Sáng Kiến Giải Toán Tích Phân Và Đạo Hàm Bằng Máy Tính Casio

TÊN ĐỀ TÀI
DÙNG MÁY TÍNH C M TAY GI I CÁC BÀI TOÁNẦ Ả
TR C NGHI M V O HÀM VÀ TÍCH PHÂNẮ Ệ Ề ĐẠ
Người viết : Trịnh Minh Tuấn
Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị : Trường THPT Thái Phiên
Đăng ký đề tài : Ngày 01/10/2007
Tổ chuyên môn góp ý : Ngày 12/01/2008
Hoàn chỉnh bài viết : Ngày 24/01/2008
Nhận xét đánh giá xếp loại :
TỔ CHUYÊN MÔN HĐKHGD TRƯƠNG
Nhận xét
Xếp loại:
Ngày :
Nội dung đề tài
Chất lượng thực hiện :
Ý kiến đề xuất :
Xếp loại:
Ngày :
Đà Nẵng, ngày.... tháng ..... năm 2008.
Dùng máy tính cầm tay giải các bài toán trắc nghiệm về đạo hàm và tích phân * trang 1
Phần A:
ĐẠO HÀM
1. Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.
2. Xác định giá trị của các tham số để đạo hàm số có tại một điểm cho
trước.
3. Xác định giá trị của các tham số để hai đồ thị tiếp xúc nhau tại một
điểm có hoành độ cho trước.
4. Xác định giá trị của tham số để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại một
điểm x
0

cho trước.
5. Xác định công thức đạo hàm của một hàm số.
Phần B:
TÍCH PHÂN
1. Tính tích phân của hàm số trên một đoạn.
2. Tính diện tích hình phẳng và thể tich của vật thể tròn xoay.
3. Xác định nguyên hàm của một hàm số
Trang
4
6
8
9
11
14
17
19
Dùng máy tính cầm tay giải các bài toán trắc nghiệm về đạo hàm và tích phân * trang 2
Đặt vấn đề
Tính ưu việt của hình thức kiểm tra trắc nghiệm khách quan là điều
không thể phủ nhận. Sắp đến, trong các kì thi quốc gia-hình thức kiểm tra
này-dù từng phần hoặc toàn phần, đối với môn Toán là chắc chắn sẽ thực
hiện. Tuy nhiên, làm thế nào để hướng dẫn các em học sinh có kĩ năng làm
tốt bài kiểm tra trắc nghiệm khách quan?. Tôi đã băn khoăn suy nghĩ nhiều
vì vậy, tìm tòi này là kết quả của sự trăn trở đó.
Vấn đề đặt ra: Trong một khoảng thời gian ngắn nhất với lượng
kiến thức được trang bị theo chương trình, học sinh phải chọn được một
phương án thoả mãn yêu cầu đề bài.
Ngoài việc nắm vững kiến thức, biết suy luận lôgíc, biết các kỹ thuật
làm bài trắc nghiệm khách quan ... đôi khi học sinh phải thực hiện nhiều
phép toán dài phức tạp. Một công cụ hữu hiệu góp phần hỗ trợ học sinh giải

quyết vấn đề này là: Máy tính cầm tay (MTCT).
Mặt khác, khi biết sử dụng thành thạo MTCT để giải toán, học sinh
còn tự rèn luyện khả năng tư duy thuật toán, qua đó giúp các em củng cố
khắc sâu kiến thức hơn, nâng cao khả năng tư duy lôgíc, giúp các em học tốt
hơn.
Những kĩ thuật tôi trình bày sau đây được dùng với máy tính CASIO
f
x
- 570ES (được phép sử dụng trong các kì thi ) nhằm giúp học sinh có thể
giải được một số bài toán trắc nghiệm thường gặp về đạo hàm và tích phân
mà đôi khi các em lúng túng do khả năng vận dụng kiến thức hoặc kĩ năng
tính toán còn hạn chế .
Với mỗi nội dung đều có trình bày bài toán, cú pháp dãy phím bấm,
ví dụ minh hoạ và bài tập đề nghị.
Do khuôn khổ bài viết sáng kiến kinh nghiệm, xin không trình bày
các chức năng cơ bản của máy, phần này có thể xem ở tài liệu: “Hướng dẫn
sử dụng máy tính CASIO f
x
- 570ES ”.
Dù đã rất cố gắng nhưng thiếu sót là điều khó tránh khỏi, mong quý
thầy cô giáo góp ý, xin chân thành cảm ơn.
Phần A: ĐẠO HÀM
Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của Giải tích, nó là một
công cụ sắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số. Phần này sẽ
hướng dẫn cách sử dụng MTCT để giải quyết một số dạng toán trắc
nghiệm thường gặp về đạo hàm và các ứng dụng của nó.
1 / Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Bài toán: Tính đạo hàm hàm số y = f(x) tại x = x
0
.

