HƯỚNG DẪN GIẢI HÌNH HỌC - NGUYỄN QUỐC TUẤN

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:


-
Trang
1

-

Hình học giải tích trong các kỳ thi tuyển sinh đại học(đề chính thức)

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2012:
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hình chữ nhật ABCD, các đường thẳng
AC và AD lần lượt có phương trình là
3 0
x y
+ =
và
4 0
x y
− + =
; đường thẳng BD đi qua
điểm
1
;1
3
M
 
−

 
 
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho mặt phẳng
(
)
: 2 2 10 0
P x y z
+ − + =
và
điểm
(
)
2;1;3
I
. Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn
có bán kính bằng 4
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i

Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương trình
( )
3 0
3;1
4 0

x y
A
x y
+ =

⇒ −

− + =


Gọi N là điểm thuộc AC sao cho MN song song voái
AD. Suy ra MN có phương trình là
4
0
3
x y
− + =
. Vì N
thuộc đường thẳng AC nên tọa độ của điểm N là
nghiệm của hệ phương trình
4
0
1
1;
3
3
3 0
x y
N
x y


− + =

 
⇒ −

 
 

+ =

.


Đường trung trực
∆
của MN đi qua trung điểm của MN và vuông góc với AD nên ta có
phương trình
0
x y
+ =

Gọi I và K lần lượt là giao điểm của
∆
với AC và AD.
Suy ra tọa độ của điểm I thỏa mãn hệ phương trình
0
3 0
x y
x y

+ =


+ =

và tọa độ của điểm K thỏa mãn
hệ phương trình
0
4 0
x y
x y
+ =


− + =

. Do đó
(
)
0;0
I
và
(
)
2;2
K −

Ta có:
( ) ( )
2. 3; 1 ; 2 1;3

AC AI C AD AK D= ⇒ − = ⇒ −
   
.
( )
1; 3
BC AD B
= ⇒ −
 

2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P). Suy ra H là tâm của đường tròn giao
tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cần viết phương trình. Ta có
(
)
(
)
; 3
IH d I P
= =

Bán kính của mặt cầu (S) là
2 2
3 4 5
R
= + =

Vậy phương trình mặt cầu (S) là :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 3 25
x y z

− + − + − =

Trích t
ừ

đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2012:
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho đường thẳng
: 2 3 0
d x y
− + =
> viết
phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại
C và D sao cho
2
AB CD
= =

2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng
1 1
:

2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
và hai
điểm
(
)
(
)
1; 1;2 , 2; 1;0
A B− −
. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác
AMB vuông tại M.
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:


-
Trang
2

-

Hướng dẫn giải
Gọi I là tâm của đường tròn (C) cần viết phương trình
Di I thuộc đường thẳng d nên tọa độ của I có dạng
(

)
;2 3
I t t
+

( ) ( )
1
; , 2 3
3
t
AB CD d I Ox d I Oy t t
t
= −

= ⇔ = ⇔ = + ⇔

= −


Với t = -1 ta được
(
)
1;1
I −
, nên
(
)
, 1
d I Ox
=

suy ra bán kính của đường tròn (C) là
2 2
1 1 2
+ =
. Do đó,
( ) ( ) ( )
2 2
: 1 1 2
C x y
+ + − =

Với
3
t
= −
ta được
(
)
3; 3
I
− −
nên
(
)
, 3
d I Ox
=
suy ra bán kính của đường tròn
(
)

C
là
2 2
3 1 10
+ =
. Do đó
( ) ( ) ( )
2 2
: 3 3 10
C x y
+ + + =

2. Do M thuộc đường thẳng d nên tọa độ của M có dạng
(
)
1 2 ; 1 ;
M t t t
+ − −

Ta có:
( ) ( )
2 ; ; 2 , 1 2 ; ;
AM t t t BM t t t
= − − = − + −
 

Tam giác AMN vuông tại M
. 0
AM BM
=

 

