Hệ đại số phương pháp giải chi tiết

Chuyên đề 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a. Dạng :
⎨
(1)
111
22
2
ax by c
ax by c
+=
⎧
+=
⎩

Cách giải đã biết: Phép thế, phép cộng
b. Giải và biện luận phương trình : Quy trình giải và biện luận
Bước 1: Tính các đònh thức :
•
1221
22
11
baba
ba
ba
D −==
(gọi là đònh thức của hệ)
•

1221
22
11
bcbc
bc
bc
D
x
−==
(gọi là đònh thức của x)
•
1221
22
11
caca
ca
ca
D
y
−==
(gọi là đònh thức của y)
Bước 2: Biện luận
• Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất
0≠D
⎪
⎪
⎩
⎪
⎨

⎪
⎧
=
=
D
D
y
D
D
x
y
x
• Nếu D = 0 và 0
≠
x
D hoặc
0
≠
y
D
thì hệ vô nghiệm
• Nếu D = D
x
= D
y
= 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm

Ý nghóa hình học: Giả sử (d
1
) là đường thẳng a

1
x + b
1
y = c
1

(d
2
) là đường thẳng a
2
x + b
2
y = c
2

Khi đó:
1. Hệ (I) có nghiệm duy nhất
(d
1
) và (d
2
) cắt nhau
⇔
2. Hệ (I) vô nghiệm
⇔
(d
1
) và (d
2
) song song với nhau

3. Hệ (I) có vô số nghiệm
⇔
(d
1
) và (d
2
) trùng nhau

Áp dụng:
Ví dụ1: Giải hệ phương trình:
⎩
⎨
⎧
=+
−=−
234
925
yx
yx
Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình :
⎩
⎨
⎧
=+
+=+
2
1
myx
mymx
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình :

⎩
⎨
⎧
=+
=+
1
32
myx
ymx

9
Xác đònh tất cả các giá trò của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa x >1 và y > 0

(2m0)
−
<<

Ví dụ 4: Với giá trò nguyên nào của tham số m hệ phương trình
42mx y m
xmym
+
=+
⎧
⎨
+=
⎩
có nghiệm duy nhất
(x;y) với x, y là các số nguyên.
(
m1m3

=
−∨ =−
)
II. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn:
1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn:
Ví dụ : Giải hệ:
⎩
⎨
⎧
=−+
=+
522
52
22
xyyx
yx
Cách giải: Giải bằng phép thế
2.
Hệ phương trình đối xứng :
1.
Hệ phương trình đối xứng loại I:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau
thì hệ phương trình không thay đổi.
b.Cách giải:

Bước 1

10
: Đặt x+y=S và xy=P với ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P.
2

4S≥ P
Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P . Chọn S,P thoả mãn .
2
4SP≥
Bước 3: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình :
( đònh lý Viét đảo ).
2
0XSXP−+=

Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu (x
0
;y
0
) là nghiệm của hệ thì (y
0
;x
0
) cũng là nghiệm của hệ
Áp dụng:
Ví du 1ï: Giải các hệ phương trình sau :
1) 2)
⎩
⎨
⎧
=++
=++
2
4
22
yxxy

yxyx
22
7
331
6
x
yxy
xy xy
++ =−
⎧
⎨
+
−−=
⎩
3) 4)
⎨

⎩
⎨
⎧
=+
=++
30
11
22
xyyx
yxxy
⎩
⎧
=+++

=+
092)(3
13
22
xyyx
yx
5) 6)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
35
30
33
22
yx
xyyx
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
20
6
22

xyyx
xyyx
7)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
=+
4
4
xyyx
yx
8)
⎩
⎨
⎧
=+
=+
2
34
44
yx
yx
1) (0;2); (2;0) 2)
(2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10 ;1 10)−− + − − +
3)
(

1;5),(5;1),(2;3),(3;2)
4)
10 10 10 10
(3; 2),( 2;3),( 2 ; 2 ),( 2 ; 2 )
22 2
− − −+ −− −− −+
2
5)
(
6)
(1

2;3);(3;2) ; 4), (4;1)
7) (4;4) 8)
(1 2 ;1 2 ), (1 2 ;1 2 )−+ +−

Ví dụ2 : Với giá trò nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=+
=+
myyxx
yx
31
1

2. Hệ phương trình đối xứng loại II:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau
thì phương trình nầy trở thành phương trình kia của hệ.
b. Cách giải:

• Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số.
• Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ .

11

Áp dụng:
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:
1) 2) 3)
22
22
23
23
xy y
yx x
⎧
+= −
⎪
⎨
+= −
⎪
⎩

2
2
x
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
yxyy
xxyx
32
32
2
2
23 2
23 2
32
32
yx x
x
yy
⎧
y
=
−+
⎪
⎨
=

−+
⎪
⎩

4)
2
2
1
3
1
3
xy
x
yx
y
⎧
+=
⎪
⎪
⎨
⎪
+=
⎪
⎩
5)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⎨
⎧
+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y

III. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai:

a. Dạng :
⎪
⎨
22
111 1
22
222 2

ax bxy cy d
ax bxy cy d
⎧
++=
+
+=
⎪
⎩


b. Cách giải:

hoặc
y
t
x
=
. Giả sử ta chọn cách đặt
x
t
y
= .
x
t
y
=
Đặt ẩn phụ
Khi đó ta có thể tiến hành cách giải như sau:
Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải là nghiệm của hệ hay không ?
Bước 2: Với y 0 ta đặt x = ty. Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t,y .Từ 2 phương trình ta

≠
khử y để được 1 phương trình chứa t .
Bước 3: Giải phương trình tìm t rồi suy ra x,y.

Áp dụng:
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:
1) 2) 3)
22
22
32 1
252
xxyy
xxyy
⎧
++=
⎪
⎨
++=
⎪
⎩
1
5
5
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−−
=−−

495
5626
22
22
yxyx
yxyx
32
32
23
67
xxy
yxy
⎧
+=
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
IV. Các hệ phương trình khác:
Ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
a. Đặt ẩn phụ:
Ví dụ : Giải các hệ phương trình :
1) 2)
⎨
3)
⎩
⎨
⎧
=++−+

−=+−
6
3
22
xyyxyx
yxxy
⎩
⎧
=−−
=−−+
36)1()1(
12
22
yyxx
yxyx
22
32 23
5
6
xyxy
xxyxyy
⎧
−+−=
⎪
⎨
−−+=
⎪
⎩
b. Sử dụng phép cộng và phép thế:
22

22
x y 10x 0
x

12
Ví dụ: Giải hệ phương trình :
y
4x 2
y
20 0
⎧
+− =
⎪
⎨
++−−=
⎪
⎩

c. Biến đổi về tích số:
Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau:
1) 2) 3)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=+
+=+
)(3
22

22
yxyx
yyxx
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++=+
+=+
2
77
22
33
yxyx
yyxx
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
−=−
12
11
3
xy
y
y
x

x




Hết