20 bai tap tap hop cac so huu ti ket noi tri thuc co dap an toan 7

TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ ĐẠI SỐ LỚP 7
A. Phương pháp giải
1. Số hữu tỉ
 Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số

a
với a,b Z,b
b

0.

 Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q.
2. Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số.
 Mọi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn trên trục số.
 Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.
3. So sánh hai số hữu tỉ
 Để so sánh hai số hữu tỉ, ta viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.
 Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương;
 Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm;
 Số hữu tỉ 0, không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.
 Số hữu tỉ

a
là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a, b khác
b

dấu, bằng 0 nếu a = 0.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Điền các kí hiệu N, Z, Q vào ô trống cho hợp nghĩa (điền tất cả các khả năng có
thể):
;

9

2020

9
205

;

;

21
10

Giải
 Tìm cách giải. Khi điền vào ô trống, ta căn cứ vào định nghĩa tập hợp:
 N

0;1;2;3;... .

 Z

...; 3; 2; 1;0;1;2;3;...

 Q

x/x

a

;a,b Z,b
b

0

 Trình bày lời giải.


9 Z; 9 Q
Trang 1


 2020 N;2020 Z;2020 Q



9
205

Q

21
Q
10

 Nhận xét. Chúng ta lưu ý rằng N

Q , nếu không ý thứ nhất và ý thứ hai của ví

Z

dụ dễ bị sót.
Ví dụ 2: Cho số hữu tỉ x

a 10
. Với giá trị nào của a thì:
2020

a) x là số dương;
b) x là số âm;
c) x không là số dương cũng không là số âm.
Giải
 Tìm cách giải. Khi xác định dấu của số hữu tỉ, ta lưu ý

a
là số hữu tỉ dương nếu a và b
b

cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a, b khác dấu. Chú ý rằng 2020

0 , ta có lời giải sau:

 Trình bày lời giải.
a) x

a 10
2020

Mà 2020
b) x

0 nên a 10

a 10
2020

Mà 2020

a 10 và 2020 cùng dấu.

0

0 suy ra a

a 10 và 2020 khác dấu.

0

0 nên a 10

0 suy ra a

10 . Vậy với a

c) x không là số dương cũng không là số âm tức là x
Vậy với a

10 thì x là số hữu tỉ dương.

10 . Vậy với a

10 thì x là số hữu tỉ âm.
0 hay

a 10
2020

0 suy ra a

10 .

10 thì x khơng là số dương cũng khơng là số âm.

Ví dụ 3. So sánh các số hữu tỉ sau:
a) x
c) x

25
hay y
35
17
và y
20

444
;
777

b) x

2

1
và y
5

110
;
50

0,75 .

Giải
Trang 2


 Tìm cách giải. Trước khi so sánh hai số hữu tỉ, chúng ta thường thực hiện:
 Đưa các số hữu tỉ về dạng phân số tối giản;
 Quy đồng mẫu số, chú ý để mẫu số dương;
 Sau đó so sánh hai phân số.
 Trình bày lời giải.
Rút gọn ta có:
a) x

25
35

b) x

2

5
;y
7

1
5

11
;y
5

17
và y
20

c) x

0,75

444
777

4
nên x
7

110
50

11
nên x
5

75
100

15
20

y

y

17
nên x
20

y

Ví dụ 4. Viết tập hợp các số nguyên n sao cho số hữu tỉ sau có giá trị là số nguyên.
a)

7
n

5

;

b)

n

2
5

Giải
a
(với a,b Z,b
b

 Tìm cách giải. Số hữu tỉ
chia hết cho b hay b

0 ) có giá trị là số nguyên khi và chỉ khi a

Ư(a). Từ đó chúng ta có lời giải sau.

 Trình bày lời giải.
a)

7
n

5

Z

n

n

5

n
Vậy với n
b)

n

2
5

Vậy với n

5 Ư(7); mà Ư(7)

1

7

-1

-7

6

12

4

-2

6;12;4; 2 thì
Z

n
5k

1;7; 1; 7 suy ra bảng giá trị sau:

25
2(k

n

7
n

5

5k (với k

2

Z ) thì

có giá trị là số ngun.

n

2
5

Z)

n

5k

2.

có giá trị là số ngun.

Ví dụ 5. Tìm các số ngun n để số hữu tỉ

n
n

21
có giá trị là số nguyên.
10
Trang 3


Giải
 Tìm cách giải. Đưa về ví dụ 4, bằng cách tách ra một số hạng nguyên.
 Trình bày lời giải.
n

n

21
Z
10

31 n

n

10

21 n

10

n

10

31 n

10 Ư(31) mà Ư(31)

n

10

1;31; 1; 31 .

Suy ra ta có bảng giá trị sau:
n

10

n
Với n

1

31

-1

-31

-9

21

-11

-41
n
n

9;21; 11; 41 thì số hữu tỉ
3n
4n

Ví dụ 6. Chứng tỏ rằng số hữu tỉ x

21
có giá trị là một số nguyên.
10
2
là phân số tối giản, với mọi n
3

N.

