Phương pháp bài toán vật lí bằng số phức

I. Phương pháp bài toán Vật lí bằng số phức.
Bình thường các bài toán về vectơ giáo viên hướng dẫn học sử dụng hình học kết hợp
các công thức lượng giác để giải. Khi sử dụng máy tính Casio fx 570MS để tìm nhanh kết
quả khi phối hợp hình học và tính năng hỗ trợ của máy tính cầm tay.
Có thể vận dụng để giải các bài toán:
→ Tổng hợp, phân tích vectơ: Chương trình 10, 11.
→ Tổng hợp dao động điều hoà: Chương trình 12.
→ Lập biểu thức điện áp, dòng điện xoay chiều: Chương trình 12.
1. Cơ sở của phương pháp:
→ Dựa vào phương pháp biểu diễn số phức: z = a + bi thông qua vectơ
r



.
Trong đó: r =
2 2
a b
;
tan
b
a



→ Khi đó việc tổng hợp tính toán cộng trừ vectơ sẽ đưa về bằng việc sử dụng các phép
cộng, trừ số phức.

→ Cách sử dụng với máy tính cầm tay Casio fx 570MS:
Nhập biểu thức
r




sẽ là:
r



2. Hướng dẫn dùng với máy tính cầm tay Casio fx 570MS:
Quy ước: Chọn một vectơ làm chuẩn(trục thực)
0


, sau đó xác định số đo góc của
các vectơ thứ 2, thứ 3…theo chiều dương quy ước của đường tròn lượng giác.
Bước chuẩn bị nhập số liệu vào máy. Chuyển chế độ dùng số phức:
Bấm Mode chọn 2.
Trên màn hình có dạng:
Ở đây ta sử dụng số đo góc là độ(D), để dùng rad(Chuyển về R).
Cách nhập biểu tượng góc

: nhấn Shift + (-)
Bước lấy kết quả. Sau khi nhập biểu thức cộng hoặc trừ vectơ.
Nhấn =
- Để lấy r (Véctơ kết quả):
CMPLX D

.
Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí
Trang 1

Nhấn Shift + + + =
- Để lấy φ(góc hợp bởi vectơ kết quả và vectơ chọn làm gốc:
Nhấn Shift + =
3. Áp dụng:
a. Các bài toán tổng hợp vectơ.
Bài 1. (BT4/48 Sách Vật lí 10NC) Một người lái xuồng dự định mở máy cho xuồng
chạy ngang con sông rộng 240m, mũi xuồng luôn hướng vuông góc với bờ sông. Nhưng do
nước chảy nên xuồng sang bờ bên kia tại điểm cách bến dự định 180m về phía hạ lưu và
xuồng đi hết 1min? Xác định vận tốc của thuyền so với bờ sông.
Giải:


1
v

-Vận tốc của xuồng so với nước sông.

2
v

-Vận tốc của nước sông so với bờ.

3
v

-Vận tốc của xuồng so với bờ sông.
Ta có:
2
3 1
v v v 

  
; với
2
v

làm trục gốc
Nhập vào máy: (180/60)

0 + (240/60)

90
Kết quả: v
3
= r = 5m/s; φ = 53,13
0
(Hợp với
2
v

).
Bài 2. (BT6/63 Sách Vật lí 10NC). Tìm hợp lực của bốn lực đồng quy như hình:
Biết: F
1
= 5N; F
2
= 3N; F
3
= 7N; F
4
= 1N

Giải:
Chọn
3
F

làm trục gốc. Khi đó ta có:
3 2 1 4
0; 90; 180; 90
F F F F
   
   

Nhập vào máy: 7

0 + 3

90 + 5

180 + 1

(-90)
Năm học 2010-2011 Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí
Trang 2 Thực hiện: Phạm Văn Trung
Kết quả: F
3
= r = 2,8284N = 2
2
N; φ = 45
0

