x x x x x x
    
và sử dụng đồng nhất thức
Bài 5: Tính tích phân:
  
1
2 2
0
2 5 1 5
ln
2 4
3 2 7 12
x
I dx
x x x x

 
   


HD:
Phân tích

















2 2 2 2
3 2 7 12 1 2 3 4 5 4 5 6
x x x x x x x x x x x x
             

Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức khi mẫu số là 4 nghiệm đơn
Cách 2: Sử dụng đổi biến số đặt
2
5
t x x
 

Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích
 
   
2 2
1
2 5 2 5 5 6 5 4
2
x x x x x x

 
       
 

Bài 6: Tính tích phân:
1
2
4 3 2
1
2
2 3
44
2 5 4 4
x
I dx
x x x x

  
   


HD:
Phân tích


2
4 3 2 2
2 5 4 4 2
x x x x x x      
Cách 1: Đồng nhất thức

02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

15
Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho
2
x
và đặt
2
t x
x
 
Hoặc đưa vào vi phân
Bài 7: Tính tích phân sau:
 
0
2
3
2
1
1
x dx
I
x






HD:
Cách 1: Đặt
tan
x t


Cách 2: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
 
3
2
1
u x
xdx
dv
x









Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành hai tích phân đơn gián
Phân tích



2 2
1 1
x x
  

Khi đó
     
0 0 0
2
3 2 3
2 2 2
1 1 1
1 1 1
x dx dx dx
I
x x x
  
  
  
  



II. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (ĐHGTVT – 1998) Tính tích phân:
7

3
3
0
1
3 1
x
I dx
x





Giải:
Cách 1: Biến đối số
Đặt
3
3
2
1
3 1
3
u
x
u x
dx u du





  





Đổi cận
7
2
3
1
0
u
x
u
x






 






Khi đó

   
3
2 2
5
2 3 4 2
1 1
1
1
2
1 1 1 46
3
2 2
1
3 3 3 5 15
u
u
I u du u udu u u du u
u


 
       
 
 
  

Cách 2: Biến đối số
Đặt
1
3

3 1
3
u
x
u x
du
dx





  






Đổi cận
7
8
3
1
0
u
x
u
x







 






02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

16
Khi đó
5
2 1 28 8 8
3
3 3 3
1 1
1 1 1
3 3
1
1
8

1 1 2 1 1 3 46
3
2 3
1
3 9 9 9 5 15
u
u u
I du du u u du u
u u


 

 

 
      
 
 
 
 
 
  

Cách 3: Đưa vào vi phân
Phân tích
 
1 2
1 3 1
3 3

x x
   

Khi đó
 
       
   
7 7 7 7 7
3 3 3 3 3
2 1
3 3
3 3 3
0 0 0 0 0
5 2
3 3
1 2
3 1
1 3 1 2 1 2
3 3
3 1 3 1 3 1 3 1
3 3 9 9
3 1 3 1 3 1
7 7
1 1 46
3 1 3 1
3 3
15 3 15
0 0
x
x dx

I dx dx x d x x d x
x x x
x x

 

        
  
    
    

Cách 4: Tính phân từng phần
Đặt
 
2
3
3
1
1
1
3 1
3 1 2
u x
du dx
dv dx
v x
x
 




 

 

 
 
 


Khi đó
  
 
      
7 7
2
3 3
2 2 1
3
3 3 3
3
0 0
7
3 1
1 1 1 1
1 3 1 1 3 1 3 1 3 1
3
2 2 2 6
3 1
0

x
I x x dx x x x d x
x

         

 
bạn đọc tự giải
Bài 2: Tính tích phân:
1
3
2
1
0
1
x
I dx
x

 



HD:
C1: Đặt
tan
x t


C2: Phân tích



3 2
1
x x x x
  

C3: Đặt
2
2
1
u x
x
dv dx
x









C4: Đặt
x t
 

C5: Phân tích





3 2 2 2
1 1 1
x dx x xdx x d x
 
    
 

Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân sau:
2
2
2
1
dx
I
x x




Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đổi số

Đặt
2
1 sin
cos
cos

tdt
x dx
t
t
   với
0;
2
t

 