( ) ( )
2 2
0
2 1 2 2 0 6 4 0
2
3
t
t t t t t t t
t
=


⇔ − + + + − = ⇔ − = ⇔

=



Do đó có có 2 điểm M thỏa mãn
(
)
1; 1;0
7 5 2
; ;
3 3 3
M
M
−


 

−
 

 


Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2012:
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho các đường tròn
(
)
2 2
1
: 4
C x y
+ =
, đường
tròn
(
)
2 2
2
: 12 18 0
C x y x
+ − + =
và đường thẳng
: 4 0

d x y
− − =
. Viết phương trình đường
tròn có tâm thuộc
(
)
2
C
, tiếp xúc với đường thẳng d và cắt đường tròn
(
)
1
C
tại hai điểm
phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với đường thẳng d
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng
1
:
2 1 2
x y z
d
−
= =
−
và hai
điểm
(
)
(
)

2;1;0 , 2;3;2
A B −
. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường
thẳng d.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i

Đường tròn
(
)
1
C
có tâm là gốc tọa độ O. Gọi I là tâm của
đường tròn
(
)
C
cần viết phương trình , ta có
AB OI
⊥
.
Mà
AB d
⊥
và

O d
∉
và
//
OI d
, do đó OI có phương
trình
y x
=
.
Mặt khác I thuộc vào đường thẳng
(
)
2
C
nên tọa độ của I
thỏa mãn hệ phương trình
( )
2 2
3
3;3
3
12 18 0
y x
x
I
y
x y x
=
=



⇔ ⇒
 
=
+ − + =



Do
(
)
C
tiếp xúc với đường thẳng d nên
(
)
C
có bán kính
(
)
, 2 2
R d I d= =

Vậy phương trình
(
)
C
là
( ) ( ) ( )
2 2

: 3 3 8
C x y
− + − =


TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:


-
Trang
3

-


2. Gọi (S) là mặt cầu cần viết phương trình và I là tâm của mặt cầu (S)
Do I thuộc đường thẳng d nên tọa độ của điểm I có dạng
(
)
1 2 ; ; 2
I t t t
+ −

Do A và B thuộc vào mặt cầu (S) nên
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2
2 1 1 4 2 3 3 2 2 1
AI BI t t t t t t t

= ⇒ − + − + = + + − + + ⇒ = −

Do đó
(
)
1; 1;2
I − −
và bán kính mặt cầu là
17
IA =

Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 2 17
x y z
+ + + + − =


Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2012:
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hình thoi ABCD có
2
AC BD
=
và đường
tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình
2 2
4
x y

+ =
. Viết phương trình
chính tắc của (E) đi qua các đỉnh A,B,C,D của hình thoi biết A thuộc Ox
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho
(
)
(
)
0;0;3 , 1;2;0
A M
. Viết phương trình
mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B,C sao cho tam giác ABC có trọng
tâm thuộc đường thẳng AM
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i


1. Giả sử
( ) ( )
2 2
2 2
: 1 0
x y
E a b
a b

+ = > >
. Hình thoi ABCD có
2
AC BD
=
và A,B,C,D thuộc (E) suy ra
2
OA OB
=
. Không mất
tính tổng quát ta có thể xem
( )
;0 , 0;
2
a
A a B
 
 
 
. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của O trên AB. Suy ta OH là bán kính của đường tròn
(C)
2 2
4
x y
+ =

Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4

4
OH OA OB a a
= = + = +

Suy ra
2 2
20 5
a b
= ⇒ =
vậy phương trình chính tắc của (E) là
( )
2 2
: 1
20 5
x y
E
+ =

2. Do B và C lần lượt thuộc trục Ox và Oy nên tọa độ của B và C lần lượt có dạng
(
)
(
)
;0;0 , 0; ;0
B b C c
. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra
; ;1
3 3
b c
G

 
 
 

Ta có
( )
1;2; 3
AM
= −

nên đường thẳng AM có phương trình
3
1 2 3
x y z
−
= =
−

Do G thuộc đường thẳng AM nên
2
2
4
3 6 3
b
b c
c
=

−
= = ⇒


=
−


Do đó phương trình của mặt phẳng (P) là
1
4 4 3
x y z
+ + =
, nghĩa là (P):
6 3 4 12 0
x y z
+ + − =