(Hợp với
3
F

).
Bài 3. Hai điện tích điểm q
1
= 8.10
-8
C,q
2
= 8.10
-8
C đặt tại hai điểm A, B trong không
khí với AB = 6cm. Xác định vectơ lực tổng hợp tác dụng lên q
3
= - 8.10
-8
C đặt C, biết CA =
8cm; CB = 10cm.
Giải:

Độ lớn:
1 3
1
2
.
.
q q
F k

AC

= 9.10
-3
N

2 3
2
2
.
.
q q
F k
BC

= 5,76.10
-3
N
tan(

ACB
) = AB/AC = 6/8
Lực tổng hợp:
1 2
F F F 
  

Chọn
1
F


làm trục gốc. Khi đó

2
F ACB



Nhập vào máy: (9.10
-3
)

0 + (5,76.10
-3
)

(tan
-1
6/8)
Kết quả: F = r = 14,04.10
-3
N = 9.10
5
2
N; φ = 14,25
0
(Hợp với
1
F


và AC).
b. Các bài toán tổng hợp dao động.
Lưu ý về cơ sở của phương pháp: Một dao động điều hoá
cos( )
x A t
 
 
được biểu
diễn bằng vectơ
A

và góc lệch φ so với trục thực.

Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí
Trang 3
Khi vectơ
A

quay quanh O với tốc độ góc ω thì hình chiếu của
A

lên trục thực Ox
sẽ biểu diễn dao động điều hoà:
cos( )
x A t
 
 
.
Ví dụ:
Câu 1.

Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa, cùng phương, cùng tần số có
phương trình :
   
1 2
x 3cos 4 cm ; x 3cos 4 cm
3
t t

 
 
  
 
 
. Biên độ và pha ban
đầu của dao động tổng hợp là:

A.

3 3 ;
6
cm


B.

2 ;
6
cm


C.

2 3 ;
6
cm


D.

3 3 ;
3
cm

.
Giải:
Nhập vào máy: 3

60 + 3

0
Kết quả: A = r = 5,196 =
3 3
cm; φ = 30
0
= π/6
→ Đáp án:
A
Câu 2. (Đề TN THPT 2008). Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có
phương trình là
1

6sin( )( )
3
x t cm


 
và
2
8sin( )( ).
6
x t cm


 
Dao động tổng hợp của
hai dao động này có biên độ:
A. 10 cm. B. 2 cm. C. 14 cm. D. 7 cm.
Giải:
Nhập vào máy: 6

60 + 8

(-30)
Kết quả: A = r = 10cm
→ Đáp án:
A
Câu 3.
(ĐH2010)Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần
số có phương trình li độ
5

3cos( )
6
x t


 
(cm). Biết dao động thứ nhất có phương trình li
độ
1
5cos( )
6
x t


 
(cm). Dao động thứ hai có phương trình li độ là

A.

2
8cos( )
6
x t


 
(cm).
B.

2

5
2cos( )
6
x t


 
(cm).

C.

2
5
8cos( )
6
x t


 
(cm).
D.

2
2cos( )
6
x t


 
(cm).

Giải:
Nhập vào máy: 3

(-150) - 5

30
Kết quả: A = r = 8cm; φ = -150
0
= -5π/6 → Đáp án: C
Năm học 2010-2011 Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí
Trang 4 Thực hiện: Phạm Văn Trung
Câu 4.
(ĐH2009). Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng
phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là
1
4cos(10 )
4
x t

 
(cm) và
2
3
3cos(10 )
4
x t

 
(cm). Độ lớn vận tốc của vật ở vị trí cân bằng là:

A.
10 cm/s.
B.
80 cm/s.
C.
50 cm/s.
D.
100 cm/s.
Giải:
Nhập vào máy: 4

(45) + 3

(-135)
Kết quả: A = r = 1cm → v
max
= A.ω = 10cm/s → Đáp án: A
Câu 5. (ĐH2007). Hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình lần lượt là x
1
=
4sin(πt - π/6)(cm) và x
2
= 4sin(πt - π/2) (cm). Dao động tổng hợp của hai dao động này có
biên độ là:
A.
4 3cm
B.
2 2cm
C.
2 7cm

D.
2 3cm

Giải: Với hàm sin, việc tính toán cũng tương tự.
Nhập vào máy: 4

(-30) + 4

(-90)
Kết quả: A = r = 6,93cm =
4 3cm
→ Đáp án: A
c. Các bài toán về điện xoay chiều.
Lưu ý về cơ sở của phương pháp: Trong biểu diễn với điện xoay chiều.