 
 
hoặc
t
x
sin
1

02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

17
Đổi cận
2
3
2

4
t
x
x
t







 

 








Khi đó
3 3 3
2
2
4 4 4
2
sin

sin
3
cos
sin 12
1 cos
4
cos
t
t
t
I dt dt dt t
t
t
t
  
  



    

  
(vì
; sin 0
4 3
t t
 
 
  
 

 
)
Cách 2: Phương pháp biến đổi số
Nhân cả tử và mẫu cho x ta được
2 2
2 2 2
2 2
1 1
dx xdx
I
x x x x
 
 
 

Đặt
2 2
2
1
1
x t
x t
xdx tdt

 
  




Đổi cận
2
3
2 1
x
t
x t

 

 

 
 
 
 

Khi đó
 
3 3
2
2
1 1
1
1
tdt dt
I
t
t t
 



 
. Đặt
 
2
2
1
tan tan 1
cos
t u dt du u du
u
    
Đổi cận
3
3
1
4
u
t
t
u







 


 








Khi đó
24 4
2
3 3
tan 1
4
12
tan 1
3
u
I du du u
u
 
 




   


 

Cách 3: Phương pháp biến đổi số
Đặt
2
2
1
1
1
2
x t
x t
xdx dt

 

  




… tương tự như cách 2
Cách 4: Phương pháp biến đổi số
Đặt
2
1 1 dx
x t dt
t x
x
     

Đổi cận
1
2
2
1
2
2
t
x
x
t





 

 








Khi đó
1

1
2
2
2 2
1 1
2
2
1 1
dt dt
I
t t
  
 
 
. Đặt sin cos
t x dt xdx
  

02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

18
Khi đó
4 4
2
6 6
cos

4
4 6 12
1 sin
6
u
I dx du u
u
 
 

  

     

 

Cách 5: Phân tích


2 2
1 1
x x
 
   
 

Khi đó
1 2
2 2 2
2

2 2
2 2 2
1
1 1
I I
dx x x
I dx dx
x
x x x

   
 
  
 
… bạn đọc tự giải
Bài 3: (ĐH – A 2003) Tính tích phân:
2 3
2
5
4
dx
I
x x




Giải:

Cách 1: Phương pháp biến đổi số

Đặt
2 2
2
4
4
x t
t x
xdx tdt

 
  




Đổi cận
2 3 4
3
5
x t
t
x

 



 

 




Khi đó
4 4 4
2
3 3 3
4
1 1 2 1 5
ln ln
3
4 2 2 4 2 4 3
4
dt dt dt t
I
t t t
t
 

    
 
  

 
  

Cách 2: Phương pháp biến đổi số

Đặt
2

1 1

x dx dt
t
t
   
Khi đó
1/2 3 1/2 3
2
2 2
1/ 5 1/ 5
1/ 2 3
1 (2 ) 1 1 5
ln 2 4 1 ln
2 2 4 3
1/ 5
4 1 (2 ) 1
dt d t
I t t
t t
       
 
 
.
Cách 3: Phương pháp biến đổi số
Đặt


2
2tan 2 1 tan

x t dx t dt
    với
0 t
2

 
và
2
2
4x
cost
 
.
Đổi cận:
2 3
3
5
5
tan
2
t
x
x








 

 







.
Khi đó:
3
1 1 5
ln tan ln
3
2 sin 2 4 3
dt t
I
t




  

(trong đó
1 cos 1
tan
2 1 cos 5

 


 

)
Bài 4: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau:
1
3 2
0
1
I x x dx
 


Giải:
Phân tích
1 1
3 2 2 2
0 0
1 1 .
I x x dx x x xdx
   
 

02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

19
Cách 1: Phương pháp biến đổi số
Đặt
2 2
2
1
1
x t
t x
xdx tdt

 
  

 


Đổi cận
1 0
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
     
1
0 1 1
2 2 2 2 2 4 3 5
1 0 0
0
1 1 2
1 1
3 5 15
I t t dt t t dt t t dt t t
 
         
 
 
  

Cách 2: Phương pháp biến đổi số
Đặt
2
2
1
1
2
x t
t x
dt
xdx

 