Giải
 Tìm cách giải. Để chứng minh

a
là phân số tối giản a;b Z chúng ta chứng tỏ
b

ƯCLN (a; b) = 1
 Trình bày lời giải.
Đặt ƯCLN 3n

2;4n

3n

2d

12n

8d

4n

3d

12n

9d

12n

d (với d

12n

8 d

1d

Suy ra: ƯCLN 3n

2;4n

3

Vậy x

9

3

3n
4n

d

N ) suy ra:

1

1

2
là phân số tối giản, với mọi n
3

N.

Ví dụ 7. Tìm các số hữu tỉ.
a) Có mẫu là 15, lớn hơn
b) Có tử là 4, lớn hơn

7
9
và nhỏ hơn
;
10
20

2
6
và nhỏ hơn .
5
7

Giải
Trang 4


a) Gọi số hữu tỉ cần tìm là
Theo đề bài, ta có:
42
4x

4x

7
10

x
với x
15

x
15

9
20

40; 36; 32; 28

b) Gọi số hữu tỉ cần tìm là
Theo đề bài ta có:
3y 14

42
60

4x
60

27
60

27

2
5
3y

x

10; 9; 8; 7

10 9 8 7
.
;
; ;
15 15 15 15

Vậy các số hữu tỉ cần tìm là:

30

Z.

4
với y Z
y

4
y

6
7

12
3y

12
14

15;18;21;24;27

y

Vậy các số hữu tỉ cần tìm là

12

30

5;6;7;8;9

4 4 4 4 4
; ; ; ; .
5 6 7 8 9

C. Bài tập vận dụng
1.1. Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ

2
?
5

4 8
10 6
9
.
;
;
;
;
10 12 25
15 15

1.2. Viết các số hữu tỉ sau dưới dạng phân số với mẫu số dương.
2 8
21
;

;
3 11 10

1.3. Cho ba số hữu tỉ

6 7 2
;
;
5 4 3

a) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương.
b) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương bằng nhau.
1.4. Cho số hữu tỉ x

m 10
. Với giá trị nào của m thì:
21

a) x là số dương.

b) x là số âm.

c) x không là số dương cũng không là số âm.

Trang 5


1.5. Cho số hữu tỉ x

14m 10

. Với giá trị nào của m thì:
2019

a) x là số dương.

b) x là số âm.

1.6. Viết tập hợp các số nguyên n sao cho số hữu tỉ sau có giá trị là một số nguyên.
a)

5
n

1

;

b)

6
3

2019
là một số nguyên.
a 6

1.7. Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x
1.8. Tìm các số nguyên x để số hữu tỉ t
1.9. Chứng tỏ số hữu tỉ x

n

3x 8
có giá trị là một số nguyên.
x 5

2n 9
là phân số tối giản, với mọi n
7n 31

N.

1.10.
a) Cho hai số hữu tỉ

c
a
và
b
d
b

0;d

0 . Chứng minh rằng

a
b

c

khi và chỉ khi
d

bc .

ad

b) Áp dụng kết quả trên, so sánh các số hữu tỉ sau:

12
22 6
và
và
;
13
25 11

8
.
15

1.11.
a) Cho hai số hữu tỉ
a
b

a
b

c

d

c
a
và
b
d
b

0;d

0 . Chứng minh rằng nếu

a
b

c
thì
d

c
d

b) Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa hai số hữu tỉ

3
2
và .
4
3

1.12. Cho a, b, m là các số nguyên và b > 0; m > 0.
a) So sánh

a 1
a
và
.
b 1
b

c) So sánh

3 9
7
2
và ;
và
.
8 11
9
7

b) So sánh

a
a
và
b
b

1.13. Cho các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn 1 a
b

m
.
m

b

c

a

1 và b

c . Chứng minh rằng

a.

1.14. Tìm các số hữu tỉ:
Trang 6


a) Có mẫu số là 20, lớn hơn

5
3
và nhỏ hơn
;

14
14

5
và nhỏ hơn
8

b) Có tử là 2, lớn hơn

5
12

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
1.1. Những phân số biểu diễn số hữu tỉ
1.2.

2
3

2 8
;
3
11

8 21
;
11 10

2
4 10 6

là
.
;
;
5
10 25
15

21
10

1.3.
a) Ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương.
6
5

12
10

18
15

24 7
;
20 4

7
4

14

8

21 2
;
12
3

2
3

4
6

6
9

b) Ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là các số dương bằng nhau.
6
5

72 7
;
60 4

105 2
;
60
3

40

60

1.4.
a) x

0

Vậy với m
b) x

0

Vậy với m

m 10
21

0

m 10

0

m

10

10 thì số hữu tỉ x là số dương.
m 10
21

0

m 10

0

m

10

10 thì số hữu tỉ x là số âm.