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2012:
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm
của BC, N là điểm nằm trên cạnh CD sao cho
2
CN ND
=
. Giả sử
11 1
;
2 2
M
 
 
 

và đường
thẳng AN có phương trình
2 3 0
x y
− − =
. Tìm tọa độ của điểm A
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:


-
Trang
4

-

2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. , cho đường thẳng
1 2
:
1 2 1
x y z
d
+ −
= =
và điểm
(
)
0;0;3
I
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm phân

biệt A và B sao cho tam giác IAB vuông góc tại I
Hướng dẫn giải

Gọi H là giao điểm của AN và BD. Kẻ đường thẳng qua H
và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại P và Q.
Đặt
HP x
=
. Suy ra
, 3 , 3
PD x AP x HQ x
= = =

Ta có
QC x
=
, nên
MQ x
=
. Do đó
AHP HMQ
∆ = ∆
suy ra
AH HM
⊥

Hơn nữa ta cũng có
AH HM
=
. Do đó,

( )
( )
( )
2 2
2
3 10
2 2 ; ; ;2 3
2
1
3 10 11 7 45
2 5 4 0
4
2 2 2 2
AM MH d M AN A AN A t t
t
AM t t t t
T
= = = ∈ ⇒ −
=

   
= ⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔
   

=
   


Vậy
(

)
( )
1; 1
4;5
A
A
−








2. Vector chỉ phương của đường thẳng d là
( )
1;2;1
a =

. Gọi H là trung điểm của AB suy ra
IH AB
⊥
. Ta có H là điểm thuộc đường thẳng d nên tọa độ của H có dạng
( ) ( )
1;2 ; 2 1;2 ; 1
H t t t IH t t t
− + ⇒ = − −


1 2 2 2
. 0 1 4 1 0 ; ;
3 3 3 3
IH AB IH a t t t IH
 
⊥ ⇔ = ⇔ − + − = ⇔ = ⇒ = − −
 
 
  

Tam giác IAH vuông cân tại H, suy ra bán kính của mặt cầu (S)
Là
2 6
2
3
R IA IH= = =

Do đó phương trình mặt cầu (S) cần tìm là
( ) ( )
2
2 2
8
: 3
3
S x y z
+ + − =

Trích t
ừ

đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2012:
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho đường tròn
(
)
2 2
: 8
C x y
+ =
. Viêt phương
trình chính tắc của Elip(E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn
đểm phân biệt tạo thành hình vuông.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. , cho đường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y z
d
+ −
= =
, mặt

phẳng
(
)
: 2 5 0
P x y z
+ − + =
và điểm
(
)
1; 1;2
A −
. Viết phương trình đường thẳng
∆
cắt d và
(P) lần lượt tại hai điểm M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i


Phương trình chính tắc của Elíp (E) có dạng
2 2
2 2
1
x y
a b

+ =

với
0
a b
> >
và
2 8 4
a a
= ⇒ =
.
Do Elíp (E) và đường tròn (C) cùng nhận Ox và Oy làm
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:


-
Trang
5

-


trục đối xứng và các giao điển là các đỉnh của một hình
vuông nên Elíp (E) và đường tròn (C) có một giao điểm
với tọa độ dạng
(
)
;
A t t

(t > 0)
Do A thuộc đường tròn (C) nên ta có:
( ) ( )
2 2 2
2
4 4 16
8 2 2;2 1
16 3
t t t A E b
b
+ = ⇒ = ⇒ ∈ ⇔ + = ⇔ =