Cú pháp:
( )
0
x x
d
f(x)
dx
=
(1)
- Nếu ta nhập sai hàm số f(x) không liên tục tại x
0
thì máy báo lỗi “ Math
ERROR”
- Đối với phần lớn hàm số khi ta nhập sai hàm số f(x) liên tục tại x
0
mà
không có đạo hàm tại x
0
thì máy thông báo “ Time Out ” .
- Nếu f(x) có dạng lượng giác thì cài đặt máy ở mode R (tính theo đơn vị
radian)
- Nếu giá trị ở các phương án có số vô tỉ thì cài đặt hiển thị ở chế độ fix- 9
Ví dụ 1: Cho đồ thị (C)
x 1
y
x 1
+
=
−
. Hệ số góc tiếp tuyến với (C) tại giao điểm

của (C) và trục hoành là:
A/ 1 B/
1
2
C/
−
2 D/
1
2
−
Giải: Cú pháp:
(
)
x 1
d x 1
dx x 1
= −
+
−
Sau đó ấn phím dấu bằng ta có kết quả bằng
1
2
−
, do vậy chọn D
Ví dụ 2: Đạo hàm của hàm số y = x.sinx tại x =
π
3
là:
A/
1

2
B/
3
2 6
π
−
C/
3
2 6
π
+
D/
3
2 6
π
− +
Giải: Cú pháp:
( )
π
x
3
d
x.sin(x)
dx
=
−
A
-Ấn phím CALC và nhập vào biến A từng giá trị của các phương án rồi ấn
phím dấu bằng nếu được kết quả là không thì chọn phương án đó. kết quả
chọn C

Nhận xét:
- Cú pháp:
( )
0
x x
d
f(x)
dx
=
−
A
-Trong đó biến A được gán bởi các giá trị của mỗi phương án ta có thể chọn
đúng giá trị đạo hàm của một hàm số tại một điểm trong trường hợp kết quả
là một số vô tỉ.
Ví dụ 3: Cho đồ thị (C)
2
x x 2
y
x 1
− +
=
+
. Phương trình tiếp tuyến với (C) tại
giao điểm của (C) và trục tung là:
A/
y 3x 2= − −
B/
y 3x 2= − +
C/
y 3x 2= −

D/
y 3x 2= +
Giải: Cú pháp:
2
x 0
d x x 2
dx x 1
=
 
− +
 ÷
+
 
.
-Tính được
'
f (0) 3= −
nên loại hai phương án C và D
-Dễ thấy
f (0) 2=
. Vậy chọn phương án B.
Ví dụ 4: Tập hợp các điểm tới hạn của hàm số
4 2
y f (x) x 2x 8= = − −
là:
A/
{ }
2;2
−
B/

{ }
1; 0; 1
−
C/
{ }
0; 1; 2
D/
{ }
2; 1;0;1;2
− −
-Để ý: f là một hàm số chẵn nên chỉ cần kiểm tra C rồi chọn phương án thích
hợp
Giải: Cú pháp
( )
4 2
x A
d
x 2x 8
dx
=
− −
. Với A nhập từ bàn phím.
-Ấn phím CALC máy hỏi X? ấn tiếp phím bằng cho qua.
-Ấn phím CALC lần 2 máy hỏi A? lần lượt nhập cho A các giá trị 0, 1, 2.
-Kết quả tính được
'
f (0) 0=
,
'
f (1) 0=

và khi tính
'
f (2) ?=
thì máy thông báo
“ Time Out ”ta xác định được hàm số f chỉ liên tục mà không có đạo hàm tại
x = 2.
-Vậy chọn phương án D.
Nhận xét:
- Cú pháp
( )
x A
d
f(x)
dx
=
- Với phép gán A, cú pháp trên cho ta tính đạo hàm của một hàm số tại nhiều
điểm rất thuận lợi.
- Khi máy cho kết quả bằng không hoặc thông báo “ Time Out ” thì ta xác
định được điểm tới hạn của hàm số.
Bài tập đề nghị:
1/ Cho đồ thị (C)
x 1
y
x 1
−
=
+
. Hệ số góc tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của
(C) và trục hoành là:
A/ 1 B/