  

 



Đổi cận
1 0
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
   
1
1 1 1 3 3 30 1 1
2 2 2 2 2 2
1 0 0
0
1 1 1 1 2 2 2
1 1
2 2 2 2 3 3 15
I t t dt t t dt t t dt t t

   
         
   
   
  

Cách 3: Đặt
2
2
dt
t x xdx
  
… tự giải
Cách 4: Lượng giác hóa
Đặt
cos sin
x t dx tdt
   

Khi đó
 
2 2
2 3 2 2
0 0
sin cos sin 1 sin cos
I t tdt t t tdt
 
  
 

Cách 4.1.
Đặt
sin cos
t u tdt du
  

Khi đó
 
1
3 5
2 2 2 4
0
(1 )
3 5
u u
I u u du u u du
 
     
 
 
 

Cách 4.2.
 
 
 
 
3 5
2 2
2 2 2 4

0 0
sin sin 2
sin 1 sin sin sin sin sin
2
3 5 15
0
t t
I t t d t t t d t
 

 
      
 
 
 
.
Cách 4.3.
2 2 2 2
2
0 0 0 0
1 1 1 cos4 1 1
sin 2 cos cos cos cos4 cos
4 4 2 8 8
t
I t tdt tdt tdt t tdt
   

    
   
….

Cách 5: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân

     
     
1 1
2 2 2 2 2 2
0 0
1 1
3
2 2 2 2
2
0 0
1 1
1 1 1 1 1 1
2 2
1 1
1 1 1 1
2 2
I x x d x x x d x
x d x x d x
        
     
 
 
….bạn đọc tự giải
Cách 6: Phương pháp tích phân từng phần
02
14
2014


Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

20
Đặt
 
2
2
2
2
3
2
1
1
1
3
du xdx
u x
v x
dv x x




 

 
 
 






Khi đó
       
1 1
2 2 2
2 2 2 2 2
3 3 3
0 0
1
1 2 1
. 1 1 1 1
03 3 3
I x x x x dx x d x       
 
bạn đọc giải tiếp
Bài 5: (ĐH – A 2004) Tính tích phân:
2
1
1 1
x
I dx
x

 


Giải:
Cách 1:

Đặt
2 2
1 1 1 2
t x t x x t dx tdt
         
Đổi cận
2 1
1 0
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó

1 1 1
2 3
2
0 0 0
1
3 2
0
1 2
2 2 2 2
1 1 1
1 1 11

2 2 2ln 1 2 2 2ln 2 4ln2
3 2 3 2 3
t t t
I tdt dt t t dt
t t t
t t
t t
 
 
     
 
  
 
 
 
          
  
 
 
  

Cách 2:


 
2
2 1
1 1
1 1
dx t dt

t x
x t
 

   

  



Đổi cận
2 2
1 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
   
2
2 2 2
3 2
2
1 1 1
1 1 1

3 4 1 1
2 . 2 . 2 3 4 .
t t
t t t
I dt dt t t dt
t t t
 
  
  
 
 
     
 
 
  

3 2
2
5
2 3 4 ln | | 2ln2
1
3 2 3
t t
t t
 
     
 
 

Tổng quát:

( )
b
a
p x
dx
ax b c
 

với


p x
là một đa thức chứa x, m, n, c là các hằng số ta đặt
t ax b c
  

hoặc
t ax b
 

Bài 6: Tính tích phân sau:
3
2
8 3
2 4
x
I dx
x






Giải:
Cách 1: Dựa vào đạo hàm
Đặt
 
8 3
2 4
x
f x
x



. Ta biến đổi


f x
về dạng
   


'
'
8 3 1
4 4 4
2 4 2 4
x
f x x x x x x

x x
 
       
 

Xét hàm số


4
F x x x
 
vì
   


 
'
'
'
4 4
F x x x x x f x
    

Vậy


4
F x x x C
  
là một họ nguyên hàm của hàm số đã cho

02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

21
Khi đó
 
3
2
3 3
8 3
4 3
2 2
2 4
x
I dx F x x x
x

    



Cách 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số
Đặt
2
4
4
2

x t
t x
dx tdt

 
  

 


