Bai tap lon tấm vỏ hoc - so do i

Page 1 of 10
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG DANG VAN TOAN - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG
Bài 1: Tấm chữ nhật cạnh 2a x 3a đặt trên nền đàn hồi có hệ số nền
K = αD/a
4
chịu tải trọng phân bố đều q
0
vuông góc mặt trung bình của tấm.
Bằng phương pháp sai phân hữu hạn với bước chia đều ∆, hãy tính gần
đúng độ võng và mô men uốn tại điểm K1,2 theo sơ đồ I như sau: (∆ =
a). Hệ số nền α = 12.
Giải
Các bước tiến hành :
Bước 1 : Chọn phương pháp giải : giải bắng phương pháp sai phân hữu
hạn
- Lập lưới sai phân với bước chia đều nhau theo cả 2 phương là ∆
- Đánh số thứ tự các nút của lưới sai phân
Bước 2 :
=====================================================================

K1 K2
x
y
Page 2 of 10
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG DANG VAN TOAN - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
- Biến đổi phương trinh vi phân độ võng trên nền đàn hồi từ phương trình
ban đầu
- Viết phương trình vi phân cho điểm cần tìm K

1
và K
2
- Thay thế điều kiện biên vào phương trình vi phân của điểm K
1
và K
2
- Viết tiếp phương trình vi phân cho các điểm còn thiếu của phương trình
K
1
và K
2
(nếu thiếu ẩn)
Bước 3 :
- Giải hệ phương trình tìm được ( là hệ phương trình có số ẩn bằng số
phương trình) : sử dụng phần mềm Mathematica để giải tìm nghiệm của
điểm K
1
và K
2
Bước 4 : Từ nghiệm độ võng của điểm K
1
và K
2
tìm được ơ bước 3 , viết
biểu thức tính nội lực tại các điểm cần tính ( ở đây là các điểm K
1
và K
2
)

Bước 1 :
- Ta tiến hành lập lưới sai phân và đánh số thứ tự như hình vẽ:
=====================================================================

Page 3 of 10
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG DANG VAN TOAN - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
Bước 2 :
- Phương trình vi phân độ võng tấm trên nền đàn hồi như sau:
∇
4
w +
D
k
w =
D
q
0
- Với K = α
4
a
D
thay vào phương trình trên ta được:
∇
4
w +
4
a
α
w =

D
q
0
- Điều kiện biên:
+Tại biên ngàm:
Độ võng = 0 :
7 4 8 14
0W W W W= = = =
Góc xoay = 0 :
'
7 7
3 18 9 19
0 12
'
4 4
_
1 17
_1
'
0 12 1 17
8 8
18 19 3 9
'
14 14
0
0
0
0
0
0

0
sai phan
cap
W
W W W W
W W
W
a a
W W
W W W W
W
W W W W
a a
W
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ

= =
− −

=


= =

= =
  
→ ⇒ =

  
− −
= =
  
= =
= = = =

 

= =

+Tại các biên khớp:
Độ võng = 0 :
14 9 13 5 2 6
0W W W W W W= = = = = =
Momen = 0 :
'
5 5
'
2 2
15 16 1
_'
6 6 10 0
_ 2
'
21
13 13
'
9 9
0

0
0
0
0
0
sai phan
cap
M W
M W
W W W
M W W W
W
M W
M W

= =

= =
= = −


 
= = → = −
 
 
=
= =




= =

Vậy , từ điều kiện biên ta có :
=====================================================================

Page 4 of 10
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG DANG VAN TOAN - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
2 4 5 6 7 9 13 14 18 19 20 21 22 23
0 10 12
1 15 16 17
0W W W W W W W W W W W W W W
W W W
W W W W
= = = = = = = = = = = = = =


⇒ = − =


= − = − =

- Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 0 ( K
1
) là:
( ) ( ) ( )
4
4
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0

4
20 8 2 1
a q
W W W W W W W W W W W W W a W
D
a
α
 
− + + + + + + + + + + + + =
 ÷
 

- Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 1 (K
2
) là:
( ) ( ) ( )
4
4
0
1 9 5 0 8 13 7 4 14 15 16 3 17 1
4
20 8 2 2
a q
W W W W W W W W W W W W W a W
D
a
α
 
− + + + + + + + + + + + + =
 ÷

 
- Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 3 là:
( ) ( ) ( )
4
4
0
3 0 6 11 7 2 22 20 4 1 23 24 18 3
4
20 8 2 3
a q
W W W W W W W W W W W W W a W
D
a
α
 
− + + + + + + + + + + + + =
 ÷
 
- Thay các điều kiện biên và α=16 ta được hệ pt :
( )
( )
( )
4
0
0 1 3 11
4
0
0 1 3
4
0