Quy ước nhập:
Các đại lượng trong điện
xoay chiều
Biểu diễn dưới dạng số phức
R – Phần thực R
Z
L
– Phần ảo dương Z
L
i
Z
C
– Phần ảo âm - Z
C
i

u = U
0
cos(ωt + φ)(V ) U
0

( φ)

Các công thức tính: Do có thể nhầm với dòng điện i nên, i trong số phức được thay
bằng j.
Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí
Trang 5
+ Tổng trở: Z = R + Z
L
j - Z
C
j
Kết quả: Z = r ; φ cho biết độ lệch pha của điện áp so với dòng điện.
+ Biểu thức dòng điện:
0
i
L C
u u
i I
Z R Z j Z j

   
 

Kết quả: I
0

= r ; φ
i
là pha ban đầu của dòng điện.
+ Biểu thức u
c
: u
L
= i.(Z
L
j); u
C
= i.(-Z
C
j)
Kết quả: U
0C
= r ; φ là pha ban đầu của điện áp hai đầu C.
Ví dụ:
Bài tập: Cho đoạn mạch xoay chiều như hình vẽ. Biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch có
biểu thức: u = 100
2
cos(100t)(V).
Cho biết L = 0,5/ (H), C = 10
–4
/ (F), r = 10(), R = 40().

1. Tính tổng trở và viết biểu thức dòng điện tức thời trong mạch.
2. Lập biểu thức điện áp hai đầu cuộn dây, biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch AM.
Giải:
Cảm kháng: Z

L
= ωL = 50Ω; Dung kháng Z
C
=
1
C

= 100Ω.
1. Tổng trở: Z = (r + R) + Z
L
j – Z
C
j = 50
2

(-45
0
)
→ Kết quả: Tổng trở 50
2
Ω; độ lệch pha của u/i: -π/4
- Biểu thức i:
0
(100 2) 0 : (10 40 50 100 ) 2 45
L C
U
i j j
r R Z j Z j



       
  

→ Vậy: i = 2cos(100πt + π/4)(A)
2. Biểu thức u
cd
: u
cd
= i.Z
cd
= (2

45)x(10 + 50j) = 102

123,7
0
= 2,4rad
→ Vậy: u
cd
= 102cos(100πt + 2,4)(V)
Biểu thức hai đầu đoạn mạch AM:
U
AM
= i.Z
AM
= (2

45)x(40 - 100j) = 215,4

123,7

0
= -0,4rad
→ Vậy: u
cd
= 215,4cos(100πt - 0,4)(V)
Bài tập trắc nghiệm.
Câu 1. (TN 2007).
Một đoạn mạch gồm cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 1/π (H) mắc
nối tiếp với điện trở thuần R = 100Ω. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều
u = 100
2
cos100πt (V). Biểu thức cường độ dòng điện trong mạch là:
Năm học 2010-2011 Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí
Trang 6 Thực hiện: Phạm Văn Trung

A.
cos(100 / 2)( ).i t A
 
 

B.
2 cos(100 / 6)( ).i t A
 
 


C.
2 cos(100 / 4)( ).i t A
 
 

D.
cos(100 / 4)( ).i t A
 
 

Giải: Tính Z
L
= 100Ω; Ta có: i =
u
Z

Nhập vào máy: (100
2
)

0:(100+100j) = 1

(-45 = -π/4)
Kết quả:
cos(100 / 4)( ).i t A
 
 
→ Đáp án: D
Câu 2. (TN 2008).
Cường độ dòng điện chạy qua tụ điện có biểu thức i = 10
2
cos100πt(A).
Biết tụ điện có
250

C F



. Hiệu điện thế giữa hai bản của tụ điện có biểu thức là:

A.