Đổi cận
1
3
2
2
t
x
x
t






 







Khi đó


   
2
1 2
2 3
1
2
8 3 4
2
3 4 4 3
1
t
I tdt t dt t t
t
 
      
 

Cách 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số
Đặt 4
t x
 
…bạn đọc tự giải
Cách 4: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
8 3

3
2 4
4
u x
du dx
dx
dv
v x
x
 

 

 

 

  






Khi đó
 
3
2
3
2 8 3 4 6 4 3

2
I x x xdx      


Bài 7: Tính tích phân sau:
I

x dx
x x x x
x dx
x x
2
2 2
2
2 2
4 2 2 2 3 1 3 1( ) [ ( ) ] ( )   

   

.
Giải:
Cách 1:
Đặt
2 2
3sin
1 3 cos
3cos 2 3cos 1
dx tdt
x t
x t t


 

  

  



Khi đó I =
  

  





3 3 2 3 1
3 3 3
1
2 3
3 3
2
3 3
2
2
2 2
sin ( cos cos )
( cos ) sin

(
cos
cos cos
)
t t t dt
t t
t
t t
dt
.
Cách 2:
I =
dx
x x
x dx
x x2 2
2 4
3 1 3 1
2 2 2
 


   

( )
[ ( ) ] ( )
1 2
I I
 

Tính
2
I

( )
[ ( ) ] ( ) ( ) ( )
2 4
3 1 3 1
2
3 3
2
3 3
2 2 2 2 2 2
x dx
x x
tdt
t t
dt
t t

   

 

 

1 2
J J
 

Tính
1
J
bằng cách đặt
2
3
t u
 
, tính
2
J
bằng cách đặt


2
3 3
t u t
  


Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: (ĐHĐN- 1997) Tính tích phân:
7
2
1
2 4ln2 2ln3
2 1
I dx
x

   
 


HD: Sử dụng phương pháp biến đổi số
Đặt
2 1
t x
  
Hoặc 2
t x
 

Bài 2: (ĐHSP QN – 1999) Tính tích phân:
 
2
3
3
0
1 1
28 3 4
10
3 2
x
I
x

  



02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

22
Bài 13: (DBĐH 2 – A 2005) Tính tích phân:
7
3
0
2 231
10
1
x
I
x

 



Bài 14: (DBĐH 1 – A 2008) Tính tích phân:
3
3
1
2
12
5

2 2
x
I dx
x

 



Bài 15: (DBĐH 1 – A 2007) Tính tích phân:
4
0
2 1
2 ln2
1 2 1
x
I dx
x

  
 


Bài 16: (CĐXD – 2005) Tính tích phân:
3
1
3
3 1 3
x
I dx

x x



  




III. TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau:
3 2
1
ln . 2 ln
e
x x
I dx
x




Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đổi số
Đặt ln
x u


Cách 2: Phương pháp biến đổi số
Đặt
3 2 3 2 2
3 ln
2 ln 2 ln
2
x
x t t x t dt dx
x
      
Đổi cận
3
3
3
1
2
x e t
x
t

 



 





Khi đó
 
3 3
3 3
3 3
3
3
4
2 3
3
2 2
3
3
3 3 2
3
3 3 3
. .
2 2 2 4
2
8
2
t
I t t dt t dt   
 

Cách 3: Phương pháp biến đổi số
Đặt
2
ln

2 ln
2
dt x
x t dx
x
   
Đổi cận
3
1 2
x e t
x t
 
 

 
 
 


Khi đó
 
1 4
3
3
3
3
3
2
2
1 3

.
1
1 3
3 3 2 2
2 2 4 8
t dtI t  


Cách 4: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân

       
 
 
1 1
'
2 2 2 2
3 3
1 1
4
2
3
3
3
1 1
2 ln 2 ln 2 ln 2 ln
2 2
1 3 3
. 2 ln 3 3 2 2
12 4 8
e e

I x x dx x d x
e
x
     
   
 

Bài 2: (ĐH – B 2004 ) Tính tích phân sau:
1
1 3ln .ln
e
x x
I dx
x




02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

23
Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đổi số
Đặt
2
1

ln
3
1 3ln
2
3
t
x
t x
dx
tdt
x





  