c) x không là số dương cũng khơng là số âm
x

0

m 10
21

0

m 10

0

m

10

Vậy với m 10 thì số hữu tỉ x không là số dương cũng không là số âm.
1.5.
a) x

0

Vậy với m

14m 10
2019

0

14m 10

0

14m

10

m

5
7

5
thì số hữu tỉ x là số dương.
7

Trang 7


b) x

14m 10
2019

0

0

14m 10

0

14m

10

m

5
7

5
thì số hữu tỉ x là số âm.
7

Vậy với m

1.6.
a) Ta có

5
n

Z

1

1 Ư(5) mà Ư(5)

n

1;5; 1; 5

Suy ra bảng giá trị sau:
n

1

n

Vậy với n

6

-1

-5

0

4

-2

-6

Z

3

Vậy với n

n

5

Z

Mà Ư(-2019)

n

1

63
n

Z thì

3k k

2019
a 6

1.7.

5

0;4; 2; 6 thì

n

b) Ta có:

1

n3
6

Z
n

3k k

Z

Z

3

6 Ư(-2019)

a

1;3;673;2019; 1; 3; 673; 2019

Suy ra bảng giá trị sau:
a

6

a

1

3

673

2019

-1

-3

-673

-2019

-5

-3

667

2013

-7

-9

-679

-2025

Vậy với a
1.8.

5; 3;667;2013; 7; 9; 679; 2025 thì

3x 8
x 5

7x

5

Z

3x

x

5

8x

5

3 x

Ư(7) mà Ư(7)

5

7x

2019
là một số nguyên.
a 6

5

1;7; 1; 7

Suy ra bảng giá trị sau:
x

5

x

1

7

-1

-7

6

12

4

-2
Trang 8


Vậy với x

1.9. Đặt ƯCLN 2n

9;7n

14n

31

2n

9d

7n

31 d

14n

62 d

63

14n

62 d

14n

3x 8
x 5

6;12;4; 2 thì t

Z

d d

N

63 d

Suy ra: ƯCLN 2n

9;7n

1d

d

1
2n 9
là phân số tối giản với mọi n
7n 31

1. Vậy x

31

N.

1.10.
a
b

a) Quy đồng mẫu hai phân số, ta có:

 Nếu

a
b

c
ad
thì
d
bd

 Nếu ad
b) Ta có:
Ta có:

12
13

8
15

bc thì

ad c
;
bd d

bc
suy ra ad
bd

ad
bd

bc
. Vì b
bd

0,d

0 nên bd

0 , do đó:

bc

bc
a
suy ra
bd
b

c
.
d

22
vì 12.25 13.22
25
8

. Vì
15

6 .15 11.

8 , suy ra:

c
, suy ra ad
d

bc (1).

6
11

8
15

6
11

8
15

1.11.
a) Theo bài , ta có:
Từ (1) ta có: ab

a

b

ad

ab

bc

Mặt khác, từ (1) ta lại có: ad
Từ (2) và (3) suy ra:

a
b

a
b

a b
cd

c
d

bc

d
cd

a

c b hay
d a

c

a
b

c b

a
b

c
(2)
d

d hay

a
b

c
d

c
(3)
d

c

.
d

b) Theo câu a) ta có:
2
3

3
2
suy ra
4
3

5
7

3
;
4

Trang 9


2
3

5
2
suy ra
7

3

7
10

5
;
7

5
7

3
5
suy ra
4
7

8
11

3
;
4

Vậy ta có:

2
3

7
10

5
7

8
11

3
.
4

b

ab

a
b

a 1
b 1

1.12.
a) Trường hợp 1. Xét a
a b 1

b a

1

Trường hợp 2. Xét a

b

ab

b a

1

a
b

Vậy: Nếu a

b thì

a
b

a 1
b 1

Nếu a

a
b

a b 1

b thì

m

b a

m

b a

a
b
b

ab

a
b

m

c) Áp dụng câu a), ta có 2
Áp dụng câu b), 7
1.13. Ta có b
Vì 1 a nên a

b

ab

b

ab

am

ab

a
b

m
m

a 1
b 1

b

m

Trường hợp 2. Xét a
a b

a

ab

a 1

b 1

b) Trường hợp 1. Xét a
a b

a

9

c và b

am

a
b

7 nên

ab

bm

m
m
2
7

2 1
7 1

7
9

7
9

2
7
hay
2
9

c

a

1

2b

a

2a

b

a.

1 2a

2b

bm

3
8

9
7
suy ra
11
9

9
11

1

1.14.
a) Gọi số hữu tỉ cần tìm là

x
với x
20

Z.

Trang 10

Theo đầu bài, ta có:
50

7x

5
14

30

x
20

x

b) Gọi số hữu tỉ cần tìm là:

10
16

10
5y

5
8

10
24

Vậy số hữu tỉ cần tìm là:

50
140

7x
140

30
140

7; 6; 5

Vậy các số hữu tỉ cần tìm là:

Theo đầu bài, ta có:

3
14

7 6 5
;
;
20 20 20

2
với y Z, y
y
2
y

16

5
12

5y

0.

5
8

24

2
y

y

5
12

4

2
4

Trang 11