Vậy phương trình chính tắc của Elíp (E) là
2 2
1
16
16
3
x y
+ =

2. M thuộc đường thẳng d suy ra tọa độ của điểm M có dạng
(
)
2 1; ; 2
M t t t
− +

MN nhận A là trung điểm , suy ra
(

)
3 2 ; 2 ;2
N t t t
− − − −

N thuộc mặt phẳng (P)
(
)
(
)
3 2 2 2 2 5 0 2 3;2;4
t t t t M− − − − − + = ⇔ = ⇒

Đường thẳng
∆
đi qua A và M có phương trình
1 1 2
:
2 3 2
x y z
− + −
∆ = =

Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng - năm 2012
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho đường tròn
(
)
2 2
: 2 4 1 0

C x y x y
+ − − + =
và
đường thẳng
4 3 0
x y m
− + =
. Tìm để đường thẳng d cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân
biệt A và B sao cho

0
120
AIB =
, với I là tâm của đường tròn (C)
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho hai đường thẳng
1 2
,
d d
có phương trình
( )
1
: 2
1
x t
d y t t R
z t
=


= ∈



= −

( )
2
1 2
: 2 2
x s
d y s s R
z s
= +


= + ∈


= −


Chứng minh
1 2
,
d d
cắt nhau và viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng
1 2
,
d d

Hướng dẫn giải

1. Đường tròn (C) có tâm
(
)
1;2
I
, bán kính
2
R
=

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d, khi đó :

0 0
120 .cos60 1
AIB IH IA
= ⇔ = =

Do đó:
7
2
1
3
5
m
m
m
=
−

= ⇔


= −


2. Xét hệ phương trình
( )
1 2
2 2 2 *
1
t s
t s
t s
= +


= +


− = −


Giải hệ phương trình (*)ta được
1 2
1
,
0
t
d d
s
=


⇒

=

cắt nhau
Đường thẳng
1
d
có vector chỉ phương là
( )
1
1;2; 1
u
= −


Đường thẳng
2
d
có vector chỉ phương là
( )
2
2;2; 1
u
= −

. Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng đi qua
điểm
(

)
1
0;0;1
I d
∈
và có một vector pháp tuyến là
( )
1 2
, 0; 1; 2
u u
 
= − −
 
 

Phương trình mặt phẳng cần tìm là
2 2 0
y z
+ − =


TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:


-
Trang
6

-

Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng - năm 2012
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho tam giác ABC, các đường thẳng BC,
BB’,B’C’ lần lượt có phương trình là
2 0
y
− =
,
2 0
x y
− + =
,
3 2 0
x y
− + =
, với B’ và C’
tương ứng là chân đường cao kẻ từ các đỉnh B và C của tam giác ABC. Biết pr các đường
thẳng AB và AC.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. , cho đường thẳng
2 1 1
:
1 1 1
x y z
d
− + +
= =
− −
và
mặt phẳng (P):

2 2 0
x y z
+ − =
. Đường thẳng
∆
nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với
đường thẳng d tại giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viêt pr đường thẳng
∆

Hướng dẫn giải
1. Tọa độ của điểm B’ là nghiệm của hệ phương trình
2 0
3 2 0
x y
x y
− + =


− + =

, giải hệ phương trình này
ta được
( )
2
' 2;0
0
x
B
y
= −


⇔ −

=


Đường thẳng AC đi qua điểm B’ và vuông góc với BB’ nên AC có phương trình
2 0
x y
+ + =

Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình
( )
2 0
0;2
2 0
x y
B
y
− + =

⇔

− =


Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình
( )
2
4;2

2 0
x y
C
y
+ +

⇔ −

− =


Nếu
4 2
' ;
5 5
C
 
−
 
 
thì đường thẳng AB có phương trình là
2 2 0
x y
− + =

Nếu
(
)
' 2;0
C −

thì đường thẳng AB có phương trình là
2 0
x y
− + =

2. Gọi I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P),
(
)
1; 2;0
I −

Mặt phẳng (P) có một vector pháp tuyến là
( )
2;1; 2
P
n
= −

, đường thẳng d có một vector chỉ
phương là
( )
1; 1;1
d
u = − −


( )
; 1;0; 1
P d
n u

 
= − −
 
 
, đường thẳng
∆
nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d khi
và chỉ khi
∆
có một vector chỉ phương là
;
P d
u n u
∆
 