0 1 3 11 24
32 8 8 1'
6 31 2 '
8 32 8 3'
a q
W W W W
D
a q
W W W
D
a q
W W W W W
D

− − + =



− + + =



− + + − + =


- Thêm phương trình từ điều kiện biên tự do:
2 2
2 2
3 3
3 2

W W
M 0
W W
Q (2 ) 0
y
td
y
y x
y y x
µ
µ

∂ ∂
= + =

∂ ∂


∂ ∂

= + − =

∂ ∂ ∂

+ Phương trình Momen và lực cắt tại điểm 4 :
=====================================================================

Page 5 of 10
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG DANG VAN TOAN - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================

( )
( ) ( )
1 3 11 6 3 7
3
2 2
1 0 11 24 1 3 2 22 7 4
2 2
2 2
0 4
2 2 2 2
2 0 5
2 2
x
td
x
W W W W W W
M
a a
W W W W W W W W W W
Q
a a
µ
µ
− + − +

= + =



− + − − + + + − −


= + − =


- Rút gọn ta thu được 4 ptrình sau :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 3 11
0 1 3 11 24
2 1 0 4'
2 2 3 2 2 2 0 5'
W W W
W W W W W
µ
µ µ
− + + =

⇒

− + − + − + − =


- Sử dụng chương trình Mathematica 5.2 giải hệ ptrình (1’ ,2’…,5’) 5 ẩn
số : W
0
, W
1
, W
3
, W

11
, W
24
ta thu được kết quả :
4
2
0
0
2
4
0
1
2
4
0
3
2
4
2
0
11
2
4
2
0
24
2
1109 628 4
10379 6276 12
423 262

10379 6276 12
593 38
10379 6276 12
736 1372 76
10379 6276 12
2
760 1833 302
10379 6276 12
q a
W
D
q a
W
D
q a
W
D
q a
W
D
q a
W
D
µ µ
µ µ
µ
µ µ
µ
µ µ
µ µ

µ µ
µ µ
µ µ

− +
= ×

− + +


− +
= ×
− + +
− +
⇒ = ×

− + +
− − +
= ×
− + +
− − +
= ×
− + +













- Vậy : độ võng tại điểm K
1
và K
2
là:
4
2
0
1 0
2
4
0
2 1
2
1109 628 4
10379 6276 12
423 262
10379 6276 12
K
K
q a
W W
D
q a
W W

D
µ µ
µ µ
µ
µ µ
− +
= = ×
− + +
− +
= = ×
− + +
- Mômen tại điểm K
1
và K
2
là : Đặt :
1
x
y
a
a
α
∆
= = =
∆
=====================================================================

Page 6 of 10
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG DANG VAN TOAN - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1 0 3 2 0 4 0 1 3
2 2
1
2 0 4 1 0 3 0 1 3
2 2
2
9 1 0 5 1 8 0 1
2 2
2
5 1 8 9 1 0
2
. 2 2 . 2 1
. 2 2 2 1
. 2 2 2 1
. 2 2
K
x
x
K
y
y
K
x
x
K

y
y
D D
M W W W W W W W W W
a
D D
M W W W W W W W W W
a
D D
M W W W W W W W W
a
D
M W W W W W W
αµ µ
αµ µ µ µ
αµ µ
αµ
= − + + − + = − + + +   
   
∆
= − + + − + = − + + +   
   
∆
= − + + − + = − +
   
   
∆
= − + + − +



∆
( )
0 1
2
2 1
D
W W
a
µ µ











= − +
  
  


=====================================================================

Page 7 of 10
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG DANG VAN TOAN - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================

Bài 2: Vỏ cầu thoải có mặt bằng hình chữ nhật kích thước 5a x 9a
liên kết khớp tựa chịu tải trọng pháp tuyến với mặt trung bình trong trường
hợp
lực tập trung hoán vị đặt tại điểm 11.
Yêu cầu: 1. Chọn hàm độ võng thỏa mãn điều kiện biên theo chuỗi
lượng giác kép.
2. Tính chuyển vị W
max
.
1. Chọn hàm độ võng thỏa mãn điều kiện biên theo chuỗi lượng giác kép:
Phương trình hàm độ võng đối với vỏ cầu thoải bán kính R có dạng như
sau:
∇
4
w + 4λ
4
w =
D
q
(1)
=====================================================================

a
a
X
Y
1 2
3
4
5

6
7
8
9 10
11
12
13
14
15
16
17 18
19
20
21
22
23
24
25 26
27
28
P
29
30
31
32
Page 8 of 10
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG DANG VAN TOAN - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
Trong đó
( ) ( ) ( )