Đổi cận
2
1 1
x e t
x t
 
 


 
 
 

Khi đó
2 2
2 5 3
2 4 2
1 1
2
2 1 2 2 116
( )
1
3 3 9 9 5 3 135
t t t
I t dt t t dt
 

     
 
 
 

Cách 2: Phương pháp biến đổi số
Đặt
1
ln
3
1 3ln

3
t
x
t x
dx dt
x





  






Đổi cận
4
1 1
x e t
x t
 
 

 
 
 
tương tự cách 1

Cách 3: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân
     
       
   
1 1 1
3 1
2 2
1 1
5 3
2 2
1 3ln .ln 1 1
1 3ln .ln 1 3ln 1 3ln 1 3ln 1 1 3ln
3 9
1 1
1 3ln 1 3ln 1 3ln 1 3ln
9 9
1 2 2 116
1 3ln 1 3ln
19 5 3 135
e e e
e e
x x
I dx x xd x x x d x
x
x d x x d x
e
x x

         
 

     
 
    
 
 
  
 

Cách 4:
ln
dx
t x dt
x
  

Khi đó
1
0
1 3 .
I t tdt
 

đến đây rùi ta có thể làm bằng nhiều cách như biến đổi số đặt
1 3
u t
 
hoặc
1 3
u t
 

hoặc đưa vào vi phân bằng cách phân tích
 
1 1
1 3
3 3
t t
  

Bài 3: Tính tích phân sau:
1
1 ln
e
x
I dx
x




Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đổi số
Đặt
2
1 ln 1 ln 2
dx
t x t x tdt
x
      
Đổi cận
1

1
2
t
x
x e
t






 






Khi đó


2 2
3
2
1 1 1
2 2 2 1
1 ln 2
.2 2 2 .
3 3

1
e
x t
I dx t tdt t dt
x


    
  

Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân
02
14
2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

24
Biến đổi
   


3
1 1
2 2 2 1
1 ln 2
1 ln 1 ln 1 ln .
1
3 3
e e

e
x
I dx xd x x
x


      
 

Cách 3: Phương pháp biến đổi số
Đặt
1 ln
t x
 
hoặc
ln
t x


Bài 4: (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau:
 
2
1
ln
2 ln
e
x
I dx
x x





Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đổi số
Đặt ln
dx
t x dt
x
  

Đổi cận
1
1 0
x e t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
   
   
 
1 1 1 1
2 2 2
0 0 0 0

2 2 1
1 2 2 3 1
2 ln 2 ln
0
2 2 2 2 3
2 2 2
d u d u
udu
I du u
u u u
u u u
 
 
 
 
         
 
 
  
 
  
 
   

Cách 2: Phương pháp biến đổi số
Đặt
ln 2
2 ln
x t
t x

dx
dt
x
 


  





Khi đó


3 3
2 2
2 2
2
3
1 2 2
ln
2
3 1
ln
2 3
t
I dt dt t
t t
t t


   
     
   
   

 

Cách 3: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân
 


 


 
 


 


 
 
2 2 2 2
1 1 1 1 1
ln 2 ln 2 ln 2 2 ln 2 ln
ln
2 ln 2
2 ln

2 ln 2 ln 2 ln 2 ln
2 3 1
ln 2 ln ln
1
2 ln 2 3
e e e e e
xd x x d x d x
x
I dx d x
x
x x x x x
e
x
x
    
     

   
 
    
 

 
    

Cách 4: Phương pháp tích phân từng phần
Đặt
 
2
1

ln
1
1
2 ln
2 ln
u x
du
x
dv dx
x
x x
x





 

 

 
 






Khi đó

 


 
3
1 1
2 ln
1 1 1 1 1 3
ln . ln 2 ln ln
1 1
2 ln 2 ln 3 2 ln 3 3 2
e
d xe e
I x dx x
x x x x

            
  
 

Bài 4: Tính tích phân sau:
 
1
1
1 ln
e
I dx
x x





Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đổi số
Đặt
1 ln
dx
t x dt
x
   

Đổi cận
1 1
2
x t
x e t
 
 

 
 
 