=
 
  

Do đó phương trình đường thẳng
∆
là
( )
1
2
x t
y t R
z t
= −



= − ∈


= −


Trích t
ừ

đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2011:
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho tam giác ABC có đỉnh
(
)
4;1
B −
, trọng tâm
(
)
1;1

G
và đường thẳng chứa phân giác trong của góc

A
có phương trình
1 0
x y
− − =
. Tìm
tọa độ các đỉnh A và C.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho điểm
(
)
1;2;3
A
và đường thẳng
( )
1 3
:
2 1 2
x y z
d
+ −
= =
−
. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm A, vuông góc với
đường thẳng d và cắt trục Ox
H

ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:


-
Trang
7

-


Gọi
(
)
;
D x y
là trung điểm của AC. Ta có:
3
BD GD
=
 
.
Tương đương
(

)
( )
4 3 1
7
;1
2
1 3 1
x x
D
y y
+ = −

 
⇒

 
− = −
 



Gọi
(
)
;
E x y
là điểm đối xứng của B qua phân giác trong đường
thẳng
1 0
x y

− − =
của góc

A
.
Ta có EB vuông góc với đường thẳng d và trung điểm I của EB
thuộc d nên tọa độ của E là nghiệm của hệ phương trình
(
)
(
)
( )
1 4 1 1 0
3 0
2; 5
4 1
7 0
1 0
2 2
x y
x y
E
x y
x y
+ + − =
+ + =


⇔ ⇔ −
 

− +
− − =
− − =




Đường thẳng AC đi qua D và E, có phương trình
4 13 0
x y
− − =

Tọa độ
(
)
;
A x y
thỏa mãn hệ phương trình
( )
1 0
4;3 .
4 13 0
x y
A
x y
− − =

⇒

− − =


Suy ra
(
)
3; 1
C
−






2. Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với đường thẳng d, có phương trình
2 2 2 0
x y z
+ − + =

Gọi B là giao điểm của trục Ox với mặt phẳng (P), suy ra
∆
là đường thẳng đi qua các điểm A,
B.
B Ox
∈
, có tọa độ
(
)
;0;0
B b
thỏa mãn phương trình

(
)
2 2 0 1;0;0
b B+ = ⇒ −

Phương trình đường thẳng
( )
1 2
: 2 2
3 3
x t
y t t
z t
= +


∆ = + ∈


= +

ℝ

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2011:
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho điểm
(
)
1;0
A

và đường tròn
(
)
2 2
: 2 4 5 0
C x y x y
+ − + − =
. Viết phương trình đường thẳng
∆
cắt đường tròn
(
)
C
tại hai
điểm phân biệt M và N sao cho tam giác AMN vuông tại A
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng
( )
1 3
:
2 4 1
x y z
− −
∆ = =
và mặt
phẳng
(
)
: 2 2 0
P x y z
− + =

. Viết phương trình mặt cầu có tâm thộc đường thẳng
∆
, bán kính
bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng
(
)
P

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i


Đường tròn (C) có tâm
(
)
1; 2
I
−
và bán kính bằng
10

Ta có:
IM IN
AI MN
AM AN

=

⇒
⊥

=

, suy ra phương trình đường thẳng
∆
có dạng:
y m
=

Hoành độ M, N là nghiệm của phương trình
(
)
2 2
2 4 5 0 1
x x m m− + + − =

Phương trình
(
)
1
có hai nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x

khi và chỉ
khi
(
)
2
4 6 0 *
m m+ − <
. Khi đó ta có
(
)
(
)
1 2
; , ;
M x m N x m

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:


-
Trang
8

-

Từ đây ta có :
( )( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2

. 0 1 1 0 1 0
AM AN AM AN x x m x x x x m
⊥ ⇔ = ⇔ − − + = ⇔ − + + + =
 

Áp dụng định lý Viet cho phương trình (1) ta suy ra
2
1
2 4 6 0
3
m
m m
m
=

+ − = ⇔

=

thỏa mãn (*).
Vậy phương trình
( )
1
3
y
y
=

∆


= −


2. Gọi I là tâm của mặt câu. Do I thuộc đường thẳng
∆
nên tọa độ của I có dạng
(
)
1 2 ;3 4 ;
I t t t
+ +

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi
( )
( )
(
)
(
)
2 1 2 3 4 2
2
, 1 1
1
3
t t t
t
d I P
t
+ − + +
=


