Chủ đề 5. Đạo hàm của hàm số

 Học, học nữa, học mãi!

“Khơng có việc gì khó
Chỉ sợ lịng khơng bền
Đào núi và lấp biển
Quyết chí ắt làm nên”
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Định
nghĩa
đạo hàm
Đạo hàm
cấp cao

Ý nghĩa
của đạo
hàm

Chủ đề.
ĐẠO HÀM
Quy tắc
tính đạo
hàm

Vi phân

Bảng đạo
hàm cơ
bản

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b):
(x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0))
f ( x )  f ( x0 )
y
f '( x0 )  lim
 lim
x  x0
x 0 x
x  x0
Chú ý: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại điểm đó.

1


 Học, học nữa, học mãi!

2. Ý nghĩa của đạo hàm
Ý nghĩa hình học:
+ f (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
M  x0 ; f ( x0 )  .

+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M  x0 ; y0  là:
y – y0 = f (x0).(x – x0)
 Ý nghĩa vật lí:
+ Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
s = s(t) tại thời điểm t0 là :
v(t0) = s(t0).
+ Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là:
I(t0) = Q(t0).
3. Qui tắc tính đạo hàm

 Đạo hàm tổng, hiệu:
 Đạo hàm một tích:

(u  v)  u  v .
(uv)  uv  vu.

(ku)  ku
 u  uv  vu
 Đạo hàm một thương:   
(v  0).
v
v2
 1 
v
Đặc biệt:
   2
v
v
Đặc biệt:

 Đạo hàm của hàm số hợp:
Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là ux và hàm số y = f(u) có đạo
hàm tại u là yu thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là:
yx  yu.ux

2


 Học, học nữa, học mãi!

4. Đạo hàm một số hàm số cơ bản
 (c) = 0 (Với c là hằng số)
n N 
 (xn) = n.xn–1 

n

1


 (sin x) = cos x
1
  tan x   
cos2 x
sin u( x )
sin x
 1 (với
 lim
 1; lim
x  x0
x 0
u( x )
x

 (x) = 1

1
 x  
2 x
 (cos x) = – sin x

1
  cot x     2
sin x

lim u( x)  0 )

x x0

5. Vi phân
 dy  df ( x)  f ( x).x

 f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0 ).x

6. Đạo hàm cấp cao

f ''( x )   f '( x ) ;

f '''( x )   f ''( x ) ;


f ( n ) ( x )   f ( n1) ( x ) (n  N, n  4)
Ý nghĩa cơ học:
Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là a(t0) = f(t0)
B. BÀI TẬP
VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta
thực hiện các bước:
Bước 1. Giả sử x là số gia của đối số tại x0.
Tính y = f(x0 + x) – f(x0).
y

Bước 2. Lập tỉ số :
.
x
y
Bước 3. Tính lim
x 0 x
3


 Học, học nữa, học mãi!

Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số y  f ( x)  x 2  2 x  1 bằng định nghĩa tại
x0  1 .
Giải
Giả sử x là số gia của đối số tại x0  1
Ta có:

y  1  x   2 1  x   1  2   x   4x
2

2

y
 x  4
x
y
y ' 1  lim
 lim  x  4   4
x 0 x
x 0

Bài 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm
được chỉ ra:
a) y  f ( x )  2 x 2  x  2 tại x0  1

2x  1
tại x0 = 2
x 1
Bài 2. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) f ( x)  x 2  3x  1 tại điểm x bất kì
b) y  f ( x ) 

b) f ( x )  x ( với x  0 )
1
c) f ( x )  ( với x  0 )
x
VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng cơng thức
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các
qui tắc tính đạo hàm và bảng đạo hàm cơ bản.
Các công thức, quy tắc đã trình bày ở phần lý thuyết đề nghị xem lại
Chú ý: Qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp.
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1
a) y  2 x 4  x 3  2 x  5
b) y  x 3  3x  1
3
3
c) y  ( x 3  2)(1  x 2 )
d) y 
2x  1
2x  1

1
e) y 
f) y  x 
1  3x
x
4


 Học, học nữa, học mãi!

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau (Hàm hợp)
a) y  ( x 2  x  1)4
c) y  x.cos2 x

b) y  x 2  2 x  3


d) y  sin  2 x  
3


Bài 3. Tìm x để hàm số y  x 3  3x 2  2
a. y’= 0
b. y’ > 0
VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
Dạng 1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0)  (C ) là:
y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) (*)
Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số
góc k:
+ Gọi x0 là hồnh độ của tiếp điểm. Ta có: f ( x0 )  k (ý nghĩa hình

học của đạo hàm)
+ Giải phương trình trên tìm x0, rồi tìm y0  f ( x0 ).
+ Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*)
Chú ý. Nhắc lại: Cho (): y = ax + b. Khi đó:
+ (d )  ()  kd  a

1
a
*Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm
A(x1, y1) cho trước (Nhiều năm nay không xuất hiện trên đề thi Tốt nghiệp
THPT)
+ Gọi (x0 , y0) là tiếp điểm (với y0 = f(x0)).
+ Phương trình tiếp tuyến (d): y  y0  f '( x0 )( x  x0 )
(d) qua A ( x1 , y1 )  y1  y0  f '( x0 ) ( x1  x0 ) (1)
+ Giải phương trình (1) với ẩn là x0, rồi tìm y0  f ( x0 ) và f '( x0 ).
+ Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*).
+ (d )  ()  kd  

Ví dụ : Cho hàm số (C): y  f ( x )  x 2  2 x  3. Viết phương trình tiếp
tuyến với (C):
a) Tại điểm thuộc (C) có hồnh độ x0 = 1.
b) Song song với đường thẳng (d) : 4x – 2y + 5 = 0.
5


 Học, học nữa, học mãi!

Giải
a) Theo bài ra ta có: x0  1 suy ra y0  3

y '  2 x  2 suy ra y ' 1  2.1  2  0

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại x0  1 là

y  0  x  1  3 hay y = 3

b) Theo bài ra ta có:

5
2
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) nên ta có x0 là nghiệm của
phương trình y '  2  2 x  2  2  x  2
Với x0  2 suy ra y0  7
Phương trình đường thẳng (d): 4 x  2 y  5  0  y  2 x 

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y  2  x  2   7 hay y  2 x  3

2  x  x2
Bài 1. Cho hàm số y  f ( x ) 
(C).
x 1
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc k = 1.
3x  1
Bài 2. Cho hàm số y  f ( x ) 
(C).
1 x
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với
1

đường thẳng d: y  x  100 .
2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vng góc với
đường thẳng : 2x + 2y – 5 = 0.

6