1
2
C/ 2 D/
1
2
−
2/ Đạo hàm của hàm số
x
x
y
1 ln 2
=
+
tại x = 2 là:
A/ e B/
1
e
C/ 2 D/ 4
3.a/ Đạo hàm của hàm số y =
x x
sinx cosx
+
tại x =
π
4
là:
A/
2
B/2 C/
2 2

D/
π 2
2
3.b/ Đạo hàm của hàm số y = x.cosx tại x =
6
π
là:
A/
1
2
B/
3
2 12
π
+
C/
3
2 12
π
−
D/
3
2 12
π
− +
4/ Tập hợp các điểm tới hạn của hàm số
2 2
1
2
y (x 4)(x )= − −

là:
A/
1 1
2;2; ;
2 2
 
− −
 
 
B/
{ }
3 3
; 0; ;
2 2
−
C/
1 3
0; ; ;2
2
2
 
 
 
D/
3 1 1 3
2; ; ;0; ; ;2
2 2
2 2
 
− − −

 
 
5/ Cho đồ thị (C)
2
x x 1
y
x 1
+ +
=
−
. Phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm
của (C) và trục tung là:
A/
y 2x 1= − −
B/
y 2x 1= − +
C/
y 2x 1= −
D/
y 2x 1= +
6/ Cho bốn hàm số:
2
1
x x 1
f (x)
x 1
+ +
=
−
;

2
2
x x 1
f (x)
x 1
+ +
=
+
;
2
3
x x 1
f (x)
x 1
− +
=
+
;
2
4
x x 1
f (x)
x 1
− +
=
−
.
Hàm số nào có đạo hàm bằng
−
2 tại x = 0?

A/ Chỉ f
1
B/ Chỉ f
1
và f
2
C/ Chỉ f
1
và f
3
D/ Cả f
1
, f
2
,
f
3
và f
4
.
2/ Xác định giá trị của các tham số để đạo hàm số có tại một điểm cho
trước .
Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có chứa một hay nhiều tham số xác định tại
điểm x
0
. Hãy xác định giá trị của các tham số để hàm số y = f(x) có đạo hàm
tại x
0
.
-Đây là một dạng toán phức tạp, nếu học sinh giải bằng phương pháp truyền

thống thì
phải sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm, đạo hàm từng
bên khi đó
thường gặp khó khăn về thời gian và MTCT sẽ giúp các em giải quyết tốt
vấn đề này.
Ví dụ 5: Cho hàm số
2
2 2
x ,khi x 1
f(x)
x (B 5)x B 1, khi x 1

− ≤

=

+ − + + >


Hàm số có đạo hàm tại x
0
= 1 khi và chỉ khi số B có giá trị là:
A/
−
2 B/
±
1 C/
−
1 D/ 1
Giải: Cú pháp

( )
2 2 2 2
x 1
d
2x (B 5)x B 1 : 2x (B 5)x B 1
dx
=
+ − + + + − + +
-Ấn phím CALC lần 1 máy hỏi X? nhập số 1
-Ấn phím CALC lần 2 máy hỏi B?
-Lần lượt nhập tất cả các giá trị của các phương án, nếu máy cho cả hai giá
trị của hai biểu thức đều bằng không thì phương án đó được chọn. Kết quả
chọn phương án D.
Ví dụ 6: Cho hàm số
2
2
x ,khi x 1
f(x)
x Bx C, khi x 1

≤

=

− + + >


Nếu hàm số có đạo hàm tại x
0
= 1 thì cặp số (B, C) là:

A/ (
−
2 , 4) B/ (4 , 2) C/ (
−
4 ,
−
2) D/
(4 ,
−
2)
Giải: Cú pháp
( )
2 2
x 1
d
2x Bx C : 2x Bx C
dx
=
− + + − + +
-Ấn phím CALC lần 1 máy hỏi X? nhập số 1
-Tiếp tục dùng phím CALC lần lượt nhập các cặp giá trị tương ứng của mỗi
phương án, nếu máy cho cả hai giá trị của hai biểu thức đều bằng không thì
phương án đó được chọn. Kết quả chọn D
Nhận xét:
- Nếu biểu thức thứ nhất bằng không thì hàm số f đã cho liên tục tại x = 1 và
cả hai biểu thức cùng bằng không thì hàm số f có đạo hàm tại x = 1.
- Tổng quát
Cho hàm số
0 0
0 0

f(x;a,b,c...) khi x x (hay x x )
y
g(x;a,b,c...) khi x x (hay x x )
≥ >

=

< ≤

trong đó a, b, c.. là các
tham số.
Muốn chọn được các giá trị a, b, c,.. để cho hàm số có đạo hàm tại x
0
ta dùng
cú pháp