= ⇔ = ⇔

= −


Suy ta
(
)
5;11;2
I
hoặc
(
)
1; 1; 1
I
− − −

Vậy phương trình mặt cầu là:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 5 11 2 11
S x y z
− + − + − =
hoặc
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1
x y z
+ + + + + =

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2011:
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hai đường thẳng
(
)
: 4 0
x y
∆ − − =
và
đường thẳng
(
)
:2 2 0
d x y
− − =
. Tìm tọa độ của điểm N thuộc vào đường thẳng d sao cho
đường thẳng ON cắt đường thẳng
∆
tại điểm M thỏa mãn
. 8
OM ON
=

2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. , cho đường thẳng
2 1 2
:
1 1
x y z

− + −
∆ = =
và
mặt phẳng
(
)
: 3 0.
P x y z
+ + − =
Gọi I là giao điểm của đường thẳng
∆
và mặt phẳng (P).
Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MI vuông góc với đường thẳng
∆
và
4 14
MI =

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i

Do N thuộc đường thẳng d và M thuộc đường thẳng
∆
nên
có tọa độ:

(
)
(
)
;2 2 , ; 4
N a a M b b
− −
.
O,M,N cùng thuộc một đường thẳng khi và chỉ khi :
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( )
2
2
2
2 2 2
4
4 2 2 2 4
2
. 8 5 8 4 4 2
0
5 6 5 10 8 0 5 6 0
6
5
a
a b a b b a b
a
OM ON a a a
a

a a a a a a
a
− = − ⇔ − = ⇔ =
= ⇔ − + = −
=


⇔ − − + = ⇔ − = ⇔

=



Vậy có hai điểm N thỏa mãn có tọa độ là
(
)
0; 2
6 2
;
5 5
N
N
−


 

 

 




2. Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình
( )
2 1
1;1;1
1 2 1
3 0
x y z
I
x y z
− +

= =

⇔
− −


+ + − =


Gọi
(
)
; ;
M a b c
ta có:
(

)
,M P MI
∈ ⊥ ∆
và
4 4
MI =
nên ta có hệ phương trình
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:


-
Trang
9

-

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3 0 2 1
2 2 0 3 4 ; ; 5;9; 11
1 1 1 224 1 2 2 3 3 224
a b c b a
a b c c a a b c
a b c a a a
 
+ + − = = −
 
 

− − + = ⇔ = − + ⇔ = −
 
 
− + − + − = − + − + − + =
 
 

Hoặc
(
)
(
)
; ; 3; 7;13
a b c = − −

Vậy có hai điểm M thỏa mãn
(
)
5;9; 11
M −
và
(
)
3; 7;13
M − −

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2011:
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho tam giác ABC có đỉnh
1

;1
2
B
 
 
 
. Đường
tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xức với các cạnh BC, CA,AB tương ứng với các điểm D, E,
F. Cho
(
)
3;1
D
và đường thẳng EF có phương trình
3 0
y
− =
. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có
tung độ dương.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng
2 1 5
:
1 3 2
x y z
+ − +
∆ = =
−
và
hai điểm
(

)
(
)
2;1;1 , 3; 1;2
A B− − −
. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng
∆
sao cho tam giác
MAB có diện tích bằng
3 5

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
1.
5
;0 //
2
BD BD EF
 
= ⇒ ⇒ ∆
 
 

ABC cân tại A;
Suy ra đường thẳng AD vuông góc với EF, có phương trình

3 0
x
− =

F có tọa độ dạng
(
)
;3
F t
, ta có:
2
2
1
1 25
2
2
2 4
t
BF BD t
t
= −

 
= ⇔ − + = ⇔
 

=
 


Với
(
)
1 1;3
t F= −
⇒
−
suy ra đường thẳng BF có phương trình
7
: 4 3 5 0 3;
3
BF x y A
 