200 2 cos(100 / 2)( )u t V
 
 
.
B.

100 2 cos(100 / 2)( )u t V
 
 
.

C.

400 2 cos(100 / 2)( )u t V
 
 
.
D.

300 2 cos(100 / 2)( )u t V
 
 

.
Giải: Tính Z
C
= 40Ω
Nhập vào máy: (10
2
)

0x(-40j) = 565,69

(- 90) =
400 2

(- π/2)
Kết quả: u
oC
=
400 2
cos(100πt – π/2)V → Đáp án: C
Câu 3.

(ĐH 2009).
Đặt điện áp xoay chiều vào hai đầu đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp.
Biết R = 10

, cuộn cảm thuần có L =
1
10

(H), tụ điện có C =

3
10
2


(F) và điện áp giữa hai đầu
cuộn cảm là
20 2 cos(100 / 2)
L
u t
 
 
(V). Biểu thức điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là:

A.

40cos(100 / 4)
u t
 
 
(V)
B.

40 2 cos(100 / 4)
u t
 
 
(V).

C.

40cos(100 / 4)
u t
 
 
(V).
D.

40 2 cos(100 / 4)
u t
 
 
(V).
Giải: Tính: Z
L
= 10Ω; Z
C
= 20Ω
Ta có: u = i.Z =
.
L
L
u Z
Z

Nhập vào máy: (20
2
)

(π/2)x(10 + 10j - 20j):(10j) = 40


(-0,785=-π/4)
Kết quả: u = 40cos(100πt - π/4)→ Đáp án: A
II. Phương pháp giải bài toán vật lí dùng tích phân.
1. Hướng dẫn dùng với máy tính cầm tay Casio fx 570MS:
Máy tính cầm tay Casio fx 570MS thực hiện các phép tính đạo hàm bậc nhất, vi
phân bậc nhất và tích phân một lớp một cách dễ dàng. Có thể áp dụng cho các bài toán
Vật lí liên quan đến các biến như: Vận tốc, gia tốc … Việc dùng máy tính cầm tay sẽ
đưa chúng ta đến kết quả bằng số cuối cùng chứ không đưa ra công thức tổng quát.
Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí
Trang 7
Cách bấm máy khi tính đạo hàm và tích phân:
- Đạo hàm: d/dx(hàm số, a). giá trị ứng với x
0
= a
Cách nhập: Shift d/dx <hàm số> , <giá trị của biến số> = .
<Hàm số> được viết dưới dạng một biến X, ta có thể dùng các phép tính có thể ở
trong máy và phím Anpha X để lập hàm số.
- Tích phân:
(

hàm số, cận dưới, cận trên)
Cách nhập:
dx

<hàm số> , < cận dưới>,<cận trên > = .
<Hàm số> được viết dưới dạng một biến X, ta có thể dùng các phép tính có thể ở
trong máy và phím Anpha X để lập hàm số.
Lưu ý: Dạng toán này thường được bồi dưỡng cho học sinh giỏi đi thi giải
toán bằng máy tính Casio. Áp dụng cho các bài toán tính vận tốc trung bình, công

của quá trình nhiệt …
2. Áp dụng:
a. Dùng đạo hàm.
Bài 1: Một chất điểm chuyển động theo phương trình x = 3t
2
– 4t + 2 (x đo bằng
m, t đo bằng s). Hãy tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 10s.
Giải:
Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của toạ độ theo thời gian: v = x’
Nhập vào máy: SHIFT
dx

3ALPHA X x
2
- 4ALPHA X + 2 )
,
10 ) =
→ Trong máy có dạng: d/dx(3X
2
– 4X + 2,10)
Kết quả: 56m/s
Bài 2: Một chất điểm dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(2πt +
π/3)(cm)(t tính bằng s). Hãy tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 0,5s.
Giải:
Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của toạ độ theo thời gian: v = x’
Nhập vào máy: d/dx(4cos(2πX + π/3,0.5)
Kết quả: 21,77cm/s = 4π
3
cm/s
b. Dùng tích phân.