( )
0
x x
d
f(x;a,b,c..) g(x;a,b,c..) : f(x;a,b,c..) g(x;a,b,c..)
dx
=
− −
Nếu các giá trị của hai biểu thức đều bằng không thì phương án tương ứng
được chọn.
Bài tập đề nghị:
1/ Cho hàm số
2
x ,khi x 1

f(x)
Bx C, khi x 1

≤
=

+ >

Nếu hàm số có đạo hàm tại x
0
= 1 thì cặp số (B, C) là:
A/ (2 , 1) B/ (1 ,
−
2) C/ (2 ,
−
1) D/ (
−
1, 2)
2/ Cho hàm số
2
Ax Bx 1, khi x 0
f(x)
Asinx Bcosx, khi x 0

− + ≥
=

+ <

Nếu hàm số có đạo hàm tại x

0
= 0 thì cặp số (A, B) là:
A/ (1 ,
−
1) B/ (
−
1 , 1) C/ (
−
1 ,
−
1) D/ (1,
1)
3/ Cho hàm số
2
Bx
Ax Bx 1, khi x 0
f(x)
(x A) , khi x 0
e
−

+ + ≥

=

+ <


Nếu hàm số có đạo hàm tại x
0

= 0 thì cặp số (A, B) là:
A/ (1 ,
−
1) B/ (
−
1 ,
1
2
) C/ (
1
2
, 1) D/ (1,
1
2
)
3/ Xác định giá trị của các tham số để hai đồ thị tiếp xúc nhau tại một
điểm có hoành độ cho trước.
Bài toán: Cho hai đồ thị (C
1
):
y f(x;a,b,c...)=
, (C
2
):
y g(x;a,b,c...)=
, với a, b,
c.. là các tham số và các hàm số f, g đều có đạo hàm tại x
0
. Hãy xác định giá
trị các tham số a,b,c.. để (C

1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x
0
.
-Sử dụng cú pháp dãy phím bấm như trên ta giải quyết được bài toán này.
Ví dụ 7: Nếu parabol (P)
2
y x Bx C
= + +
tiếp xúc với đường thẳng (d)
y x=
tại điểm có hoành độ bằng 1 thì cặp số (B, C) là:
A/ (
−
1 , 1) B/ (1 ,
−
1) C/ (
−
1 ,
−
1) D/ (1,
1)
Giải: Cú pháp
( )
2 2
x 1
d
x (B 1)x C : x (B 1)x C

dx
=
+ − + + − +
-Ấn phím CALC lần 1 máy hỏi X? nhập số 1
-Tiếp tục dùng phím CALC lần lượt nhập các cặp giá trị tương ứng của mỗi
phương án, nếu máy cho cả hai giá trị của hai biểu thức đều bằng không thì
phương án đó được chọn. Kết quả chọn A
Bài tập đề nghị:
1/Hai parabol
2
y x Bx 1
= − + +
và
2
y Ax Bx 3
= − +
tiếp xúc nhau tại điểm
có hoành
độ bằng 1 khi cặp số (A, B) là:
A/ (2 , 1) B/ (1 ,
−
2) C/ (
−
1 , 2) D/ (1,
2)
2/ Đường thẳng
y x 1= +
tiếp xúc đồ thị hàm số
y Bcosx Csinx= +
tại điểm

có hoàng độ x
0
= 0 khi cặp số (B, C) là:
A/ (
−
1 , 1) B/ (1 ,
−
1) C/ (1, 1) D/ (3,
−
1)
3/ Đồ thị hàm số
3 2
y x (B 2)x 2(A B)x 2AB= + − − + −
tiếp xúc trục hoành tại
điểm có hoành độ bằng 1 khi cặp số (A, B) là:
A/ (
1
2
, 1) B/ (
−
1 ,
−
1
2
) C/ (
1
2
,
−
1) D/ (

−
1
2
,
−
1)
4/ Các hàm số
3 2 2
y x (A 2)x 2Ax A= − + + −
và
2 2
y 2x 2B x 2B= − −
có đồ thị
tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ bằng 2 khi cặp số (A, B) là:
A/ (
−
2 , 2) B/ (2 ,
−
2) C/(
−
2,
−
2) D/ (2,
3
2
)
4/ Xác định giá trị của tham số để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại
một điểm x
0
cho trước.

Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có chứa một hay nhiều tham số đạo hàm cấp
hai liên tục tại x
0
. Hãy xác định giá trị của các tham số để hàm số y = f(x) số
đạt cực tiểu (hay cực đại ) tại x
0
.Ta giải quyết bài toán bằng dấu hiệu 2.
Cú pháp
( )
0
x x
d
f ' (x) : f ' (x)
dx
=
-Cần kiểm tra biểu thứ nhất có bằng không hay không, nếu có thì biểu thức
thứ hai âm hay dương.
-Nếu biểu thức thứ hai dương (hay âm) thì hàm số đạt cực tiểu (hay cực đại )
tại x
0
Ví dụ 8: Hàm số
2
x Bx A
y
x B
+ +
=
+
đạt cực tiểu tại x
0

= 2 khi cặp số (A ,B)
bằng:
A/ (1 , 3) B/ (1,
−
3) C/ (1 ,
−
1) D/ (
−
1,1)
Giải:
2
A
f ' (x) 1
(x B)
= −
+

Cú pháp
2 2
x 2
A d A
1 : 1
dx
(x B) (x B)
=
 
− −
 ÷
+ +
 

-Nhập giá trị x = 2 và nhập lần lượt từng giá trị của cặp số (A ,B) ở mỗi
phương án vào máy. Nếu biểu thức thứ nhất bằng không và biểu thức thứ hai
nhận giá trị dương thì phương án đó được chọn. Kết quả chọn C
Ví dụ 9: Hàm số
3 2 2 2
y x 2(A 1)x (A 4A 1)x 2A 2
= − + + + − − +
đạt cực đại tại x
0
= 2 khi số A bằng :
A/
−
1 B/ 1 C/
−
3 D/ 3
Giải:
2 2
f ' (x) 3x 4(A 1)x A 4A 1= − + + + −

Cú pháp
( )
2 2 2 2
x 2
d
3x 4(A 1)x A 4A 1 : 3x 4(A 1)x A 4A 1
dx
=
− + + + − − + + + −
-Nhập giá trị x = 2 và nhập lần lượt từng giá trị của số A ở mỗi phương án
vào máy.

-Nếu biểu thức thứ nhất bằng không và biểu thức thứ hai nhận giá trị âm thì
phương án đó được chọn. Kết quả chọn D
Bài tập đề nghị:
1/ Hàm số
y A.sinx cosx Bx= − +
đạt cực đại tại
0
5π
x
12
=
khi cặp số (A, B)
là:
A/ (
−
1,
2
2
−
) B/ (
3
,
−
2
) C/ (
2
,
3
) D/ (
3

,
2
)
2/ Hàm số
2
y Ax x 2Bx 5= + + +
đạt cực tiểu tại
0
x 1 = −
khi cặp số (A, B)
là:
A/ (
3
2
−
,
5
2
) B/ (
3
2
−
,
−
5) C/ (
5
6
,
19
9

) D/ (
5
6
,
3
2
−
)
3/ Hàm số
2
Ax 1
y
x x B
+
=
+ +
đạt cực đại tại
0
x 1 =
khi cặp số (A, B) là:
A/ (
−
4 ,
1
4
) B/ (
−
3 ,0) C/ (3 , 2) D/ (
−
2,

1
2
−
)
4/Hàm số
Bx
Ax
y
e
=
đạt cực tiểu tại
0
x 1
= −
khi cặp số (A, B) là:
A/ (1 , 1) B/ (
−
1 ,
−
1) C/ (
−
1 ,1) D/ (1,
−
1)
5/ Hàm số
2
x 3x 3
y
Ax B
+ +

=
+
đạt cực đại tại x
0
=
3−
khi cặp số (A ,B) bằng:
A/ (2 , 1) B/ (1, 2) C/ (
−
1,
−
2) D/ (
−
2,
−
4)
6/ Hàm số
3 2 2
y 2x (4A 3)x (2A 4A 1)x
= + − + − +
đạt cực tiểu tại x
0
=
1
2
khi số
A bằng :
A/1 B/
−
1 C/

1
2
D/
−
1
2
5/ Xác định đạo hàm của một hàm số.
Bài toán: Cho hàm số f và các hàm số f
i
. Hãy xác định hàm số f
i
là đạo
hàm của hàm số f.
Cú pháp
( )
i
x A
d
f (A) f(x)
dx
=
−
- Trong đó f là hàm số cần xác định đạo hàm,
f
i
là các phương án đã cho.