− − = ⇒ −
 
 

không thỏa mãn vì A có tung độ dương.
Với
(
)
2 2;3
t F=
⇒
suy ra phương trình
13
: 4 3 1 0 3;
3
BF x y A
 

− + = ⇒
 
 
thỏa mãn
Vậy có
13
3;
3
A
 
 
 

2. M thuộc đường thẳng
∆
nên tọa độ của M có dạng
(
)
2 ;1 3 ; 5 2
M t t t
− + + − −

( )
( )
( )
;3 ; 6 2
, 12; 6;
1; 2;1
AM t t t
AM AB t t t

AB

= − −

 
⇒ = − − +

 
= − −



 


( ) ( )
2
2 2
0
3 5 12 6 180 12 0
12
MAB
t
S t t t t t
t
∆
=

= ⇔ + + + + = ⇔ + = ⇔


= −


Vậy
(
)
( )
2;1; 5
14; 35;19
M
M
− −

− −




Trích t
ừ

đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố

i A-2011:
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho đường thẳng
: 2 0
x y
∆ + + =
và đường
tròn
(
)
2 2
: 4 2 0
C x y x y
+ − − =
. Gọi I là tâm của đường tròn (C), M là điểm thuộc
∆
. Qua M
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932
E mail:


-
Trang
10

-

kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ của điểm M
biết rằng tứ giác
MAIB

có diện tích bằng 10
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho hai điểm
(
)
2;0;1
A
và
(
)
0; 2;3
B −
và mặt
phẳng
(
)
: 2 4 0
P x y z
− − + =
. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho
3
MA MB
= =

Hướng dẫn giải


1. Đường thẳng (C) có tâm
(
)
2;1

I
bán kính
5
IA+
. Từ giác
MAIB có


0
90
.
MAIB
MAI MBI
S IA MA
MA MB

= =

⇒ =

=



Suy ra
2 2
2 5 5
MA IM IA MA
= ⇒ = + =

M thuộc đường thẳng
∆
nên tọa độ của M có dạng
(
)
; 2
M t t
− −

( ) ( )
2 2
2
2
5 2 3 25 2 2 12 0
3
t
IM t t t t
t
=

= ⇔ − + + = ⇔ + − = ⇔

= −


Vậy có hai điểm M thỏa mãn là :
(
)
( )
2; 4

3;1
M
M
−


−



2. Gọi
(
)
; ;
M x y z
, ta có M thuộc mặt phẳng (P) và MA=MB=3 nên từ đây ta có hệ phương trình
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2
2
2 3
2
2 4
2 2
; ; 0;1;3
2 1 9 3
6 4 12

; ; ; ;
7 11 4 0 7 7 7
2 3 9
x y z
x y
x y z
x y z z y
x y z
y y
x y z

− − +

= −
=


 

− + + − = ⇔ = ⇔
 
 

= −
 
 

− + =
 



+ + + − =



Vậy có hai điểm M thỏa mãn
(
)
0;1;3
6 4 12
; ;
7 7 7
M
M


 

−
 

 


Trích t
ừ

đề
thi tuy
ể

n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2011:
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho Elip
( )
2 2
: 1
4 1
x y
E
+ =
. Tìm tọa độ các điểm
A và B thuộc Elip, có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn
nhất.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho mặt cầu
(
)
2 2 2
: 4 4 4 0
S x y z x y z
+ + − − − =

và điểm
(
)

4;4;0
A
. Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết B thuộc (S) và tam giác OAB
là tam giác đều.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i


Gọi
(
)
;
A x y
. Do A, B thuộc (E) có hoành độ dương và
tam giác OAB cân tại O nên
(
)
; , 0
B x y x
− >
. Suy ra
2
2 4
AB y x
= = −

Gọi H là trung điểm cua AB, ta có:
HO AB
OH x
⊥


=