Cơ sở để giải các bài toán: Biết toạ phương trình vận tốc, xác định toạ độ ở thời điểm t.
Năm học 2010-2011 Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí
Trang 8 Thực hiện: Phạm Văn Trung
2
1
'
t
t
dx
v x dx vdt x vdt
dt
     


Bài 1: Một xe ôtô đang chuyển động với vận tốc 36km/h thì hãm phanh, xe chuyển động
chậm dần với gia tốc có độ lớn 2m/s
2
. Hãy tính quãng đường mà xe đi được trong giây thứ ba
tính từ lúc xe bắt đầu hãm phanh.
Giải:
a. Ta có vận tốc của xe: v = 10 - 2t =
(10 2 )
dx
dx t dt
dt
  

Vậy: Quãng đường xe đi trong giây thứ ba(từ giây thứ 2 đến giây thứ 3) là:
3
2

(10 2 )s t dt
 


Nhập vào máy:
(10 2 ,2,3)
X


Kết quả: 5m.
Bài 2: (Giải toán bằng máy tính 2009_QG). Từ độ cao h = 30m so với mặt đất, một
vật được ném theo phương ngang với tốc độ v
0
= 15m/s. Bỏ qua mọi ma sát. Hãy tính tốc độ
trung bình của vật trong khoảng thời gian t = 2s đầu tiên.
Giải: Lấy g =10m/s
2
.
Ta có: v
x
= v
0
; v
y
= gt → v =
2 2 2 2
0 0
( ) ( )
dx
v gt x v gt dt

dt
    


Vậy: Quãng đường vật rơi trong 2s đầu tiên: s =
2
2 2
0
15 (10 )t dt



→ Tốc độ trung bình của vật trong 2s đầu tiên:
2
2 2
0
15 (10 )
2
t dt
s
v
t

 


Nhập vào máy:
2 2
( (15 (10 ) ),0,2) : 2
X



Kết quả: 18,6795m/s
Bài 3: (Giải toán bằng máy tính 2010_QG). Cho
mạch điện như hình. Nguồn điện có suất điện động E = 6V,
điện trở trong r = 0,5Ω, cuộn thuần cảm có L= 0,5H, điện trở
R = 4,7Ω. Ban đầu khoá k mở, sau đó đóng khoá k.
Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí
Trang 9
a. Tìm cường độ dòng điện cực đại I
0
trong mạch.
b. Xác định khoảng thời gian kể từ lúc đóng khoá k đến lúc dòng điện trong mạch đạt
giá trị 0,65I
0
.
Giải:
a. Dòng điện đạt cực đại khi dòng điện trong mạch ổn định. Cuộn cảm L không ảnh
hưởng tới mạch điện. Áp dụng định luận Ôm cho toàn mạch:
0
6
1,1538
0,5 4,7
E
I A
r R
  
 

b. Khi k đóng, dòng điện tăng từ 0 đến I

0
. trong cuộn dây xuất hiện suất điện động tự
cảm: e = - L
di
dt
(chống lại sự tăng của i)
Do đó ta có:
( )
( )
di
E L
di L
dt
i L E i r R dt di
r R dt E i r R

      
  

Vậy: Thời gian kể từ lúc đóng khoá k đến lúc dòng điện trong mạch đạt giá trị 0,65I
0
.
0
0,65
0
( )
I
L
t di
E i r R


 


Nhập vào máy:
(0.5:(6 (0.5 4.7) ),0,0.65 1.1538)
X x 


Kết quả: 0,1009s