2
4
2 2
4 4 4
4
4 2 2 4
12(1 )
4
, , ,
2
h R
w x y w x y w x y
w
x x y y
µ
λ

−
=



∂ ∂ ∂

∇ = + +

∂ ∂ ∂ ∂

Nghiệm của (1) được chọn dưới dạng chuỗi như sau:
a

yn
a
xm
AyxW
m n
mn
5
sin
9
sin),(
1 1
ππ
∑∑
∞
=
∞
=
=
(2)
Trong đó A
mn
là hệ số của chuỗi (m, n = 1, 2, 3, ).
Thế (2) vào (1), sau khi rút gọn ta được:



























+






∑∑
∞
=
∞

=
a
yn
a
xm
a
n
a
m
A
n
mn
m
5
sin
9
sin
59
1
2
22
1
ππππ

∑∑
∞
=
∞
=













+
11
4
5
sin
9
sin4
n
mn
m
a
yn
a
xm
A
ππ
λ
=
D

q
⇔






















+















+






∑∑
∞
=
∞
=
a
yn
a
xm
a
n
a
m
DA

n
mn
m
5
sin
9
sin4
59
1
4
2
22
1
ππ
λ
ππ
= q (3)
Phân tích hàm q(x,y) dưới dạng chuỗi kép Fourier trong miền 0 ≤ x ≤ 9a; 0
≤ y ≤ 5a.
a
yn
a
xm
Cyxq
m n
mn
5
sin
9
sin),(

1 1
ππ
∑∑
∞
=
∞
=
=
(4)
Ở đây:
dxdy
a
yn
a
xm
yxq
aa
C
aa
mn
∫∫













=
5
0
9
0
5
sin
9
sin),(
5.9
4
ππ
Do tải trọng tập trung q đặt tại điểm 11 nên x
0
= 11a, y
0
= a. Vậy:
9 5
0 0
0 0
4 11
sin sin
9 .5 9 5
a a
mn
q m a n a
C dxdy

a a dx dy a a
π π
   
=
 ÷  ÷
   
∫ ∫
⇔
4 11
sin sin
9 .5 9 5
mn
q m n
C
a a
π π
   
=
 ÷  ÷
   
=====================================================================

Page 9 of 10
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG DANG VAN TOAN - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
Thay C
mn
vừa tìm được ở trên vào (4) ta được:
1 1
4 11

( , ) sin sin sin sin
9 .5 9 5 9 5
m n
q m n m x n y
q x y
a a a a
π π π π
∞ ∞
= =
   
=
 ÷  ÷
   
∑∑
(5)
Từ (3) và (5) tiến hành cân bằng hệ số ta có:
2
2 2
4
4 11
4 sin sin
9 5 9 .5 9 5
mn
m n q m n
DA
a a a a
π π π π
λ



 
 
       
+ + =
 
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
 
 


⇒
2
2 2
4
11
sin sin
4
9 5
9 .5
4
9 5
mn
m n
q
A
a a
m n

D
a a
π π
π π
λ
   
 ÷  ÷
   
= ×


 
 
   
+ +
 
 
 ÷  ÷
   
 
 
 


Vậy hàm độ võng cần tìm là:
2
2 2
1 1
2 4
11

4 sin sin
9 5
( , ) sin sin
9 5
45. . . 4
9 5
m n
m n
q
m x n y
W x y
a a
m n
a D
a a
π π
π π
π π
λ
∞ ∞
= =
   
 ÷  ÷
   
=


 
 
   

+ +
 
 
 ÷  ÷
   
 
 
 


∑∑
2. Tính chuyển vị W
max
.
Khi đó:
2
2 2
1 1
2 4
11
4 sin sin
9 5
( , ) sin sin
9 5
45. . . 4
9 5
m n
m n
q
m x n y

W x y
a a
m n
a D
a a
π π
π π
π π
λ
∞ ∞
= =
=


 
 
   
+ +
 
 
 ÷  ÷
   
 
 
 


∑∑
=====================================================================

Page 10 of 10
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG DANG VAN TOAN - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
Sử dụng chương trình Mathematica ta tính được độ võng, ta nhận thấy sự
lặp lại của các số hạng trong chuỗi số.Dễ dàng, nhận thấy chuỗi đạt giá trị
độ võng lớn nhất khi
sin 1
9
m x
a
π
=
,
sin 1
5
m y
a
π
=
đạt khi x=9a/2, y=5a/2
Ta có hàm độ võng max như sau:
2
2 2
1 1
2 4
11
4 sin sin sin sin
9 5 2 2
( , )
45. . . 4

9 5
m n
m n m n
q
W x y
m n
a D
a a
π π π π
π π
λ
∞ ∞
= =
=


 
 
   
+ +
 
 
 ÷  ÷
   
 
 
 


∑∑

=====================================================================